2024-2025学年下学期高二数学第七章B卷

第49页（共49页）第七章B卷一．选择题（共8小题）1．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布B(6②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(④D（2X+3）＝2D（X）+3．A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①②2．若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（）X1234P1414a13A．512 B．12 C．712 3．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置．现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．1423 B．2855 C．1415 4．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为415，出现B性状的概率为215，A、B两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现AA．14 B．38 C．12 5．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.7，则其成功概率为（）A．0 B．1 C．0.3 D．0.76．已知随机变量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，则Dξ的值可能是（）ξ123PabcA．43 B．32 C．2 D7．小胡有一笔资金，如果存银行，收益为1.5万元，该笔资金也可以投资基金或股票，投资收益和市场密切相关，调研发现市场上基金收益X（万元）和股票收益Y（万元）情况如下表所示：X102﹣3P0.10.70.2Y73﹣3P0.10.60.3则从数学的角度，在市场情况不变的条件下，这笔资金如何处理预期收益较大（）A．存银行 B．投资股票 C．投资基金 D．投资基金和投资股票均可8．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13A．P(B|A)=C．P(B)=P二．多选题（共4小题）（多选）9．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（）A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为27C．第3次检测后就可确定患病者的概率为27D．检测次数的期望为3（多选）10．如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为13，p（0＜p＜1）．同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为YA．P(B．D(C．一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为13D．当p=2（多选）11．某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（）表1甲每股收益的分布列收益X元﹣102概率0.10.30.6表2乙每股收益的分布列收益Y元012概率0.30.30.4A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照1：1的资金分配方式投资甲、乙两种股票时，收益的方差之和最小（多选）12．下列命题中正确的是（）A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为12B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C．已知z1，z2∈C，z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 D．袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则X～H（10，3，2）三．填空题（共5小题）13．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会．小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为；他在一年内参加考试次数的数学期望为．14．已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），则1x+4a-x（0＜x＜a15．一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则3X+2的方差为．16．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次．按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为ξ．下列结论中正确的是①E（X）：E（Y）＝5：2；②D（X）＞D（Y）；③E（X）＝E（ξ）；④D（X）＜D（ξ）．（注：随机变量X的期望记为E（X）、方差记为D（X））17．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功．已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响．设甲试举的次数为随机变量X，则X的数学期望E（X）＝；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是四．解答题（共5小题）18．在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金．先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次．规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额．（1）若m＝1，设第一个摸球的优秀员工获得的金额ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）若m＝2，采用有放回方式摸球，设事件X＝“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件Y＝“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求P（Y|X）．19．某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为N，规定原始成绩排名为n的学生赋分成绩如下：当0＜nN≤25%时，当25%＜nN≤50%时当50%＜nN≤75%时，当75%＜nN时，赋分成绩①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记X为这2人赋分成绩之和，求X的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩9.75887.57.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.54.2543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为Y1，Y2，直接写出数学期望EY1和EY2的大小关系．20．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1（1）求赛完4局且乙获胜的概率；（2）若规定每局获胜者得2分，负者得﹣1分，记比赛结束时甲最终得分为X，求X的分布列和数学期望．21．为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动．小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的．小路同学第一天选择打乒乓球的概率为23，选择打羽毛球的概率为13，而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为13，选择打羽毛球的概率为23；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为13，选择打乒乓球的概率为23；如此往复．记小路同学第（1）小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为X，求X的分布列和数学期望．（2）求Pn．22．《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过．家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如表．居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2．品类名称热水器冰箱洗衣机电视机空调补贴标准（单位：元/件）10001000150020002000（1）求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率；（2）居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为X，求X的分布列与期望．

