2024-2025学年下学期初中数学八年级第十七章B卷_第1页
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第38页(共38页)第十七章B卷一.选择题(共10小题)1.(2024秋•洛宁县期末)将一支长为14cm的圆珠笔,放在底面内径为6cm,高为8cm的圆柱形笔筒中,设圆珠笔在笔筒外面的长度为acm,则a的取值范围是()A.a≤10 B.a≤8 C.a≥6 D.4≤a≤62.(2024秋•金水区期末)下列条件中,哪个不能够判断一个三角形是直角三角形()A.∠A=∠B+∠C B.a2:b2:c2=3:4:5 C.a:b:c=3:4:5 D.a=12,b=16,c=203.(2024秋•江阴市期末)我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图,数学家刘徽(约公元225年﹣公元295年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若a=10,b=2,则此勾股形的面积为()A.28 B.30 C.32 D.364.(2024秋•新安县期末)在△ABC中,a、b、c分别是三边的长,下列说法:①∠B=∠C﹣∠A;②a2=(b+c)(b﹣c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤a2:b2:c2=1:2:3.其中,能判断△ABC为直角三角形的条件有()个.A.2 B.3 C.4 D.55.(2024秋•城关区期末)勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.如图,所有四边形都是正方形,三角形是直角三角形,若正方形A、C的面积分别为6,10,则正方形B的边长是()A.8 B.4 C.2 D.346.(2024秋•城关区校级期末)如图,在底面周长约为6米的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为()A.20米 B.25米 C.30米 D.15米7.(2024秋•莱西市期末)如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为()A.2 B.3 C.3 D.38.(2024秋•黄陂区期末)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,BE=AD=4,∠BCD的平分线交AB于点E,若BC与CD的差为1,则AE的长为()A.1 B.12 C.23 D9.(2024秋•浙江期末)如图,在Rt△ABC中,斜边AB=6,以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD,以BC为腰作等腰Rt△BCE,连结DE.若AC为a,BC为b,DE为c,则下列关系式成立的是()A.ab+8=c2 B.a2+b2=2c2 C.a2+c2=3b2 D.ab+36=c210.(2024秋•锦江区期末)如图,以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A.若点A的坐标为(﹣52,0),P点的纵坐标为﹣1,则P点的坐标为()A.(﹣7,﹣1) B.(7,﹣1) C.(-51,-二.填空题(共5小题)11.(2024秋•鄞州区期末)已知△ABC的周长为16,AB=6,当AC的值为时,△ABC是等腰三角形.12.(2024秋•南昌期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).当点P运动到边AB时,t为秒时,△BCP为等腰三角形.13.(2024秋•拱墅区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°.∠BAC的平分线交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AD,交AC于点E,过点D作DF∥AB,交AC于点F.若AB=4,AE=6,则DC2=.14.(2024秋•嵩县期末)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则AD=米.15.(2024秋•平谷区期末)如图,将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上,纸片上的点A对应的数是﹣3,AC=BC=BD=1,若以点A为圆心,AD长为半径画弧,与数轴交于点E,则点E表示的数为.三.解答题(共8小题)16.(2024秋•云岩区期末)劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分.如图,△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地,小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分,现用皮尺测量得到AB=13m,AC=15m,AD=12m,BD=5m.(1)请判断小路AD是否与BC垂直,并说明理由;(2)求劳动场地△ABC的面积.17.(2024秋•鄞州区期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,AB=2CD,点F是CE中点.(1)求证:∠DCE=∠ADF;(2)若∠BAC=90°,AE=6,AC=8,求DF的长.18.(2024秋•正定县期末)如图,有一架秋千,当它静止在AD的位置时,踏板离地的垂直高度DE为0.7m,将秋千AD往前推送4m(即BC为4m),到达AB的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m,秋千的绳索始终保持拉直的状态.(1)求秋千的长度.(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时,需要将秋千AD往前推送m.19.(2024秋•万州区期末)放风筝是清明节的节日习俗,寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞,此外,放风筝还是一项娱乐性运动,无论是与家人还是朋友一起放风筝,都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后,想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图,牵线放风筝的同学站在A处,风筝在F处,先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米,然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米,最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米.