2024-2025学年下学期初中数学八年级第十七章B卷

第38页（共38页）第十七章B卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•洛宁县期末）将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为acm，则a的取值范围是（）A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤62．（2024秋•金水区期末）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（）A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝203．（2024秋•江阴市期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若a＝10，b＝2，则此勾股形的面积为（）A．28 B．30 C．32 D．364．（2024秋•新安县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（）个．A．2 B．3 C．4 D．55．（2024秋•城关区期末）勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（）A．8 B．4 C．2 D．346．（2024秋•城关区校级期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米7．（2024秋•莱西市期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3 D．38．（2024秋•黄陂区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（）A．1 B．12 C．23 D9．（2024秋•浙江期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝6，以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD，以BC为腰作等腰Rt△BCE，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（）A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c210．（2024秋•锦江区期末）如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为（﹣52，0），P点的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为（）A．（﹣7，﹣1） B．（7，﹣1） C．(-51，-二．填空题（共5小题）11．（2024秋•鄞州区期末）已知△ABC的周长为16，AB＝6，当AC的值为时，△ABC是等腰三角形．12．（2024秋•南昌期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为秒时，△BCP为等腰三角形．13．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝．14．（2024秋•嵩县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．15．（2024秋•平谷区期末）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是﹣3，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•云岩区期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由；（2）求劳动场地△ABC的面积．17．（2024秋•鄞州区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．（1）求证：∠DCE＝∠ADF；（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．18．（2024秋•正定县期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度．（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送m．19．（2024秋•万州区期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米．（1）求此时风筝的垂直高度EF的长；（2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长．20．（2024秋•九龙坡区校级期末）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）：项目主题测量旗杆的高度成员组长：xxx，组员xx、xxx、xxx，材料准备皮尺、纸、笔等测量示意图测量步骤如图，线段AB表示学校旗杆，步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度；步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD的长度；步骤三：用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE的长度．测量数据绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度CD的长度CE的长度2米1米9米……任务一：请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB高度；任务二：写出你在活动中的收获，反思或困惑．（写出一条即可）21．（2024秋•贵阳期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm．（图中所有点均在同一平面内）（1）求梯子AB的长；（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长．22．（2024秋•新吴区期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形．（2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长．23．（2024秋•二七区期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、B、C、D点在同一平面内．（1）求风筝离地面的垂直高度CD；（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．

第十七章B卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DBBCCAAADA一．选择题（共10小题）1．（2024秋•洛宁县期末）将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为acm，则a的取值范围是（）A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】D【分析】分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可．【解答】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，最短为14-AB2+如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为14﹣8＝6，故a的取值范围是4≤a≤6，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．2．（2024秋•金水区期末）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（）A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理可进行求解．【解答】解：A、由∠A+∠B+∠C＝180°且∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；B、由a2：b2：c2＝3：4：5可得a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故符合题意；C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，可得（3x）2+（4x）2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；D、由a＝12，b＝16，c＝20可得a2+b2＝c2，符合勾股定理逆定理，∴△ABC是直角三角形，故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．