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文档简介
第五章图形的轴对称5.1轴对称及其性质第3课时角平分线的性质1.从轴对称的性质中,提炼出里面的数学思想,探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法.2.由具体的客观事实,转化成抽象的猜想证明,让学生感悟数学思维解决问题的方法.3.经历猜想、验证、归纳的学习过程,体会归纳的数学思想方法,逐步养成用数学语言表达与交流的习惯.重点:探索并理解角的平分线的性质难点:利用轴对称的性质,探索并掌握角平分线的性质一、导入新课知识链接生活中哪些地方有角的身影?请举例说明.墙角,桌角等创设情境——见配套课件二、合作探究探究一:角的轴对称性角(如图5-17、5-18,教材P130)是生活中常见的图形.角是轴对称图形吗?如果是,请指出它的对称轴.学生讨论“角是不是轴对称图形”,思考怎样验证角的轴对称性.要点归纳:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.强调:角平分线是一条射线,而角的对称轴是角平分线所在的直线.探究二:角平分线的性质思考1:如图5-19(教材P131),OP是∠AOB的平分线,点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′,连接CD和CD′.(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由.CD=CD′,因为∠AOB是轴对称图形,D和D′是对应点,所以CD和CD′是以OP所在直线为对称轴的一组对应线段,所以CD=CD′.(2)特别地,当CD⊥OA时(如图5-20,教材P131),CD′与OB有怎样的位置关系?为什么?此时,线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?CD′⊥OB,因为∠AOB是轴对称图形,D和D′是对应点,所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直线为对称轴的一组对应角.所以∠ODC=∠OD′C.因为CD⊥OA,即∠ODC=90°,所以∠OD′C=∠ODC=90°.所以CD′⊥OB.线段CD和CD′之间还有(1)中的关系.得到结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证:你能验证这个结论吗?已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.试说明:PD=PE.因为PD⊥OA,PE⊥OB,所以∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO=∠PEO=90°,,∠DOP=∠EOP,,OP=OP,))所以△PDO≌△PEO(AAS).所以PD=PE.要点归纳:性质:角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件:①点在角的平分线上;②到角两边的距离(垂直).性质的作用:证明线段相等.几何语言:因为OC是∠AOB的平分线,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.探究三:利用尺规作角平分线思考2:如图5-21(教材P131),已知∠AOB,如何作出它的平分线?假设∠AOB的平分线已作出,那么(1)这条射线有什么特征?(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流.注意:需要确定的点是角对称轴上的点,因此应当从角两边进行“对称”的操作.如图5-22(教材P132),已知∠AOB,请用尺规作∠AOB的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE(如图5-22,教材P132).2.分别以点D和点E为圆心,以大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点C.3.作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线.思考3:请你说说这样作图的道理.角平分线的作图依据是“SSS”比较:过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线,这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流.如图所示,在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为E.DE与DC相等吗?为什么?DE与DC相等.因为射线BD是∠ABC的平分线,点D到角两边BA,BC的距离分别是线段DE,DC的长,所以DE=DC.变式训练:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14.(1)求点P到AB的距离;(2)求△APB的面积.存在一条垂线段——构造应用.(1)如图,过P作PD⊥AB于点D,因为AP平分∠BAC,PD⊥AB,PC⊥AC,所以PD=PC=4.(2)S△APB=eq\f(1,2)AB·PD=28.反思:回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程,你运用了哪些方法?积累了哪些经验?三、当堂检测1.如图,∠C=90°,∠BAD=∠CAD,若BC=11cm,BD=7cm,则点D到AB的距离为4cm.INCLUDEPICTURE"22CBS7SJC19.TIF"第1题图第2题图2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为(A)A.2B.3C.4D.无法确定(其他课堂拓展题,见配套PPT)四、课堂小结【板书设计】eq\x(角平分线)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(尺规作图)→\x(属于基本作图,必须熟练掌握),\x(性质)→一个点:角平分线上的点;,二距离:点到角两边的距离;,两相等:两条垂线段(距离)相等,\x(\a\al(辅助线,添加))→过角平分线上一点向两边
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