高等数学教程 下册（第4版）课件：曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分12.1

第一型曲线积分12.1.1第一型曲线积分的概念与性质问题1:曲线形构件的质量密度均匀分布曲线形构件的质量现求线密度是变化的曲线形构件的质量分割求和取极限精确值近似值近似线L,设曲线形构件占有平面曲它在点(x,y)处的线密度是定义1L曲线形构件的质量被积函数

弧元素积分弧段推广注：第一型曲线积分又称对弧长的曲线积分(1)线性性质：(2)可加性：

对弧长的曲线积分具有下列性质:

(3)保序性：特别地，有定理1则曲线上具有一阶连续导数,注意:1.对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限!12.1.2第一型曲线积分的计算L的参数方程为积分存在，且曲线方程的其他情形(3)

曲线的方程为极坐标方程

推广则的参数方程为解解例1计算其中L为上自原点到的一段弧.例2计算其中的一段弧.例3计算圆周曲线的质量.解曲线L的质量为其中线密度圆的极坐标方程为圆的参数方程为所求质量对弧长的曲线积分的几何意义:表示以

xOy面上曲线L为准线、母线平行于z轴,的柱面面积.高为例4设椭圆柱面被z=y与z=0所截,求位解于第一、二卦限内所截下部分的柱面的侧面积A.xOy面上椭圆所求的柱面的侧面为的参数方程为所求的柱面的侧面为思考题设则及x轴在第一象限中所围图形的边界.⌒解⌒⌒练习计算故常力沿直线所作的功问题2:变力沿曲线所作的功12.2第二型曲线积分11.2.1第二型曲线积分的概念与性质由第一型曲线积分定义定义设L是xOy平面上光滑有向曲线，为第二型曲线积分，或对坐标的曲线积分.类似地，定义空间向量函数物理意义沿平面曲线L所做的功为对坐标的曲线积分具有下列性质:

沿曲线平面L的第二型曲线积分存在,则设(1)线性性质:积分存在,且沿曲线L的第二型曲线其中为任意常数.LL1L2(2)可加性:

且它们的方向相应地一致,

则(3)有向性:

有向曲线,则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!设L是有向曲线,定理在有向曲线弧L上连续,存在，且12.2.2第二型曲线积分的计算，则曲线积分则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形(3)对于空间曲线

解⌒⌒(1)取

x为积分变量的一段弧.例1计算其中L为抛物线上从(2)取

y为积分变量解(1)例2计算其中A点对应

B点对应B点对应O点对应(2)O点对应A点对应问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也不同.解(1)A点对应

L的参数方程为B点对应其中例3计算问题:被积函数相同,起点和终点也相同,(2)虽然路径不同,但积分结果相同.解L的参数方程为其中L为圆周例4计算沿逆时针方向绕行一周.

其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例5计算A点对应B点对应设D为连通的平面区域,复连通区域单连通区域否则,称为复连通区域.则称D为平面单连通区域,所围成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线12.3格林公式及其应用12.3.1格林(Green)公式例如,是单连通区域，当观察者沿边界前进时,规定:边界曲线L的正向区域D总在他的左边.是复连通区域.L+l称为复合闭曲线设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成,在D上有一阶连续偏导数,则其中L是

D的取正向的边界曲线.格林公式格林公式的实质:

沟通了沿闭曲线的积分与二重定理1格林(Green)公式函数积分之间的联系.为便于记忆,格林公式可记做对复连通区域D,D的全部边界的曲线积分,D来说都是正向.格林公式右端应包括沿区域且边界的方向对区域由格林公式,得设闭区域D的面积为S,L是

D的正向边界曲线.解由格林公式其中L为圆周方向为逆时针方向.例1

计算其中解L的方向为逆时针方向.例2

计算其中不能直接用格林公式.因被积函数中的点(x,y)在曲线上,再用格林公式.可先用曲线方程将被积函数化简,则解令由格林公式例3

计算其中D是由直线

分析:但由可知非常简单.其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒不是闭曲线!例4

计算为应用格林公式需补上一段曲线,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.因而这里补直线段的直线段.通常补与坐标轴平行解由格林公式的方程为故所以,

解的正向边界.令有例5

计算其中L为椭圆形区域

不能直接用格林公式!作辅助圆取顺时针方向,由L和l所围成的复连通区域不包含原点.

