2024-2025学年下学期高一数学第九章B卷

第33页（共33页）第九章B卷一．选择题（共8小题）1．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如图所示频率分布直方图，图中b＝3a．则下列结论错误的是（）A．a＝0.01 B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是762．已知一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中yi＝xi+1（i＝1，2，3，⋯，n），则y1，y2，⋯，yn的平均数和中位数分别为（）A．3，4 B．3，5 C．4，4 D．4，53．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．下列说法错误的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；n，y，s22．记样本平均数为ω，样本方差为s2，s2=mm+n[s12A．a＝0.005 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32.254．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41；乙：17，26，19，27，19，29．则下列四个结论中，正确的是（）A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值5．已知数据x1，x2，x3，…，x10，满足xi﹣xi﹣1＝1（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．若x1＝1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5 B．平均数变小 C．方差不变 D．中位数不变6．某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的75%分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）7．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图．如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.58．某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为n的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50，60]范围内的人数为60，则下列说法正确的是（）A．n的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85% C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在（50，60]的频数与总体分布在（80，90]的频数相等二．多选题（共4小题）（多选）9．在某市高一年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计并按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）A．该市参加测试的学生中高于90分的学生大约为80人 B．分数在区间[80，90）内的频率为0.1 C．样本的70%分位数为76 D．样本的众数约为75（多选）10．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（）A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 B．乙班成绩的第75百分位数为79 C．甲班成绩的中位数为74 D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值（多选）11．近年来，某市积极响应国家号召，大力推行全民健身运动．为了解该市市民一周的体育锻炼情况，从本市市民中随机抽取了500名进行在线调查，收集了他们每周参加体育锻炼时间（单位：小时）的数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则（）A．a的值为0.05 B．样本中每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数不超过260人 C．估计样本中市民每周体育锻炼的众数为9小时 D．估计该市市民每周体育锻炼时间的第70百分位数为11小时（多选）12．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25三．填空题（共5小题）13．已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为．（用最简分数作答）14．某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：则样本中停车时长在区间（400，500]上的车辆数为辆．15．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如下频率分布直方图：则a＝，该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为分．16．已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为．17．设集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为．四．解答题（共5小题）18．某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第80百分位数；（2）以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分；（3）已知落在区间[50，60）的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间[60，70）的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数z和方差s2．参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s19．为提升某校高二学生的数学素养，随机选择100名学生进行基础知识掌握情况的测评（满分100分），根据测评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求x的值；（2）估计这100名学生在测评中得分的70%分位数；（3）若采用按比例分层抽样的方法从得分在[50，60），[60，70）的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率．20．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；（2）求样本成绩的众数和平均数；（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．21．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．22．一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

