浙江专用2024高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语函数与导数不等式第1讲集合常用逻辑用语教案

PAGE1-第1讲集合、常用逻辑用语集合的概念及运算[核心提炼]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[典型例题](1)(2024·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝()A．∅ B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2024·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∩B＝()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2024·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，所以∁UT＝{1，4，5}，所以S∩(∁UT)＝{1，5}，S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.【答案】(1)C(2)A(3){1，5}8eq\a\vs4\al()集合的运算与不等式相结合问题求解策略解决此类问题的思路主要有两个：一是干脆法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可依据选项的差异性选取特殊元素进行验证，解除干扰项从而得到正确选项．[对点训练]1．(2024·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z|0≤x≤6))，A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))，则B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4，6))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2，4，6))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z|0≤x≤6))解析：选C.因为U＝A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，3，4，5，6))，又因为A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))，所以B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2，4，6))，故选C.2．(2024·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|0<x≤4}，则(∁RA)∩B＝()A．{x|0<x≤3} B．{x|－3≤x≤4}C．{x|3<x≤4} D．{x|－3<x≤0}解析：选C.A＝{x|－1≤x≤3}，画数轴可知，(∁RA)∩B＝{x|3<x≤4}，故选C.3．(2024·绍兴、诸暨高考二模)已知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x≤0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－x－2≤0))，则A∪B＝__________，(∁RA)∩B＝________．解析：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x≤0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－x－2≤0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤2))，∁RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞0或x＜－2))，则A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x≤2))＝[－2，2]；(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤2}＝(0，2]．答案：[－2，2](0，2]

命题真假的推断[核心提炼]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．常见词语的否定在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特殊留意下表中常见词语的否定．词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是肯定是不肯定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有随意的某一个且或或且至多有一个至少有两个至多有n个至少有n＋1个至少有一个一个也没有至少有n个至多有n－1个全部x成立存在一个x不成立存在不存在[典型例题](1)(2024·诸暨市高考二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是()A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{eq\f(Sn,n)}是公差为eq\f(d,2)的等差数列B．若数列{eq\f(Sn,n)}是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列C．若数列{an}是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D．若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列(2)(2024·杭州市数学期末)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m∥α，则l∥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l⊥α，l∥m，则m⊥α【解析】(1)A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列{eq\f(Sn,n)}为等差数列，且通项为eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，即数列{eq\f(Sn,n)}是公差为eq\f(d,2)的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若数列{an}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不肯定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.(2)A项，若l∥α，m∥α，则l∥m或相交或为异面直线，因此不正确；B项，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C项，若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；D项，若l⊥α，l∥m，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m⊥α，正确．故选D.【答案】(1)D(2)Deq\a\vs4\al()命题真假的判定方法一般命题p的真假由涉及的相关学问辨别．推断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行推断，要推断一个命题是假命题，只需举出反例．[对点训练]1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满意“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)>49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：选D.因为f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25≥16＝42成立，所以当k≥4时，有f(k)≥k2成立．2．(2024·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：①函数f(x)＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))的图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))；②函数f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\f(1,x)在定义域上是增函数；③函数f(x)＝|log2x|－(eq\f(1,2))x在(0，＋∞)上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1.其中真命题的个数有()A．0B．1C．2D．3解析：选D.①由f(x)＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))，设其图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝g(x)，设g(x)上一点(x，y)，它关于x＝π的对称点是(2π－x，y)，这个对称点必定在f(x)上，所以y＝sin(eq\f(2π－x,2)＋eq\f(π,6))＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))，故①正确；②函数f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\f(1,x)＝(x－1)eq\s\up6(\f(1,2))＋eq\f(1,x)的定义域为[1，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,2)(x－1)－eq\f(1,2)－eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2\r(x－1))－eq\f(1,x2)，因为(x－2)2≥0，所以x2≥4x－4，即x≥2eq\r(x－1)，又当x≥1时，x2≥x，所以x2≥2eq\r(x－1)，所以f′(x)＝eq\f(1,2)(x－1)－eq\f(1,2)－eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2\r(x－1))－eq\f(1,x2)≥0，函数f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\f(1,x)在定义域上是增函数，故②正确；③画出函数g(x)＝|log2x|－(eq\f(1,2))x在(0，＋∞)的图象：上恰有两个零点x1，x2.