第七章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案BACBDDCC一．选择题（共8小题）1．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布B(6②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(④D（2X+3）＝2D（X）+3．A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①②【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率；n重伯努利试验与二项分布．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④．【解答】解：对于①：随机变量X服从二项分布B(6则P(X=3)=对于②：随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.9﹣0.5＝0.4，故②正确；对于③：事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(AB)=A444对于④：D（2X+3）＝4D（X），故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查正态分布、二项分布及条件概率的求法，是中档题．2．若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（）X1234P1414a13A．512 B．12 C．712 【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由P（|X﹣2|＝1）＝P（X＝1）+P（X＝3）求得结果．【解答】解：根据题意可得a=1所以P(|故选：A．【点评】本题考查的知识点：随机变量，分布列，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置．现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．1423 B．2855 C．1415 【考点】贝叶斯公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论．【解答】解：设A1＝“失踪的飞机后来被找到”，A2＝“失踪的飞机后来未被找到”，B＝“安装有紧急定位传送器”，则P（A1）＝0.7，P（A2）＝0.3，P（B|A1）＝0.6，P（B|A2）＝1﹣0.9＝0.1，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：P(故选：C．【点评】本题主要考查了贝叶斯公式的应用，属于中档题．4．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为415，出现B性状的概率为215，A、B两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现AA．14 B．38 C．12 【考点】条件概率．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】记事件E：该家族某位成员出现A性状，事件F：该家族某位成员出现B性状，求出P（EF），利用条件概率公式可求得所求事件的概率．【解答】解：记事件E：该家族某位成员出现A性状，事件F：该家族某位成员出现B性状，则P（E）=415，P（F）=215，P（E∩又因为P（E∪F）＝P（E）+P（F）﹣P（EF），则P（EF）＝P（E）+P（F）﹣P（E∪F）=1故所求概率为P（F|E）=P故选：B．【点评】本题主要考查条件概率，属于中档题．5．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.7，则其成功概率为（）A．0 B．1 C．0.3 D．0.7【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【答案】D【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论．【解答】解：∵X服从两点分布，E（X）＝0.7，∴成功的概率为0.7，故选：D．【点评】本题考查两点分布的性质和应用，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知随机变量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，则Dξ的值可能是（）ξ123PabcA．43 B．32 C．2 D【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据分布列的性质结合Eξ＝2，得到a，b，c的关系，以及c的范围，将a，b用c表示，则Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝18c﹣8≤1，【解答】解：依题意，a+b+c＝1，随机变量ξ的期望E（ξ）＝a+2b+3c＝2，所以b+2c＝1，b＝1﹣2c，a＝c．（0≤c而E（ξ2）＝a+4b+9c，所以Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝2c≤1，故选：D．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，考查了不等式的应用，属于中档题．7．小胡有一笔资金，如果存银行，收益为1.5万元，该笔资金也可以投资基金或股票，投资收益和市场密切相关，调研发现市场上基金收益X（万元）和股票收益Y（万元）情况如下表所示：X102﹣3P0.10.70.2Y73﹣3P0.10.60.3则从数学的角度，在市场情况不变的条件下，这笔资金如何处理预期收益较大（）A．存银行 B．投资股票 C．投资基金 D．投资基金和投资股票均可【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】计算出基金收益和股票收益的均值，判断即可．【解答】解：由已知得：E（X）＝10×0.1+2×0.7+（﹣3）×0.2＝1.8，E（Y）＝7×0.1+3×0.6+（﹣3）×0.3＝1.6，显然E（X）＞E（Y），预期基金收益较大，则应投资基金．故选：C．【点评】本题考查期望的计算及应用，属于基础题．8．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13A．P(B|A)=C．P(B)=P【考点】条件概率乘法公式及应用；事件的并事件（和事件）．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得．【解答】解：因为P(A)=1P(A+B)=P(∵P∴P(AB)+∴P(B|P(P(B)=14因为P(∵P(∴34=14+P(故选：C．【点评】本题主要考查和事件的概率公式和条件概率公式，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（）A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为27C．第3次检测后就可确定患病者的概率为27D．检测次数的期望为3【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；全概率公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】根据题意，假设需要检测X次，可以确定患者，由合情推理的方法分析A，由全概率公式分析B、C，由期望的计算公式分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，假设需要检测X次，可以确定患者，依次分析选项：对于A，分2种情况讨论：①当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都没有检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次无论结果为阴性和阳性，都可以确定患病者；②若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患病者．故最多需要检测4次可确定患病者，故A项正确；对于B项，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：①患病者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次抽到他，其概率P（X＝2）=47×对于C，第3次检测后就可确定患病者有两种情况：①患病者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次没有抽到他，则P（X＝3）=47×对于D，X可取的值为2、3、4，且P（X＝2）=27，P（X＝3）=37，P（X＝4）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝故E（X）＝2×27+3×37+故选：ABD．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，涉及古典概型的计算，属于中档题．（多选）10．如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为13，p（0＜p＜1）．同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为X，在A，B两处遇到红灯的次数之和为YA．P(B．D(C．一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为13D．当p=2【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n重伯努利试验与二项分布．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】根据题意知道X∼【解答】解：A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为13所以X∼B(5D(X)=5×1一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为1-(1-当p=25遇到一次红灯的概率为13×(1-2故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为0×所以E(Y)=5故选：ACD．