第九章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案DDDDDCCC一．选择题（共8小题）1．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如图所示频率分布直方图，图中b＝3a．则下列结论错误的是（）A．a＝0.01 B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解．【解答】解：根据题意可得（2a+0.015+0.035+b）×10＝1，且b＝3a，解得a＝0.01，b＝0.03，∴A选项正确；∴满意度计分的众数估计为70+802=75分，∴∵各组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，∴满意度计分的75%分位数估计是80+0.75-0.1-0.15-0.350.03=85∴满意度计分的平均分估计是55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝76.5，∴D选项错误．故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图的性质，众数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，属中档题．2．已知一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中yi＝xi+1（i＝1，2，3，⋯，n），则y1，y2，⋯，yn的平均数和中位数分别为（）A．3，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5【考点】平均数；中位数．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】由平均数的定义及x1，x2，⋯，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2，⋯，yn的大小排列顺序一致，即可求出结果．【解答】解：由题意知，x1+x2+⋯+xn＝3n，则y=又因为yi＝xi+1（i＝1，2，3，⋯，n），所以x1，x2，⋯，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2，⋯，yn的大小排列顺序一致，由于x1，x2，⋯，xn的中位数为4，则y1，y2，⋯，yn的中位数为5．故选：D．【点评】本题考查平均数和中位数的应用，属于中档题．3．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．下列说法错误的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，s12；n，y，s22．记样本平均数为ω，样本方差为s2，s2=mm+n[s12A．a＝0.005 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32.25【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，加权平均数与方差的结论，即可分别求解．【解答】解：根据题意可得（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，解得a＝0.005，∴A选项正确；∴各组频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，∴估计该年级学生成绩的中位数为70+0.5-0.1-0.150.035≈77.14∵[80，90）与[90，100）的频率之比为6a：2a＝3：1，∴估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为85×34+95×又成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10，∴估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为[12+(85-87.5)2故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．4．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41；乙：17，26，19，27，19，29．则下列四个结论中，正确的是（）A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值【考点】平均数；中位数；方差；极差．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】求出极差判断A；求出中位数判断B；求出平均数判断D；求出方差判断C．【解答】解：某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41；乙：17，26，19，27，19，29，将数据按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47；乙：17，19，19，26，27，29．对于A，甲运动员得分的极差为47﹣18＝29，乙运动员得分的极差为29﹣17＝12，且29＞12，∴甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A错误；对于B，甲运动员得分的中位数是33+352=34，乙运动员得分的中位数是且34＞22.5，∴甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B错误；对于D，甲运动员的得分平均值为18+20+35+33+47+416乙运动员的得分平均值为17+19+19+26+27+296且32.33＞22.83，∴甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故D正确；对于C，甲运动员得分的方差为：s1乙运动员得分的方差为s2∵乙的方差小于甲的方差，∴甲运动员的成绩没有乙运动员的成绩稳定，故C错误．故选：D．【点评】本题考查极差、中位数、方差、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．已知数据x1，x2，x3，…，x10，满足xi﹣xi﹣1＝1（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．若x1＝1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5 B．平均数变小 C．方差不变 D．中位数不变【考点】百分位数；平均数；中位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可．【解答】解：因为数据x1，x2，x3，…，x10，满足xi﹣xi﹣1＝1（2≤i≤10），所以当x1＝1时，数据为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因为10×75%＝7.5，所以该组数据的第75百分位数是8，所以A错误；由于xi﹣xi﹣1＝1（2≤i≤10），故x2＝x1+1，x3＝x1+2，…，x9＝x1+8，x10＝x1+9，原来的平均数为x1去掉x1，x10后的平均数为x2+x原来的方差为(x去掉x1，x10后的方差为(x2-原来的中位数与现在的中位数均为x5+x故选：D．【点评】本题考查百分位数的求解，平均数与方程的概念，属中档题．6．某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的75%分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）【考点】频率分布直方图的应用；平均数；百分位数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据频率分布直方图的性质可判断AC，根据百分位数的定义可判断B，根据平均数的定义可判断D．