约分（专项练习）（含解析）-2024-2025学年五年级数学下册 人教版

约分一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春期末）12和21的最大公因数是（）A．2 B．3 C．12 D．212．（2024秋•皇姑区期末）a和b都是非零自然数，a÷b＝1……1，那么a和b的最大公因数是（）A．1 B．ab C．a D．b3．（2024秋•大东区期末）下面选项中，能约分成45A．1012 B．1015 C．1620 4．（2024秋•宝安区期末）下面哪组数的最大公因数是4？（）A．2和4 B．4和8 C．6和24 D．1和45．（2024秋•金水区期末）下面几个分数，（）能化简成34A．1216 B．1524 C二．填空题（共5小题）6．（2024秋•灞桥区期末）分数1016中，分子与分母的最大公因数是，最小公倍数是，将这个分数化成最简分数是7．（2024秋•金牛区期末）数A＝2×3×11，数B＝3×5×11，那数A与数B的最大公因数是。8．（2024春•槐荫区期末）915约分后是，约分后的分数单位是，它有个这样的分数单位，再加上9．（2024春•慈利县期中）已知a＝5b（a、b均不为0），那么a和b的最大公因数是。10．（2024•茌平区）如果m和n是相邻的两个非零自然数，那么m和n的最大公因数是。三．判断题（共5小题）11．（2024•邵阳）a、b都是非0自然数，且a＝3b。a和b的最大公因数是b。12．（2024春•镇雄县期末）当非零自然数a和b的公因数只有1时，a和b的最小公倍数一定是ab。13．（2024春•信宜市期末）如果自然数a是b的倍数，那么a和b的最大公因数是b．14．（2024春•岳池县期末）将4572约分成分数单位为18的分数，约分结果是58。15．（2024春•顺庆区期末）如果m﹣n＝1（m、n为非零自然数），那么m、n的最大公因数是1。四．计算题（共1小题）16．（2024秋•皇姑区期末）分数化简。【写出化简过程】（1）96（2）38（3）91五．应用题（共4小题）17．（2024春•汝南县期中）新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，爸爸给年年发的红包可能是多少元？18．（2024春•齐河县期中）把一张长120厘米、宽100厘米的长方形裁成大小相等的正方形，纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？19．（2022秋•金水区期末）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？20．（2023春•娄底期末）数学阅读。在我国古代的数学著作《九章算术》中，就介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分，这种方法被后人称为“更相减损术”。试着用这个方法对分数2842，102六．解答题（共2小题）21．（2024春•迁安市期末）求下面各组数的最大公因数。36和6054和7222．（2024•京口区）数学辩论题．观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质．你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论．

约分参考答案与试题解析题号12345答案BACBA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春期末）12和21的最大公因数是（）A．2 B．3 C．12 D．21【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】推理能力．【答案】B【分析】两个数的公有质因数的连成积为两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，较小的数为最大公因数；如果两个数为互质数，最大公因数为1，据此解答。【解答】解：12＝2×2×321＝3×712和21的最大公因数是3。故选：B。【点评】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法。2．（2024秋•皇姑区期末）a和b都是非零自然数，a÷b＝1……1，那么a和b的最大公因数是（）A．1 B．ab C．a D．b【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】运算能力．【答案】A【分析】通过已知除法算式得出a与b的关系，再根据两个数的关系确定它们的最大公因数。【解答】解：a÷b＝1……1，那么a＝1×b+1＝b+1，所以a和b是相邻的两个非0自然数，相邻的两个非0自然数是互质数，互质数的最大公因数是1。所以a和b的最大公因数是1。故选：A。【点评】本题考查了有余数的除法以及最大公因数的求法。3．（2024秋•大东区期末）下面选项中，能约分成45A．1012 B．1015 C．1620 【考点】约分．【专题】综合题；数据分析观念．【答案】C【分析】把一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，即可把这个分数化成最简分数。【解答】解：A.10B.10C.16D.2425故选：C。【点评】此题考查了约分的知识，要求学生掌握。4．（2024秋•宝安区期末）下面哪组数的最大公因数是4？（）A．2和4 B．4和8 C．6和24 D．1和4【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】运算能力．【答案】B【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；据此分别求出各选项的最大公因数即可判断。【解答】解：A.2和4的最大公因数是2；B.4和8的最大公因数是4；C.6和24的最大公因数是6；D.1和4的最大公因数是1。故选：B。【点评】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。5．（2024秋•金水区期末）下面几个分数，（）能化简成34A．1216 B．1524 C【考点】约分．【专题】运算能力．【答案】A【分析】将选项中的三个分数化成最简分数，看哪个分数能化简成34【解答】解：1216=34，故选：A。【点评】解答本题需熟练掌握利用分数的基本性质化简分数的方法，灵活解答。二．填空题（共5小题）6．（2024秋•灞桥区期末）分数1016中，分子与分母的最大公因数是2，最小公倍数是80，将这个分数化成最简分数是58【考点】求几个数的最大公因数的方法；约分．【专题】数的运算；运算能力．【答案】2，80，58【分析】把分子和分母分别分解质因数，求出最大公因数与最小公倍数，分子与分母分别除以最大公因数，化简分数。【解答】解：10＝2×516＝2×2×2×2最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×2×5＝80。分数1016中，分子与分母的最大公因数是2，最小公倍数是80，将这个分数化成最简分数5故答案为：2，80，58【点评】熟悉求最大公因数与求最小公倍数的方法是解决本题的关键。