2024-2025学年下学期初中数学八年级第十七章A卷_第1页
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文档简介

第28页(共28页)第十七章A卷一.选择题(共10小题)1.(2024秋•重庆期末)若直角三角形的两直角边长分别为m,n,且满足(mA.3 B.4 C.7 D.52.(2024秋•正定县期末)以下列各组线段为边,不能作出直角三角形的是()A.1,2,3 B.6,8,10 C.3,7,8 D.33.(2024秋•无锡期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,则AB2﹣BC2等于()A.4 B.16 C.20 D.254.(2024秋•江阴市期末)满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b=2,c=C.a:b:c=3:4:5 D.∠A:∠B:∠C=3:4:55.(2024秋•昆都仑区期末)如图,正方形内的数字代表所在正方形的面积,则A所在的正方形的面积为()A.916 B.28 C.128 D.6.(2024秋•新华区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC为边作正方形.若AB=5,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.25 B.36 C.49 D.647.(2024秋•嵩县期末)如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为()A.45m B.40m C.50m D.56m8.(2024秋•三水区期末)如图,一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形,其边长都是1cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处,最少要用时()A.3.5s B.322s C.2s D9.(2024秋•罗湖区期末)如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm时,钟摆AD的长度是()A.17cm B.24cm C.26cm D.28cm10.(2024秋•雁塔区校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的左侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=26,BC=20,则四边形EBFC的面积为()A.120 B.240 C.360 D.480二.填空题(共5小题)11.(2024秋•无锡期末)在平面直角坐标系中,若点P坐标为(1,﹣2),则点P到原点的距离为.12.(2024秋•桥西区期末)如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=10cm,AC=5cm,点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动,点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动.如果点P,Q同时出发,点P到达点B时,P,Q两点都停止运动.设移动时间为t(s),当QA=AP时,t=s.13.(2024秋•长宁区校级期末)已知直角坐标平面上点P(﹣1,3)和点Q(2,1),则PQ的长为.14.(2024秋•嵩县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若CD=9,则点D到斜边AB的距离为.15.(2024秋•北京校级期末)如图,已知AB=AC,B到数轴的距离为1,则数轴上C点所表示的数为.三.解答题(共8小题)16.(2024秋•大渡口区期末)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图,从A点到D点有两条路线,分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D.已知AB=90米,AC=150米,点C在点B的正东方120米处,点D在点C的正北方60米处.(1)试判断AB与BC的位置关系,并说明理由;(2)通过计算比较两条路线谁更短.(参考数据:5≈2.217.(2024秋•长宁区校级期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E,联结AD.(1)如果AC=6,BD=254,CD=(2)如果∠C=90°,AD平分∠CAB,AB=4,求AC的长.18.(2024秋•南通期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,BD=3,BE=2,DE=5(1)求证:EF⊥BC;(2)求证:△ADF是等腰三角形.19.(2024秋•莱西市期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.在边BC上有一点P,连接AP,且PA=PB,若AC=2,CB=5,求PA的长.20.(2024秋•榕城区期末)如图,6×6网格中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均在网格的格点上.(1)AB=,BC=,AC=;(2)△ABC是直角三角形吗?请作出判断并说明理由.21.(2024秋•碑林区校级期末)如图,一次台风过后,一根垂直于地面的旗杆被台风从离地面9m处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12m处,这根旗杆被吹断前有多高?22.(2024秋•建邺区期末)如图,AD是等边△ABC的中线,DF⊥AC交AB的延长线于点E,垂足为点F.(1)求证:BD=BE;(2)连接CE,若AC=2,则CE的长度为.23.(2024秋•建邺区期末)如图,把摆钟的摆锤看作一个点,当它摆动到最低点时,摆锤离底座的垂直高度DE=5cm,当它摆动到最高点时,摆锤离底座的垂直高度BF=7cm,且与摆锤在最低点时的水平距离为BC=10cm,求钟摆AD的长度.

