核心素养目标2025春新教材北师大版数学七年级下册5.2.3 角平分线的性质教案

第五章图形的轴对称5.1轴对称及其性质第3课时角平分线的性质1．从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法．2．由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法．3．经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯．重点：探索并理解角的平分线的性质难点：利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质一、导入新课知识链接生活中哪些地方有角的身影？请举例说明．墙角，桌角等创设情境——见配套课件二、合作探究探究一：角的轴对称性角(如图5－17、5－18，教材P130)是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴．学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性．要点归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．探究二：角平分线的性质思考1：如图5－19(教材P131)，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′.(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．CD＝CD′，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以CD和CD′是以OP所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD＝CD′.(2)特别地，当CD⊥OA时(如图5－20，教材P131)，CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？CD′⊥OB，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直线为对称轴的一组对应角．所以∠ODC＝∠OD′C.因为CD⊥OA，即∠ODC＝90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB.线段CD和CD′之间还有(1)中的关系．得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证：你能验证这个结论吗？已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.试说明：PD＝PE.因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO＝90°，,∠DOP＝∠EOP，,OP＝OP，))所以△PDO≌△PEO(AAS).所以PD＝PE.要点归纳：性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．应用所具备的条件：①点在角的平分线上；②到角两边的距离(垂直).性质的作用：证明线段相等．几何语言：因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，所以CD＝CE.探究三：利用尺规作角平分线思考2：如图5－21(教材P131)，已知∠AOB，如何作出它的平分线？假设∠AOB的平分线已作出，那么(1)这条射线有什么特征？(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流．注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作．如图5－22(教材P132)，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线．作法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE(如图5－22，教材P132).2．分别以点D和点E为圆心，以大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C.3．作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线．思考3：请你说说这样作图的道理．角平分线的作图依据是“SSS”比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？与同伴进行交流．如图所示，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.DE与DC相等吗？为什么？DE与DC相等．因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长，所以DE＝DC.变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14.(1)求点P到AB的距离；(2)求△APB的面积．存在一条垂线段——构造应用．(1)如图，过P作PD⊥AB于点D，因为AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以PD＝PC＝4.(2)S△APB＝eq\f(1,2)AB·PD＝28.反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？三、当堂检测1．如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为4cm.INCLUDEPICTURE"22CBS7SJC19.TIF"第1题图第2题图2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（A）A．2B．3C．4D．无法确定(其他课堂拓展题，见配套PPT)四、课堂小结【板书设计】eq\x(角平分线)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(尺规作图)→\x(属于基本作图，必须熟练掌握),\x(性质)→一个点：角平分线上的点；,二距离：点到角两边的距离；,两相等：两条垂线段（距离）相等,\x(\a\al(辅助线,添加))→过角平分线上一点向两边