在上应用格林公式,得其中l

的方向取顺时针方向BAL1L2定义1否则,称曲线积分与路径有关.恒成立，则称曲线积分在G内与路径无关,12.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件G内具有一阶连续的偏导数.设G一个开区域,P(x,y)和

Q(x,y)在区域给定两个点

A、B,如果对于G内任意以及从点A到点B的任何两条曲线L1，L2,

等式定理2设G是平面上的单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,(2)对G内任一闭曲线C,则下列四个命题等价:(3)在G内,曲线积分

与路径无关;在G内恒成立;解原式=所以,曲线积分与路径无关.例6

计算其中L为令由点解令有例7

计算其中L为

故该曲线积分在任意不含原点的单连通区域的一段弧.

中与路径无关.

其参数方程为A点对应

B点对应于是

选择新的路径其中C为任意常数.12.3.3全微分方程

则称微分方程设P(x,y)和Q(x,y)一阶偏导数在平面区域D内连续,且存在某个二元函数

使为全微分方程,或恰当方程.方程的通解为此时,曲线积分

与路径无关,或的求法:则取解1所以,是全微分方程.原方程的通解为例8求方程的通解.(x,y)解2因所以,是全微分方程.通解为例8求方程的通解.解设积分与路径无关其中具有连续的导数,且计算练习

设曲线积分与路径无关,即(1,0)由再由故曲面上各点处都有12.4第一型曲面积分曲面光滑:求曲面的质量.12.4.1第一型曲面积分的概念与性质平面也连续转动.面上连续移动时,切切平面,且当点在曲问题12.3已知面积有限的曲面的面密度为连续函数任意取定的点,令当各小块曲面的直径的最大值第i小块曲面的面积),同时也表示把曲面Σ任意分成n小块曲面质量的近似值为:取极限定义上任意取定的点,(3)并作和(4)如果当各小块曲面的直径的最大值这和式的极限存在,则称(2)设点作乘积设

f(x,y,z)是定义在曲面Σ上的有界函数同时也表示第i小块曲面的面积),(1)把曲面Σ任意分成n小块记为即如曲面是封闭曲面,面积元素被积函数则积分号写成积分曲面为函数

f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分,或第一型曲面积分.对面积的曲面积分的性质:(1)线性性质:(2)可加性:(4)如果在曲面Σ上其中S是曲面Σ的面积则

若f关于变量z是奇函数,即则若f关于变量z是偶函数,即则第一型曲面积分的对称性质1.设积分曲面

关于xOy坐标面对称.为

在xOy坐标面的上半部区域.若f关于变量x是奇函数,即则若f关于变量x是偶函数,即则2.设积分曲面

关于yOz坐标面对称.为

在yOz坐标面的前半部区域.类似地,若f关于变量y是奇函数,即则若f关于变量y是偶函数,即则3.设积分曲面

关于xOz坐标面对称.为

在xOz坐标面的右半部区域.则按照曲面的不同情况分为以下三种:12.4.2第一型曲面积分的计算法设Σ在xOy面的投影区域为则则设Σ在xOz面的投影区域为设Σ在yOz面的投影区域为解在

xOy

面的投影域积分曲面

被柱面所截得的部分.例1计算其中Σ为平面故解例2计算其中Σ是柱面由轮换对称性其中解由对称性知:例3计算其中Σ为抛物面抛物面有被积函数为第一卦限部分曲面.投影域:在平面的上方部分,则练习设为球面通常光滑曲面都有两侧.12.5第二型曲面积分12.5.1双侧曲面及其法向量

单侧曲面莫比乌斯(Möbius)带.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起,B、C粘在一起形成的环行带.上、下曲面的几种常用表达形式:封闭曲面:

内、外左、右规定了侧(或称方向)的双侧曲面称为有向曲面.

前、后曲面的方程为

偏导数连续,且指向曲面的另一侧.

