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第18页(共18页)第七章A卷一.选择题(共8小题)1.|i3+i2﹣i﹣1|=()A.0 B.2 C.22 D.2.已知z=i(2﹣i),则|z|=()A.2 B.3 C.5 D.23.复数54+3A.-35i B.35i C.4.若z﹣3i=3+i,则|z|=()A.3 B.13 C.5 D.105.i为虚数单位,z为z的共轭复数,若z=1+2i2-A.﹣i B.i C.45+356.若复数z=a2﹣1+(a﹣1)i为纯虚数,则z⋅A.﹣2 B.0 C.2 D.47.若复数z满足z+2z=1+2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知z=2﹣3i,则z的虚部是()A.3 B.3i C.﹣3 D.2二.多选题(共4小题)(多选)9.已知z1=i40-i,(1﹣2i)z2=i﹣3,若a,b∈R,z1+aA.|z1|=2 B.zC.a=﹣1 D.b=﹣1(多选)10.已知复数z(z≠0)的共轭复数为z,则下列结论正确的是()A.(z2+z2C.若z2=z2,则z∈R (多选)11.已知虚数z满足z=-1A.z的实部为-1B.z的虚部为32C.|z|=1 D.z在复平面内对应的点在第三象限(多选)12.已知复数z1,z2,z1为z1A.z1+z1为实数 C.若|z1|=|z2|,则z1=±z2 D.|三.填空题(共5小题)13.已知复数z=1+i1-i,则z14.已知i是虚数单位,复数z满足z=2-2i1+i,则z的共轭复数z=15.若复数z满足|z+2i|=1(其中i为虚数单位),则|z|的最小值为.16.已知i是虚数单位,若z(1+i)=2+3i,则复数z的虚部是.17.已知i为虚数单位,复数z=i1+3i,则复数z的虚部为四.解答题(共5小题)18.在复平面内,复数z=a2﹣a﹣2+(a2﹣3a﹣4)i(其中a∈R).(1)若复数z为实数,求a的值;(2)若复数z为纯虚数,求a的值.19.已知复数z满足z+i是实数,z的模为5,z的共轭复数z在复平面内对应的点在第一象限.(1)求z1-(2)若z+z2=a20.已知i是虚数单位,复数z=(m2﹣5m+6)+(m2﹣2m)i,m∈R.(1)当复数z为实数时,求m的值;(2)当复数z为纯虚数时,求m的值;21.已知复数z1,z2满足z1(1)求z1;(2)求|2z1+z2|的最小值.22.已知复数z满足z+z=2,z2=﹣2(1)求复数z;(2)求复数z4的实部和虚部.
第七章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案CCDCADDA一.选择题(共8小题)1.|i3+i2﹣i﹣1|=()A.0 B.2 C.22 D.【考点】复数的模.【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】根据复数的乘法化简i3+i2﹣i﹣1,再计算其模.【解答】解:因为i3+i2﹣i﹣1=﹣i﹣1﹣i﹣1=﹣2﹣2i,所以|i3+i2﹣i﹣1|=4+4故选:C.【点评】本题考查复数模的求法,是基础题.2.已知z=i(2﹣i),则|z|=()A.2 B.3 C.5 D.2【考点】复数的模.【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式求解即可.【解答】解:z=i(2﹣i)=1+2i,则|z|=5故选:C.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.3.复数54+3A.-35i B.35i C.【考点】复数的实部与虚部.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:∵54+3∴复数54+3i的虚部为故选:D.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.4.若z﹣3i=3+i,则|z|=()A.3 B.13 C.5 D.10【考点】复数的模.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】先求出z,再结合复数模公式,即可求解.【解答】解:z﹣3i=3+i,则z=3+4i,故|z|=3故选:C.【点评】本题主要考查复数模公式,属于基础题.5.i为虚数单位,z为z的共轭复数,若z=1+2i2-A.﹣i B.i C.45+35【考点】复数的除法运算;共轭复数.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.【解答】解:∵z=1+2∴z=-故选:A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.6.若复数z=a2﹣1+(a﹣1)i为纯虚数,则z⋅A.﹣2 B.0 C.2 D.4【考点】纯虚数.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】D【分析】由已知求解a,再由z⋅z=|z【解答】解:∵复数z=a2﹣1+(a﹣1)i为纯虚数,∴a2-1=0a-∴z=﹣2i,则z⋅z=|z|2故选:D.【点评】本题考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题.7.若复数z满足z+2z=1+2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的除法运算;复数对应复平面中的点.【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】D【分析】设z=a+bi(a,b∈R),根据复数代数形式的加减运算化简z+2z,再根据复数相等的充要条件得到方程组,即可求出a、【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则z=所以z+2又z+2所以3a=1-所以z=所以复数z在复平面内所对应的点为(1故选:D.【点评】本题主要考查了复数的基本运算,考查了复数的几何意义,属于基础题.8.已知z=2﹣3i,则z的虚部是()A.3 B.3i C.﹣3 D.2【考点】共轭复数;复数的实部与虚部.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】A【分析】直接利用复数的基本概念得答案.【解答】解:∵z=2﹣3i,∴z=2+3则z的虚部是3.故选:A.【点评】本题考查复数的基本概念,是基础题.二.多选题(共4小题)(多选)9.已知z1=i40-i,(1﹣2i)z2=i﹣3,若a,b∈R,z1+aA.|z1|=2 B.zC.a=﹣1 D.b=﹣1【考点】复数的混合运算.