江西省吉安市阳明中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试卷（原卷版+解析版）

阳明中学2024-2025学年度下学期第一次段考高二数学试卷考试范围：选必一第六、七章，选必二等比数列通项公式；考试时间：120分钟；总分：150分命题人：刘靖审题人：肖龙武备课组牵头人：刘靖第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知随机变量，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.72.在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A. B. C. D.3.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用/万元4235销售额/万元49263954根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（）A9.1万元 B.9.2万元C.67.7万元 D.65.5万元4.设为等差数列的前项和，已知，则（）A.12 B.14 C.16 D.185.已知随机变量，则（）A21 B.20 C.11 D.106.设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（）.A.， B.与均为的最大值C. D.7.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（）A.211 B.210 C.11 D.98.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分.部分选对得部分分，选错不给分）9.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知在正项等比数列中，，，则（）A.的公比为2 B.的通项公式为C. D.数列为递增数列11.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A. B.使取最大值的n值有2个C.使得成立的n的最大值为23 D.第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________.13.某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是______．14.已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．四、解答题（5小题，共77分）15.已知数列的前项和公式为（1）求的最小值及对应的的值；（2）求数列的通项公式.16.小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：第x天1234567销售额y（万元）1.416222.433.95.1（1）求样本的相关系数（精确到0.01）；（2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）．附：①相关系数；②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；③，，．17.记等差数列的前n项和为，，．（1）证明：数列是等差数列．（2）若数列满足，且，求的通项公式．18.某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.（1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（2）若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望.19.设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）求中最大值和最小值；（3）求的前项和．

阳明中学2024-2025学年度下学期第一次段考高二数学试卷考试范围：选必一第六、七章，选必二等比数列通项公式；考试时间：120分钟；总分：150分命题人：刘靖审题人：肖龙武备课组牵头人：刘靖第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知随机变量，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.7【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质求解即可．【详解】由已知，，则，故选：D2.在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前和公式及等差数列的性质知的公差为的等差数列，根据条件得到，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，由等差数列的性质可知是公差为的等差数列，又，所以，解得，则，故选：D.3.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用/万元4235销售额/万元49263954根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（）A.9.1万元 B.9.2万元C.67.7万元 D.65.5万元【答案】D【解析】【分析】线性回归方程一定过样本中心，得到线性回归方程，然后带值求结果.【详解】，，∵线性归回方程经过样本中心，∴，∴，∴，当时，，故选：D.4.设为等差数列的前项和，已知，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B5.已知随机变量，则（）A.21 B.20 C.11 D.10【答案】D【解析】【分析】根据二项分布的性质计算方差，再利用方差性质即可得解.【详解】由得，，所以.故选：D．6.设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（）.A.， B.与均为的最大值C. D.【答案】B【解析】【分析】由等差中项性质与等差数列前项和公式即可求解.【详解】依题意，因为，，所以，所以CD正确；由，易得，所以，即，由，得，所以，所以A正确；对于B：因为，所以，因此，与不可能同为的最大值.故选：B.7.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（）A.211 B.210 C.11 D.9【答案】C【解析】【分析】设出等比数列公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案.【详解】设等比数列公比为，由，得，即，故.故选：C.8.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，由，可得，然后根据超几何分布的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知均服从超几何分布，且，由，得，所以，因为,,,所以,故选：B二、多选题（每小题6分，共18分.部分选对得部分分，选错不给分）9.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解.【详解】由题意可知，，所以，，，故选：AB10.已知在正项等比数列中，，，则（）A.的公比为2 B.的通项公式为C. D.数列为递增数列【答案】AC【解析】【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D.【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正确，B错误；对于D，，则数列为递减数列，D错误．故选：AC．11.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A. B.使取最大值的n值有2个C.使得成立的n的最大值为23 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的前n项和求出数列通项，再逐项分析、计算判断得解.【详解】对于A，数列的前n项和为，当时，，当时，，满足，所以数列的通项公式为，A正确；对于B，，当或时，且最大，B正确；对于C，由，得，解得，而，，C错误；对于D，由，得，则，D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列性质得到【详解】由等差数列性质得故答案为：13.某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师，则，，而设女数学教师被选到的概率是，由条件概率公式得．故答案为：.14.已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．【答案】##【解析】【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可.【详解】，①当时，，②①-②得；当时，，此时仍然成立，．当时，；当时，，当时，上式也成立，故．由于，设，则，．故答案为：四、解答题（5小题，共77分）15.已知数列的前项和公式为（1）求的最小值及对应的的值；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）最小值为，当或时；（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；（2）利用即可求出通项公式.小问1详解】，∴当或8时最小，最小值为．【小问2详解】，∴当时，．当时，．∵也适合，．16.小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：第x天1234567销售额y（万元）1.41.62.22.433.95.1（1）求样本的相关系数（精确到0.01）；（2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）．附：①相关系数；②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；③，，．【答案】（1）0.96（2），万元【解析】【分析】（1）由题意，求出，，代入公式计算即可得到求样本的相关系数；（2）由题意，求出所以，，进而求得，得到回归方程，再代入计算即可.【小问1详解】由题意，得，，所以，所以样本的相关系数约为0.96．小问2详解】因为，，所以，又，，所以，所以回归方程为，当时，，所以预测第8天的销售额为万元．17.记等差数列的前n项和为，，．（1）证明：数列是等差数列．（2）若数列满足，且，求的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，将条件转化为的方程，解方程求，结合求和公式求，再根据等差数列定义证明结论；（2）由（1）利用累加法求的通项公式.【小问1详解】证明：设等差数列的公差为d，又，，解得，，所以，，所以．因为，所以，所以数列是等差数列．【小问2详解】，又，所以，又当时，，则．又也满足上式，所以的通项公式为．18.某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.（1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（2）若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）应用全概率公式计算求解即可；（2）先根据对立事件求概率，再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可.【小问1详解】设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”，，表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”，，表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则由已知，所求的概率为.【小问2详解】依题意有：随机变量的可能取值为，由（1）知一次抽检后，设备需要调整的概率为，依题意知，则，故的分布列为：01230.7290.2430.0270.001所以：.19.设是公差不为零的等差数列，是的前项