【点评】本题考查了二项分布，属于基础题．（多选）11．某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（）表1甲每股收益的分布列收益X元﹣102概率0.10.30.6表2乙每股收益的分布列收益Y元012概率0.30.30.4A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照1：1的资金分配方式投资甲、乙两种股票时，收益的方差之和最小【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】利用离散型随机变量的期望公式和方差公式求解．【解答】解：对于A，由题意可知，E（X）＝﹣1×0.1+0×0.3+2×0.6＝1.1，E（Y）＝0×0.3+1×0.3+2×0.4＝1.1，所以甲每股收益的数学期望等于乙每股收益的数学期望，故A错误；对于B，因为E（X）＝1.1，E（Y）＝1.1，所以D（X）＝0.1×（﹣1﹣1.1）2+0.3×（0﹣1.1）2+0.6×（2﹣1.1）2＝1.29，D（Y）＝0.3×（0﹣1.1）2+0.3×（1﹣1.1）2+0.4×（2﹣1.1）2＝0.69，因为D（X）＞D（Y），所以相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥，故B正确；对于C，设投资甲种股票a元，投资乙种股票（10000﹣a）元，所以E（aX）+E[（10000﹣a）Y]＝aE（X）+（10000﹣a）E（Y）＝1.1a+1.1（10000﹣a）＝11000，故C正确；对于D，设投资甲种股票a元，投资乙种股票（10000﹣a）元，由C可知，收益的期望为11000，所以收益的方差为D（aX）+D[（10000﹣a）Y]＝a2D（X）+（10000﹣a）2D（Y）＝a2×1.29+（10000﹣a）2×0.69＝1.98a2﹣13800a+0.69×108，所以当a=--138002×1.98≈3485时，D（aX）+D[（10000﹣故投资甲种股票3485元，投资乙种股票6515元时，收益的方差之和最小，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望函数方差，属于中档题．（多选）12．下列命题中正确的是（）A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为12B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C．已知z1，z2∈C，z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 D．袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则X～H（10，3，2）【考点】求解条件概率；超几何分布；部分位置的元素有限制的排列问题；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】结合古典概率公式检验选项A；结合组合数公式检验选项B；结合复数的基本概念检验选项C；结合超几何分布的概念检验选项D即可求．【解答】解：A．Ω＝{（男，女），（女，男），（女，女）}，A＝{（男，女），（女，男）}，所以P(A)=B.C63=20C．设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，所以ac-bd=0ad+bc=0①，视①所以a（c2+d2）＝0，当c2+d2＝0，即z2＝0时，①有无数多个解：当c2+d2≠0，即z2≠0时，①有且只有唯一解a＝b＝0，即z1＝0，因此当z1z2＝0时，z1，z2中至少有一个为0，C正确；D．从中随机连续取3次不放回，所以X服从超几何分布，所以D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了古典概率公式，组合数公式的应用，复数的基本概念，超几何分布的判断，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会．小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为0.94；他在一年内参加考试次数的数学期望为1.7．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.94；1.7．【分析】利用间接法，结合独立事件的概率乘法公式求解第一空；设小王在一年内参加考试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再结合期望公式求解．【解答】解：由题意可知，小王在一年内领到资格证书的概率为1﹣（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×（1﹣0.7）＝0.94，设小王在一年内参加考试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.5，P（X＝2）＝（1﹣0.5）×0.6＝0.3，P（X＝3）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.6）＝0.2，所以E（X）＝1×0.5+2×0.3+3×0.2＝1.7．故答案为：0.94；1.7．【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．14．已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），则1x+4a-x（0＜x＜a【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】94【分析】由正态分布的性质，求出a的值，然后利用导数研究该函数的单调性，进而求出最小值．【解答】解：因为ξ～N（4，52），故μ＝4，因为P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），故3+a+12=4，解得再令f（x）=1x+44-x，f'(x)=-1x2+4(4-x)x∈(43，4)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）min＝故答案为：94【点评】本题考查正态分布的性质以及导数的应用，属于中档题．15．一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则3X+2的方差为185【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】185【分析】由题意X的取值为0，1，2，计算出各自对应的概率，求出期望和方差即可求解．【解答】解：由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2，则P(X=0)=C3所以E(X)=0所以D(3故答案为：185【点评】本题考查了离散型随机变量的方差计算，属于中档题．16．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次．按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为ξ．下列结论中正确的是①③④①E（X）：E（Y）＝5：2；②D（X）＞D（Y）；③E（X）＝E（ξ）；④D（X）＜D（ξ）．（注：随机变量X的期望记为E（X）、方差记为D（X））【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；运算求解．【答案】①③④．【分析】根据不放回抽取，确定红球个数X的可能取值以及黑球个数为Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得X，Y的期望和方程，判断①②；按放回抽取，可知ξ～B(3【解答】解：由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数X的可能取值为1，2，3，黑球个数Y的可能取值为2，1，0，则P(P(P(故E(由题意可知X+Y＝3，故P(P(P(故E(故E(X)D(D(即D（X）＝D（Y），故②错误；抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为57，得到红球的个数记为ξ则ξ～故E(ξ)=3故E（X）＝E（ξ），D（x）＜D（ξ），即③，④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．17．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功．已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响．设甲试举的次数为随机变量X，则X的数学期望E（X）＝139；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是3【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】分类讨论；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用相互独立、对立与互斥事件的概率计算公式可得P（X＝k）（k＝1，2，3），利用数学期望计算公式可得E（X），再利用全概率的计算公式即可得出结论．