指向曲面的一侧,光滑曲面：例如,椭球面的法向量为

外侧正号,内侧负号.光滑曲面的方向用法向量函数表示曲面的方程

法向量

上侧正,下侧负右侧正,左侧负前侧正,后侧负简单有向曲面的法向量问题12.4(流量问题)12.5.2第二型曲面积分的概念

设某流体的密度处处相同(无妨设密度为1),即为有向光滑曲面,

是在点(x,y,z)的单位法向量.

求流体在单位时间内通过曲面流向指向一侧的流量中各点的速度只与该点的位置有关而与时间无关,液体简单情况

流量当流速不是常向量,或不是平面闭区域时,用积分思想研究流量问题.将曲面任意划分成个小曲面

记第k小块曲面的面积为流量为

设为上任意一点,我们从两方面近似:

(1)把近似为平面,方向为

(2)把上的流速近似为常向量

则求和,取极限,由对面积的曲面积分的定义,有即

抽去上述问题的物理意义,积分的定义.就得到了第二型曲面定义为第二型曲面积分.设为光滑的有向曲面,

是在点(x,y,z)的单位法向量,

向量函数

的各分量在上连续,

则称

特别地,

都称作第二型曲面积分.

对坐标y,z的曲面积分

对坐标z,x的曲面积分

对坐标x,y的曲面积分

记作:第二型曲面积分的计算:概念产生方法1.求曲面方向向量的方向余弦;2.计算对面积的曲面积分.几何性质,二重积分性质:与第一型曲面积分类似有向性:如果与是同一个曲面的不同侧解单位化:例1计算积分其中是球面的外侧.球面外侧的法向量为

用几何性质计算的例子(1)当有向曲面的方程为时,有其中,是在xOy面上的投影.化成表示曲面的两个自变量的二重积分上侧取正号,下侧取负号.右正,左负.(2)当有向曲面的方程为时,有其中,是在xOz面上的投影.前正,后负.(3)当有向曲面的方程为时,有其中,是在yOz面上的投影.单个函数对坐标的曲面积分计算步骤从曲面方程中解出z=z(x,y),必要时分片表示.求出曲面在xOy投影上正,下负前正,后负右正,左负解投影域例2计算其中Σ是球面外侧在的部分.单个函数对坐标的曲面积分计算解例3其中Σ是旋转部分的下侧.抛物面得曲面下侧的方向向量为计算法向量:化为对x,y的二重积分注意到:故解例4右侧.计算其中Σ是锥面化为对x,z的二重积分解例5前侧.考虑由曲面方程解出x计算其中Σ是柱面前侧方向向量:化为对y,z的二重积分方向向量:化为对y,z的二重积分一阶连续偏导数,则有的整个边界曲面的外侧.12.6高斯公式通量与散度定理12.5高斯(Gauss)公式12.6.1高斯(Gauss)公式

只需分别证明以下三式,即可完成定理证明.现只证第三式,其它两式可完全类似地证明.证母线平行于z轴的柱面.(取下侧)(取上侧)(取外侧)边界面三部分组成:由三重积分的计算,有再由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧于是故同理可证合并以上三式,即得高斯公式.说明:若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.高斯公式常用形式其中

向量的方向余弦.处的外法解

例1计算其中Σ为三个坐标面与平面围成的四面体的外表面侧.例2计算其中Σ为解

的外侧.不能直接用高斯公式.点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积因被积函数中的函数化简,例3

计算曲面积分其中Σ为锥面介于平面及之间的部分的下侧.解曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,取上侧,因故故又Σ是锥面和球面及练习设f(u)是有连续的导数,计算所围立体的表面外侧.解设由高斯公式12.6.2通量与散度现进一步解释高斯公式的物理意义

可以理解为稳恒流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场.设是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量,指向Σ的外侧.则可以理解为单位时间内穿过Σ流向指定侧的流量,记为Ф.

说明流出Σ的流体的质量多于流入的,表明Σ内有“源”;说明流出Σ的流体的质量少于流入的,表明Σ内有“漏”;说明流出与流入的流体的质量相等.用Ω的体积V去除上式两端,得此式表示单位时间内,单位体积所流出的流体由积分中值定理,当Ω向内不断收缩逐渐成一点M时,取极限得质量的积分平均值.即点M的源头强度.