7．（2024秋•金牛区期末）数A＝2×3×11，数B＝3×5×11，那数A与数B的最大公因数是33。【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】运算能力．【答案】33。【分析】公因数，是一个能被若干个整数同时均整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。可以用分解质因数的方法求最大公因数：两个数全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。【解答】解：A与B共有的质因数是3和11最大公因数：3×11＝33数A与数B的最大公因数是33。故答案为：33。【点评】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答。8．（2024春•槐荫区期末）915约分后是35，约分后的分数单位是15，它有3个这样的分数单位，再加上【考点】约分；合数与质数的初步认识．【专题】数感．【答案】35，15，3，【分析】915的分子、分母含有公因数3，根据分数的基本性质，分子、分母都除以3即可将此分数约分；约分后的分数是35，表示把单位“1”平均分成5份，每份是15，35表示其中3份。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，约分后的分数单位是15，它有3个这样的分数单位。最小的合数是4，4=205，即20【解答】解：915约分后是35，约分后的分数单位是15，它有3故答案为：35，15，3，【点评】此题考查的知识点：分数的约分、分数单位的意义、合数的意义等。9．（2024春•慈利县期中）已知a＝5b（a、b均不为0），那么a和b的最大公因数是b。【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】应用意识．【答案】b。【分析】如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公因数，据此解答。【解答】解：因为a＝5b，即a÷b＝5，即a是b的倍数，所以它们的最大公因数是较小的那个数b。故答案为：b。【点评】此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公因数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公因数。10．（2024•茌平区）如果m和n是相邻的两个非零自然数，那么m和n的最大公因数是1。【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】综合填空题；应用意识．【答案】1。【分析】根据m和n是相邻的两个非零自然数，他们最大公因数是1进行填空。【解答】解：如果m和n是相邻的两个非零自然数，那么m和n的最大公因数是1。故答案为：1。【点评】本题考查的主要内容是最大公因数的应用问题。三．判断题（共5小题）11．（2024•邵阳）a、b都是非0自然数，且a＝3b。a和b的最大公因数是b。√【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】推理能力．【答案】√【分析】如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。据此解答。【解答】解：从a＝3b可知，a÷b＝3，a是b的倍数，b是a的因数，所以a和b的最大公因数是b。原说法正确。故答案为：√。【点评】本题主要考查求两个数的最大公因数，注意倍数关系的最大公因数是较小数。12．（2024春•镇雄县期末）当非零自然数a和b的公因数只有1时，a和b的最小公倍数一定是ab。√【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】数据分析观念．【答案】√【分析】当非零自然数a和b的公因数只有1时，a和b是互质数，两个数互质，则它们的最小公倍数是这两个数的乘积。【解答】解：当非零自然数a和b的公因数只有1时，a和b是互质数，所以a和b的最小公倍数是ab。所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】明确当非零自然数a和b的公因数只有1时，a和b是互质数是解题的关键。13．（2024春•信宜市期末）如果自然数a是b的倍数，那么a和b的最大公因数是b．√【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】数的整除．【答案】见试题解答内容【分析】当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的那个数；据此解答．【解答】解：因为自然数a是b的倍数，所以最大公因数是b．所以如果自然数a是b的倍数，那么a和b的最大公因数是b说法正确．故答案为：√．【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数．14．（2024春•岳池县期末）将4572约分成分数单位为18的分数，约分结果是58【考点】约分．【专题】综合判断题；应用意识．【答案】√【分析】约分的方法：（1）逐步约分法。用分子和分母的公因数（1除外）去除，直到除到分子和分母只有公因数1为止。（2）一次约分法。直接用分子和分母的最大公因数（1除外）去除。【解答】解：45将4572约分成分数单位为18的分数，约分结果是原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题考查的主要内容是约分的应用问题。15．（2024春•顺庆区期末）如果m﹣n＝1（m、n为非零自然数），那么m、n的最大公因数是1。√【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】运算能力；推理能力．【答案】√【分析】相邻两个自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1。据此判断即可。【解答】解：如果m﹣n＝1（m、n为非零自然数），那么m、n的最大公因数是1。原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法的应用。四．计算题（共1小题）16．（2024秋•皇姑区期末）分数化简。【写出化简过程】（1）96（2）38（3）91【考点】约分；分数的基本性质．【专题】分数和百分数；数据分析观念．【答案】（1）32；（2）25；（3）【分析】分数的分子和分母同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此化简即可。【解答】解：（1）96（2）38（3）91【点评】本题考查了利用分数的基本性质约分的方法。五．应用题（共4小题）17．（2024春•汝南县期中）新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，爸爸给年年发的红包可能是多少元？