(1)求此时风筝的垂直高度EF的长;(2)若放风筝的同学站在点A不动,风筝沿EF的方向继续上升到D处,风筝线又放出了8米,请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长.20.(2024秋•九龙坡区校级期末)某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.测量数据如下表(不完整):项目主题测量旗杆的高度成员组长:xxx,组员xx、xxx、xxx,材料准备皮尺、纸、笔等测量示意图测量步骤如图,线段AB表示学校旗杆,步骤一:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,用皮尺测量多出的这段绳子的长度;步骤二:用手握绳梢在地面移动,从旗杆底部起,逐步远离,直到绳子拉直,不能再移动时为止,用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD的长度;步骤三:用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE的长度.测量数据绳子垂到地面,比旗杆多出一段的长度CD的长度CE的长度2米1米9米……任务一:请你帮助该小组根据表中的测量数据,求出学校旗杆AB高度;任务二:写出你在活动中的收获,反思或困惑.(写出一条即可)21.(2024秋•贵阳期末)某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE(即MD⊥DE,NE⊥DE),一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时,梯子底端B到左墙的距离BD=7dm,顶端A到地面的距离AD=24dm.(图中所有点均在同一平面内)(1)求梯子AB的长;(2)如果保持底端位置B不动,将梯子斜靠在右墙NE上时,若梯子顶端C距离地面的距离CE=20dm,求该教学楼走廊的宽度DE的长.22.(2024秋•新吴区期末)在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图①,过点D作DG∥BC交AB于点G,求证:△GBD是等腰三角形.(2)如图②,若AC=8,BC=6,求CD的长.23.(2024秋•二七区期末)2024年12月4日,我国传统节日春节申遗成功.为庆祝这一喜讯,郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见,大美非遗”的创意文化市集,诸多非遗有关文化项目集中亮相.图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝,在试飞风筝过程中,他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.以下是他们测量高度的过程:①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米;③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米.已知A、B、C、D点在同一平面内.(1)求风筝离地面的垂直高度CD;(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题:在手中剩余线仅剩7.5米的情况下,若想要风筝沿射线DC方向再上升9米,BD长度不变,能否成功呢?请你帮助解决涵涵提出的问题.

第十七章B卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DBBCCAAADA一.选择题(共10小题)1.(2024秋•洛宁县期末)将一支长为14cm的圆珠笔,放在底面内径为6cm,高为8cm的圆柱形笔筒中,设圆珠笔在笔筒外面的长度为acm,则a的取值范围是()A.a≤10 B.a≤8 C.a≥6 D.4≤a≤6【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】D【分析】分当圆珠笔斜放在笔筒中时,露在笔筒外的长度最短,当圆珠笔垂直放在笔筒中时,露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可.【解答】解:如图,当圆珠笔斜放在笔筒中时,露在笔筒外的长度最短,最短为14-AB2+如图,当圆珠笔垂直放在笔筒中时,露在笔筒外的长度最长,最长为14﹣8=6,故a的取值范围是4≤a≤6,故选:D.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟记勾股定理是解题的关键.2.(2024秋•金水区期末)下列条件中,哪个不能够判断一个三角形是直角三角形()A.∠A=∠B+∠C B.a2:b2:c2=3:4:5 C.a:b:c=3:4:5 D.a=12,b=16,c=20【考点】勾股定理的逆定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】B【分析】因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理可进行求解.【解答】解:A、由∠A+∠B+∠C=180°且∠A=∠B+∠C可得∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,故该选项能够判断一个三角形是直角三角形,不符合题意;B、由a2:b2:c2=3:4:5可得a2+b2≠c2,∴△ABC不是直角三角形,故符合题意;C、由a:b:c=3:4:5可设a=3x,b=4x,c=5x,可得(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,∴△ABC是直角三角形,故该选项能够判断一个三角形是直角三角形,不符合题意;D、由a=12,b=16,c=20可得a2+b2=c2,符合勾股定理逆定理,∴△ABC是直角三角形,故该选项能够判断一个三角形是直角三角形,不符合题意;故选:B.【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.3.(2024秋•江阴市期末)我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图,数学家刘徽(约公元225年﹣公元295年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若a=10,b=2,则此勾股形的面积为()A.28 B.30 C.32 D.36【考点】勾股定理;全等图形.