2024-2025学年下学期高一数学第八章A卷

第40页（共40页）第八章A卷一．选择题（共8小题）1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，则AB1与BC所成的角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．图1是1963年在陕西宝鸡贾村出口的一口“何尊”（西周青铜酒器），其高约40厘米，器口直径约30厘米．何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，其形状可视为一个圆柱和一个圆台构成的组合体，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱的高和底面直径分别约为24厘米，18厘米，则该组合体的体积约为（）A．3576π B．3744π C．4296π D．4824π3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为47A．83π B．323π C．24π4．若圆台上、下底的面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为（）A．143π B．7π3 C．35．在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝AB＝2，AC＝23，BC＝4，则该三棱锥的外接球半径为（）A．5 B．3 C．25 D．426．在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，SA＝AB＝2，则四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积为（）A．12π B．8π C．48π D．20π7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝m，则“n⊥β”是“n⊥m”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（）A．1 B．12sin2 C．2-二．多选题（共4小题）（多选）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM→A．MN∥平面ABCD B．BD⊥MN C．存在λ，使得CM⊥D1N D．当λ=13时，平面D1（多选）10．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（）A．直线AD∥平面MNE B．直线FC1∥平面MNE C．平面A1BC∥平面MNE D．平面AB1D1∥平面MNE（多选）11．如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则（）A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线（多选）12．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（）A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值三．填空题（共5小题）13．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为．14．已知一正方体的表面积为24，若球与此正方体的各个面均相切，则该球的体积是．15．有一种空心钢球，质量为142g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果精确到0.1cm）．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝PB，二面角P﹣AB﹣C的大小为π3，则PA2+PB2+PC2最小时，三棱锥P﹣ABC的体积为17．《九章算术•商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB＝1，且该方亭的高为6，体积为26，则A1B1＝．四．解答题（共5小题）18．如图，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°．求MN的长．19．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，∠AOP＝120°，圆O的直径AB＝4，圆柱的高OO1＝3．（1）求圆柱的表面积与体积；（2）求直线A1P与AB所成的角．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．（1）求证：BC1⊥平面CDE；（2）求异面直线DE与AB所成角的大小．21．如图，将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC对折，使点B，D的距离为a，求：（1）二面角D﹣AC﹣B的大小；（2）三棱锥A﹣BCD的体积．22．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且CD＝CC1＝2，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．（1）求CA1的长；（2）求证：CA1⊥平面C1BD．

第八章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案CCBCAAAD一．选择题（共8小题）1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，则AB1与BC所成的角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】设AB＝AC＝AA1＝a，由题意可得AB→•AA1→=0，AB→•AC→=0，AA1→•AC→=0，BC=2a，|AB【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，设AB＝AC＝AA1＝a，可得AB→•AA1→=0，AB→•AC→=0，A可得AB1→所以AB1→2=AB→2+AA1→2+2AB→•AA1→=a2+a2+0＝2aAB1→•BC→=（AB→+AA1→）•（AC→-AB→）=AB→•ACcos＜AB1设AB1与BC所成的角为θ，0°≤θ≤90°，所以cosθ＝|cos＜AB1→，所以θ＝60°．故选：C．【点评】本题考查向量的方法求两条直线所成的角的，属于基础题．2．图1是1963年在陕西宝鸡贾村出口的一口“何尊”（西周青铜酒器），其高约40厘米，器口直径约30厘米．何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，其形状可视为一个圆柱和一个圆台构成的组合体，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱的高和底面直径分别约为24厘米，18厘米，则该组合体的体积约为（）A．3576π B．3744π C．4296π D．4824π【考点】圆台的体积；简单组合体的结构特征；圆柱的体积．【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案．【解答】解：由题意可知圆台的高为40﹣24＝16（cm），故组合体的体积大约为π×92×24+13故选：C．【点评】本题考查圆柱及圆台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为47A．83π B．323π C．24π【考点】球的表面积．【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．【答案】B【分析】根据正四棱锥的对称性，球的表面积公式，即可求解．【解答】解：设正四棱锥的斜高为t，则侧面积为4×∴t=7，∴该四棱锥的高为7设该四棱锥的外接球的半径为R，则(6-R)∴该四棱锥的外接球的表面积为4πR2=32故选：B．【点评】本题考查正四棱锥的外接球问题，属基础题．4．若圆台上、下底的面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为（）A．143π B．7π3 C．3【考点】圆台的侧面积和表面积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可．