6.4 向心加速度（学生版）2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第6.4节向心加速度学习目标1.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。2.理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行计算。3.能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式。知识点一匀速圆周运动的加速度方向1.游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向向哪？2.用细线拉住小球，让小球在拉力作用下在水平面做匀速圆周运动，小球受几个力、合力方向如何？产生的加速度指向哪个方向？1.匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是运动，必定有。2.向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向，我们把它叫作向心加速度。3.向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是曲线运动。【思考】有关圆周运动，请思考下列问题：(1)向心加速度的作用是什么？(2)向心加速度方向变化吗？汽车匀速拐弯时的运动性质是什么？(3)圆周运动的加速度一定指向圆心吗？例1(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的(1)圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动，只有匀速圆周运动加速度的方向始终指向圆心。(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力都是指向圆心，是变力，向心加速度指向圆心，是变加速曲线运动。训练1如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心训练2如图所示，小球P在细绳的拉力作用下，在光滑的水平面上绕O点做匀速圆周运动。关于小球P的向心加速度的方向，下列说法正确的是（

）A．沿半径指向圆心O B．沿半径背离圆心向外C．沿圆弧切线方向 D．竖直向上知识点二匀速圆周运动的加速度大小1.向心加速度几种表达式(1)对应线速度：an＝。(2)对应角速度：an＝。(3)对应周期：an＝。(4)对应转速：an＝。(5)推导公式an＝ωv。2.向心加速度an与半径r的关系图像如图所示【思考】如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？(3)向心加速度有时与半径r成正比，有时与半径r成反比，是否相矛盾？例2如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的eq\f(1,3)。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？解决不同质点的圆周运动问题，需要关注以下几点：(1)看清是皮带传动还是同轴转动。(2)明确轨道半径，找线速度、角速度之间的联系。(3)根据问题，恰当的选取向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝ωv解决问题。训练1“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点的向心加速度大小约为()A.10m/s2 B.100m/s2C.1000m/s2 D.10000m/s2训练2如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？知识点三圆周运动的动力学问题分析例3游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r。秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示。已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计。重力加速度为g，不计空气阻力，求：(1)钢丝绳所受拉力F的大小；(2)秋千匀速转动的角速度ω；(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？(只要答对一种即可)解决圆周运动的动力学问题的解题步骤如下：(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。(2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。(3)找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。(4)利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r。(5)解方程求出待求物理量。训练1如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一个质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。则转台转动的角速度大小为()A.eq\r(\f(R,2g)) B.eq\r(\f(2R,g))C.eq\r(\f(g,2R)) D.eq\r(\f(2g,R))训练2A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心O在转轴上，两环和转轴在同一竖直面内，a、b两个小球分别套在A、B两个圆环上，当两环绕竖直轴匀速转动后，a、b两球在环上的位置可能是（）A． B．C． D．随堂对点自测1.(向心加速度的方向)(多选)小球做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能正确的是()2.(向心加速度的大小)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为()A.1∶4 B.4∶1C.4∶9 D.9∶43.(圆周运动的动力学问题)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是()A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大4.如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。质量分别为m1、m2的妹妹和哥哥拉住穿过圆环的细绳两端A、B，绕C在空中做圆锥摆运动，运动的周期相等，AC、BC长分别为L1、L2。不计空气阻力，人可视为质点，则下列判断正确的是（）A．若L1>L2，哥哥运动的轨迹平面更高B．若L1>L2，哥哥运动的轨迹平面更低C．一定有m1L1=m2L2D．一定有m12L1=m22L25．骑自行车是一种绿色环保的出行方式。如图所示是某款自行车传动结构的示意图，该自行车的大齿轮、小齿轮与后轮的半径之比为3:1:7，它们的边缘分别有A、B、C三个点，则下列说法正确的是A．A、B两点的周期之比为1:3B．A、C两点的角速度之比为3:7C．B、C两点的线速度大小之比为1:7D．A、C两点的向心加速度大小之比为1:7对点题组练题组一匀速圆周运动的加速度的方向1.(多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是()A.向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快B.做曲线运动的物体，一定存在向心加速度C.由an＝eq\f(v2,r)可知，向心加速度一定与轨道半径成反比D.物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小不能用an＝eq\f(v2,r)来计算2.(2024·北京石景山高一统考)一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动，如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上，Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是()A.P、Q的线速度大小相等B.P、M的角速度大小相等C.P、Q的向心加速度大小相等D.P、M的向心加速度方向均指向O题组二向心加速度大小的计算3.(2024·湖南岳阳市高一期末)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，A、B、C三点分别位于两轮上且满足关系rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是()A.aA＝aB＝aC B.aC>aA>aBC.aC<aA<aB D.aC＝aA>aB4.某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为()A.eq\f(req\o\al(2,3)ω2,req\o\al(2,1)) B.eq\f(req\o\al(2,1)ω2,r3)C.eq\f(r1r2ω2,r3) D.eq\f(req\o\al(3,3)ω2,req\o\al(2,2))题组三匀速圆周运动的动力学问题5.(2024·山东聊城市高一期中)质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则空气对飞机的作用力大小为()A.eq\f(mv2,R) B.meq\r(g2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,R)))\s\up12(2))C.mg D.eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,R)))\s\up12(2)－g2)6.(多选)(2024·山东聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8kg，绳长为0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的是()A.绳的拉力大小为10NB.配重的向心加速度大小为7.5m/s2C.配重的角速度大小为eq\r(15)rad/sD.配重的角速度大小为5rad/s综合提升练7.(多选)(2024·山东烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是()A.v1∶v2＝1∶1 B.v1∶v2＝eq\r(2)∶1C.a1∶a2＝2∶1 D.a1∶a2＝eq\r(2)∶18.如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍。A、B分别为大轮和小轮边缘上的点。在压路机前进时()A.A、B两点的转速之比为nA：nB＝1∶1B.A、B两点的线速度之比为vA：vB＝3∶2C.A、B两点的角速度之比为ωA：ωB＝3∶2D.A、B两点的向心加速度之比为aA：aB＝2∶39.(2024·山西太原高一下月考)如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度的平方ω2的关系图像正确的是()10.(2024·江苏江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：(1)衣服对桶壁的压力大小；(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。11.（多选）如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则（）A．A与B的线速度大小之比为2∶1B．A与B的向心加速度大小之比为2∶1C．A与B的向心力大小之比为2∶1D．在转盘转速增加时，A与B一起滑动12．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时对于纽扣上距离中心1cm处的点，下列说法正确的是（）A．周期为0.2s B．角速度约为30rad/sC．线速度约为3.14m/s D．向心加速度大小约100m/s213．（多选）如图所示，物体A、B放在水平圆盘的一个直径上，用不可伸长的轻绳相连，绳子刚好伸直，圆盘可绕竖直轴转动，A、B到轴的距离分别为2r和r，两物块的质量关系为，两物块与圆盘面的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳能承受的拉力足够大，当圆盘以不同角速度绕轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．当时，物体B受到的摩擦力为0B．当时，物体A受到的摩擦力为0C．随着转动角速度增大，最终A沿圆盘