第十七章A卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DCBDDABDCB一.选择题(共10小题)1.(2024秋•重庆期末)若直角三角形的两直角边长分别为m,n,且满足(mA.3 B.4 C.7 D.5【考点】勾股定理;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】D【分析】根据题意先求出m和n的值,再根据勾股定理进行计算即可.【解答】解:∵m、n满足(m∴m﹣3=0,n﹣4=0,∴m=3,n=4,∵直角三角形的两直角边长分别为m,n,∴第三边即斜边的长为:32+故选:D.【点评】本题考查勾股定理,非负数的性质,正确记忆相关知识点是解题关键.2.(2024秋•正定县期末)以下列各组线段为边,不能作出直角三角形的是()A.1,2,3 B.6,8,10 C.3,7,8 D.3【考点】勾股定理的逆定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可.【解答】解:A、∵12+(3)2=22,∴以1,2,3为边能作出直角三角形,不符合题意;B、∵62+82=102,∴以6,8,10为边能作出直角三角形,不符合题意;C、∵32+72≠82,∴以3,7,8为边不能作出直角三角形,符合题意;D、∵32+42=52,∴以3,4,5为边能作出直角三角形,不符合题意;故选:C.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.3.(2024秋•无锡期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,则AB2﹣BC2等于()A.4 B.16 C.20 D.25【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】B【分析】根据勾股定理进行求解即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB是斜边,AC和BC是直角边,由勾股定理可得AB2﹣BC2=AC2,∵AC=4,∴AB2﹣BC2=AC2=16.故选:B.【点评】本题考查勾股定理,正确进行计算是解题关键.4.(2024秋•江阴市期末)满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b=2,c=C.a:b:c=3:4:5 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对A、B、C进行逐一判断,再利用三角形内角和定理可得D选项中最大角的度数,进而可进行判断.【解答】解:A、∵12+(3)2=22,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求;B、∵12+22=(5)2,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求;C、∵32+42=52,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求;D、∵180°×53+4+5故选:D.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.5.(2024秋•昆都仑区期末)如图,正方形内的数字代表所在正方形的面积,则A所在的正方形的面积为()A.916 B.28 C.128 D.【考点】勾股定理.【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.【答案】D【分析】由勾股定理即可求出答案.【解答】解:由勾股定理可知:SA=36+64=100,故选:D.【点评】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理,本题属于基础题型.6.(2024秋•新华区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC为边作正方形.若AB=5,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.25 B.36 C.49 D.64【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】A【分析】根据勾股定理进行计算即可.【解答】解:正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为AC2+BC2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC2+BC2=AB2,∵AB=5,∴AC2+BC2=52=25,故选:A.【点评】本题考查勾股定理,正确进行计算是解题关键.7.(2024秋•嵩县期末)如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为()A.45m B.40m C.50m D.56m【考点】勾股定理的应用.【答案】B【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角,利用勾股定理解图中直角三角形即可.【解答】解:已知东北方向和东南方向刚好是一直角,∴∠AOB=90°,又∵OA=32m,OB=24m,∴AB=OA2故选:B.【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用,正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.8.(2024秋•三水区期末)如图,一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形,其边长都是1cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处,最少要用时()A.3.5s B.322s C.2s D【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;展开与折叠;几何直观;推理能力.【答案】D【分析】把此正方体的点A所在的面展开,然后在平面内,利用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离.【解答】解:分两种情况讨论:(1)展开底面与右面,如图1,由勾股定理得(3+3)2+(2)展开前面与上面,如图2,由勾股定理得(1+3)2∴最短路径长为5cm,用时最少:5÷2=2.5(s),故选:D.【点评】本题考查了勾股定理的应用,“化曲面为平面”是解答本题的关键.9.(2024秋•罗湖区期末)如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm时,钟摆AD的长度是()A.17cm B.24cm C.26cm D.28cm【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;几何直观;推理能力;应用意识.【答案】C【分析】设AB=AD=xcm,根据题意可推出AC=(x﹣2)cm,然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可.【解答】解:设AB=AD=xcm,根据题意可知,BC∥EF,CE⊥EF,BF⊥EF,BF=8cm,∴CE=BF=8cm,∴AC=AD+DE﹣CE=x+6﹣8=(x﹣2)cm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2,即x2=(x﹣2)2+102,解得:x=26,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理的应用,平行线之间的距离处处相等,熟练掌握勾股定理是解题的关键.10.(2024秋•雁塔区校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的左侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=26,BC=20,则四边形EBFC的面积为()A.120 B.240 C.360 D.480【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】B【分析】将四边形EBFC的面积转化为S△CBF+S△CBE,然后进行求解.