2024-2025学年下学期初中数学八年级第十七章A卷

第28页（共28页）第十七章A卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•重庆期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足(mA．3 B．4 C．7 D．52．（2024秋•正定县期末）以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（）A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，7，8 D．33．（2024秋•无锡期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（）A．4 B．16 C．20 D．254．（2024秋•江阴市期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c=3 B．a＝1，b＝2，c=C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．（2024秋•昆都仑区期末）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（）A．916 B．28 C．128 D．6．（2024秋•新华区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．25 B．36 C．49 D．647．（2024秋•嵩县期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m8．（2024秋•三水区期末）如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都是1cm．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时（）A．3.5s B．322s C．2s D9．（2024秋•罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（）A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm10．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（）A．120 B．240 C．360 D．480二．填空题（共5小题）11．（2024秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，若点P坐标为（1，﹣2），则点P到原点的距离为．12．（2024秋•桥西区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（s），当QA＝AP时，t＝s．13．（2024秋•长宁区校级期末）已知直角坐标平面上点P（﹣1，3）和点Q（2，1），则PQ的长为．14．（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为．15．（2024秋•北京校级期末）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•大渡口区期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：5≈2.217．（2024秋•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果AC＝6，BD=254，CD=（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．18．（2024秋•南通期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC上的点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，BD＝3，BE＝2，DE=5（1）求证：EF⊥BC；（2）求证：△ADF是等腰三角形．19．（2024秋•莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长．20．（2024秋•榕城区期末）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．（1）AB＝，BC＝，AC＝；（2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．21．（2024秋•碑林区校级期末）如图，一次台风过后，一根垂直于地面的旗杆被台风从离地面9m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12m处，这根旗杆被吹断前有多高？22．（2024秋•建邺区期末）如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝BE；（2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为．23．（2024秋•建邺区期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm，求钟摆AD的长度．

第十七章A卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DCBDDABDCB一．选择题（共10小题）1．（2024秋•重庆期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足(mA．3 B．4 C．7 D．5【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】D【分析】根据题意先求出m和n的值，再根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵m、n满足(m∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，∴m＝3，n＝4，∵直角三角形的两直角边长分别为m，n，∴第三边即斜边的长为：32+故选：D．【点评】本题考查勾股定理，非负数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．2．（2024秋•正定县期末）以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（）A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，7，8 D．3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、∵12+（3）2＝22，∴以1，2，3为边能作出直角三角形，不符合题意；B、∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能作出直角三角形，不符合题意；C、∵32+72≠82，∴以3，7，8为边不能作出直角三角形，符合题意；D、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能作出直角三角形，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2024秋•无锡期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（）A．4 B．16 C．20 D．25【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】根据勾股定理进行求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB是斜边，AC和BC是直角边，由勾股定理可得AB2﹣BC2＝AC2，∵AC＝4，∴AB2﹣BC2＝AC2＝16．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．4．（2024秋•江阴市期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c=3 B．a＝1，b＝2，c=C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对A、B、C进行逐一判断，再利用三角形内角和定理可得D选项中最大角的度数，进而可进行判断．【解答】解：A、∵12+（3）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；B、∵12+22＝（5）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵180°×53+4+5故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．（2024秋•昆都仑区期末）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（）A．916 B．28 C．128 D．【考点】勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】由勾股定理即可求出答案．【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．6．（2024秋•新华区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形．若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．25 B．36 C．49 D．64【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为AC2+BC2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝5，∴AC2+BC2＝52＝25，故选：A．【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．7．（2024秋•嵩县期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m【考点】勾股定理的应用．【答案】B【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝32m，OB＝24m，∴AB=OA2故选：B．【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．8．（2024秋•三水区期末）如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都是1cm．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时（）A．3.5s B．322s C．2s D【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．【解答】解：分两种情况讨论：（1）展开底面与右面，如图1，由勾股定理得(3+3)2+（2）展开前面与上面，如图2，由勾股定理得(1+3)2∴最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5（s），故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，“化曲面为平面”是解答本题的关键．9．（2024秋•罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（）A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．【答案】C【分析】设AB＝AD＝xcm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AB＝AD＝xcm，根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，∴CE＝BF＝8cm，∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，解得：x＝26，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】将四边形EBFC的面积转化为S△CBF+S△CBE，然后进行求解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF，∴∠ABC＝∠CBF，∴BC平分∠ABF，过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，∴CM＝CN，∵S△ACE=12AE•CM，S△CBF=12BF•CN，∴S△CBF＝S△ACE，∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，∵AC＝26，∴AB＝26，设AM＝x，则BM＝26﹣x，由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，∴262﹣x2＝202﹣（26﹣x）2，解得x=238∴CM=2∴S△ABC=12AB•CM=12∴四边形EBFC的面积为240，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，若点P坐标为（1，﹣2），则点P到原点的距离为5．