杭州模考数学试题及答案

杭州模考数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.如果a>b，那么下列哪个式子一定成立？

A.a+1>b+1

B.a-1>b-1

C.a+1<b+1

D.a-1<b-1

2.已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，那么第10项的值是多少？

A.19

B.21

C.23

D.25

3.下列哪个图形是轴对称图形？

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.三角形

4.如果一个等比数列的前三项分别为1，2，4，那么这个数列的公比是多少？

A.1

B.2

C.4

D.8

5.已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是多少？

A.5

B.6

C.7

D.8

二、填空题（每题5分，共20分）

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，那么Sn=________。

2.如果一个等比数列的前三项分别为1，2，4，那么这个数列的第四项是________。

3.直线y=2x+3与y轴的交点坐标是________。

4.在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点是________。

5.如果一个数列的前三项分别为1，3，5，那么这个数列是________数列。

三、解答题（共60分）

1.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，求证：Sn=n(a1+an)/2。

2.（15分）已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，求这个数列的公比。

3.（15分）在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(-3,4)，求直线AB的斜率和截距。

4.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，求证：当n为偶数时，Sn=n(a1+an)/2。

四、解答题（共60分）

5.（15分）已知函数f(x)=3x^2-4x+1，求：

（1）函数的顶点坐标；

（2）函数的零点；

（3）函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

6.（15分）已知圆的方程为x^2+y^2-6x-4y+12=0，求：

（1）圆心的坐标；

（2）圆的半径；

（3）圆上距离圆心3个单位长度的点的坐标。

7.（15分）已知正方体的边长为a，求：

（1）正方体的表面积；

（2）正方体的体积；

（3）正方体的对角线长。

8.（15分）解不等式组：

$$

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y<10

\end{cases}

$$

五、应用题（共30分）

9.（15分）某商店购进一批商品，进价为每件50元，售价为每件80元。如果每件商品的销售利润是20元，那么商店至少要卖出多少件商品才能保证总利润不低于3000元？

10.（15分）一个长方形的长是宽的3倍，长方形的周长是60厘米，求长方形的长和宽。

六、论述题（共20分）

11.（20分）试论述勾股定理的证明过程，并解释其几何意义。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共20分）

1.B

解析思路：根据不等式的性质，两边同时减去相同的数，不等号的方向不变，所以选B。

2.B

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得到an=3+(10-1)*2=21。

3.C

解析思路：正方形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线。

4.B

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，代入a1=1，r=2，得到a3=1*2^(3-1)=4。

5.A

解析思路：根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方等于两直角边长的平方和，所以斜边长为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

二、填空题（每题5分，共20分）

1.Sn=n(a1+an)/2

解析思路：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。

2.8

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，代入a1=1，r=2，得到a4=1*2^(4-1)=8。

3.(0,3)

解析思路：直线y=2x+3与y轴的交点坐标满足x=0，代入直线方程得到y=3。

4.(2,-3)

解析思路：点P(2,3)关于x轴的对称点坐标为(2,-3)，因为x坐标不变，y坐标取相反数。

5.等差

解析思路：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，所以这个数列是等差数列。

三、解答题（共60分）

1.（15分）

解析思路：利用等差数列的性质，第n项an=a1+(n-1)d，前n项和Sn=n/2*(a1+an)，代入an的表达式得到Sn=n/2*(a1+a1+(n-1)d)=n(a1+an)/2。

2.（15分）

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，代入a1=1，a3=4，得到4=1*r^(3-1)，解得r=2。

3.（15分）

解析思路：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，代入点A(2,3)和点B(-3,4)的坐标得到k=(4-3)/(-3-2)=-1/5。截距b=y1-kx1，代入点A的坐标得到b=3-(-1/5)*2=3+2/5=17/5。

4.（15分）

解析思路：当n为偶数时，Sn=n/2*(a1+an)，代入an的表达式得到Sn=n/2*(a1+a1+(n-1)d)=n(a1+an)/2。

四、解答题（共60分）

5.（15分）

解析思路：

（1）函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=3，b=-4，得到顶点坐标为(2/3,f(2/3))。

（2）令f(x)=0，解方程3x^2-4x+1=0，得到x=1或x=1/3，所以零点为1和1/3。

（3）在区间[-1,3]上，函数的最大值和最小值分别出现在端点和顶点，计算f(-1)，f(2/3)，f(3)的值，比较大小得到最大值和最小值。

6.（15分）

解析思路：

（1）圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，通过比较得到圆心坐标为(3,2)。

（2）圆的半径r=√(h^2+k^2-12)=√(9+4-12)=√1=1。

（3）圆上距离圆心3个单位长度的点的坐标满足(x-3)^2+(y-2)^2=9，解方程得到两个点的坐标。

7.（15分）

解析思路：

（1）正方体的表面积S=6a^2。

（2）正方体的体积V=a^3。

（3）正方体的对角线长d=√(a^2+a^2+a^2)=√(3a^2)=a√3。

五、应用题（共30分）

9.（15分）

解析思路：设至少要卖出x件商品，总利润为20x，根据题意得到不等式20x≥3000，解得x≥150。

10.（15分）

解析思路：设长方形的宽为x，长为3x，根据周长公式2(x+3x)=60，解得x=10，所以长为30，宽为10。

六、论述题（共20分）

11.（20分）

解析思路：勾股定理的证明有多种方法，一种常见的证明是利用直角三角形的面积。设直角三角形的两直角边分别为a