3．（2024秋•江阴市期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若a＝10，b＝2，则此勾股形的面积为（）A．28 B．30 C．32 D．36【考点】勾股定理；全等图形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．【解答】解：设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，则BC＝x+b，AC＝x+a，BA＝a+b，由勾股定理得（x+b）2+（a+b）2＝（x+a）2．∵a＝10，b＝2，（x+2）2+（10+2）2＝（x+10）2，解得：x＝3，∴AB＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，∴△ABC的面积=12×12×5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．4．（2024秋•新安县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可．【解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意；②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为180°×④若a：b：c＝5：4：3，设a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意；⑤若a2：b2：c2＝1：2：3，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意；故能判断△ABC为直角三角形的条件有：①②④⑤．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．5．（2024秋•城关区期末）勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（）A．8 B．4 C．2 D．34【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】C【分析】本面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解．【解答】解：设三边长分别为a，b，c，∴a2+b2＝c2，∴正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积，正方形A、C的面积分别为6，10∴正方形B的面积是10﹣6＝4，∴正方形B的边长是2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，6．（2024秋•城关区校级期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【答案】A【分析】把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得出结论．【解答】解：如图，根据题意可知，底面周长约为6米，柱身高约16米，∴AB＝6，AE=12AD=12∴BE=AB∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10＝20（米）．故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形．7．（2024秋•莱西市期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3 D．3【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法即可求出BD的长．【解答】解：根据勾股定理得：AC=32∵S△又∵S△∴12∴12∴BD＝2．故选：A．【点评】本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键．8．（2024秋•黄陂区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分线交AB于点E，若BC与CD的差为1，则AE的长为（）A．1 B．12 C．23 D【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【答案】A【分析】连接DE，过E作EH⊥CD于H，根据角平分线的性质得到BE＝EH＝4，求得EH＝AD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：连接DE，过E作EH⊥CD于H，∵CE平分∠BCD，∠B＝90°，∴BE＝EH＝4，∵BE＝AD，∴EH＝AD，在Rt△ADE与Rt△HED中，AD=∴Rt△ADE≌Rt△HED（HL），∴AE＝DH，在Rt△BCE与Rt△HCE中，BE=∴Rt△BCE≌Rt△HCE（HL），∴BC＝CH，∵BC与CD的差为1，∴BC﹣CD＝CH﹣CD＝DH＝1，∴AE＝DH＝1，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2024秋•浙江期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝6，以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD，以BC为腰作等腰Rt△BCE，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（）A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c2【考点】勾股定理；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，证明∠CEG＝30°，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，∵在Rt△ABC中，斜边AB＝6，∴∠ACB＝90°，∵△ACD是等边三角形，Rt△BCE是以BC为腰的等腰直角三角形，∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，∴∠ECG＝180°﹣120°＝60°，∴∠CEG＝30°，∵CD＝AC＝a，CE＝BC＝b，DE＝c，∴CG=12CE=∴EG=3CG=3在Rt△DGE中，DG＝DC+CG＝a+12根据勾股定理得：DG2+EG2＝DE2，且AC2+BC2＝a2+b2＝AB2＝36，∴（a+12b）2+（32b）2＝化简得，ab+36＝c2，故选：D．【点评】此题考查了勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，熟记勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．10．（2024秋•锦江区期末）如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为（﹣52，0），P点的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为（）A．（﹣7，﹣1） B．（7，﹣1） C．(-51，-【考点】勾股定理；两点间的距离公式．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】由点A的坐标为（﹣52，0），得到OA＝52，过P作PB⊥x轴于B，设P（m，﹣1），根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣52，0），∴OA＝52，过P作PB⊥x轴于B，设P（m，﹣1），∴OB＝﹣m，PB＝1，∵OP＝OA＝52，∴OB=OP∴P（﹣7，﹣1），故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•鄞州区期末）已知△ABC的周长为16，AB＝6，当AC的值为4或5或6时，△ABC是等腰三角形．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】4或5或6．【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当BC＝6时，当AC＝6时，当AC＝BC＝5时，再结合三角形的三边关系可得答案．【解答】解：已知△ABC的周长为16，AB＝6，∴AC+BC＝16﹣6＝10，△ABC是等腰三角形，分三种情况讨论：当BC＝6时，则AC＝4，符合三角形的三边关系；当AC＝6时，则BC＝4，符合三角形的三边关系；当AC＝BC＝5时，符合三角形的三边关系，综上所述，当AC的值为4或5或6时，△ABC是等腰三角形．