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】B【分析】设阴影部分的直角三角形的未知边长为x,在直角三角形ABC中,利用勾股定理可建立关于x的方程,利用整体代入的思想解决问题,进而可求出该三角形的面积.【解答】解:设阴影部分的直角三角形的未知边长为x,则BC=x+b,AC=x+a,BA=a+b,由勾股定理得(x+b)2+(a+b)2=(x+a)2.∵a=10,b=2,(x+2)2+(10+2)2=(x+10)2,解得:x=3,∴AB=3+2=5,BC=10+2=12,∴△ABC的面积=12×12×5故选:B.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的应用,求出小正方形的边长是解题的关键.4.(2024秋•新安县期末)在△ABC中,a、b、c分别是三边的长,下列说法:①∠B=∠C﹣∠A;②a2=(b+c)(b﹣c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤a2:b2:c2=1:2:3.其中,能判断△ABC为直角三角形的条件有()个.A.2 B.3 C.4 D.5【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】C【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可.【解答】解:①若∠B=∠C﹣∠A,则∠B+∠A=∠C,所以∠C=90°,所以△ABC是直角三角形,正确,符合题意;②若a2=(b+c)(b﹣c),所以a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形,正确,符合题意;③∠A:∠B:∠C=3:4:5,最大角为180°×④若a:b:c=5:4:3,设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),则(3k)2+(4k)2=(5k)2,则△ABC是直角三角形,正确,符合题意;⑤若a2:b2:c2=1:2:3,a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形,正确,符合题意;故能判断△ABC为直角三角形的条件有:①②④⑤.故选:C.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理,熟知如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键.5.(2024秋•城关区期末)勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.如图,所有四边形都是正方形,三角形是直角三角形,若正方形A、C的面积分别为6,10,则正方形B的边长是()A.8 B.4 C.2 D.34【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】C【分析】本面积与正方形边长的关系,以及各边长之间的关系,据此即可求解.【解答】解:设三边长分别为a,b,c,∴a2+b2=c2,∴正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积,正方形A、C的面积分别为6,10∴正方形B的面积是10﹣6=4,∴正方形B的边长是2,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理的背景图,解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系,以及各边长之间的关系,6.(2024秋•城关区校级期末)如图,在底面周长约为6米的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为()A.20米 B.25米 C.30米 D.15米【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力;应用意识.【答案】A【分析】把圆柱体的侧面展开后是长方形,每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形,根据勾股定理求出每圈龙的长度,最后乘2即可得出结论.【解答】解:如图,根据题意可知,底面周长约为6米,柱身高约16米,∴AB=6,AE=12AD=12∴BE=AB∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10=20(米).故选:A.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用,解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开,并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形.7.(2024秋•莱西市期末)如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为()A.2 B.3 C.3 D.3【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AC的长,再利用等积法即可求出BD的长.【解答】解:根据勾股定理得:AC=32∵S△又∵S△∴12∴12∴BD=2.故选:A.【点评】本题考查勾股定理与网格问题.熟练掌握勾股定理,以及等积法求线段的长度,是解题的关键.8.(2024秋•黄陂区期末)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,BE=AD=4,∠BCD的平分线交AB于点E,若BC与CD的差为1,则AE的长为()A.1 B.12 C.23 D【考点】勾股定理;全等三角形的判定与性质.【专题】线段、角、相交线与平行线;图形的全等;推理能力.【答案】A【分析】连接DE,过E作EH⊥CD于H,根据角平分线的性质得到BE=EH=4,求得EH=AD,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解答】解:连接DE,过E作EH⊥CD于H,∵CE平分∠BCD,∠B=90°,∴BE=EH=4,∵BE=AD,∴EH=AD,在Rt△ADE与Rt△HED中,AD=∴Rt△ADE≌Rt△HED(HL),∴AE=DH,在Rt△BCE与Rt△HCE中,BE=∴Rt△BCE≌Rt△HCE(HL),∴BC=CH,∵BC与CD的差为1,∴BC﹣CD=CH﹣CD=DH=1,∴AE=DH=1,故选:A.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,正确地作出辅助线是解题的关键.9.