2024-2025学年下学期高一数学第七章A卷

第18页（共18页）第七章A卷一．选择题（共8小题）1．|i3+i2﹣i﹣1|＝（）A．0 B．2 C．22 D．2．已知z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．2 B．3 C．5 D．23．复数54+3A．-35i B．35i C．4．若z﹣3i＝3+i，则|z|＝（）A．3 B．13 C．5 D．105．i为虚数单位，z为z的共轭复数，若z=1+2i2-A．﹣i B．i C．45+356．若复数z＝a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，则z⋅A．﹣2 B．0 C．2 D．47．若复数z满足z+2z=1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知z＝2﹣3i，则z的虚部是（）A．3 B．3i C．﹣3 D．2二．多选题（共4小题）（多选）9．已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a＝﹣1 D．b＝﹣1（多选）10．已知复数z（z≠0）的共轭复数为z，则下列结论正确的是（）A．(z2+z2C．若z2=z2，则z∈R （多选）11．已知虚数z满足z=-1A．z的实部为-1B．z的虚部为32C．|z|＝1 D．z在复平面内对应的点在第三象限（多选）12．已知复数z1，z2，z1为z1A．z1+z1为实数 C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．|三．填空题（共5小题）13．已知复数z=1+i1-i，则z14．已知i是虚数单位，复数z满足z=2-2i1+i，则z的共轭复数z=15．若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为．16．已知i是虚数单位，若z（1+i）＝2+3i，则复数z的虚部是．17．已知i为虚数单位，复数z=i1+3i，则复数z的虚部为四．解答题（共5小题）18．在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．19．已知复数z满足z+i是实数，z的模为5，z的共轭复数z在复平面内对应的点在第一象限．（1）求z1-（2）若z+z2=a20．已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；21．已知复数z1，z2满足z1（1）求z1；（2）求|2z1+z2|的最小值．22．已知复数z满足z+z=2，z2＝﹣2（1）求复数z；（2）求复数z4的实部和虚部．

第七章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案CCDCADDA一．选择题（共8小题）1．|i3+i2﹣i﹣1|＝（）A．0 B．2 C．22 D．【考点】复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据复数的乘法化简i3+i2﹣i﹣1，再计算其模．【解答】解：因为i3+i2﹣i﹣1＝﹣i﹣1﹣i﹣1＝﹣2﹣2i，所以|i3+i2﹣i﹣1|=4+4故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．2．已知z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．2 B．3 C．5 D．2【考点】复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可．【解答】解：z＝i（2﹣i）＝1+2i，则|z|=5故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．复数54+3A．-35i B．35i C．【考点】复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵54+3∴复数54+3i的虚部为故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．若z﹣3i＝3+i，则|z|＝（）A．3 B．13 C．5 D．10【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】先求出z，再结合复数模公式，即可求解．【解答】解：z﹣3i＝3+i，则z＝3+4i，故|z|=3故选：C．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．5．i为虚数单位，z为z的共轭复数，若z=1+2i2-A．﹣i B．i C．45+35【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=1+2∴z=-故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．若复数z＝a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，则z⋅A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】由已知求解a，再由z⋅z=|z【解答】解：∵复数z＝a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，∴a2-1=0a-∴z＝﹣2i，则z⋅z=|z|2故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．7．若复数z满足z+2z=1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据复数代数形式的加减运算化简z+2z，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出a、【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z=所以z+2又z+2所以3a=1-所以z=所以复数z在复平面内所对应的点为(1故选：D．【点评】本题主要考查了复数的基本运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．8．已知z＝2﹣3i，则z的虚部是（）A．3 B．3i C．﹣3 D．2【考点】共轭复数；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】直接利用复数的基本概念得答案．【解答】解：∵z＝2﹣3i，∴z=2+3则z的虚部是3．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a＝﹣1 D．b＝﹣1【考点】复数的混合运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】根据复数的模计算判断A，根据复数的除法计算判断B，再由纯虚数、实数的概念判断CD．【解答】解：∵z1∴|z1|=∵（1﹣2i）z2＝i﹣3，∴z2则z2的虚部为﹣1，故B错误；∵z1+a＝1+a﹣i为纯虚数，∴1+a＝0，即a＝﹣1，故C正确；∵z2﹣bi＝﹣1﹣（b+1）i为实数，∴b+1＝0，解得b＝﹣1，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．（多选）10．已知复数z（z≠0）的共轭复数为z，则下列结论正确的是（）A．(z2+z2C．若z2=z2，则z∈R 【考点】共轭复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AB【分析】根据共轭复数的性质即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z=所以z2+z1z+1取z＝i，则z=-i，显然z2=-1=z2，但z1z-1z=z-zz⋅z故选：AB．