【解答】解：对于选项A，由频率分布直方图可知，10×（0.005+a+0.020+0.040+0.020）＝1，解得a＝0.015，故A错误；对于选项B，因为10×（0.005+0.015+0.020）＝0.4＜0.75，10×（0.005+0.015+0.020+0.040）＝0.8＞0.75，所以数据的75%分位数落在[80，90）内，设其为m，则0.4+（m﹣80）×0.04＝0.75，解得m＝88.75，即估计样本数据的75%分位数为88.75，故B错误；对于选项C，根据频率分布直方图可知，低于60分的频率为0.005×10＝0.05，所以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为0.05×100000＝5000，故C正确；对于选项D，由频率分布直方图可知，平均数为10×0.005×55+10×0.015×65+10×0.020×75+10×0.040×85+10×0.020×95＝80.5，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数和平均数的定义，属于中档题．7．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图．如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.5【考点】频率分布直方图的应用．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】由频率分布直方图计算频率可得可解a∈（94，95），从而可解．【解答】解：由图可得1﹣（0.05+0.15）×1＝0.80，1﹣0.05×1＝0.95，又0.80＜0.9＜0.95，所以a∈（94，95），且（a﹣94）×0.15+0.8＝0.9，得a＝94.67．故选：C．【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．8．某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为n的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50，60]范围内的人数为60，则下列说法正确的是（）A．n的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85% C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在（50，60]的频数与总体分布在（80，90]的频数相等【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据频率分布直方图的性质，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：根据题意可得0.05+10a+0.3+0.25+10a+0.1＝1，解得a＝0.015，∴成绩在（50，60]范围内的频率为0.15，又成绩在（50，60]范围内的人数为60，∴样本量n=600.15=400∴这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为0.3+0.25+0.15+0.1＝0.8，∴B选项错误；∵前几组的频率依之和为0.05+0.15+0.3+0.25＝0.75，∴估计学生成绩的第75百分位数为80分，∴C选项正确；∵样本中在（50，60]的频数与总体分布在（80，90]的频数相等，∴估计总体中分布在（50，60]的频数与总体分布在（80，90]的频数相等，但总体分布在（50，60]的频数与总体分布在（80，90]的频数不一定相等，∴D选项错误．故选：C．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．在某市高一年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计并按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）A．该市参加测试的学生中高于90分的学生大约为80人 B．分数在区间[80，90）内的频率为0.1 C．样本的70%分位数为76 D．样本的众数约为75【考点】频率分布直方图的应用；百分位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据频率分布直方图的性质，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：∵该市参加测试的学生中高于90分的学生的频率为0.04，∴该市参加测试的学生中高于90分的学生大约为20000×0.04＝800人，∴A选项错误；∵分数在区间[80，90）内的频率为0.1，∴B选项正确；∵前几组的频率依次为0.16，0.3，0.4，∴样本的70%分位数在[70，80）内，∴样本的70%分位数为70+0.7-0.16-0.30.04=76∵样本的众数约为75，∴D选项正确．故选：BCD．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．（多选）10．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（）A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 B．乙班成绩的第75百分位数为79 C．甲班成绩的中位数为74 D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值【考点】频率分布直方图的应用；条形统计图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABC【分析】由题图可判断A；由百分位数定义即可求第75百分位数可判断B；由中位数对定义判断C；分别计算甲乙两班的平均数即可判断D．【解答】解：根据题意可得甲班成绩的众数为79，乙班成绩的众数为75，故A错误；因为（0.020+0.025+0.030）×10＝0.75，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误；因为甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，所以中位数为79，故C错误；因为甲班成绩平均数为：57×2+58+59+67+68×2+69×2+79×6+87+88×2+89+9820乙班物理成绩的平均数的估计值为：55×0.2+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝71.5，故D正确．故选：ABC．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．（多选）11．近年来，某市积极响应国家号召，大力推行全民健身运动．为了解该市市民一周的体育锻炼情况，从本市市民中随机抽取了500名进行在线调查，收集了他们每周参加体育锻炼时间（单位：小时）的数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则（）A．a的值为0.05 B．样本中每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数不超过260人 C．估计样本中市民每周体育锻炼的众数为9小时 D．估计该市市民每周体育锻炼时间的第70百分位数为11小时【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】对A：借助频率分布直方图结合频率之和为1即可得；对B：借助频率分布直方图计算即可得；对C：借助众数定义即可得；对D：借助百分位数定义计算即可得．