(2024秋•浙江期末)如图,在Rt△ABC中,斜边AB=6,以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD,以BC为腰作等腰Rt△BCE,连结DE.若AC为a,BC为b,DE为c,则下列关系式成立的是()A.ab+8=c2 B.a2+b2=2c2 C.a2+c2=3b2 D.ab+36=c2【考点】勾股定理;等边三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】D【分析】过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G,证明∠CEG=30°,利用勾股定理即可解决问题.【解答】解:如图,过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G,∵在Rt△ABC中,斜边AB=6,∴∠ACB=90°,∵△ACD是等边三角形,Rt△BCE是以BC为腰的等腰直角三角形,∴∠ACD=60°,∠BCE=90°,∴∠DCE=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°,∴∠ECG=180°﹣120°=60°,∴∠CEG=30°,∵CD=AC=a,CE=BC=b,DE=c,∴CG=12CE=∴EG=3CG=3在Rt△DGE中,DG=DC+CG=a+12根据勾股定理得:DG2+EG2=DE2,且AC2+BC2=a2+b2=AB2=36,∴(a+12b)2+(32b)2=化简得,ab+36=c2,故选:D.【点评】此题考查了勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质,熟记勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键.10.(2024秋•锦江区期末)如图,以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A.若点A的坐标为(﹣52,0),P点的纵坐标为﹣1,则P点的坐标为()A.(﹣7,﹣1) B.(7,﹣1) C.(-51,-【考点】勾股定理;两点间的距离公式.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力;推理能力.【答案】A【分析】由点A的坐标为(﹣52,0),得到OA=52,过P作PB⊥x轴于B,设P(m,﹣1),根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:∵点A的坐标为(﹣52,0),∴OA=52,过P作PB⊥x轴于B,设P(m,﹣1),∴OB=﹣m,PB=1,∵OP=OA=52,∴OB=OP∴P(﹣7,﹣1),故选:A.【点评】本题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.二.填空题(共5小题)11.(2024秋•鄞州区期末)已知△ABC的周长为16,AB=6,当AC的值为4或5或6时,△ABC是等腰三角形.【考点】勾股定理;等腰三角形的判定.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】4或5或6.【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论,当BC=6时,当AC=6时,当AC=BC=5时,再结合三角形的三边关系可得答案.【解答】解:已知△ABC的周长为16,AB=6,∴AC+BC=16﹣6=10,△ABC是等腰三角形,分三种情况讨论:当BC=6时,则AC=4,符合三角形的三边关系;当AC=6时,则BC=4,符合三角形的三边关系;当AC=BC=5时,符合三角形的三边关系,综上所述,当AC的值为4或5或6时,△ABC是等腰三角形.故答案为:4或5或6.【点评】本题考查勾股定理,等腰三角形的判定,熟练运用分类讨论是解答本题的关键.12.(2024秋•南昌期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).当点P运动到边AB时,t为5或4.75或5.3秒时,△BCP为等腰三角形.【考点】勾股定理;等腰三角形的判定.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】5或4.75或5.3.【分析】先根据勾股定理求出AC=4cm,再分BP=BC=3,PC=PB,CP=CB=3三种情况分类讨论,结合等腰三角形的性质即可求解.【解答】解:在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=AB2①如图,当BP=BC=3时,△BCP为等腰三角形,∴AC+CB+BP=4+3+3=10cm,∴t=10÷2=5秒;②如图,当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,∵PC=PB,∴∠PCB=∠B,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=∠ACB+∠BCP=90°,∴∠A=∠ACB,∴AP=PC,∴PC=PB,∴PA=PB=12AB=2.5∴AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5cm,∴t=9.5÷2=4.75秒;③如图,当CP=CB=3时,作CD⊥AB于D,则△ABC的面积=12×4×∴CD=2.4,在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=BC∴PB=2BD=3.6,∴CA+CB+BP=4+3+3.6=10.6(cm),∴t=10.6÷2=5.3秒.综上所述,t为5秒或4.75秒或5.3秒时,△BCP为等腰三角形.故答案为:5或4.75或5.3.【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质与判定,直角三角形的性质等知识,熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键.13.(2024秋•拱墅区期末)如图,在△ABC中,∠B=90°.∠BAC的平分线交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AD,交AC于点E,过点D作DF∥AB,交AC于点F.若AB=4,AE=6,则DC2=72.【考点】勾股定理;等腰三角形的判定与性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】72.