【解答】解：由题意可得X＝1，2，3，P（X＝1）=23，P（X＝2）=13×23=29，P（∴E（X）＝1×23+2×若甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是29故答案为：139；3【点评】本题考查了相互独立、对立与互斥事件的概率计算公式、离散型随机变量的期望、全概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）18．在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金．先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次．规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额．（1）若m＝1，设第一个摸球的优秀员工获得的金额ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）若m＝2，采用有放回方式摸球，设事件X＝“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件Y＝“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求P（Y|X）．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）分布列见解析，Eξ=（2）2227【分析】（1）得到ξ的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望；（2）先求出P(X)=【解答】解：（1）由题意，ξ的所有可能取值为500，1000，1500，则P(ξ=500)=16所以ξ的分布列如下表所示：ξ50010001500P161312Eξ=500（2）采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率为p1每次摸到1000元的概率为p2=13，每次摸到事件X包含1种情况，即两次均摸到1500元，故P(故P(事件XY包含3种情况，两次均摸到1000元；一次摸到500元，一次摸到1500元；一次摸到1000元，一次摸到1500元；所以P(所以P(【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．19．某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为N，规定原始成绩排名为n的学生赋分成绩如下：当0＜nN≤25%时，当25%＜nN≤50%时当50%＜nN≤75%时，当75%＜nN时，赋分成绩①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记X为这2人赋分成绩之和，求X的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩9.75887.57.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.54.2543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为Y1，Y2，直接写出数学期望EY1和EY2的大小关系．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（Ⅰ）3233（Ⅱ）①分布列见解析，数学期望为185；②E（Y1）＜E（Y2）．【分析】（Ⅰ）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算．（Ⅱ）①根据表格中数据，原始成绩不低于6.5的学生赋分成绩，再求出X的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望并比较大小．【解答】解：（Ⅰ）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件A，依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，由古典概型，得P(（Ⅱ）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于6.5的学生共有6人，赋分依次为100，100，100，85，85，85，则X的所有可能值为170，185，200，P(X=170)=P（X＝200）=C所以X的分布列如下：X170185200P153515EX=170②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100，100，100，85，85，85，70，70，70，60，60，60，对课程乙进行赋分，赋分依次为：100，100，100，100，100，85，85，85，70，70，70，70，60，60，60，60，因此P（Y1＝100）＝P（Y1＝85）＝P（Y1＝70）＝P（Y1＝60）＝2，E(P(Y2=100)=5E(所以E（Y1）＜E（Y2）．【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1（1）求赛完4局且乙获胜的概率；（2）若规定每局获胜者得2分，负者得﹣1分，记比赛结束时甲最终得分为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）227（2）分布列见解答，E（X）=107【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）X的可能取值为﹣3，﹣1，1，4，5，6，求出对应的概率，即可得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“赛完4局且乙获胜”为事件A，则事件A发生就是乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜，P(（2）X的可能取值为﹣3，﹣1，1，4，5，6，则P(P(P(P(P(P(X的分布列如表所示：X﹣3﹣11456P1272278811681827827所以E(【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．21．为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动．小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的．小路同学第一天选择打乒乓球的概率为23，选择打羽毛球的概率为13，而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为13，选择打羽毛球的概率为23；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为13，选择打乒乓球的概率为23；如此往复．记小路同学第（1）小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为X，求X的分布列和数学期望．（2）求Pn．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；概率的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）分布列见解答，E（X）158（2）Pn【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，可得分布列及数学期望；（2）根据题意可得Pn+1与Pn的递推关系式，构造等比数列，由等比数列的通项公式即可求得Pn．【解答】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，P(P(P(P(所以X的分布列为：X0123P15615561528528则E(（2）设A1＝“第一天打乒乓球”，B1＝“第一天打羽毛球”，A2＝“第二天打乒乓球”，B2＝“第二天打羽毛球”，则P(A2|A1)=由题意得：Pn+1＝Pn•P（B2|B1）+（1﹣Pn）•P（B2|A1），故Pn可得(P易知P1故{Pn-12所以Pn故Pn【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，数列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．22．《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过．家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如表．居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2．品类名称热水器冰箱洗衣机电视机空调补贴标准（单位：元/件）10001000150020002000（1）求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率；（2）居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为X，求X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；求解条件概率；全概率公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，4500元．【分析】（1）设事件A＝“更换电视机”，事件B＝“更换洗衣机”，根据题意得P（A），P(AB)，P(AB)+P(AB)的值，结合P(AB)+P（2）列出随机变量的可取值，然后计算出对应的概率，列出分布列，求得数学期望．【解答】解：（1）记“更换电视机”为事件A，记“更换洗衣机”为事件B，∵P（A）＝0.6，∴P(∵P(AB且P(∴P(由全概率公式P(A)=∴P(同理可得P（B）＝0.6，∴P(∴P(∴居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率为0.5．