【解答】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF,过点C作CM⊥AB,CN⊥BF,∴CM=CN,∵S△ACE=12AE•CM,S△CBF=12BF•CN,∴S△CBF=S△ACE,∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA,∵AC=26,∴AB=26,设AM=x,则BM=26﹣x,由勾股定理,得:CM2=AC2﹣AM2=BC2﹣BM2,∴262﹣x2=202﹣(26﹣x)2,解得x=238∴CM=2∴S△ABC=12AB•CM=12∴四边形EBFC的面积为240,故选:B.【点评】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,正确地作出辅助线是解题的关键.二.填空题(共5小题)11.(2024秋•无锡期末)在平面直角坐标系中,若点P坐标为(1,﹣2),则点P到原点的距离为5.【考点】勾股定理;两点间的距离公式.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】5.【分析】利用勾股定理进行求解即可.【解答】解:∵点P坐标为(1,﹣2),∴点P到原点的距离=2故答案为:5.【点评】本题考查勾股定理,正确进行计算是解题关键.12.(2024秋•桥西区期末)如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=10cm,AC=5cm,点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动,点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动.如果点P,Q同时出发,点P到达点B时,P,Q两点都停止运动.设移动时间为t(s),当QA=AP时,t=1或5s.【考点】勾股定理;一元一次方程的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】1或5.【分析】根据点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动,移动时间用t(s)表示,可得AQ=(5﹣3t)cm,当QA=AP时,分两种情况列式计算即可.【解答】解:因为点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动,移动时间用t(s)表示,所以当点Q在AC上运动时,CQ=3tcm,所以AQ=AC﹣CQ=(5﹣3t)cm,分两种情况:①当点Q在AC上运动时,QA=AP,即5﹣3t=2t,解得t=1;②当点Q在AB上运动时,QA=AP,即3t﹣5=2t,解得t=5,此时点P与点Q同时到达点B,综上所述,t的值为1或5.【点评】本题考查勾股定理和一元一次方程,正确分情况讨论是解题关键.13.(2024秋•长宁区校级期末)已知直角坐标平面上点P(﹣1,3)和点Q(2,1),则PQ的长为13.【考点】勾股定理;两点间的距离公式.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】13.【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可.【解答】解:∵直角坐标平面上点P(﹣1,3)和点Q(2,1),∴PQ=(-1-2故答案为:13.【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式及勾股定理,熟知两点的距离是解题的关键.14.(2024秋•嵩县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若CD=9,则点D到斜边AB的距离为9.【考点】勾股定理;角平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.【答案】9.【分析】作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质解答.【解答】解:作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=CD=9,故答案为:9.【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.15.(2024秋•北京校级期末)如图,已知AB=AC,B到数轴的距离为1,则数轴上C点所表示的数为1-5【考点】勾股定理;数轴.【专题】计算题.【答案】1-【分析】先利用勾股定理求出AB的长从而得到AC的长,再根据数轴上两点距离公式求解即可.【解答】解:利用勾股定理算得AB=∴AC=∴数轴上C点所表示的数为:1-故答案为:1-【点评】本题主要考查了实数与数轴,勾股定理正确求出AB=三.解答题(共8小题)16.(2024秋•大渡口区期末)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图,从A点到D点有两条路线,分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D.已知AB=90米,AC=150米,点C在点B的正东方120米处,点D在点C的正北方60米处.(1)试判断AB与BC的位置关系,并说明理由;(2)通过计算比较两条路线谁更短.(参考数据:5≈2.2【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理;直角三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】(1)AB⊥BC,理由见解答过程;(2)A﹣C﹣D路线更短.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答;(2)根据勾股定理求出BD,比较大小得到答案.【解答】解:(1)AB⊥BC,理由如下:在△ABC中,AB=90米,AC=150米,BC=120米,∵AB2+BC2=902+1202=22500,AC2=1502=22500,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC;(2)在Rt△BCD中,BC=120米,DC=60米,由勾股定理得:BD=1202AB+BD=90+605≈222米,AC+CD=150+60=210∵222>210,∴A﹣C﹣D路线更短.【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.17.(2024秋•长宁区校级期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E,联结AD.(1)如果AC=6,BD=254,CD=(2)如果∠C=90°,AD平分∠CAB,AB=4,求AC的长.【考点】勾股定理的逆定理;线段垂直平分线的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】(1)证明见解答过程;(2)2.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD,根据勾股定理的逆定理证明∠C=90°;(2)根据三角形内角和定理、直角三角形的性质得到∠B=30°,再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可.【解答】(1)证明:∵DE是AB的垂直平分线,BD=25∴AD=BD=25在△ACD中,AC2+CD2=62+(74)2=62516,AD2=(254∴AC2+CD2=AD2,∴∠C=90°;(2)解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B,∵AD平分∠CAB,∴∠DAB=∠CAD,∴∠DAB=∠B=∠CAD,∵∠C=90°,∴∠DAB+∠B+∠CAD=90°,∴∠B=30°,∴AC=12AB=【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.18.(2024秋•南通期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,BD=3,BE=2,DE=5(1)求证:EF⊥BC;(2)求证:△ADF是等腰三角形.【考点】勾股定理的逆定理;等腰三角形的性质;等腰三角形的判定.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可求证;(2)由AB=AC得∠B=∠C,再根据余角性质可得∠F=∠BDE,最后根据对顶角的性质可得∠F=∠FDA,据此即可求证.【解答】证明:(1)∵BD=3,BE=2,DE=5.22+(5)2=9=32∴△BDE是直角三角形,∠BED=90°,∴EF⊥BC;(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥BC,∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠F=∠BDE,∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定,勾股定理的逆定理,掌握勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和判定是解题的关键.19.