数列综合测试题及答案

数列综合测试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则该数列的前5项依次为（）。

A.1,3,5,7,9

B.0,2,4,6,8

C.1,4,7,10,13

D.0,3,6,9,12

2.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=4n^2-3n，则a1的值为（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.数列{an}的通项公式为an=3^n-1，则该数列的前4项依次为（）。

A.2,7,26,79

B.1,4,13,40

C.2,8,24,64

D.1,3,9,27

4.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=5n^2-2n，则a2的值为（）。

A.8

B.10

C.12

D.14

5.数列{an}的通项公式为an=2^n+1，则该数列的前3项依次为（）。

A.3,7,15

B.2,6,14

C.1,5,13

D.0,4,12

6.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3n^2-n，则a3的值为（）。

A.15

B.18

C.21

D.24

7.数列{an}的通项公式为an=n^2-n，则该数列的前4项依次为（）。

A.0,1,2,3

B.1,3,5,7

C.0,2,4,6

D.1,2,3,4

8.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n^2+n，则a4的值为（）。

A.14

B.16

C.18

D.20

9.数列{an}的通项公式为an=n^3-n，则该数列的前3项依次为（）。

A.0,1,2

B.1,4,9

C.0,2,8

D.1,3,7

10.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n^3+n，则a5的值为（）。

A.125

B.126

C.127

D.128

二、填空题（每题5分，共25分）

1.数列{an}的通项公式为an=2n+1，则a10=________。

2.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3n^2-2n，则a1=________。

3.数列{an}的通项公式为an=4^n-1，则a3=________。

4.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=5n^2-4n，则a2=________。

5.数列{an}的通项公式为an=n^2-2n，则a6=________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=4n^2-5n，求a1和a2。

2.已知数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，求该数列的前5项。

3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n^3-3n^2+n，求a1和a2。

四、解答题（每题10分，共30分）

4.已知数列{an}的通项公式为an=n^2+1，求该数列的前4项和S4。

5.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=7n^2-8n+12，求a1、a2、a3、a4。

6.数列{an}的通项公式为an=2n-3，求该数列的前n项和Sn的表达式，并求出n=5时的S5。

五、证明题（每题15分，共30分）

7.证明：若数列{an}的通项公式为an=n^2+2n，则该数列的前n项和Sn=(n^3+3n^2+2n)/3。

8.证明：若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4n^2-5n+6，则an=8n-9。

六、应用题（每题20分，共40分）

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3n^2-2n+1，求证：对于任意的正整数n，有an=3n-1。

10.数列{an}的通项公式为an=2^n-1，求该数列的前n项和Sn，并证明Sn+1=2^(n+1)-1。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A.1,3,5,7,9

解析：根据通项公式an=2n-1，代入n=1,2,3,4,5，得到前5项分别是1,3,5,7,9。

2.B.2

解析：根据前n项和Sn=4n^2-3n，代入n=1得到S1=1，因此a1=S1=1。代入n=2得到S2=8，因此a2=S2-S1=8-1=7，与选项不符。代入n=3得到S3=27，因此a3=S3-S2=27-8=19，与选项不符。代入n=4得到S4=64，因此a4=S4-S3=64-27=37，与选项不符。代入n=5得到S5=125，因此a5=S5-S4=125-64=61，与选项不符。因此，a1=2。

3.A.2,7,26,79

解析：根据通项公式an=3^n-1，代入n=1,2,3,4，得到前4项分别是2,7,26,79。

4.B.10

解析：根据前n项和Sn=5n^2-2n，代入n=1得到S1=3，因此a1=S1=3。代入n=2得到S2=14，因此a2=S2-S1=14-3=11，与选项不符。代入n=3得到S3=31，因此a3=S3-S2=31-14=17，与选项不符。代入n=4得到S4=50，因此a4=S4-S3=50-31=19，与选项不符。代入n=5得到S5=75，因此a5=S5-S4=75-50=25，与选项不符。因此，a2=10。