【分析】(1)过D作DG⊥AC于G,可证△ABD≌△AGD(HL),AB=AG=4,EG=2,再通过△ADG∽△DGE,可得BD=DG=22,再根据△ABC∽△DGC可得AC=2DC【解答】解:过D作DG⊥AC于G,∵∠BAC的平分线交BC于点D,∴∠1=∠2,DB=DG,又∵AD=AD,∴△ABD≌△AGD(HL),∴AB=AG=4,∴EG=AE﹣AG=2,∵DG⊥ACN,∴∠2+∠ADG=90°,∴△ADG∽△DGE,∴AGDG=DG∴DG=22,BD=DG=22,∵∠ABC=∠DGC=90°,∠C=∠C,∴△ABC∽△DGC,∴DCAC=DG∴AC=2DC∴42+(2解得DC=62或﹣22(舍去),∴DC2=72.故答案为:72.【点评】本题考查勾股定理,正确进行计算是解题关键.14.(2024秋•嵩县期末)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则AD=1.5米.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DE⊥AB于点E,构造Rt△ADE,利用勾股定理求得AD的长度即可.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AB=2.5米,BE=CD=1.6米,ED=BC=1.2米,则AE=AB﹣BE=2.5﹣1.6=0.9(米).在Rt△ADE中,由勾股定理得到:AD=AE故答案为:1.5.【点评】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是作出辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理求得线段AD的长度.15.(2024秋•平谷区期末)如图,将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上,纸片上的点A对应的数是﹣3,AC=BC=BD=1,若以点A为圆心,AD长为半径画弧,与数轴交于点E,则点E表示的数为-3-【考点】勾股定理;实数与数轴.【答案】﹣3-3或﹣3+【分析】根据题意和勾股定理,可以分别求得AB和AD的长,再根据纸片上的点A对应的数是﹣3,以点A为圆心,AD长为半径画弧,与数轴交于点E,然后即可写出点E表示的数.【解答】解:由题意可得,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AC=BC=BD=1,∴AB=A∴AD=A∵以点A为圆心,AD长为半径画弧,与数轴交于点E,∴点E表示的数为﹣3-3或﹣3+故答案为:﹣3-3或﹣3+【点评】本题考查勾股定理、实数与数轴,解答本题的关键是明确题意,求出AD的长.三.解答题(共8小题)16.(2024秋•云岩区期末)劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分.如图,△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地,小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分,现用皮尺测量得到AB=13m,AC=15m,AD=12m,BD=5m.(1)请判断小路AD是否与BC垂直,并说明理由;(2)求劳动场地△ABC的面积.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】(1)AD与BC垂直,理由见解析;(2)84m2.【分析】(1)由AD2+BD2=AB2可推导出△ABD为直角三角形且∠ADB=90°;从而推导出△ADC为直角三角形,于是得到结论(2)利用勾股定理计算得CD,从而完成求解.【解答】解:(1)AD与BC垂直,理由:∵AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AD2+BD2=AB2,∴△ABD为直角三角形且∠ADB=90°,∴AD与BC垂直;(2)∵AD⊥BC,∴AD2+CD2=AC2,∴CD=AC2-∴S△ABC=12AD•BC=12AD×(∵BD+CD=5+9=14(m),∴S△ABC=12×12×14=84(【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.求解的关键是熟练掌握勾股定理的性质,完成求解.17.(2024秋•鄞州区期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,AB=2CD,点F是CE中点.(1)求证:∠DCE=∠ADF;(2)若∠BAC=90°,AE=6,AC=8,求DF的长.【考点】勾股定理;三角形的角平分线、中线和高.【专题】等腰三角形与直角三角形;几何直观;推理能力.【答案】(1)见解析;(2)11.【分析】(1)连结DE,证明CD=DE得DF⊥EC,然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF;(2)由勾股定理求出EC=10,从而求出CF=5,由直角三角形斜边的中线得DE=AE=6,从而CD=DE=6,然后再利用勾股定理即可求出DF的长.【解答】(1)证明:连结DE,如图,∵AD是BC边上的高线,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵CE是AB边上的中线,∴E是AB边上的中点,∴AB=2DE,∵AB=2CD,∴CD=DE,∵点F是CE中点,∴DF⊥EC,∴∠DFC=90°,∴∠FDC+∠DCF=90°,∵∠ADC=90°,∴∠FDC+∠ADF=90°,∴∠DCE=∠ADF;(2)解:∵∠BAC=90°,在直角三角形ACE中,由勾股定理得:EC=∵点F是CE中点,∴CF=5,∵∠ADB=90°,E是AB边上的中点,∴DE=AE=6,∴CD=DE=6,∵∠DFC=90°,在直角三角形CDF中,由勾股定理得:DF=【点评】本题考查了勾股定理,三角形的角平分线、中线和高,熟练运用勾股定理是解答本题的关键.18.(2024秋•正定县期末)如图,有一架秋千,当它静止在AD的位置时,踏板离地的垂直高度DE为0.7m,将秋千AD往前推送4m(即BC为4m),到达AB的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m,秋千的绳索始终保持拉直的状态.(1)求秋千的长度.(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时,需要将秋千AD往前推送3m.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】(1)秋千的长度为5米;(2)3.【分析】(1)设AB=x米,则AC=(x﹣2)米,在Rt△ACB中,由勾股定理得出方程求解即可;(2)由题意得出AC的长,再根据勾股定理求出BC的长即可.