不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2.－log2x1＝(eq\f(1,2))x1，log2x2＝(eq\f(1,2))x2.所以log2(x1x2)＝(eq\f(1,2))x2－(eq\f(1,2))x1＜0，所以x1·x2＜1，故③正确．所以正确的命题的个数是3.故选D.充要条件的推断及证明[核心提炼]充分、必要条件的推断方法利用定义推断干脆推断“若p，则q”“若q，则p”的真假从集合的角度推断若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件利用等价转化法推断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来推断真假[典型例题](1)(2024·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2024·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满意m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2eq\r(ab)，由a＋b≤4可得2eq\r(ab)≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝eq\f(1,3)，满意ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同始终角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝eq\f(4,a)的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝eq\f(4,a)及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不肯定成立．故选A.(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不肯定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】(1)A(2)Aeq\a\vs4\al()推断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后依次：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要擅长举出反例：当从正面推断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要留意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．[对点训练]1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.2．(2024·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是()A．|a|＋|b|≥4 B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．证明：充分性：因为eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，则(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.必要性：因为|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，所以(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).综上，“eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．专题强化训练[基础达标]1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．(2024·金华模拟)已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x＜1}，则A∩B＝()A．(1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选A.法一：因为A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝{y|y＞1}，B＝{y|y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x＜1}＝{y|y＞eq\f(1,2)}，所以A∩B＝{y|y＞1}，故选A.法二：取2∈A∩B，则由2∈A，得log2x＝2，解得x＝4＞2，满意条件，同时由2∈B，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝2，x＝－1，满意条件，解除选项B，D；取1∈A∩B，则由1∈A，得log2x＝1，解得x＝2，不满意x＞2，解除C，故选A.3．(2024·温州市统一模拟考试)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，故a的值为2，选B.4．(2024·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.|a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.5．(2024·衢州质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是()A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝RC．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A解析：选D.因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.6．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m＞eq\f(1,4) B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞1解析：选C.若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞eq\f(1,4)，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不肯定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0，故选C.7．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对随意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法推断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对随意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若tanx＝eq\r(3)，则x＝eq\f(π,3)”的逆否命题解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tanx＝eq\r(3)，则x＝eq\f(π,3)”的逆否命题为“若x≠eq\f(π,3)，则tanx≠eq\r(3)”，易知当x＝eq\f(4π,3)时，tanx＝eq\r(3)，故选项D为假命题．综上可知，选B.9．(2024·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题不正确的是()A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为eq\f(\r(3),3)B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与全部12条棱都相切的球的体积为eq\f(\r(2),3)πD．M是正方体的内切球的球面上随意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上随意一点，则|MN|的最小值是eq\f(\r(3)－\r(2),2)解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1＝A，所以平面ACB1∥平面A1C1D，正方体的体对角线BD1＝eq\r(3)，设B到平面ACB1的距离为h，则VB­AB1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)h，即h＝eq\f(\r(3),3)，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝eq\r(3)－2h＝eq\r(3)－2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3)，故A正确．B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与全部12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝eq\r(2)，则2R＝eq\r(2)，R＝eq\f(\r(2),2)，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π×(eq\f(\r(2),2))3＝eq\f(\r(2),3)π，故C正确．D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，所以线段MN长度的最小值是eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2).