【专题】对应思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ACD【分析】根据复数的模计算判断A,根据复数的除法计算判断B,再由纯虚数、实数的概念判断CD.【解答】解:∵z1∴|z1|=∵(1﹣2i)z2=i﹣3,∴z2则z2的虚部为﹣1,故B错误;∵z1+a=1+a﹣i为纯虚数,∴1+a=0,即a=﹣1,故C正确;∵z2﹣bi=﹣1﹣(b+1)i为实数,∴b+1=0,解得b=﹣1,故D正确.故选:ACD.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.(多选)10.已知复数z(z≠0)的共轭复数为z,则下列结论正确的是()A.(z2+z2C.若z2=z2,则z∈R 【考点】共轭复数.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】AB【分析】根据共轭复数的性质即可求解.【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则z=所以z2+z1z+1取z=i,则z=-i,显然z2=-1=z2,但z1z-1z=z-zz⋅z故选:AB.【点评】本题考查了共轭复数,属于基础题.(多选)11.已知虚数z满足z=-1A.z的实部为-1B.z的虚部为32C.|z|=1 D.z在复平面内对应的点在第三象限【考点】共轭复数;复数的实部与虚部;复数对应复平面中的点.【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ACD【分析】利用复数的基本概念可判断A,B选项,利用复数的模可判断C选项,利用复数z在复平面内对应的点的坐标可判断D选项.【解答】解:根据题意,可得z=-12-32i,所以z|z|=1,z在复平面内对应的点的坐标为(-12,故选:ACD.【点评】本题考查复数的基本概念,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.(多选)12.已知复数z1,z2,z1为z1A.z1+z1为实数 C.若|z1|=|z2|,则z1=±z2 D.|【考点】复数的混合运算;共轭复数;复数的模.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ABD【分析】根据已知条件,结合复数模公式,以及共轭复数的定义,即可求解.【解答】解:对于AB,设z1=a+bi(a,b∈R),则z1z1+z|z1|=|对于C,令z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但z1≠±z2,故C错误;对于D,|z2z1|=|z2||z1|=|z2||z1故选:ABD.【点评】本题主要考查复数模公式,以及共轭复数的定义,属于基础题.三.填空题(共5小题)13.已知复数z=1+i1-i,则z-【考点】复数的除法运算;共轭复数.【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】2i.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.【解答】解:由z=1+i则z-z=故答案为:2i.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.14.已知i是虚数单位,复数z满足z=2-2i1+i,则z的共轭复数z=【考点】复数的除法运算.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】2i.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的定义得答案.【解答】解:∵z=2-2∴z=2故答案为:2i.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.15.若复数z满足|z+2i|=1(其中i为虚数单位),则|z|的最小值为1.【考点】复数的模.【专题】数形结合.【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出复数z对应点的轨迹,数形结合可得答案.【解答】解:由|z+2i|=1,得|z﹣(﹣2i)|=1,∴复数z对应的点在以(0,﹣2)为圆心,以1为半径的圆周上,如图,∴当z=﹣i时其模最小,此时|z|=1.故答案为1.【点评】本题考查了复数模的几何意义,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.16.已知i是虚数单位,若z(1+i)=2+3i,则复数z的虚部是12【考点】复数的除法运算;复数的实部与虚部.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】12【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:由z(1+i)=2+3i,得z=2+3则复数z的虚部是12故答案为:12【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.17.已知i为虚数单位,复数z=i1+3i,则复数z的虚部为【考点】复数的除法运算.【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】110【分析】根据复数的四则运算直接化简,再根据复数的相关定义可得解.【解答】解:由z=可知复数z的虚部为110故答案为:110【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.四.解答题(共5小题)18.在复平面内,复数z=a2﹣a﹣2+(a2﹣3a﹣4)i(其中a∈R).(1)若复数z为实数,求a的值;(2)若复数z为纯虚数,求a的值.【考点】纯虚数;虚数单位i、复数.【专题】方程思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)a=4或a=﹣1;(2)a=2.【分析】(1)复数z为实数,则a2﹣3a﹣4=0,求解即可;(2)复数z为纯虚数,则a2【解答】解:(1)复数z为实数,则a2﹣3a﹣4=0,即a=4或a=﹣1;(2)若复数z为纯虚数,则a2-3a-【点评】本题考查了复数的概念,属基础题.19.已知复数z满足z+i是实数,z的模为5,z的共轭复数z在复平面内对应的点在第一象限.(1)求z1-(2)若z+z2=a【考点】共轭复数;复数的运算.【专题】方程思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)32(2)a=4,b=﹣3.【分析】(1)由已知结合复数的模长公式及复数的几何意义可求m,再由四则运算进行化简即可;(2)由已知结合复数相等条件,列方程求解即可.