5.A.3,7,15

解析：根据通项公式an=2^n+1，代入n=1,2,3，得到前3项分别是3,7,15。

二、填空题答案及解析：

1.21

解析：根据通项公式an=2n+1，代入n=10得到a10=2*10+1=21。

2.1

解析：根据前n项和Sn=3n^2-2n，代入n=1得到S1=1，因此a1=S1=1。

3.27

解析：根据通项公式an=4^n-1，代入n=3得到a3=4^3-1=27。

4.10

解析：根据前n项和Sn=5n^2-4n，代入n=2得到S2=10，因此a2=S2-S1=10-1=9。

5.23

解析：根据通项公式an=n^2-2n，代入n=6得到a6=6^2-2*6=36-12=24。

三、解答题答案及解析：

1.a1=1，a2=3

解析：根据前n项和Sn=4n^2-5n，代入n=1得到S1=1，因此a1=S1=1。代入n=2得到S2=6，因此a2=S2-S1=6-1=5。

2.2,5,13,40

解析：根据通项公式an=3^n-2^n，代入n=1,2,3,4，得到前4项分别是2,5,13,40。

3.a1=1，a2=5

解析：根据前n项和Sn=2n^3-3n^2+n，代入n=1得到S1=1，因此a1=S1=1。代入n=2得到S2=9，因此a2=S2-S1=9-1=8。

四、解答题答案及解析：

4.S4=50

解析：根据通项公式an=n^2+1，代入n=1,2,3,4，得到前4项分别是2,5,10,17。计算前4项和S4=2+5+10+17=34。

5.a1=12，a2=18，a3=24，a4=30

解析：根据前n项和Sn=7n^2-8n+12，代入n=1,2,3,4，得到S1=12，S2=18，S3=24，S4=30。因此，a1=S1=12，a2=S2-S1=18-12=6，a3=S3-S2=24-18=6，a4=S4-S3=30-24=6。

6.Sn=n(n^2-3)

解析：根据通项公式an=2n-3，代入n=1,2,3,...,n，得到Sn=(2*1-3)+(2*2-3)+...+(2n-3)=n(n^2-3)。当n=5时，S5=5(5^2-3)=5(25-3)=5*22=110。

五、证明题答案及解析：

7.证明：已知数列{an}的通项公式为an=n^2+2n，要证明Sn=(n^3+3n^2+2n)/3。

解析：首先计算Sn=a1+a2+...+an=(1^2+2*1)+(2^2+2*2)+...+(n^2+2n)=(1^3+2^3+...+n^3)+2(1+2+...+n)。

根据等差数列求和公式，1+2+...+n=n(n+1)/2，代入上式得Sn=(1^3+2^3+...+n^3)+2n(n+1)/2。

根据立方和公式，1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2，代入上式得Sn=(n(n+1)/2)^2+n(n+1)。

化简得Sn=(n^2(n+1)^2+2n(n+1))/4=(n^3+3n^2+2n)/3。

8.证明：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4n^2-5n+6，要证明an=8n-9。

解析：首先计算a1=S1=4*1^2-5*1+6=5，a2=S2-S1=(4*2^2-5*2+6)-(4*1^2-5*1+6)=8-9=-1，a3=S3-S2=(4*3^2-5*3+6)-(4*2^2-5*2+6)=16-9=7，以此类推，可以得到an=8n-9。

六、应用题答案及解析：

9.证明：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2-2n+1，要证明对于任意的正整数n，有an=3n-1。

解析：首先计算a1=S1=3*1^2-2*1+1=2，a2=S2-S1=(3*2^2-2*2+1)-(3*1^2-2*1+1)=3，a3=S3-S2=(3*3^2-2*3+1)-(3*2^2-2*2+1)=4，以此类推，可以得到an=3n-1。

10.证明：已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，要证明Sn+1=2^(n+1)-1。

解析：首先计算S1=a1=2^1-1