体积的变化率,反映了流速场在点M流量对定义12.6为向量场,设其中P、Q、R具有一阶连续的偏导数,其指向外侧的单位Σ是场内的一有向封闭曲面,法向量即向曲面Σ的通量.

称为向量场通过有记为在点M的散度,称为向量场

散度是通量对体积的变化率,体现了流速场在点向外散发流体的能力.表明点M有正源,即流体的确是离开点M表明点M有负源,即流体是由点M周围向周围扩散;表明点M无源.向点M汇集;高斯公式可写成下面由散度的表达式引进一个记号

其中,称为哈密尔顿算子.

例4求向量场解设在点12.7Stokes公式

环流量与旋度12.7.1Stokes公式规定曲面的正侧与其边界闭曲线的正向遵右手法则大拇指的指向应与正侧的法方向相同.即当右手的四指依的正方向绕行时,设Σ是以分段光滑曲线Γ为边界曲线的定向曲面,从右手规则,定理(Stokes公式)

上具有一阶连续偏导数,则设Σ是光滑的定向曲面,Σ的正向边界Γ为分段光滑的闭曲线,将三阶行列式按第一行展开便得到Stokes公式.

为了便于记忆,斯托克斯公式可写成根据两类曲面积分的关系,斯托克斯公式可写成Γ与Σ的方向遵从右手规则.为有向曲面Σ的单位法向量,Stokes公式的实质

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.因此斯托克斯公式是格林当Σ为

xOy坐标面上的平面区域时,斯托克斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广.解1由Stokes公式,有例1计算曲线积分其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.由对称性解2由Stokes公式,有定义1的环流量.12.7.2环流量与旋度设向量场其中

处的单位切向量.等式右端的曲面积分可解释为向量

由Stokes公式,设Σ是以有向闭曲线Γ为边界的有向曲面,Γ与Σ的方向符合右手规则.穿过有向曲面Σ的通量.定义2设向量场的三个分量函数P、Q、R具有一阶连续偏导数,称向量为向量场的旋度.记作即利用Hamilton算子,旋度可表示为其中,一般地,称旋度为零的向量场为无旋场;Stokes公式的向量形式这里表示曲面Σ上任意点的单位法向量.称曲线积分与路径无关的向量场为保守场.Stokes公式的物理意义是:

解例2求向量场处的旋度.若f关于变量z是奇函数,即则若f关于变量z是偶函数,即则曲面积分习题课补充:第一型曲面积分的对称性质1.设积分曲面

关于xOy坐标面对称.为

在xOy坐标面的上半部区域.若f关于变量x是奇函数,即则若f关于变量x是偶函数,即则2.设积分曲面

关于yOz坐标面对称.为

在yOz坐标面的前半部区域.类似地,若f关于变量y是奇函数,即则若f关于变量y是偶函数,即则3.设积分曲面

关于xOz坐标面对称.为

在xOz坐标面的右半部区域.例计算其中

是球面解对称性解例1计算其中

是界于平面之间的圆柱面由对称性解例2计算绕

y轴旋转曲面方程为所成的曲面,它的法向量与

y轴正向的夹角恒大于绕

y轴旋转一周其中取右侧.有1.

计算

解的边界曲面的内侧.取下侧,在xOy面上的投影域练习题则且是所围空间区域其中

是曲面

的上侧.解积分曲面Σ在xOy面上的投影域2.

设内的部分,求曲面积分积分曲面解设由点到平面的距离公式,得练习设求得由故补充:第一型曲线积分的对称性质1.设积分曲线

L关于y轴对称.则曲线积分习题课若f关于变量

x是奇函数,即若f关于变量

x是偶函数,即L1是曲线L落在y轴一侧的部分.则2.设积分曲线

L关于

x轴对称.则若f关于变量

y是奇函数,即若f关于变量

y是偶函数,即L1是曲线L落在x

轴一侧的部分.则类似地,例计算其中L是圆周解由对称性,故解1圆的参数方程为例1计算