【解答】解：对A：根据题意可得（0.02+0.03+a+a+0.15+0.10+a+0.04+0.01）×2＝1，解得a＝0.05，故A正确；对B：每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数约为：（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15）×2×500＝300，故B错误；对C：根据题意可得众数为8+102=9（小时），故对D：前5组频率之和为（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15）＝0.60，前6组频率之和为0.60+2×0.10＝0.80，故第70百分位数在第6组，故第70百分位数为10+0.7-0.60.1=11故选：ACD．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．（多选）12．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（）A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【考点】频率分布直方图的应用．【专题】数形结合；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】对于A，由各组频率之和为1求参数a；对于B，可由频率分布直方图面积与0.5比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建立方程求解可得；对于C，两组求加权平均数可得；对于D，由两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可．【解答】解：对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝200a＝1，解得a＝0.005，故A错误；对于B，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）×10＝50a＝0.25＜0.5，前三个矩形的面积之和为（2a+3a+7a）×10＝120a＝0.6＞0.5，设该年级学生成绩的中位数为m，则m∈[70，80），根据中位数的定义得0.25+（m﹣70）×0.035＝0.5，解得m≈77.14分，所以估计该年级学生成绩的中位数约为77.14分，故B正确；对于C，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为：6a6a对于D，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为：34[12+(87.5-85)故选：BCD．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为12425【考点】百分位数．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】12425【分析】选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为am，公差为kd（k∈N*），则四项分别为am，am+k，am+2k，am+3k，由题意求得k的范围，再由等差数列的前n项和公式结合概率求解．【解答】解：选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为am，公差为kd（k∈N*），则四项分别为am，am+k，am+2k，am+3k，则m≥1且m+3k≤100，即1≤m≤100﹣3k，∵m∈N*，且100﹣3k≥1，可得k≤33．即当该四项公差为kd时，共有（100﹣3k）种方法，其中k∈N*且1≤k≤33，则共有97+94+91+...+1=33(97+1)而从100项中任取3项共有C1004∴则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为P=1617故答案为：12425【点评】本题考查概率统计及其有关概念，考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．14．某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：则样本中停车时长在区间（400，500]上的车辆数为3辆．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】3．【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得（400，500]的频率，进而求得（400，500]的频数，从而得解．【解答】解：设（400，500]的频率为x，则根据题意可得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，则所求为100×0.03＝3．故答案为：3．【点评】本题考查频率分布直方图的性质，属基础题．15．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如下频率分布直方图：则a＝0.02，该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为65分．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.02；65．【分析】根据频率和为1可构造方程求得a的值；根据录取人数可确定锁定分数线为25%分位数，由频率分布直方图估计百分位数的方法可计算得到结果．【解答】解：∵（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，∴a＝0.02；∵150200=0.75，∴1﹣0.75＝又（0.005+0.010）×10＝0.15，（0.005+0.010+0.02）×10＝0.35，∴录取的分数线应定在[60，70）之间，设分数线定为m分，则0.15+（m﹣60）×0.02＝0.25，解得：m＝65，∴应该把录取的分数线定为65分．故答案为：0.02；65．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．16．已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为13．．【考点】方差；平均数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】13．【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差．【解答】解：3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则10名学生体重W（kg）的平均数为：W=故s2故答案为：13．【点评】本题考查方差的计算，属于中档题．17．设集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为8．【考点】平均数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】8．【分析】记最大值与最小值的差为yA，yA的值分别为0，1，2，3，4，5，6，根据yA的值分类讨论确定xA的值及与之对应的集合的个数．然后由平均数定义计算．【解答】解：由已知集合M的非空子集有27﹣1＝127个，其中一元集有7个，xA＝2，4，6，8，10，12，14，xA的和为2+4+⋯+14＝56，记最大值与最小值的差为yA，yA的值分别为0，1，2，3，4，5，6，其中yA＝0是上面的一元集，yA＝6的集合有25＝32个，xA＝8，xA的和为8×32＝256，yA＝5的集合有2×24＝32个，xA＝7，9，xA的和为（7+9）×16＝256，yA＝1的集合有6个：M中相邻两个元素构成的集合，xA＝3，5，7，9，11，13，xA的和为3+5+⋯+13＝48，yA＝2的集合有5×2＝10个：如{1，3}，{1，2，3}之类的，xA＝4，6，8，10，12，每个值对应两个集合，xA的和为（4+6+8+10+12）×2＝80，yA＝3的集合有4×22＝16个：如{1，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}之类的，xA＝5，7，9，11，每个值对应4个集合，xA的和为（5+7+9+11）×4＝128，yA＝4的集合有3×23＝24个，xA＝6，8，10，xA的和为（6+8+10）×8＝192，所以所求平均数为56+48+80+128+192+256+256127故答案为：8．