山东省淄博市沂源县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

初四数学试题本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A B. C. D.2.如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则的度数大小由60变为（）A. B. C. D.3.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长，轮子的吃水深度CD为，则该桨轮船的轮子直径为（）A. B. C. D.4.每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的（）A东面 B.西面 C.南面 D.北面5.将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（）A. B. C. D.6.若一个圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，且，则其圆锥的全面积是（）A. B. C. D.7.如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（）．A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断9.如图，直线与函数的图象交于点B，点A为x轴正半轴上的一点，点C在线段AB上，且．如果函数的图象经过点C，那么用下列坐标表示的点，在直线上的是（）A. B. C. D.10.如图，点，B均为双曲线在第一象限上点，且，则点B的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．11.已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是______．12.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有_____尾鲫鱼．13.如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与垂直的方向点C处测得，，那么等于______．14.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米．15.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则_____．三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝10，求△ABC的面积．17.如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体，请利用下方网格画出这个几何体的主视图、左视图．（请在网格上画出边框并涂上阴影）18.已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.19.烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“漆器”“剪纸”“乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．（1）四个景点中江女士去瘦西湖的概率是______；（2）求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．20.如图，等腰△ABC中，AB=AC=，BC=4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数（x>0）的图像经过点A，交BC于点D．（1）若OB=3，求k的值；（2）连接CO，若AB=BD，求四边形ABOC的周长．21.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为时，达到最大高度．草坡上距离的水平距离为的点处有一棵高的小树，小树垂直水平地面且点到水平地面的距离为．（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；（2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值．22.如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．（1）若，求的长．（2）求证：．（3）若，猜想度数，并证明你的结论．23.如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．（1）直接写出抛物线和直线的解析式；（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．

初四数学试题本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】如图，所有结果有4种，满足要求结果有1种，故概率为.故选：A【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．2.如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则的度数大小由60变为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设的度数为，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【详解】解：设的度数大小由60变为，则，由，解得，，故选A．【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式是解题的关键．3.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长，轮子的吃水深度CD为，则该桨轮船的轮子直径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案【详解】解：设半径为，则在中，有，即解得则该桨轮船的轮子直径为故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道垂直平分这个隐藏的条件．4.每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的（）A.东面 B.西面 C.南面 D.北面【答案】B【解析】【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【详解】解：因为小亮在早晨上学的路上和下午放晚学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，所以，他早晨是面向东，下午是面向西，故小亮的家在学校的西面．故选：B．5.将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标．先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可．【详解】解：∵抛物线的，顶点是，∴将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的，顶点是，∴旋转后的抛物线解析式为．故选：C．6.若一个圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，且，则其圆锥的全面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形，简单几何体的三视图．首先根据圆锥的主视图的腰长和底角的余弦值求得底面半径，从而求得侧面积和底面积，相加即为全面积．【详解】解：∵圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，∴圆锥的母线长为6，∵，∴底面半径2，∴圆锥的全面积，故选：B．7.如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴．∵点A，B，C，P均在圆O上，∴四边形是的内接四边形，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查正多边形和圆、圆内接四边形的性质．解题的关键是掌握正n边形的内角为