（2）由题意知X的可能取值为3500，4000，4500，5000，5500，P(X=3500)=C2P(X=5000)=∴X的分布列为X35004000450050005500P110152515110则E(【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则2．事件的并事件（和事件）【知识点的认识】一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪【解题方法点拨】﹣根据并事件的定义，对两个事件的并事件进行求解和辨析．【命题方向】﹣常用于求两个事件的并事件．3．概率的应用【知识点的认识】概率相关知识梳理：一、古典概型与互斥事件1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．2．古典概率计算公式：P（A）＝．集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B=A，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．用集合的观点分析对立事件与互斥事件：设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）设两个对立事件A，A包含的所有结果构成的集合为A，A，A∩A=∅，A∪A=则注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．几何概型计算公式：几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．三、条件概率与独立事件1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．3．条件概率计算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A注：（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0⇒P（AB）＝故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与B，A与B，A与B也相互独立．四、二项分布、超几何分布、正态分布1．二项分布：（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．2．超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．3．正态分布：（1）正态曲线：函数f（x）=12πσe-(x（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．5、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．【解题方法点拨】概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向．【命题方向】题型一：概率的计算典例1：已知函数y=x（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞bA．14B．13C．12解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域面积为2，使得a＞b的区域面积为2-12=故选D题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列为：ξ2345P4982742719∴Eξ4．相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】﹣对于相互独立事件A和B，P(【解题方法点拨】﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．【命题方向】﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．5．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P6．求解条件概率【知识点的认识】﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．﹣计算：P(A|B)=P(【解题方法点拨】﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．【命题方向】﹣主要考察条件概率的计算及其应用问题．7．条件概率乘法公式及应用【知识点的认识】﹣条件概率乘法公式：P(【解题方法点拨】﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．【命题方向】﹣涉及条件概率与交事件的计算，特别是在复杂事件的概率计算中应用．8．全概率公式【知识点的认识】全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）=i9．贝叶斯公式【知识点的认识】贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：P(【解题方法点拨】贝叶斯公式和全概率公式的联系：（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．【命题方向】贝叶斯公式是2019版新教材的一个知识点，考试题型较大可能是填空题或选择题，围绕考生的理解能力和综合应用能力进行考察，要求能灵活运用题干信息与所学知识，建立起正确的概率模型，综合运用排列组合等知识解决问题．10．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．11．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．12．离散型随机变量的方差与标准差【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．13．两点分布（0-1分布）【知识点的认识】﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．【解题方法点拨】﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式．【命题方向】﹣主要考察0﹣1分布的性质和应用问题．14．n重伯努利试验与二项分布【知识点的认识】1、二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p【解题方法点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【命题方向】典例1：如果ζ～B（100，12），当P（ζ＝k）取得最大值时，k＝50解：∵ζ～B（100，12当P(由组合数知，当k＝50时取到最大值．故答案为：50．典例2：一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p=2∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为C3（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上单调递增，在（13，∴p=13时，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．15．二项分布的均值（数学期望）与方差【知识点的认识】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（数学期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解题方法点拨】﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．【命题方向】﹣重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题．16．超几何分布【知识点的认识】一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝K）=CMkCN-Mn-kCNn，k其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．【解题方法点拨】超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．【命题方向】典例1：有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）A．nB．(n-1)MNC．分析：先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为nMN解答：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H（n，M，N），∴抽到的次品数的数学期望值EX=故选C．题型一：抽样次品数的分布规律问题典例1：某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．解：设该批产品中次品有x件，由已知x10∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X=1)=（2）∵X可能为0，1，2∴P(X=0)=C83C∴X的分布为：X012P715715115则EX=0×7题型二：不放回摸球游戏问题典例2：甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．解：（1）由题意，P=∴xy24当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3P(P(ξ=2)=所以Eξ17．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例