【点评】本题考查了共轭复数，属于基础题．（多选）11．已知虚数z满足z=-1A．z的实部为-1B．z的虚部为32C．|z|＝1 D．z在复平面内对应的点在第三象限【考点】共轭复数；复数的实部与虚部；复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】利用复数的基本概念可判断A，B选项，利用复数的模可判断C选项，利用复数z在复平面内对应的点的坐标可判断D选项．【解答】解：根据题意，可得z=-12-32i，所以z|z|＝1，z在复平面内对应的点的坐标为（-12，故选：ACD．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）12．已知复数z1，z2，z1为z1A．z1+z1为实数 C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．|【考点】复数的混合运算；共轭复数；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：对于AB，设z1＝a+bi（a，b∈R），则z1z1+z|z1|=|对于C，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故C错误；对于D，|z2z1|=|z2||z1|=|z2||z1故选：ABD．【点评】本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．已知复数z=1+i1-i，则z-【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：由z=1+i则z-z=故答案为：2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．已知i是虚数单位，复数z满足z=2-2i1+i，则z的共轭复数z=【考点】复数的除法运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．【解答】解：∵z=2-2∴z=2故答案为：2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15．若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为1．【考点】复数的模．【专题】数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出复数z对应点的轨迹，数形结合可得答案．【解答】解：由|z+2i|＝1，得|z﹣（﹣2i）|＝1，∴复数z对应的点在以（0，﹣2）为圆心，以1为半径的圆周上，如图，∴当z＝﹣i时其模最小，此时|z|＝1．故答案为1．【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．16．已知i是虚数单位，若z（1+i）＝2+3i，则复数z的虚部是12【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】12【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）＝2+3i，得z=2+3则复数z的虚部是12故答案为：12【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．17．已知i为虚数单位，复数z=i1+3i，则复数z的虚部为【考点】复数的除法运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】110【分析】根据复数的四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解．【解答】解：由z=可知复数z的虚部为110故答案为：110【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．四．解答题（共5小题）18．在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）a＝4或a＝﹣1；（2）a＝2．【分析】（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，求解即可；（2）复数z为纯虚数，则a2【解答】解：（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，即a＝4或a＝﹣1；（2）若复数z为纯虚数，则a2-3a-【点评】本题考查了复数的概念，属基础题．19．已知复数z满足z+i是实数，z的模为5，z的共轭复数z在复平面内对应的点在第一象限．（1）求z1-（2）若z+z2=a【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）32（2）a＝4，b＝﹣3．【分析】（1）由已知结合复数的模长公式及复数的几何意义可求m，再由四则运算进行化简即可；（2）由已知结合复数相等条件，列方程求解即可．【解答】解：（1）设复数z＝m+ni（m，n∈R），z+i＝m+（n+1）i是实数，n+1＝0，n＝﹣1，|z|=m2+又∵z在第一象限，∴m＞0，n＜0，∴m＝2，又∵z＝2﹣i，∴z1-（2）由（1）得z＝2﹣i，z=2+i，z2＝（2﹣i）2＝3﹣4∴z+∴a+1=5b=-3，∴a＝4，b【点评】本题主要考查了复数的四则运算，复数的几何意义及复数模长公式的应用，属于基础题．20．已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝0或m＝2；（2）m＝3．【分析】（1）由复数的概念列出方程即可求；（2）由复数z为纯虚数得到m的关系式即可求．【解答】解：（1）∵复数z为实数，∴m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝2；（2）∵复数z为纯虚数，∴m2-5m+6=0【点评】本题考查复数的概念和计算能力，属于基础题．21．已知复数z1，z2满足z1（1）求z1；（2）求|2z1+z2|的最小值．【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）3（2）3．【分析】（1）利用复数的乘除运算法则计算即可；（2）设z2＝a+bi（a，b∈R），由已知可求得z1⋅z2=3a-b+(a+【解答】解：（1）z1（2）设z2＝a+bi（a，b∈R），则z1因为z1•z2∈R，所以a+3b|2z=4(b故|2z1+z2|的最小值为3．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．22．已知复数z满足z+z=2，z2＝﹣2（1）求复数z；（2）求复数z4的实部和虚部．【考点】共轭复数；复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z＝1﹣i；（2）实部为﹣4，虚部为0．【分析】（1）设复数z＝a+bi，a，b∈R，代入已知式子求出a，b即可．（2）利用复数实部虚部的定义求解即可．【解答】解：（1）设复数z＝a+bi（a，b∈R），∵z+z=2，∴a+bi+a﹣bi＝2，∴2a＝2，∴a＝∵z2＝（1+bi）2＝1﹣b2+2bi＝﹣2i，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴z＝1﹣i，（2）∵z2＝﹣2i，∴z4＝4i2＝﹣4，∴复数z4的实部为﹣4，虚部为0．【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，实部虚部的定义，属基础题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．5．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