故D错误．故选D.10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k2∉A，且eq\r(k)∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个 B．4个C．5个 D．6个解析：选C.由36－x2>0可解得－6<x<6，又x∈N，故x可取0，1，2，3，4，5，故S＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝eq\f(1,2)；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，明显该集合中共有3个元素．答案：312．(2024·温州瑞安高考数学模拟)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝______，(∁UA)∪B＝________．解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，∁UB＝{1，5，6}，∁UA＝{3，4，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁UA)∪B＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}．答案：{1}{2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．答案：114．一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充分必要条件是________．解析：必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.充分性：假如b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．答案：b＝015．A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是________．解析：有序实数对(a，b)的取值情形共有9种，满意A∩B＝B的情形有：①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B＝∅；②(2，1)，此时B＝{1}；③(3，2)，此时B＝{1，2}．所以A∩B＝B的概率为P＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)16．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．解析：因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种状况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，,－2（a＋1）＝－4，,a2－1＝0.))解得a＝1.(2)当B≠A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满意题意．(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，－1]∪{1}．答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x∈P，,－x，x∈M，))其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．给出下列四个命题：①若P∩M＝∅，则f(P)∩f(M)＝∅；②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M)≠∅；③若P∪M＝R，则f(P)∪f(M)＝R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.其中命题不正确的有________．解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，则f(P)＝{1}，f(M)＝{1}，则f(P)∩f(M)≠∅，故①错．②若P＝{1，2}，M＝{1}，则f(P)＝{1，2}，f(M)＝{－1}，则f(P)∩f(M)＝∅.故②错．③若P＝{非负实数}，M＝{负实数}，则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{正实数}，则f(P)∪f(M)≠R，故③错．④若P＝{非负实数}，M＝{正实数}，则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{负实数}，则f(P)∪f(M)＝R，故④错．答案：①②③④[实力提升]1．已知集合P＝{y|y＝(eq\f(1,2))x，x≥0}，Q＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则P∩Q为()A．(0，1]B．∅C．(0，2)D．{0}解析：选A.由已知得，因为x≥0，且0＜(eq\f(1,2))x≤(eq\f(1,2))0＝1，所以P＝(0，1]，又因为2x－x2＞0⇒0＜x＜2，所以Q＝(0，2)，因此P∩Q＝(0，1]，故选A.2．已知z＝m2－1＋(m2－3m＋2)i(m∈R，i为虚数单位)，则“m＝－1”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m＝－1时，z的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z为纯虚数，即充分性成立；当z为纯虚数时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0，,m2－3m＋2≠0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝±1,m≠2，m≠1))⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U(A∩B)＝()A．{x|x＜－1或x≥1}B．{x|1≤x≤3或x＜－1}C．{x|x≤－1或x＞1}D．{x|1＜x≤3或x≤－1}解析：选B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以U＝A∪B＝{x|x≤3}，所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}；所以∁U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}．故选B.4．若x∈R，则“x＞1”是“eq\f(1,x)＜1”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：选A.由x＞1，肯定能得到eq\f(1,x)＜1，但当eq\f(1,x)＜1时，不能推出x＞1(如x＝－1时)，故“x＞1”是“eq\f(1,x)＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是()A．a－1＞b B．a＋1＞bC．|a|＞|b| D．a3＞b3解析：选B.“a＞b”不能推出“a－1＞b”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满意题意；“a＞b”能推出“a＋1＞b”，但“a＋1＞b”不能推出“a＞b”，故满意题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满意题意；“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满意题意．6．(2024·绍兴质检)已知集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，B＝{x|x＞2或x＜0}，则(∁RA)∩B＝()A．(－2，0) B．[－2，0)C．∅ D．(－2，1)解析：选B.因为集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，所以∁RA＝{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁RA)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－eq\f(b,2a)＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－eq\f(b,2a))＝eq\f(b2,－4a)＞0.f(1)＞1，所以f(－eq\f(b,2a))＝eq\f(b2,－4a)＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是()A．若随意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列B．若随意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列C．若随意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若随意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列解析：选D⊥bn⇒cn·bn＝nan＋(n＋1)an＋1＝0，即eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(n,n＋1)；所以数列{an}既不是等比数列又不是等差数列；cn∥bn⇒(n＋1)an－nan＋1＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)；所以eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝eq\f(2,1)×eq\f(3,2)×…×eq\f(n,n－1)＝n(n≥2)，即an＝na1.所以数列{an}是等差数列．11．已知A＝{0，1，2}，B＝{－1，3}，记：A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，试用列举法表示A＋B＝________．解析：因为a∈A，b∈B，所以当a＝0时，a＋b＝－1或3，当a＝1时，a＋b＝0或4，当a＝2时，a＋b＝1或5，所以A＋B＝{－1，0，1，3，4，5}．答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，