【解答】解：设上底半径为r1，下底半径为r2，因为圆台上、下底的面积分别为π，4π，所以πr12=π，πr22=4π，解得设圆台母线为l，由勾股定理得l=22故S=故选：C．【点评】本题主要考查圆台的侧面积，考查计算能力，属于基础题．5．在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝AB＝2，AC＝23，BC＝4，则该三棱锥的外接球半径为（）A．5 B．3 C．25 D．42【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；分割补形法；球；运算求解．【答案】A【分析】根据分割补形法，即可求解．【解答】解：∵AB＝2，AC＝23，BC＝4，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又PB⊥平面ABC，PB＝2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R即为长，宽，高分别为23，2，2∴(2R∴R=5故选：A．【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，属基础题．6．在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，SA＝AB＝2，则四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积为（）A．12π B．8π C．48π D．20π【考点】球的表面积；球内接多面体．【专题】转化思想；分割补形法；球；运算求解．【答案】A【分析】根据分割补形法，直接求解．【解答】解：根据题意可得四棱锥S﹣ABCD的外接球的直径2R即为棱长为2的正方体的体对角线长，∴（2R）2＝22+22+22＝12，∴四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积为4πR2＝12π．故选：A．【点评】本题考查四棱锥的外接球问题的求解，分割补形法的应用，属基础题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝m，则“n⊥β”是“n⊥m”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与平面垂直；充分条件必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；逻辑思维．【答案】A【分析】由线面垂直的性质判断出“n⊥β”是“n⊥m”的充分条件，再由n⊥m，推不出n⊥β，即“n⊥β”是“n⊥m”的不必要条件，判断出答案．【解答】解：α∩β＝m，n⊥β，所以n⊥m，此时“n⊥β”是“n⊥m”的充分条件，α∩β＝m，n⊥m，可得n⊂β或n∥β或n⊥β，此时“n⊥β”是“n⊥m”的不必要条件，综上所述：“n⊥β”是“n⊥m”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查线面垂直的性质的应用及充分条件必要条件的应用，属于基础题．8．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（）A．1 B．12sin2 C．2-【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；扇形面积公式．【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解；新文化类．【答案】D【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式即可．【解答】解：由题意得劣弧AB的长为2，半径r＝1，设∠AOB＝α，则αr＝2，即α＝2，则扇形AOB的面积为12α过点O作OH⊥AB，则∠AOH＝∠BOH＝1，则sin1=AHAO=AH，cos1=OHAO则S△AOB=1所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于S扇形﹣S△AOB＝1-1故选：D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式和三角形面积公式，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM→A．MN∥平面ABCD B．BD⊥MN C．存在λ，使得CM⊥D1N D．当λ=13时，平面D1【考点】直线与平面平行．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】BD【分析】取λ＝0，结合线面关系判断A；建立空间直角坐标系，利用向量的数量积是否为0判断BC；作出截面判断D．【解答】解：对于A，当λ＝0时，直线MN即为直线AC，此时AC⊂平面ABCD，A错误；对于B，令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系：B（1，1，0），D（0，0，0），M（1，0，λ），N（0，1，λ），C（0，1，0），D1（0，0，1），∴BD→∴BD→∴BD⊥MN，B正确；对于C，CM→=(1，-1，λ∴CM→∴CM与D1N不垂直，C错误；对于D，如图，连接D1M，D1N并延长分别与DA，DC交于E，F，连接EF，分别与AB，BC交于P，Q，连接MP，NQ，则多边形D1MPQN为平面D1MN截正方体的表面所得的图形，为五边形，D正确．故选：BD．【点评】本题考查了直线和平面的位置关系，通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积是否为0判断两直线是否垂直，是基础题．（多选）10．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（）A．直线AD∥平面MNE B．直线FC1∥平面MNE C．平面A1BC∥平面MNE D．平面AB1D1∥平面MNE【考点】直线与平面平行；平面与平面平行；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】ABC【分析】作出经过点M，N，E的截面，数形结合逐一分析四个选项得答案．【解答】解：作出过点M，N，E的截面如图所示（H，I，J均为中点），所以直线AD与其相交于H点，故A项错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1必定相交，故B项错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C项错误；直线AB1∥直线EI，直线AD1∥直线MH，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D项正确．故选：ABC．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．（多选）11．如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则（）A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线【考点】异面直线及其所成的角；平面的基本性质及推论．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．【答案】BD【分析】取A1D1点M，A1B1中点N，连接GM，GN，则GM＝AB＝2EF≠GN＝GH；EF∥A1B∥GM，GM∩GH＝G，从而得到直线EF，GH是相交直线．【解答】解：取A1D1点M，A1B1中点N，连接GM，GN，如图，则GM＝AB＝2EF≠GN＝GH，故A错误，B正确；∵EF∥A1B∥GM，GM∩GH＝G，∴直线EF，GH是相交直线，故C错误，D正确．故选：BD．【点评】本题考查三角形中位线性质、平行公理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）12．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（）A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；整体思想；综合法；立体几何；逻辑思维．【答案】ACD【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可．