(2024秋•莱西市期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.在边BC上有一点P,连接AP,且PA=PB,若AC=2,CB=5,求PA的长.【考点】勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.【答案】见试题解答内容【分析】设PA=x=PB,则CP=5﹣x,在Rt△APC中,利用勾股定理列式计算即可求解.【解答】解:设PA=x=PB,可得:CP=5﹣x,∵根据勾股定理可得:AC2+CP2=PA2,∴22+(5﹣x)2=x2,x=∴PA的长为2910【点评】本题主要考查了勾股定理,正确进行计算是解题关键.20.(2024秋•榕城区期末)如图,6×6网格中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均在网格的格点上.(1)AB=5,BC=20,AC=5;(2)△ABC是直角三角形吗?请作出判断并说明理由.【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】见试题解答内容【分析】(1)根据勾股定理计算即可求解.(2)直接把三边长度分别平方,可以发现AB2+BC2=AC2即可判定三角形的形状;【解答】解:(1)由题可知,AB=1AC=4BC=2故答案为:5,20,5;(2)直角三角形,∵AB2=5,BC2=20,AC2=25;∴AB2+BC2=AC2;∴△ABC为直角三角形.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键.21.(2024秋•碑林区校级期末)如图,一次台风过后,一根垂直于地面的旗杆被台风从离地面9m处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12m处,这根旗杆被吹断前有多高?【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】这根旗杆被吹断裂前至少有24米高.【分析】根据勾股定理,计算AB,后根据树高为AB+AC计算即可.【解答】解:根据题意,得AC=9m,BC=12m,∠ACB=90°,所以AB=92所以这根旗杆被吹断裂前高为AB+AC=(15+9)=24米,所以这根旗杆被吹断裂前至少有24米高.【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.22.(2024秋•建邺区期末)如图,AD是等边△ABC的中线,DF⊥AC交AB的延长线于点E,垂足为点F.(1)求证:BD=BE;(2)连接CE,若AC=2,则CE的长度为7.【考点】勾股定理;等边三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;推理能力.【答案】(1)证明见解答过程;(2)7.【分析】(1)根据等边三角形的性质求出∠CAB=∠CBA=60°,结合直角三角形的性质、三角形外角性质求出∠BDE=30°=∠AEF,再根据等腰三角形的判定定理即可得证;(2)根据等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质求出BE=BD=1,AE=3,AF=3【解答】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠CAB=∠CBA=60°,∵DF⊥AC,∴∠AFE=∠CFE=90°,∴∠CAB+∠AEF=90°,∴∠AEF=30°,∵∠AEF+∠BDE=∠CBA,∴∠BDE=30°=∠AEF,∴BD=BE;(2)解:∵AD是等边△ABC的中线,AC=2,∴AB=BC=AC=2,BD=12BC=12∴BE=BD=1,∴AE=AB+BE=3,∵∠AEF=30°,∠AFE=90°,∴AF=12AE∴CF=AC﹣AF=12,EF∴CE=C故答案为:7.【点评】此题考查了勾股定理、等边三角形的性质,熟记勾股定理是解题的关键.23.(2024秋•建邺区期末)如图,把摆钟的摆锤看作一个点,当它摆动到最低点时,摆锤离底座的垂直高度DE=5cm,当它摆动到最高点时,摆锤离底座的垂直高度BF=7cm,且与摆锤在最低点时的水平距离为BC=10cm,求钟摆AD的长度.【考点】勾股定理的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形;应用意识.【答案】钟摆AD的长286cm.【分析】根据勾股定理可知AB2=AC2+BC2列方程即可请求解.【解答】解:设AB=xcm,依题意得:BC=10cm,CD=CE﹣DE=7﹣5=2(cm),AC=AD﹣CD=(x﹣2)(cm),∵∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2,即(x﹣2)2+102=x2,解得:x=26,答:钟摆AD的长26cm.【点评】本题考查了利勾股定理解决实际问题,正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键.

考点卡片1.数轴(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素:原点,单位长度,正方向.(2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数.)(3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大.2.非负数的性质:绝对值在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.3.非负数的性质:算术平方根(1)非负数的性质:算术平方根具有非负性.(2)利用算术平方根的非负性求值的问题,主要是根据被开方数是非负数,开方的结果也是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时,各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.4.一元一次方程的应用(一)一元一次方程解应用题的类型有:(1)探索规律型问题;(2)数字问题;(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=利润进价×100%);(4)工程问题(①(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和,差,倍,分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.列一元一次方程解应用题的五个步骤1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.3.列:根据等量关系列出方程.4.解:解方程,求得未知数的值.5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.5.两点间的距离公式两点间的距离公式:设有两点A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点间的距离为AB=(说明:求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.6.三角形内角和定理(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.7.角平分线的性质角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图,∵C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE8.线段垂直平分线的性质(1)定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线,简称“中垂线”.(2)性质:①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.9.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.10.等腰三角形的判定判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作

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