故答案为：4或5或6．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定，熟练运用分类讨论是解答本题的关键．12．（2024秋•南昌期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为5或4.75或5.3秒时，△BCP为等腰三角形．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】5或4.75或5.3．【分析】先根据勾股定理求出AC＝4cm，再分BP＝BC＝3，PC＝PB，CP＝CB＝3三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC=AB2①如图，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10cm，∴t＝10÷2＝5秒；②如图，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACB+∠BCP＝90°，∴∠A＝∠ACB，∴AP＝PC，∴PC＝PB，∴PA＝PB=12AB＝2.5∴AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5cm，∴t＝9.5÷2＝4.75秒；③如图，当CP＝CB＝3时，作CD⊥AB于D，则△ABC的面积=12×4×∴CD＝2.4，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=BC∴PB＝2BD＝3.6，∴CA+CB+BP＝4+3+3.6＝10.6（cm），∴t＝10.6÷2＝5.3秒．综上所述，t为5秒或4.75秒或5.3秒时，△BCP为等腰三角形．故答案为：5或4.75或5.3．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．13．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝72．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】72．【分析】（1）过D作DG⊥AC于G，可证△ABD≌△AGD（HL），AB＝AG＝4，EG＝2，再通过△ADG∽△DGE，可得BD＝DG＝22，再根据△ABC∽△DGC可得AC=2DC【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠1＝∠2，DB＝DG，又∵AD＝AD，∴△ABD≌△AGD（HL），∴AB＝AG＝4，∴EG＝AE﹣AG＝2，∵DG⊥ACN，∴∠2+∠ADG＝90°，∴△ADG∽△DGE，∴AGDG=DG∴DG＝22，BD＝DG＝22，∵∠ABC＝∠DGC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DGC，∴DCAC=DG∴AC=2DC∴42+(2解得DC＝62或﹣22（舍去），∴DC2＝72．故答案为：72．【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．14．（2024秋•嵩县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝1.5米．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE故答案为：1.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．15．（2024秋•平谷区期末）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是﹣3，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为-3-【考点】勾股定理；实数与数轴．【答案】﹣3-3或﹣3+【分析】根据题意和勾股定理，可以分别求得AB和AD的长，再根据纸片上的点A对应的数是﹣3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，然后即可写出点E表示的数．【解答】解：由题意可得，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AC＝BC＝BD＝1，∴AB=A∴AD=A∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，∴点E表示的数为﹣3-3或﹣3+故答案为：﹣3-3或﹣3+【点评】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，求出AD的长．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•云岩区期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由；（2）求劳动场地△ABC的面积．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）AD与BC垂直，理由见解析；（2）84m2．【分析】（1）由AD2+BD2＝AB2可推导出△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°；从而推导出△ADC为直角三角形，于是得到结论（2）利用勾股定理计算得CD，从而完成求解．【解答】解：（1）AD与BC垂直，理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，∴AD与BC垂直；（2）∵AD⊥BC，∴AD2+CD2＝AC2，∴CD=AC2-∴S△ABC=12AD•BC=12AD×（∵BD+CD＝5+9＝14（m），∴S△ABC=12×12×14=84（【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．求解的关键是熟练掌握勾股定理的性质，完成求解．17．（2024秋•鄞州区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．（1）求证：∠DCE＝∠ADF；（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）11．【分析】（1）连结DE，证明CD＝DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE＝∠ADF；（2）由勾股定理求出EC＝10，从而求出CF＝5，由直角三角形斜边的中线得DE＝AE＝6，从而CD＝DE＝6，然后再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】（1）证明：连结DE，如图，∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CE是AB边上的中线，∴E是AB边上的中点，∴AB＝2DE，∵AB＝2CD，∴CD＝DE，∵点F是CE中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，∴∠FDC+∠DCF＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠FDC+∠ADF＝90°，∴∠DCE＝∠ADF；（2）解：∵∠BAC＝90°，在直角三角形ACE中，由勾股定理得：EC=∵点F是CE中点，∴CF＝5，∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点，∴DE＝AE＝6，∴CD＝DE＝6，∵∠DFC＝90°，在直角三角形CDF中，由勾股定理得：DF=【点评】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线、中线和高，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．18．（2024秋•正定县期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度．（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送3m．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）秋千的长度为5米；（2）3．【分析】（1）设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；（2）由题意得出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长即可．