高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、函数对于任意实数满足：，若，则【】A、B、C、2D、20132、设等差数列与等比数列满足：，则下述四个结论：①；②；③；④中正确的个数是【】A、0个B、1个C、2个D、3个3、已知二面角的平面角为，，，、为垂足，，，设、到二面角的棱的距离分别为、，当变化时，点的轨迹为下列图形中的【】A、 B、 C、 D、4、从上任取一个数，从上任取一个数，则使得的概率是【】A、B、C、D、5、当平面上的点的坐标、都为有理数时，该点称为有理点，设是给定的正实数，则圆上的有理点【】A、最多有一个 B、最多有两个C、最多有四个 D、可以有无穷多个6、△ABC中，，,，M是AB的中点，将△ACM沿CM翻折，使A、B两点间的距离为，则三棱锥的体积等于【】A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知函数，记，，则．8、已知是虚数单位，，把复数的共轭复数记为，则=．9、实数满足，则的最大值是．10、关于曲线C：的下列命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线对称；③曲线C所围成的面积小于；④曲线C所围成的面积大于，其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）11、设是小于100的正整数，且满足为整数，则符合条件的所有正整数的和为．12、已知函数，对任意，有恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设实数，已知函数的最小正周期是．求在上的最大值与最小值．14、已知函数，数列满足：，，记．(I)求证：数列成等比数列，并求数列的通项公式；（II）记，求数列的前项和公式．15、已知点，P、Q为椭圆上异于点B的任意两点，且．（I）若点B在线段PQ上的射影为点M，求M的轨迹方程；（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．16、若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（Ｉ）若，求函数的单调递增区间；（II）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；（III）求证：不存在实数组，使得互异的两个极值点皆为不动点．全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、A2、B3、C4、C5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、428、29、10、①④11、63512、三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知函数的最小正周期是．求在上的最大值与最小值．解：，（5分）由条件知，则．于是，（10分）当时，，故，即．（15分）所以，在时取最大值，在时取最小值是．（20分）14、已知函数，数列满足：，.，记．(I)求证：数列成等比数列，并求数列的通项公式；（II）记，求数列的前项和公式．解：（1）（5分）于是，即，所以数列成等比数列．又，于是，所以．数列的通项公式为．（10分）（II）由（I）知，，故，，，于是，（15分）即，所以，数列的前项和公式.（20分）15、已知点，P、Q为椭圆上异于点B的任意两点，且，（I）若点B在线段PQ上的射影为M，求M的轨迹方程；（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．解：（I）设、，PQ的方程为，与椭圆方程联立消去得：，所以，，（5分）由得，即，从而可得化简得，解得（舍去）或．设，因为，所以，代入PQ方程得，整理得，由题意知轨迹不经过点．所以，动点的轨迹方程为：．（10分）（II）PQ方程为，所以，所以PQ中垂线方程为，（15分）其在x轴上的截距为，所以,．（20分）16、若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（I）若，求函数的单调递增区间；（II）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；（III）求证：不存在实数组，使得互异的两个极值点皆为不动点．解：（I）若，，故．当时，显然在上单增；当时，由知或．所以，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，．（5分）（II）由条件知，于是，即，解得从而．（10分）（III）假设存在一组实数满足条件．由条件知，因为的两个不同极值点，则，即．①设的两个不同极值点为，其中，则是方程的两实根，所以．又由是的不动点，则是方程的两根，设其另一个根为．故即故有于是，从而．②又，即