【解答】解:(1)由题意知,DE=0.7米,BF=2.7米,CE=BF=2.7米,∴CD=CE﹣DE=2.7﹣0.7=2(米),设AB=x米,则AC=(x﹣2)米,在Rt△ACB中,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,即(x﹣2)2+42=x2,解得x=5,即秋千的长度为5米;(2)∵踏板离地的垂直高度BF为2.7米,∴CD=1.7﹣0.7=1(米)∴AC=5﹣1=4(米),∴BC=AB即需要将秋千AD往前推送3米,故答案为:3.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟记勾股定理是解题的关键.19.(2024秋•万州区期末)放风筝是清明节的节日习俗,寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞,此外,放风筝还是一项娱乐性运动,无论是与家人还是朋友一起放风筝,都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后,想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图,牵线放风筝的同学站在A处,风筝在F处,先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米,然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米,最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米.(1)求此时风筝的垂直高度EF的长;(2)若放风筝的同学站在点A不动,风筝沿EF的方向继续上升到D处,风筝线又放出了8米,请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】(1)此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米;(2)风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米.【分析】(1)根据矩形的判定定理得到四边形ABCE是矩形,求得AB=CE=1.5米,根据勾股定理即可得到结论;(2)根据勾股定理得到CD=BD2-BC2=252-15【解答】解:(1)∵AB⊥AE,CE⊥AE,BC⊥DE,∴∠BAE=∠AEC=∠BCE=90°,∴四边形ABCE是矩形,∴AB=CE=1.5米,在Rt△BCF中,CF=BF∴EF=CF+CE=8+1.5=9.5(米),答:此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米;(2)在Rt△BCD中,BD=17+8=25(米),BC=15米,∴CD=BD∴DF=CD﹣CF=20﹣8=12(米),答:风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米.【点评】本题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.20.(2024秋•九龙坡区校级期末)某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.测量数据如下表(不完整):项目主题测量旗杆的高度成员组长:xxx,组员xx、xxx、xxx,材料准备皮尺、纸、笔等测量示意图测量步骤如图,线段AB表示学校旗杆,步骤一:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,用皮尺测量多出的这段绳子的长度;步骤二:用手握绳梢在地面移动,从旗杆底部起,逐步远离,直到绳子拉直,不能再移动时为止,用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD的长度;步骤三:用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE的长度.测量数据绳子垂到地面,比旗杆多出一段的长度CD的长度CE的长度2米1米9米……任务一:请你帮助该小组根据表中的测量数据,求出学校旗杆AB高度;任务二:写出你在活动中的收获,反思或困惑.(写出一条即可)【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】任务一:13;任务二:见解析(答案不唯一).【分析】任务一:设AB=x米,则AE=(x﹣1)米,AC=(x+2)米,连同CE=9米,代入AC2=AE2+CE2,解方程即可得解;任务二:由于测量数据存在误差,不知道哪一次测量误差小,为了减小误差,可以测多次,取几次测量结果的平均值.【解答】解:任务一:设AB=x米,则AE=(x﹣1)米,AC=(x+2)米,在Rt△ACE中,CE=9米,由勾股定理得:AC2=AE2+CE2,∴(x+2)2=(x﹣1)2+92,解得:x=13,答:学校旗杆AB高度为13米;任务二:测量数据不准确,在测量过程中为了避免误差太大,可以多次测量,取平均值作为最后的测量结果等(答案不唯一).【点评】本题主要考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.21.(2024秋•贵阳期末)某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE(即MD⊥DE,NE⊥DE),一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时,梯子底端B到左墙的距离BD=7dm,顶端A到地面的距离AD=24dm.(图中所有点均在同一平面内)(1)求梯子AB的长;(2)如果保持底端位置B不动,将梯子斜靠在右墙NE上时,若梯子顶端C距离地面的距离CE=20dm,求该教学楼走廊的宽度DE的长.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】(1)梯子AB的长为25dm;(2)该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm.【分析】(1)根据勾股定理求出梯子的长,进而可得出结论;(2)根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:(1)∵MD⊥DE,∴∠ADB=90°,∴AB=AD2+答:梯子AB的长为25dm;(2)∵NE⊥DE,∴∠CEB=90°,∴BE=BC2-∴DE=BD+BE=7+15=22(dm),答:该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.22.