四川省泸州市纳溪区纳溪中学集团校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

泸州市纳溪中学集团校2024—2025学年度上期七年级学业水平测试数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（共36分）1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A.点数的和为1 B.点数的和为5 C.点数的和大于12 D.点数的和小于134.已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A.6 B.5 C.4 D.35.某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A.众数是80 B.方差是25 C.平均数是80 D.中位数是756.若关于的方程有两个实数根，则应满足（）A. B. C.且 D.且7.如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（）A. B. C. D.8.某超市1月份营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为（）A. B.C. D.9.如图，为的直径，弦交于点，，，，则（）A. B. C.2 D.110.在同一坐标系中，抛物线与有相同的（）A.开口方向 B.形状 C.对称轴 D.顶点11.如图，在中，，，，的中点为．将绕点顺时针旋转任意一个角度得到，的中点为，连接．在旋转过程中，的最大值是（）A B.2 C. D.312.如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．⑤若点在二次函数图象上，则，其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第II卷（非选择题）二、填空题（共12分）13.直角坐标系中，点关于坐标原点成中心对称的点的坐标是___________．14.已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为_________．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转得到点，则的值为___________．16.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为_____．三、解答题（共72分）17.计算：18.化简：．19.如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．20.为了激发学生对中国古诗词学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图：（2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？（3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．21.某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克，销售单价每涨元，月销售量就减少5千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？（3）当售价为多少时，销售利润最大？22.已知关于的方程．（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．23.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)24.如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，．（1）求证：；（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后抛物线与原抛物线相交于点，①求点的坐标；②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

泸州市纳溪中学集团校2024—2025学年度上期七年级学业水平测试数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（共36分）1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；选项是中心对称图形，故本选项符合题意；选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：．2.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：图象的顶点坐标是，故选：D．3.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A.点数的和为1 B.点数的和为5 C.点数的和大于12 D.点数的和小于13【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了随机事件的判断，根据投掷两枚骰子得到数字和的范围判断即可．【详解】投掷两枚质地均匀的骰子点数之和的范围在之间（包括2，12），可知点数的和为5是随机事件．点数的和为1，点数的和大于12是不可能事件，点数的和小于13是必然事件，故B正确．故选：B．4.已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断．【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，∴⊙O与直线l相离．∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∵⊙O直径为10cm，∴⊙O半径为5cm，∴圆心O到直线l的距离大于5cm．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键．5.某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A.众数是80 B.方差是25 C.平均数是80 D.中位数是75【答案】D【解析】【分析】根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．【详解】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：，正确，不符合题意；C、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6=80，正确，不符合题意；

D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．

故选：D．【点睛】本题考查了众数、平均数、方差与中位数的意义．熟记定义是解题的关键．6.若关于的方程有两个实数根，则应满足（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由方程为一元二次方程，得,再结合根的判别式：当时，方程有实数根，即可求解,熟练地掌握当时，方程有实数根，当时，方程无实数根是解题的关键．【详解】解：关于的方程有两个实数根，，，解得：，且，故选：．7.如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是量角器的使用，圆周角定理的应用，本题先连接，，再求解，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：如图，连接，，依题意，得，∴，故选：C．8.某超市1月份的营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设每月的平均增长率为x，根据“前三月份的营业额共为110万元”，即可得出方程．【详解】解：设每月的平均增长率为x，∴由题意可得：

故选择：D【点睛】此题考查了平均增长率问题，熟练掌握解题方法是关键．另外注意审清题目“前3个月的营业额共110万元”防止出错．9.如图，为的直径，弦交于点，，，，则（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形．根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵为的直径，∴，∵，，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∴．故选：D10.在同一坐标系中，抛物线与有相同的（）A.开口方向 B.形状 C.对称轴 D.顶点【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，先写出两个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向，即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向上；

抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向下；∴A、D选项不合题意；C选项符合题意；∵，∴两个抛物线形状不同，故B选项不合题意；故选：C．11.如图，在中，，，，的中点为．将绕点顺时针旋转任意一个角度得到，的中点为，连接．在旋转过程中，的最大值是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再求出连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出三点共线时有最大值，再代入数据进行计算即可得解．【详解】解：中点为，连接绕点顺时针旋转任意一个角度得到的中点为，由三角形的三边关系得，三点共线时有最大值.此时故选D【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．12.如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．⑤若点在二次函数图象上，则，其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点．根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可．【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左侧，∴，，∴，∴，故①正确；∵是关于二次函数对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线，∵，∴，故②正确；∵图象与x轴交于点，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，当时，，∴，∴，即，∴，故④不正确；观察图象得：当时，函数取得最大值，故，，∴，故⑤错误；故选：C第II卷（非选择题）二、填空题（共12分）13.直角坐标系中，点关于坐标原点成中心对称的点的坐标是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，故答案为：．14.已知：，是关于方程的两个实数根，，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系、成为解题的关键．根据根与系数的关系可得，根据题意可知，即，然后将代入得到关于a的一元二次方程求解，再检验即可得解．【详解】解∶∵，是关于的方程的两个实数根，∴，∵，即，∴，整理得：，解得：或5．当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意；故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转得到点，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变即可得到答案．【详解】解：由题意可得，旋转后如图所示，∵四边形是由四边形绕O旋转得到，∴四边形≌四边形，∴，，∴，，∴，故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质：旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变．16.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为_____．【答案】或或【解析】【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可．【详解】解：当时，，∴点A的坐标为，当时，，解得：，∴点B的坐标为，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得，∴，∴，∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，以和为腰，为底，则，∴，∴P的坐标为；以和为腰，为底，设，∴，在中，由勾股定理得，，即，解得：，∴，∴P的坐标为，以和为腰，为底，点O是的中点，∴，∴P的坐标为，综上所述，P坐标为或或．故答案为：或或．【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题（共72分）17.计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，进行计算即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．18.化简：．【答案】【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得．【详解】解：，，，．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算法则和运算顺序是解答本题的关键．19.如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．【答案】（1）旋转角的度数为90°；（2）AE与BD互相垂直，理由见详解．【解析】【分析】（1）由题意易得BC=AC，则有∠CBA=∠CAB=45°，进而问题可求解；（2）由（1）可得∠DBC=∠EAC，如图∠1=∠2，∠2+∠DBC=90°，进而问题可求解．【详解】解：（1）由将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到可得：，∴BC=AC，∵，∴∠CBA=∠CAB=45°，∴∠ACB=90°，即旋转角度为对应边的夹角，故旋转角为∠ACB=90°；（2）AE⊥BD，理由如下：如图所示，由（1）可得：，∴∠DBC=∠EAC，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠DBC=90°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=90°，∴BD⊥AE．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20.为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图：（2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？（3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）400，60，D，（2）估计该校成绩优秀的学生有1680人（3）【解析】【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图；（2）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量；（3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案．【小问1详解】解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）；∴B组的人数为（名），即；∴E组的人数为：（人），补全学生成绩频数分布直方图如下：【小问2详解】解：（人），答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；【小问3详解】解：画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键．21.某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克，销售单价每涨元，月销售量就减少5千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？（3）当售价为多少时，销售利润最大？【答案】（1）千克，元（2）元（3）元【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程和函数解析式成为解题的关键．（1）根据题意，可知销售价为55元时，销售单价上涨了5元，那么月销售量将较少50千克，然后再计算出月销售量和月销售利润；（2）设销售单价应定为每千克元，则月销售量为，而每千克的销售利润为元，根据题意列出方程求解，然后再检验是否符合题意即可；（3）设月销售利润为，销售单价定为每千克元，然后根据利润（售价进价）销量，列出关于的二次函数，然后利用二次函数的性质计算出最大值．【小问1详解】解：销售单价每涨0.5元，月销售量就减少5千克当销售价定为每千克55元时，销售单价上涨了5元，那么月销售量将较少50千克，月销售量为：月利润为：元故月销售量为，月销售利润为6750元；【小问2详解】解：设销售单价应定为每千克元，则月销售量为，而每千克的销售利润为元根据题意得，整理得，解得：，当销售单价为每千克60元时，月销售量为（千克），月销售成本为（元），不符合题意；当销售单价为每千克80元时，月销售量为（千克），月销售成本为（元），符合题意；答：在月销售成本不能超过10000元时，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克80元．【小问3详解】解：设月销售利润为，销售单价定为每千克元，由（2）可得，当时，取得最大值，答：当售价定为每千克70元时，销售利润最大．22.已知关于的方程．（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．【小问1详解】解：∵，∴方程总有实数根；【小问2详解】解：由根与系数的关系可得，，，∴．23.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，在中，利用含30°角的直角三角形性质解得GB、AG的长，在中，由正切定义解得CF的长，最后根据线段的和差解题．【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足点在中，在中，答：安装师傅应将支架固定在离地面高的位置．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、余弦、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24.如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，．（1）求证：；（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】本题考查圆的切线，扇形面积的计算，相似三角形，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用．（