【考点】勾股定理；两点间的距离公式．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】5．【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：∵点P坐标为（1，﹣2），∴点P到原点的距离=2故答案为：5．【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．12．（2024秋•桥西区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（s），当QA＝AP时，t＝1或5s．【考点】勾股定理；一元一次方程的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】1或5．【分析】根据点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，移动时间用t（s）表示，可得AQ＝（5﹣3t）cm，当QA＝AP时，分两种情况列式计算即可．【解答】解：因为点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，移动时间用t（s）表示，所以当点Q在AC上运动时，CQ＝3tcm，所以AQ＝AC﹣CQ＝（5﹣3t）cm，分两种情况：①当点Q在AC上运动时，QA＝AP，即5﹣3t＝2t，解得t＝1；②当点Q在AB上运动时，QA＝AP，即3t﹣5＝2t，解得t＝5，此时点P与点Q同时到达点B，综上所述，t的值为1或5．【点评】本题考查勾股定理和一元一次方程，正确分情况讨论是解题关键．13．（2024秋•长宁区校级期末）已知直角坐标平面上点P（﹣1，3）和点Q（2，1），则PQ的长为13．【考点】勾股定理；两点间的距离公式．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】13．【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．【解答】解：∵直角坐标平面上点P（﹣1，3）和点Q（2，1），∴PQ=(-1-2故答案为：13．【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式及勾股定理，熟知两点的距离是解题的关键．14．（2024秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为9．【考点】勾股定理；角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】9．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质解答．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．（2024秋•北京校级期末）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为1-5【考点】勾股定理；数轴．【专题】计算题．【答案】1-【分析】先利用勾股定理求出AB的长从而得到AC的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可．【解答】解：利用勾股定理算得AB=∴AC=∴数轴上C点所表示的数为：1-故答案为：1-【点评】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出AB=三．解答题（共8小题）16．（2024秋•大渡口区期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：5≈2.2【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）AB⊥BC，理由见解答过程；（2）A﹣C﹣D路线更短．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答；（2）根据勾股定理求出BD，比较大小得到答案．【解答】解：（1）AB⊥BC，理由如下：在△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，BC＝120米，∵AB2+BC2＝902+1202＝22500，AC2＝1502＝22500，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC；（2）在Rt△BCD中，BC＝120米，DC＝60米，由勾股定理得：BD=1202AB+BD＝90+605≈222米，AC+CD＝150+60＝210∵222＞210，∴A﹣C﹣D路线更短．【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．17．（2024秋•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果AC＝6，BD=254，CD=（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）2．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据勾股定理的逆定理证明∠C＝90°；（2）根据三角形内角和定理、直角三角形的性质得到∠B＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，BD=25∴AD＝BD=25在△ACD中，AC2+CD2＝62+（74）2=62516，AD2＝（254∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°；（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠DAB＝∠B＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠DAB+∠B+∠CAD＝90°，∴∠B＝30°，∴AC=12AB＝【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．（2024秋•南通期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC上的点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，BD＝3，BE＝2，DE=5（1）求证：EF⊥BC；（2）求证：△ADF是等腰三角形．【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；（2）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根据余角性质可得∠F＝∠BDE，最后根据对顶角的性质可得∠F＝∠FDA，据此即可求证．【解答】证明：（1）∵BD＝3，BE＝2，DE=5．22+（5）2＝9＝32∴△BDE是直角三角形，∠BED＝90°，∴EF⊥BC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠BDE+∠B＝90°，∠F+∠C＝90°，∴∠F＝∠BDE，∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和判定是解题的关键．19．（2024秋•莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】设PA＝x＝PB，则CP＝5﹣x，在Rt△APC中，利用勾股定理列式计算即可求解．【解答】解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x，∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2，∴22+（5﹣x）2＝x2，x=∴PA的长为2910【点评】本题主要考查了勾股定理，正确进行计算是解题关键．20．（2024秋•榕城区期末）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．（1）AB＝5，BC＝20，AC＝5；（2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据勾股定理计算即可求解．（2）直接把三边长度分别平方，可以发现AB2+BC2＝AC2即可判定三角形的形状；【解答】解：（1）由题可知，AB=1AC=4BC=2故答案为：5，20，5；（2）直角三角形，∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25；∴AB2+BC2＝AC2；∴△ABC为直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．21．（2024秋•碑林区校级期末）如图，一次台风过后，一根垂直于地面的旗杆被台风从离地面9m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12m处，这根旗杆被吹断前有多高？【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】这根旗杆被吹断裂前至少有24米高．【分析】根据勾股定理，计算AB，后根据树高为AB+AC计算即可．【解答】解：根据题意，得AC＝9m，BC＝12m，∠ACB＝90°，所以AB=92所以这根旗杆被吹断裂前高为AB+AC＝（15+9）＝24米，所以这根旗杆被吹断裂前至少有24米高．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22．（2024秋•建邺区期末）如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝BE；（2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为7．【考点】勾股定理；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）7．【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠CAB＝∠CBA＝60°，结合直角三角形的性质、三角形外角性质求出∠BDE＝30°＝∠AEF，再根据等腰三角形的判定定理即可得证；（2）根据等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质求出BE＝BD＝1，AE＝3，AF=3【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝60°，∵DF⊥AC，∴∠AFE＝∠CFE＝90°，∴∠CAB+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝30°，∵∠AEF+∠BDE＝∠CBA，∴∠BDE＝30°＝∠AEF，∴BD＝BE；（2）解：∵AD是等边△ABC的中线，AC＝2，∴AB＝BC＝AC＝2，BD=12BC=12∴BE＝BD＝1，∴AE＝AB+BE＝3，∵∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，∴AF=12AE∴CF＝AC﹣AF=12，EF∴CE=C故答案为：7．【点评】此题考查了勾股定理、等边三角形的性质，熟记勾股定理是解题的关键．23．（2024秋•建邺区期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm，求钟摆AD的长度．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】钟摆AD的长286cm．【分析】根据勾股定理可知AB2＝AC2+BC2列方程即可请求解．【解答】解：设AB＝xcm，依题意得：BC＝10cm，CD＝CE﹣DE＝7﹣5＝2（cm），AC＝AD﹣CD＝（x﹣2）（cm），∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（x﹣2）2+102＝x2，解得：x＝26，答：钟摆AD的长26cm．【点评】本题考查了利勾股定理解决实际问题，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．4．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．5．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=(说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．6．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．7．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE8．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．9．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．10．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作