(2024秋•新吴区期末)在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图①,过点D作DG∥BC交AB于点G,求证:△GBD是等腰三角形.(2)如图②,若AC=8,BC=6,求CD的长.【考点】勾股定理;角平分线的定义;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】(1)见解析;(2)3.【分析】(1)先根据BD是△ABC的角平分线得出∠ABD=∠DBC,再由DG∥BC得出∠DBC=∠BDG,故可得出∠BDG=∠ABD,据此得出结论;(2)先根据勾股定理求出AB的长,过点D作DE⊥AB于点E,由角平分线的性质得出CD=DE,故可得出Rt△BCD≌Rt△BED,故BE=BC=6,设CD=x,则AD=8﹣x,DE=x,AE=AB﹣BE,再利用勾股定理求出x的值即可.【解答】(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC,∵DG∥BC,∴∠DBC=∠BDG,∴∠BDG=∠ABD,∴DG=BG,即△GBD是等腰三角形;(2)解:∵∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB=AC过点D作DE⊥AB于点E,∵BD是△ABC的角平分线.∴CD=DE,在Rt△BCD与Rt△BED中,CD=∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BE=BC=6,设CD=x,则AD=8﹣x,DE=x,AE=AB﹣BE=10﹣6=4,在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即42+x2=(8﹣x)2,解得x=3,∴CD=3.【点评】本题考查的是勾股定理,角平分线的定义,角平分线的性质,平行线的性质,全等三角形的判定与性质,熟知以上知识是解题的关键.23.(2024秋•二七区期末)2024年12月4日,我国传统节日春节申遗成功.为庆祝这一喜讯,郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见,大美非遗”的创意文化市集,诸多非遗有关文化项目集中亮相.图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝,在试飞风筝过程中,他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.以下是他们测量高度的过程:①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米;③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米.已知A、B、C、D点在同一平面内.(1)求风筝离地面的垂直高度CD;(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题:在手中剩余线仅剩7.5米的情况下,若想要风筝沿射线DC方向再上升9米,BD长度不变,能否成功呢?请你帮助解决涵涵提出的问题.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】(1)7.5(米);(2)能成功,理由见解析.【分析】(1)过点A作AE⊥CD于点E,在Rt△AEC中,根据勾股定理即可求解;(2)假设能上升9m,作图Rt△AEF,根据勾股定理可得AF=15m,再根据题意,10+7.5=17.5<17即可求解.【解答】解:(1)如图1所示,过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD=8米,AB=CD=1.5米,∠AEC=90°,∴CE=AC∴CD=CE+CD=6+1.5=7.5(米);(2)能成功,理由如下:假设能上升9m,如图所示,延长DC至点F,连接AF,则CF=9米,∴EF=CE+CF=6+9=15(米).∴AF=AE∵AC=10米,余线仅剩7.5米,∴10+7.5=17.5>17,∴能上升9m,即能成功.【点评】本题主要考查勾股定理的运用,解答本题的关键是作出辅助线,构造直角三角形解决问题.

考点卡片1.实数与数轴(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之,数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数,不是有理数,就是无理数.(2)在数轴上,表示相反数的两个点在原点的两旁,并且两点到原点的距离相等,实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.2.两点间的距离公式两点间的距离公式:设有两点A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点间的距离为AB=(说明:求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.3.角平分线的定义(1)角平分线的定义从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.(2)性质:若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠(3)平分角的方法有很多,如度量法、折叠法、尺规作图法等,要注意积累,多动手实践.4.平行线的性质1、平行线性质定理定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等.5.三角形的角平分线、中线和高(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.(2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.(3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.(4)三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段.(5)锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.6.三角形内角和定理(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.7.全等图形(1)全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形.(2)全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

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