【点评】本题主要考查平均数的求解，属于难题．四．解答题（共5小题）18．某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第80百分位数；（2）以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分；（3）已知落在区间[50，60）的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间[60，70）的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数z和方差s2．参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.025；第80百分位数为86；（2）众数为75，平均分为74；（3）z=63；s2＝23【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解；（2）根据众数和平均分即可求解；（3）根据所给的公式即可求解．【解答】解：（1）由题意知，0.05+0.1+0.2+0.3+10a+0.1＝1，解得a＝0.025；成绩在[40，80）的频率为0.65，成绩在[40，90）的频率为0.9，故第80百分位数在（80，90）之间，则0.65+（m﹣80）×0.025＝0.8，解得m＝86，故第80百分位数为86；（2）众数为70+802=75，45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝所以该地此次竞赛成绩的众数为75，平均分为74；（3）由频率分布直方图知，这100份答卷分数在[50，60）的份数为100×0.1＝10，分数在[60.70）的份数为100×0.2＝20，所以z=总方差s2【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题．19．为提升某校高二学生的数学素养，随机选择100名学生进行基础知识掌握情况的测评（满分100分），根据测评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求x的值；（2）估计这100名学生在测评中得分的70%分位数；（3）若采用按比例分层抽样的方法从得分在[50，60），[60，70）的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率．【考点】频率分布直方图的应用；中位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.03；（2）92.5；（3）815【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；（2）估根据百分位数的概念，即可求解；（3）根据分层抽样及古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得（0.005+0.01+0.015+x+0.04）×10＝1，解得x＝0.03；（2）∵各组的频率依次为0.05，0.1，0.15，0.3，0.4，∴估计这100名学生在测评中得分的70%分位数为90+0.7-0.05-0.1-0.15-0.30.04（3）∵[50，60），[60，70）两组的频率之比为0.05：0.1＝2：4，∴在[50，60）中抽取2人，在[60，70）中抽取4人，∴再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，则选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率为C2【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．20．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；（2）求样本成绩的众数和平均数；（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）a＝0.030；75百分位数为84；（2）众数为75；平均数为74；（3）z=62；s2＝37【分析】（1）根据频率和为1求得a＝0.030，结合百分数定义求第75百分位数；（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差．【解答】解：（1）根据题意可得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1＝1，解得a＝0.030；因为前四组的频率和为0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，前五组的频率和为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25＝0.9，显然第75百分位数在（80，90）内，所以第75百分位数为80+0.75-0.650.025（2）由70+802=75，得样本成绩的众数为成绩落在[40，70）内的频率为0.05+0.1+0.2＝0.35，成绩落在[40，80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，故中位数在[70，80）内，由70+0.5-0.350.65-0.35×10=75由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74．得样本成绩的平均数为74；（3）由频率分布直方图知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，所以z=总方差为s2【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．21．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.06；（2）平均数为174.1，中位数为174.5；（3）715【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率；（2）根据中位数的概念，即可求解；（3）确定第8组有2人，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率．【解答】解：（1）根据题意可得第七组频率为1-（2）根据题意可得平均数估计为：157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5因为前几组的频率依次为0.04，0.08，0.2，0.2，所以中位数在[170，175）内，所以中位数为170+0.5-0.04-0.08-0.20.04（3）由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为a，b，c，d，1，2，从这6人中任选2人，所得样本空间为：{ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12}，有15个样本点，其中两名男生在同一组的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，12，共7个，所以所求概率为P=【点评】本题考查频率分布直方图的综合应，属中档题．22．一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55