【解答】解：对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，有条边长不变，而另外一条长随看倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误；对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确；对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了棱柱的特征，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为48π．【考点】圆锥的侧面积和表面积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】48π．【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题可得2πl＝2×2πr，可得l＝8，进而可求表面积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，可得r＝4，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，可得2πl＝2×2πr，解得l＝2r＝8，所以圆锥的表面积为π×8×4+π×42＝48π．故答案为：48π．【点评】本题主要考查圆锥的表面积，考查计算能力，属于基础题．14．已知一正方体的表面积为24，若球与此正方体的各个面均相切，则该球的体积是4π3【考点】球的体积．【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．【答案】4π【分析】求出正方体的棱长，再利用球的体积公式求出体积．【解答】解：设正方体的棱长为a，∴正方体的表面积为6a2＝24，∴a＝2，∴正方体的内切球半径为1，∴所求球的体积为4π故答案为：4π【点评】本题考查正方体的内切球问题，属基础题．15．有一种空心钢球，质量为142g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为4.5cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果精确到0.1cm）．【考点】球的体积．【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．【答案】4.5．【分析】根据球的体积公式，即可求解．【解答】解：设空心钢球的内直径为2rcm，则空心钢球的体积为[4∵空心钢球的质量为142g，钢的密度是7.9g/cm3，∴[43π(52)3∴2r≈4.492≈4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查球的几何性质，属基础题．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝PB，二面角P﹣AB﹣C的大小为π3，则PA2+PB2+PC2最小时，三棱锥P﹣ABC的体积为312【考点】棱锥的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】312【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，设PD＝a，则PA2＝PB2＝a2+1，CD=3，显然∠PDC是二面角P﹣AB﹣C的平面角，所以在△PDC中，由余弦定理可得PC所以PA2+此时三棱锥P﹣ABC的体积V=故答案为：312【点评】本题考查三棱锥的求解的求解，二面角的概念，函数思想，属中档题．17．《九章算术•商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB＝1，且该方亭的高为6，体积为26，则A1B1＝3．【考点】棱台的体积．【专题】方程思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】3．【分析】直接根据棱台的体积公式，建立方程，即可求解．【解答】解：设A1B1＝t，则根据题意可得13解得t＝3．故答案为：3．【点评】本题考查棱台的体积公式的应用，属基础题．四．解答题（共5小题）18．如图，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°．求MN的长．【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；运算求解．【答案】MN＝5．【分析】利用三角形中位线平移异面直线，使△MNP构成直角三角形，解直角三角形即可得解．【解答】解：取BC中点P，连接MP，NP，又因为AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，所以PM∥AC，PM=12AC＝4，PN∥BD，PN=12又因为异面直线AC与BD所成的角为90°，所以∠MPN＝90°，所以MN2＝PM2+PN2＝42+32＝25，所以MN＝5．【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查运算求解能力，属于基础题．19．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，∠AOP＝120°，圆O的直径AB＝4，圆柱的高OO1＝3．（1）求圆柱的表面积与体积；（2）求直线A1P与AB所成的角．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】（1）12π；（2）arccos21【分析】（1）根据题意，由圆柱的体积、表面积公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得AB与A1P所成角即为A1B1与A1P所成角，作出辅助线，结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为AB是圆O的直径，则OB＝2，圆柱的表面积S=2圆柱的体积V＝3×π×22＝12π；（2）根据题意，因为AB∥A1B1，所以AB与A1P所成角即为A1B1与A1P所成角，连结PB1．因为AB是圆O的直径，所以AP⊥PB．因为∠AOP＝120°，所以∠BAP＝30°，∠ABP＝60°．又因为OB=OP=12AB=2，所以BP＝则PAcosPA1B1=PA12【点评】本题考查圆柱的体积、表面积的计算，涉及直线与直线所成角的计算，属于基础题．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．（1）求证：BC1⊥平面CDE；（2）求异面直线DE与AB所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解析．（2）arctan2【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可；（2）由AB∥CD，得∠EDC是异面直线DE与AB所成角，再根据正切求角即可．【解答】解：（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点，连接B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点，∴E是B1C的中点，且B1C⊥BC1，即EC⊥BC1，∵DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴DC⊥BC1，又DC∩EC＝C，DC，EC⊂平面CDE，∴BC1⊥平面CDE．（2）连接CE，则∠EDC是异面直线DE与AB所成角（或其补角）．记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，在Rt△DEC中，tan∠∴异面直线DE与AB所成角是arctan2【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．如图，将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC对折，使点B，D的距离为a，求：（1）二面角D﹣AC﹣B的大小；（2）三棱锥A﹣BCD的体积．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积．【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解；空间想象．