【解答】解:(1)设复数z=m+ni(m,n∈R),z+i=m+(n+1)i是实数,n+1=0,n=﹣1,|z|=m2+又∵z在第一象限,∴m>0,n<0,∴m=2,又∵z=2﹣i,∴z1-(2)由(1)得z=2﹣i,z=2+i,z2=(2﹣i)2=3﹣4∴z+∴a+1=5b=-3,∴a=4,b【点评】本题主要考查了复数的四则运算,复数的几何意义及复数模长公式的应用,属于基础题.20.已知i是虚数单位,复数z=(m2﹣5m+6)+(m2﹣2m)i,m∈R.(1)当复数z为实数时,求m的值;(2)当复数z为纯虚数时,求m的值;【考点】纯虚数;虚数单位i、复数.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)m=0或m=2;(2)m=3.【分析】(1)由复数的概念列出方程即可求;(2)由复数z为纯虚数得到m的关系式即可求.【解答】解:(1)∵复数z为实数,∴m2﹣2m=0,∴m=0或m=2;(2)∵复数z为纯虚数,∴m2-5m+6=0【点评】本题考查复数的概念和计算能力,属于基础题.21.已知复数z1,z2满足z1(1)求z1;(2)求|2z1+z2|的最小值.【考点】复数的除法运算;复数的模.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)3(2)3.【分析】(1)利用复数的乘除运算法则计算即可;(2)设z2=a+bi(a,b∈R),由已知可求得z1⋅z2=3a-b+(a+【解答】解:(1)z1(2)设z2=a+bi(a,b∈R),则z1因为z1•z2∈R,所以a+3b|2z=4(b故|2z1+z2|的最小值为3.【点评】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.22.已知复数z满足z+z=2,z2=﹣2(1)求复数z;(2)求复数z4的实部和虚部.【考点】共轭复数;复数的运算;虚数单位i、复数.【专题】计算题;方程思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)z=1﹣i;(2)实部为﹣4,虚部为0.【分析】(1)设复数z=a+bi,a,b∈R,代入已知式子求出a,b即可.(2)利用复数实部虚部的定义求解即可.【解答】解:(1)设复数z=a+bi(a,b∈R),∵z+z=2,∴a+bi+a﹣bi=2,∴2a=2,∴a=∵z2=(1+bi)2=1﹣b2+2bi=﹣2i,∴2b=﹣2,∴b=﹣1,∴z=1﹣i,(2)∵z2=﹣2i,∴z4=4i2=﹣4,∴复数z4的实部为﹣4,虚部为0.【点评】本题考查复数代数形式的四则运算,实部虚部的定义,属基础题.
考点卡片1.虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位,i2=﹣1,所以i是﹣1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数,把a=0且b≠0的数叫做纯虚数,a≠0,且b=0叫做实数.复数的模为a2+b2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中2.复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位,i2=﹣1,所以i是﹣1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数,把a=0且b≠0的数叫做纯虚数,a≠0,且b=0叫做实数.复数的模为a2+b2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中【解题方法点拨】﹣分解复数:通过给定的复数表达式,提取实部和虚部.﹣应用:在复数运算中,分开处理实部和虚部,简化计算过程.【命题方向】﹣实部与虚部的提取:考查如何从复数表达式中提取实部和虚部.﹣实部虚部的运算:如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题.若复数z=a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a=_____.解:若复数z=a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数,则a2﹣3+2a=0,解得:a=﹣3或a=1,故答案为:﹣3或1.3.纯虚数【知识点的认识】形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,a,b分别叫做它的实部和虚部,当a=0,b≠0时,叫做纯虚数.纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果.【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的,这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路.要完整理解复数为纯虚数的等价条件,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.实数集和虚数集的并集是全体复数集.虚数中包含纯虚数,即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集.【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,是历年高考的热点,考察学生的基本运算能力.常见的命题角度有:(1)复数的概念;(2)复数的模;(3)复数相等的四则运算;(4)复数在复平面内对应的点.4.复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+bi→复平面内的点z(a,b)→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意:(1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;(2)|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.【解题方法点拨】﹣点的表示:将复数a+bi作为复平面上的点(a,b)进行图示.﹣几何运算:利用复平面上的点进行几何运算和分析.【命题方向】﹣复平面的几何表示:考查复数在复平面中的点表示及其几何意义.﹣复数的几何应用:如何在复平面中使用复数解决几何问题.5.共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数,叫做互为共轭复数.如2+3i与2﹣3i互为共轭复数,用数学语言来表示即:复数Z=a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭
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