7.6 培优提升 应用万有引力定律解决“三个”热点问题（学生版）2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第7.6节培优提升应用万有引力定律解决“三个”热点问题学习目标1.理解卫星发射、变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。2.理解天体运动中的追及与相遇问题。3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。提升1卫星的发射、变轨和对接1.变轨运行分析如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？2.卫星的变轨发射问题(1)卫星的发射过程如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星发射至近地圆轨道1，当到达赤道上空时，第二、三级火箭在Q点点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，当到达远地点P时，卫星启动发动机，然后进入圆轨道3做圆周运动。(2)变轨运行各量间的关系卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与在轨道2上运动到Q点的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运行到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为卫星在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的。3.对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接：如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站完成对接。例1(2024·北京市第十五中学南口学校期中)如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船()A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝eq\f(F万,m)＝Geq\f(M,r2)判断。训练1(2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则()A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大训练2据中国国家航天局探月与航天工程中心消息，中国探月工程四期嫦娥七号任务将实现在月球南极着陆，开展极区环境与资源勘查。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。则嫦娥七号（）A．在地月转移轨道上运行的最大速度大于11.2km/sB．在地月转移轨道上经过A点需要点火加速才能完成变轨C．在轨道Ⅱ上经过B点时的速度比经过C点时的小D．在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的小提升2卫星的追及与相遇对于卫星的追及、相遇问题一般存在下列两种情况(1)卫星对接，最常见的是由低轨道向高轨道运行的卫星对接。(2)绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。①当两卫星在天体同侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。②当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。例2设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同。在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)()A.2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(gR2,r3))－ω0)) B.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)C.2πeq\r(\f(r3,gR2)) D.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)天体追及问题的解题技巧处理天体追及问题时，首先判断谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍、相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍求解。训练1如图甲所示，A、B两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距Δr随时间t的变化图像，t＝0时刻A、B两颗卫星相距最近。已知卫星A的周期TA＝eq\f(7,8)t0，则A、B两颗卫星运行轨道半径之比为()A.1∶2 B.1∶4C.1∶7 D.1∶8训练2我国北斗卫星导航系统（BDS）已经为全球提供定位、导航、授时、5G传输等服务。如题图所示，A、B为北斗系统中轨道在同一平面内，均沿顺时针方向绕行的两颗工作卫星。某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为、，A、B卫星的运行半径分别为r、2r。则两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为（）A． B． C． D．提升3“双星”和“多星”模型1.“双星”模型(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。(2)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。(3)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。2.“多星”模型三星模型四星模型(1)运动特点转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。(2)受力特点圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供做圆周运动所需的向心力。例3(2024·天津南开高一期末)“双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是()A.A、B两星球做圆周运动的半径之比为m1∶m2B.A、B两星球做圆周运动的角速度之比为m1∶m2C.A星球的轨道半径r1＝eq\f(m1,m1＋m2)LD.双星运行的周期T＝2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）))分析双星问题时注意区分两星的轨道半径和两星之间的距离，万有引力提供向心力，万有引力中的距离为两星间距，向心力中的r为轨道半径。训练1(多选)(2024·重庆市杨家坪中学高一期末)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是()A.匀速圆周运动的半径为eq\f(\r(3),3)dB.每个星球的质量为eq\f(4π2d,3GT2)C.每个星球表面的重力加速度大小为eq\f(π2d,T2)D.每个星球的第一宇宙速度大小为eq\f(2πd,T)eq\r(\f(d,3R))训练2科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是，两者相距，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，由以上条件可得该双星系统的角速度大小为。科学家通过光学仪器观测计算得到的角速度大小与角速度有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质。其模型简化为：在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为的暗物质，不考虑其他星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的角速度，则为（）A．1∶1 B． C． D．1∶5基础练习1.(卫星的发射与变轨)(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥三号”的说法正确的是()A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)C.在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大D.“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等2.(卫星的对接)如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接3.(双星模型)(多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则()A.A的质量一定小于B的质量B.A的线速度一定小于B的线速度C.L一定，m越大，T越小D.m一定，L越大，T越小4.2024年4月21日7时45分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若遥感四十二号02星发射过程示意图如图所示，先进入近地圆形轨道I（可认为轨道半径等于地球半径）上做匀速圆周运动，到P点时实施瞬间点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，沿轨道Ⅱ运动到Q时再次实施变轨，进入轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，轨道Ⅲ的半径为3R，卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点，机械能逐渐增大B．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点的最短时间为C．卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ，需在Q处点火减速D．地球的平均密度为5．我国太空探索走向深空。假设发射的一颗卫星在地球赤道上方距地面高处绕地球做圆周运动，卫星的环绕方向与地球自转方向相反，如图所示。已知地球的半径，地球表面重力加速度取，则在赤道上的某观测站不能直接接收到卫星信号的时间间隔约为（

）A．1.1小时 B．2.3小时 C．4小时 D．12小时6．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是（）A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为C．四颗星表面的重力加速度均为GD．四颗星的周期均为对点题组练题组一卫星的发射、变轨和对接1.嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是()A.嫦娥五号的发射速度大于11.2km/sB.沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2C.沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期D.探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器()A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大3.(多选)“嫦娥四号”月球探测器首次在月球背面软着陆，如图所示，“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入环月椭圆形轨道Ⅱ，由近月点Q落月，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是()A.沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道ⅡB.沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期C.沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度D.若已知“嫦娥四号”绕轨道Ⅰ的半径、运动周期和引力常量，可算出月球的密度题组二卫星的追及与相遇4.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为()A.2021年8月 B.2022年7月C.2023年8月 D.2024年7月5.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0，某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远时所经历的最短时间为()A.eq\f(T0,2（\r(k3)＋1）) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T0,2（\r(k3)－1）) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)题组三“双星”和“多星”模型6.双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是()A.质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大B.质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大C.质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大D.质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小7.中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXIJ1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的()A.向心力大小之比为16∶1B.周期之比为16∶1C.角速度大小之比为1∶1D.加速度大小之比为1∶1综合提升练8.(多选)(2024·山师大附中高一月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是()A.C加速可追上同一轨道上的AB.经过时间eq\f(T1T2,2（T1－T2）)，A、B首次相距最远C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度D.在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积9.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则()A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期为4πReq\r(\f(R,5GM))C.三角形三星系统中星体间的距离为L＝eq\r(3)RD.三角形三星系统的线速度大小为eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))10.（多选）“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。假设在太空中有星球A、B组成的双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，如图所示，两星球的间距为，公转周期为。为探索该双星系统，向星球B发射一颗人造卫星C，C绕B运行的周期为，轨道半径为，忽略C的引力对双星系统的影响，万有引力常量为。则以下说法正确的是（）A．星球A、B的质量之和为B．星球A做圆周运动的半径为C．星球B做圆周运动的半径为D．若A也有一颗周期为的卫星，则其轨道半径一定大于11．如图所示，卫星a、b沿圆形轨道绕地球运行，a是极地轨道卫星，卫星b轨道平面与地球赤道平面重合，此时两卫星恰好经过地球赤道上P点的正上方。已知地球自转周期为T，卫星a、b绕地心做匀速圆周运动的周期分别为、，则（）A．卫星a、b的线速度之比为B．卫星a、b的向心加速度之比为C．同一物体在卫星a、b中对支持物的压力之比为D．卫星a、b下一次