【解答】解：（1）由题意知，DE＝0.7米，BF＝2.7米，CE＝BF＝2.7米，∴CD＝CE﹣DE＝2.7﹣0.7＝2（米），设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，即秋千的长度为5米；（2）∵踏板离地的垂直高度BF为2.7米，∴CD＝1.7﹣0.7＝1（米）∴AC＝5﹣1＝4（米），∴BC=AB即需要将秋千AD往前推送3米，故答案为：3．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．19．（2024秋•万州区期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米．（1）求此时风筝的垂直高度EF的长；（2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米；（2）风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米．【分析】（1）根据矩形的判定定理得到四边形ABCE是矩形，求得AB＝CE＝1.5米，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到CD=BD2-BC2=252-15【解答】解：（1）∵AB⊥AE，CE⊥AE，BC⊥DE，∴∠BAE＝∠AEC＝∠BCE＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AB＝CE＝1.5米，在Rt△BCF中，CF=BF∴EF＝CF+CE＝8+1.5＝9.5（米），答：此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米；（2）在Rt△BCD中，BD＝17+8＝25（米），BC＝15米，∴CD=BD∴DF＝CD﹣CF＝20﹣8＝12（米），答：风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2024秋•九龙坡区校级期末）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）：项目主题测量旗杆的高度成员组长：xxx，组员xx、xxx、xxx，材料准备皮尺、纸、笔等测量示意图测量步骤如图，线段AB表示学校旗杆，步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度；步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD的长度；步骤三：用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE的长度．测量数据绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度CD的长度CE的长度2米1米9米……任务一：请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB高度；任务二：写出你在活动中的收获，反思或困惑．（写出一条即可）【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】任务一：13；任务二：见解析（答案不唯一）．【分析】任务一：设AB＝x米，则AE＝（x﹣1）米，AC＝（x+2）米，连同CE＝9米，代入AC2＝AE2+CE2，解方程即可得解；任务二：由于测量数据存在误差，不知道哪一次测量误差小，为了减小误差，可以测多次，取几次测量结果的平均值．【解答】解：任务一：设AB＝x米，则AE＝（x﹣1）米，AC＝（x+2）米，在Rt△ACE中，CE＝9米，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，解得：x＝13，答：学校旗杆AB高度为13米；任务二：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果等（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（2024秋•贵阳期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm．（图中所有点均在同一平面内）（1）求梯子AB的长；（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）梯子AB的长为25dm；（2）该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm．【分析】（1）根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵MD⊥DE，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+答：梯子AB的长为25dm；（2）∵NE⊥DE，∴∠CEB＝90°，∴BE=BC2-∴DE＝BD+BE＝7+15＝22（dm），答：该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22．（2024秋•新吴区期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形．（2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长．【考点】勾股定理；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）3．【分析】（1）先根据BD是△ABC的角平分线得出∠ABD＝∠DBC，再由DG∥BC得出∠DBC＝∠BDG，故可得出∠BDG＝∠ABD，据此得出结论；（2）先根据勾股定理求出AB的长，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得出CD＝DE，故可得出Rt△BCD≌Rt△BED，故BE＝BC＝6，设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE，再利用勾股定理求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DG∥BC，∴∠DBC＝∠BDG，∴∠BDG＝∠ABD，∴DG＝BG，即△GBD是等腰三角形；（2）解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC过点D作DE⊥AB于点E，∵BD是△ABC的角平分线．∴CD＝DE，在Rt△BCD与Rt△BED中，CD=∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3．【点评】本题考查的是勾股定理，角平分线的定义，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．23．（2024秋•二七区期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．已知A、B、C、D点在同一平面内．（1）求风筝离地面的垂直高度CD；（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）7.5（米）；（2）能成功，理由见解析．【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升9m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝15m，再根据题意，10+7.5＝17.5＜17即可求解．【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，∠AEC＝90°，∴CE=AC∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）；（2）能成功，理由如下：假设能上升9m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝9米，∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）．∴AF=AE∵AC＝10米，余线仅剩7.5米，∴10+7.5＝17.5＞17，∴能上升9m，即能成功．【点评】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．

考点卡片1．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=(说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．3．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．6．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．7．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．