【考点】因数、公因数和最大公因数．【专题】常规题型；能力层次．【答案】1，2，3，6。【分析】红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，实际就求48和54的公因数，分别将48和54的因数都写出来，再找出公因数即可。【解答】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54；所以48和54的公因数有：1，2，3，6。答：爸爸给年年发的红包可能是1元、2元、3元、6元。【点评】熟练掌握求两个数的公因数的方法是解决此题的关键。18．（2024春•齐河县期中）把一张长120厘米、宽100厘米的长方形裁成大小相等的正方形，纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？【考点】求几个数的最大公因数的方法．【答案】见试题解答内容【分析】先求120、100的最大公因数，确定正方形的边长，再求裁成的正方形的个数．【解答】解：120＝2×2×2×3×5，100＝2×2×5×5，2×2×5＝20（厘米），120×100÷（20×20）＝12000÷400，＝30（个），答：至少能裁成30个正方形．【点评】此题主要考查学生应用最大公因数的求法解决实际问题的能力．19．（2022秋•金水区期末）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】应用意识．【答案】14，8。【分析】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；再用百合花的总朵数除以最大公因数就是每束花中百合花的朵数，用玫瑰花的总朵数除以最大公因数就是每束花中玫瑰花的总朵数，再把每束花中百合花的朵数与每束花中玫瑰花的总朵数相加即可。【解答】解：70＝2×5×742＝2×3×7所以70和42的最大公因数是2×7＝1470÷14＝5（朵）42÷14＝3（朵）5+3＝8（朵）答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。【点评】本题考查了最大公因数的应用以及最大公因数的求法。20．（2023春•娄底期末）数学阅读。在我国古代的数学著作《九章算术》中，就介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分，这种方法被后人称为“更相减损术”。试着用这个方法对分数2842，102【考点】约分．【专题】分数和百分数；数据分析观念．【答案】23，2【分析】可根据材料中的方法，如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则用较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。【解答】解：2821﹣14＝714﹣7＝71421153﹣102＝51102﹣51＝51102153【点评】此题主要考查约分的认识及应用，灵活运用不同的约分方法求解。六．解答题（共2小题）21．（2024春•迁安市期末）求下面各组数的最大公因数。36和6054和72【考点】求几个数的最大公因数的方法．【专题】运算能力．【答案】18；12。【分析】求最大因约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，由此解决问题即可。【解答】解：54＝2×3×3×372＝2×2×2×3×3最大公因数是2×3×3＝18。36＝2×2×3×360＝2×2×3×5所以36和60的最大公因数是：2×2×3＝12。【点评】此题需要学生掌握求两个数最大公因数的方法，并能灵活的运用。22．（2024•京口区）数学辩论题．观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质．你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论．【考点】因数、公因数和最大公因数．【专题】数的整除．【答案】见试题解答内容【分析】若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可．【解答】解：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3．【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质．

考点卡片1．因数、公因数和最大公因数【知识点解释】给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．【命题方向】常考题型：例1：互质的两个数没有公约数．×．分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．故答案为：×．点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，所以原题说法正确，故答案为：√．点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．2．求几个数的最大公因数的方法【知识点归纳】方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．【命题方向】常考题型：例1：如果A是B的15，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的15，也就是B是A的5解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，故答案为：B；A．此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．例2：甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．分析：根据甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．解：甲＝2×2×2×3；乙＝2×2×3×5；甲和乙的最大公因数是：2×2×3＝12；甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5＝120；故答案为：12，120．点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．3．合数与质数的初步认识【知识点解释】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）【命题方向】常考题型：例1：所有的质数都是奇数．×．分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．故答案为：×．点评：本题混淆了质数和奇数的定义．例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是1997．分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．解：x是奇