核心素养目标2025春新教材北师大版数学七年级下册1.3.1 平方差公式教案

第一章整式的乘除1.3乘法公式第1课时平方差公式1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；2．通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；3．通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想．重点：理解并掌握平方差公式的推导和应用．难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算．一、导入新课知识链接计算：(x＋1)(y－5)＝xy－5x＋y－5；(x＋1)(x－5)＝x2－5x＋x－5＝x2－4x－5；(x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1．思考积为何从四项变成三项又变为两项？创设情境——见配套课件二、合作探究探究一：平方差公式的认识算一算：(1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)；(3)(x＋5y)(x－5y);(4)(2y＋z)(2y－z).议一议：观察相乘的两个多项式有什么特点？最终结果又有什么特点？小组讨论得出结果．前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解).最终结果有两项，是乘式中两项的平方差，即(相同项)2－(互为相反数的项)2.追问1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？有的积相加为0.追问2：能否描述你们发现的规律？(分别从文字语言和符号语言角度引导)文字语言：两个数的和×这两个数的差＝这两个数的平方差．符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.证一证：代数验证(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.填一填：(a－b)(a＋b)aba2－b2(1＋x)(1－x)1x12－x2(－3＋a)(－3－a)－3a(－3)2－a2(1＋a)(－1＋a)a1a2－12(0.3x－1)(1＋0.3x)0.3x1(0.3x)2－12探究二：平方差公式的几何验证拼一拼：如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．(1)请表示图①中阴影部分的面积；a2－b2.播放PPT——动态展示图形拼接过程(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？长为a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b).证一证：经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗？(a＋b)(a－b)＝a2－b2追问：还有其他的几何方法解释吗？(给几分钟时间，让学生在纸上自己动手画，然后小组展示结果，老师对结果加以点评．)教材P18例1，课件出示，学生独立完成．教材P18例2，课件出示，学生独立完成，老师追问并总结计算中要注意的事项(公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式和多项式；若有不能直接应用公式的，可以先变形再应用).利用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122.(1)103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝10000－9＝9991.(3)118×122＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14400－4＝14396.思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应)三、当堂检测1．计算(x＋2y)(x－2y)的结果是（B）A．x2－2y2B．x2－4y2C．2y2－x2D．4y2－x22．计算(300－1)(300＋1)的结果是（B）A．89998B．89999C．89996D．999913．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如图②所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（A）A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．a(a－b)＝a2－ab4．计算：(1)(x－1)(x＋1)＝x2－1；(2)(m－n)(－m－n)＝n2－m2．5．若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝28．6．计算：(1)(a＋2b)(a－2b)－eq\f(1,2)b(a－8b)；(2)3eq\f(1,6)×2eq\f(5,6).原式＝a2－4b2－eq\f(1,2)ab＋4b2＝a2－eq\f(1,2)ab.原式＝(3＋eq\f(1,6))(3－eq\f(1,6))＝32－(eq\f(1,6))2＝8eq\f(35,36).(其他课堂拓展题，见配套PPT)四、课堂小结【板书设计】本节课的学习在于调动学生的积极性，让学生从被动学习转化为主动学习，使他们在问题情景中发现、探索、总结；经过独立思考，合作交流能证明平方差公式．掌握公式的结构特征，能正确应