．8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据“二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根”即可求出答案．【详解】解：由图可知二次函数的图象与x轴有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故选：B．9.如图，直线与函数的图象交于点B，点A为x轴正半轴上的一点，点C在线段AB上，且．如果函数的图象经过点C，那么用下列坐标表示的点，在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识；过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F；由B点是一次函数与反比例函数的交点求得B的坐标；易证，结合点C在反比例函数图象上，可求得点C的坐标；求出直线解析式，然后一一验证即可．【详解】解：如图，过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，∵B点是一次函数与反比例函数的交点，∴联立两函数解析式得：，解得：或（舍去），∴点B的坐标为∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴即点C纵坐标为1，∵点C在反比例函数图象上，∴，即，∴点C的坐标为，设直线解析式为，把B，C两点坐标分别代入得：，解得：，即直线解析式为，当时，；当时，；当时，；当时，；即点在直线上，其它点都不在直线上，故选：C．10.如图，点，B均为双曲线在第一象限上的点，且，则点B的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，图象交点坐标；过作交的延长线于，过作轴交于，过作交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线为，联立两个函数关系式即可求解；掌握相关的性质，能根据作出适当的辅助线，构建三角形全等是解题的关键．【详解】解：过作交的延长线于，过作轴交于，过作交的延长线于，，，∵，，，，在和中，，（），，，，，，，，，解得：，，，，设直线为，则有，解得，直线为，联立，解得：，（舍去），，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．11.已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是______．【答案】点A在圆O内．【解析】【分析】根据线段中点的性质，可得OA=4.5，根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：A为线段OB的中点，当OB=9cm时，得OA=OB=4.5（cm），∵r=5cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是点A在圆O内，故答案为：点A在圆O内．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．12.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有_____尾鲫鱼．【答案】460．【解析】【分析】根据小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，即可求出捕捞鲫鱼的概率,然后根据概率公式即可求出水库里鲫鱼的尾数.【详解】解:捕捞鲫鱼的概率为:1－51%－26%=23%则水库里鲫鱼的尾数为:2000×23%=460故答案为:460【点睛】此题考查的是概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键.13.如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与垂直的方向点C处测得，，那么等于______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据可知是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义用表示出的值即可．【详解】解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴，∴，故答案为：．14.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米．【答案】【解析】【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点A作于点D，根据题意得：，∵，∴，∴，∴米，在中，米，即该主塔的高度是米，故答案为：．15.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则_____．【答案】2【解析】【分析】连接，，证明，得到，从而求出，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：连接，，由网格可得：，又，，，，，，，解得：，．【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝10，求△ABC的面积．【答案】【解析】【分析】根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，，设，，勾股定理建立方程，解一元二次方程求得的值，进而求得的长，根据三角形面积公式计算求解即可【详解】解：∵，设，∴解得（舍去）∴，∴【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握正弦的意义是解题的关键．17.如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体，请利用下方网格画出这个几何体的主视图、左视图．（请在网格上画出边框并涂上阴影）【答案】见解析【解析】【分析】根据简单组合体的三视图的画法，画出它的主视图、左视图即可．【详解】解：这个组合体的主视图、左视图如下：【点睛】本题考查简单组合体的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．18.已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.【答案】详见解析【解析】【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.【详解】证明：如图，过点O作于点M.，.同理，...【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.19.烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“漆器”“剪纸”“乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．（1）四个景点中江女士去瘦西湖的概率是______；（2）求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．【答案】（1）（2），图见解析【解析】【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）根据题意画出树状图，然后求出概率即可．【小问1详解】解：四个景点中江女士去瘦西湖的概率是．故答案为：．【小问2详解】解：根据题意画树状图，如图所示：∵共有12种等可能的情况，其中江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的只有一种情况，∴江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率为．【点睛】本题主要考查了概率的基本公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．20.如图，等腰△ABC中，AB=AC=，BC=4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数（x>0）的图像经过点A，交BC于点D．（1）若OB=3，求k的值；（2）连接CO，若AB=BD，求四边形ABOC的周长．【答案】（1）k=9；（2）.【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，求出AH和BH的长，即可确定A点坐标，从而求出k的值；（2）设B点坐标为（0，a），写出A，D两点的坐标，根据A，D都在反比例函数上，求出a，k的值，从而求出周长.【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=，BC=4，∴BH=，在Rt△ABH中，，∵OB=3，∴A点坐标为，把A代入反比例函数中，得，解得：k=9；（2）设B点坐标为（0，a），∵BD=AB，∴D点坐标为，∴A点坐标为，∵反比例函数经过A，D两点，∴把A，D两点代入反比例函数中，得：，解得：，则D点坐标为，A点坐标为，在Rt△OBC中，，∴四边形ABOC的周长为.【点睛】本题是对反比例函数的考查，熟练掌握反比例函数知识是解决本题的关键.21.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为时，达到最大高度．草坡上距离的水平距离为的点处有一棵高的小树，小树垂直水平地面且点到水平地面的距离为．（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；（2）记水流高度为，斜坡的高度为，求的最大值．【答案】（1）能浇灌到小树后面的草坪，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点为，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解得到抛物线的表达式为，根据要求出值即可作出判断；（2）根据题意，求出直线为，由（1）中，作差后由二次函数图像与性质分析即可得到答案．【小问1详解】解：能浇灌到小树后面的草坪，理由如下：由题意可知，抛物线的顶点为，故可设水流形成的抛物线为，将点代入，得，∴抛物线的表达式为，由题意可知当时，，∴能浇灌到小树后面的草坪；【小问2详解】解：由题意可知点的坐标为，则直线为，由（1）中，∴，，有最大值，∴的最大值为．【点睛】本题考查二次函数解实际应用题，读懂题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解决问题的关键．22.如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．（1）若，求的长．（2）求证：．（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．【答案】（1）1（2）见解析（3），证明见解析【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．【小问1详解】解：直径垂直弦，，，，，，由圆周角定理得，，在和中，，，；【小问2详解】证明：是的直径，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；小问3详解】解：，证明如下：如图，连接，