大一专科高数试题及答案

大一专科高数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列函数中，是偶函数的是（）

A.f(x)=x^2-1

B.f(x)=|x|+1

C.f(x)=x^3-x

D.f(x)=x^4

2.下列命题中，正确的是（）

A.若a>b，则a-b>0

B.若a<b，则a+b<0

C.若a^2>b^2，则|a|>|b|

D.若a>b，则a^2<b^2

3.设f(x)=x^2+2x+1，则f(-x)等于（）

A.x^2-2x+1

B.x^2+2x+1

C.-x^2+2x-1

D.-x^2-2x+1

4.下列函数中，是奇函数的是（）

A.f(x)=x^2+1

B.f(x)=|x|+1

C.f(x)=x^3-x

D.f(x)=x^4

5.下列函数中，是周期函数的是（）

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^2

D.f(x)=e^x

6.设f(x)=x^2，则f'(2)等于（）

A.2

B.4

C.0

D.-2

7.下列函数中，是连续函数的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=|x|/x

8.设f(x)=x^2+2x+1，则f'(x)等于（）

A.2x+2

B.2x-2

C.2

D.1

9.下列函数中，是单调递增函数的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=e^x

D.f(x)=x^3

10.设f(x)=x^2，则f''(2)等于（）

A.2

B.4

C.0

D.-2

二、填空题（每题5分，共20分）

11.设f(x)=x^2+2x+1，则f(1)=_______。

12.设f(x)=x^3-x，则f'(x)=_______。

13.设f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)=_______。

14.设f(x)=x^3-x，则f''(x)=_______。

15.设f(x)=x^2+2x+1，则f(0)=_______。

三、计算题（每题10分，共30分）

16.计算：lim(x→0)(sinx/x)^2。

17.求函数f(x)=x^3-x在x=2处的导数。

18.求函数f(x)=x^2+2x+1的极值。

四、应用题（每题15分，共30分）

19.一辆汽车从静止开始以2m/s²的加速度匀加速行驶，求汽车行驶10s后的速度。

20.一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为5m/s²，求物体在3s内的位移。

五、证明题（每题20分，共40分）

21.证明：对于任意实数x，有(x+1)^2≥4x+1。

22.证明：对于任意实数x，有x^3-x≥0。

六、综合题（每题25分，共50分）

23.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求：

（1）函数的极值点；

（2）函数的拐点；

（3）函数的单调区间。

24.已知函数f(x)=e^x-x，求：

（1）函数的导数；

（2）函数的极值点；

（3）函数的单调区间。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.C。偶函数满足f(-x)=f(x)，A、B、D均不满足。

2.C。根据不等式的性质，若a^2>b^2，则|a|>|b|。

3.A。代入-x得f(-x)=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1。

4.C。奇函数满足f(-x)=-f(x)，A、B、D均不满足。

5.A。周期函数满足f(x+T)=f(x)，A满足周期为2π。

6.B。求导得f'(x)=2x+2，代入x=2得f'(2)=2*2+2=6。

7.A、B、C。连续函数在定义域内各点连续，A、B、C均满足。

8.A。求导得f'(x)=2x+2，代入x=0得f'(0)=2*0+2=2。

9.A、C。单调递增函数满足f(x1)<f(x2)，A、C满足。

10.B。求二阶导得f''(x)=2，代入x=2得f''(2)=2。

二、填空题答案及解析：

11.f(1)=1^2+2*1+1=4。

12.f'(x)=3x^2-1。

13.f(-1)=(-1)^2+2*(-1)+1=0。

14.f''(x)=6x。

15.f(0)=0^2+2*0+1=1。

三、计算题答案及解析：

16.lim(x→0)(sinx/x)^2=lim(x→0)(sinx/x)^2*lim(x→0)(sinx/x)^2=lim(x→0)(sinx/x)^4=1。

17.f'(x)=3x^2-3，代入x=2得f'(2)=3*2^2-3=9。

18.f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，得x=-1。f''(x)=2，f''(-1)=2>0，所以x=-1是极小值点。

四、应用题答案及解析：

19.v=at=2m/s²*10s=20m/s。

20.s=1/2*a*t^2=1/2*5m/s²*(3s)^2=22.5m。

五、证明题答案及解析：

21.（1）(x+1)^2-(4x+1)=x^2+2x+1-4x-1=x^2-2x=x(x-2)≥0，当x≥0或x≤2时成立。

22.（1）x^3-x-(x^2-x)=x^3-x^2=x^2(x-1)≥0，当x≥1或x≤0时成立。

六、综合题答案及解析：

23.（1）f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，f''(±1)=0，所以x=±1是拐点。

（2）f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以x=-1是极小值点，x=1是极大值点。

（3）f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1。f''(x)=6x，当x<-1或x>1时，f''(x)>0，所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增；当-1<x<1时，f''(x)<0，所以f(x)在(-1,1)上单调递减。

24.（1）f'(x)=e^x-1。

（2）f'(x)=e^x-1，令f'(x)