【答案】（1）90°；（2）212【分析】（1）连接BD，与AC相交于点O，根据翻折前后不变的位置关系可得AC⊥OD，AC⊥OB，从而知∠BOD即为所求，再利用勾股定理的逆定理，即可得解；（2）先证OD⊥平面ABC，再由棱锥的体积公式，求解即可．【解答】解：（1）连接BD，与AC相交于点O，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，且OB＝OD=2翻折后，AC⊥OD，AC⊥OB，所以∠BOD即为二面角D﹣AC﹣B的平面角，在△BOD中，OB＝OD=22a，BD所以OB2+OD2＝BD2，即OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，故二面角D﹣AC﹣B的大小为90°．（2）由（1）知AC⊥OD，OB⊥OD，因为AC∩OB＝O，AC、OB⊂平面ABC，所以OD⊥平面ABC，所以三棱锥A﹣BCD的体积V＝VD﹣ABC=1【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，二面角的定义，棱锥的体积公式是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．22．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且CD＝CC1＝2，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．（1）求CA1的长；（2）求证：CA1⊥平面C1BD．【考点】直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】（1）26（2）证明如上．【分析】（1）根据平面向量的性质即可求解；（2）根据线面垂直的性质即可求解．【解答】解：（1）设CB→=a→，由于四边形ABCD为菱形，则CB＝CD＝CC1＝2，即|a所以c→⋅a由题意可得CA所以|C（2）证明：因为BD→所以CA所以CA1⊥BD，同理可证CA1⊥BC1，又因为BD∩BC1＝B，所以CA11平面C1BD．【点评】本题考查了线面垂直，属于基础题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S=12lr＝12r【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．4C．1或4D．2或4分析：设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则2R+α⋅R=612R选C．点评：本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．3．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．4．简单组合体的结构特征【知识点的认识】1、简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2、其构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．3、多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．5．球内接多面体【知识点的认识】1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．3、球与多面体的接、切中有关量的分析：（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；②正方体的四个顶点都在球面上；③轴截面就是正方体的对角面；④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；⑤球半径和正方体棱长的关系：r=326．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥=137．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．8．棱台的体积【知识点的认识】棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．9．圆锥的侧面积和表面积【知识点的认识】圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．【解题方法点拨】﹣侧面积：计算公式为πrl．﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为πr【命题方向】﹣圆锥的表面积计算：考查如何计算圆锥的侧面积和表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆锥的表面积计算．10．圆台的侧面积和表面积【知识点的认识】圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．【解题方法点拨】﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为πr【命题方向】﹣圆台的表面积计算：考查如何计算圆台的侧面积和表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆台的表面积计算．11．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱1圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：V圆柱2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质圆锥1与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：V圆锥3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质圆台1平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：V圆台12．圆柱的体积【知识点的认识】圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆柱的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆柱的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆柱的体积计算．13．圆台的体积【知识点的认识】圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆台的体积计算：考查如何根据底面和顶面的半径以及高度计算圆台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆台的体积计算．14．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体=3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．15．球的表面积【知识点的认识】球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为4π【解题方法点拨】﹣计算公式：表面积计算公式为4π﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．【命题方向】﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．16．球的体积【知识点的认识】球的体积依赖于球的半径r，计算公式为43【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为43﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣球的体积计算：考查如何根据球的半径计算体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的体积计算．17．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．18．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识