探索与表达规律（7大题型）-2025年北师大版七年级数学寒假复习专练（含答案）

专题09探索与表达规律

嫌内容早知道

》第一层巩固提升练（7大题型）

题型一数列的规律问题

题型二图表的规律

题型三算式的规律

题型四图形的规律（一次类）

题型五图形的规律（二次类）

题型六图形的规律（指数类）

题型七循环规律类问题

台第二层能力培优练

台第三层拓展突破练

---CHD-O-0-©---

题型一数列的规律问题

☆技巧积累与运用

数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号〃之间的关系.

这类问题通常是给出一组数，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性结

论，解决这类问题的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号之间的

关系.找规律时主要通过作差或作商来找到其规律，当然也要注意正负号的变化，常见的规

律有等差规律、等比规律、二级等差规律.

（24-25七年级上•江苏南通•期中）

1.观察下面三行数：

—2,4,—8,16,—32,64,...；（T）

0,6,-6,18,-30,66,...；（2）

-1,2,—4,8,-16,32,...；③

设x、V、z分别为第①②③行的第99个数，贝IJ4x-2〉-4z的值为（）

试卷第1页，共16页

A.-4B.4C.-2D.2

（2024・海南•一模）

2.观察下列一组数：-|,券，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数

的第5个数是,第一个数是.

（24-25七年级上•江苏扬州•期中）

3.下面是按一定规律排列的一列数:

第1个数：（1+y£

2

第2个数：fl+y|1+£

3

第3个数：11+941+

1+

4

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）

A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数

题型二图表的规律

☆技巧积累与运用

图表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号”之间的关系.

其实整体处理方法与题型1类似.

（24-25七年级上•四川成都•期中）

4.将自然数按以下数表排列：

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1451617

第二行23615

第三行98714

第四行10111213

试卷第2页，共16页

第五行

数表中数2在第二行第一列，与有序数对（2,1）对应，数5与（1,3）对应，数14与（3,4）对应，

根据这一规律，数2029对应的有序数对为.

（24-25七年级上•四川南充•期中）

5.如图，数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,

15,……，我们把第一个数记为卬，第二个数记为电，第三个数记为见，第〃个数记为

则第30个数的。的值为（）

（24-25七年级上•河北沧州•阶段练习）

6.如图1,有一种密码，把26个英文字母。、b、c、d...z（不论大小写），依次对应自然

数1,2,3,4,...26,当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号是卷一，当明码对

X

应的序号X为偶数时，密码对应的序号是万+13,如明码为“7加e”，密码是“wegc”.按上述

规定，把明码加e”译成密码是.

字母：abcdefghijkIm

序号12345678910111213

字母n0PqrStuVwXyz

序号14151617181920212223242526

题型三算式的规律

*技巧积累与运用

试卷第3页，共16页

算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号"之间的关系.

从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或

猜想出一般结论，最后验证结论的正确性.

(24-25七年级上•山东青岛•期中)

7.观察下列等式，探究规律，回答问题：

22-02=4x1

42-22=4x3

62-42=4x5

(1)填空：82-62=x；

(2)第力个等式为：；

(3)利用上述结论计算：(1+3+5+…+223).

2o

(24-25七年级上•北京•期中)

8.观察下列等式:

1x11_111_11

1^2~-2?2^3-2-3,3^4-3-4

将以上三个等式的两边分另幅加，得卜

(1)直接写出计算结果：A+TL7+A+A+rL7=—

1x22x33x44x55x6

+++

(2)计算：7-TT~T+T-7---一?n(写计算过程)

1x22x33x4HX(M+1)

(3)猜想并直接写出：/卜++J可+.・.+"^

(〃为正整数)

1x33x55x7(2〃一l)x(2〃+l)

(24-25七年级上•福建泉州・期中)

9.观察下列各式：

I3=1=1X12X22,

4

l3+23=9=-X22X32

4

13+23+33=36=-X32X42

4

l3+23+33+43=100=-X42X52

4

试卷第4页，共16页

回答下面的问题：

（1）直接写出r+23+3?+甲+9的值是；

猜想：13+23+33+……-I）3+n3=.

（2）根据（1）中的结论,求1F+123+133+……+193+203的值.

（3）思维拓展：求F+33+53+……+17,+193的值.

题型四图形的规律（一次类）

★技巧积累与运用

图形规律：观察前〃项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

这类题通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列图形），探究图形的变化规律，

以图形为载体考察图形所蕴藏的数量关系.解决此问题先观察图形的变化趋势是增加还是减

少，然后从第一个图进行分析，运用从特殊到一般的思想，分析增加或减少的变化规律，并

用含字母的代数式进行表示.也可以转化为数式规律题来进行解答.

（23-24七年级上•四川成都・期末）

10.如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑,

依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（）

（24-25七年级上•江苏宿迁•期中）

11.“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷妙是一类由碳、

氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的

养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷癸烷等，烷燃中甲烷的化学式是

CH4,乙烷的化学式是C2H6,丙烷的化学式是c3H8,…，其分子结构模型如图所示，按照

此规律，设碳原子（C）的数目为"（"为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子

来表示（）

试卷第5页，共16页

（24-25七年级上•四川成都•期中）

12.小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，第"个图形需要（）枚棋子

A.3〃-1B.3"+1C.4〃-1D.4n

题型五图形的规律（二次类）

*技巧积累与运用

图形规律：观察前〃项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.同题型

4类似.

（24-25八年级上•重庆•期中）

13.如图所示，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵

梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，…以此类推，则第8个图形

中含有的梅花朵数是（）

***4*...

***

第1个图形第2个图形第3个图形

A.40B.53C.68D.85

（24-25六年级上•山东淄博・期末）

14.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2

个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆...按此规

律排列下去，第10个图形中圆的个数是_个.第〃个图形中圆的个数是_个.

试卷第6页，共16页

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

（24-25七年级上•四川广安•期中）

15.观察图形，探索规律.

图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三

角形：图3是9个边长都为。的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为。的小三

角形拼成的大三角形。按此规律排列，图〃中共有长度为a的线段条.

△A

aa

图1图2

题型六图形的规律（指数类）

*技巧积累与运用

指数类的图形规律大多通过面积与周长的运算寻找出相关变化的规律，从而解决问题.

（24-25七年级上•山东烟台・期中）

16.如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式J:…:,

再加上（）后，结果就是1.

11

1111

A•尹B-Fc-FD-F

（24-25七年级上•四川成都•期中）

试卷第7页，共16页

17.如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正

方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的

18.如图1,把边长为1的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一

的小等边三角形得到图2,称为一次“生长”.在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”〃

题型七循环规律类问题

*技巧积累与运用

有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

（2024七年级上•山东•专题练习）

19.如图，以。为端点画六条射线。4。8,。。,。2。瓦。尸后，再从射线。4上某点开始按逆

时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1,2,3,4,5,6,

7,8…则所描的第2028个点在（）

试卷第8页，共16页

D

A.射线。4上B.射线OD上C.射线OE上D.射线。尸上

（24-25七年级上•湖北孝感•阶段练习）

20.定义一种对正整数〃的“尸”运算：①当〃为奇数时，结果为3〃+5；②当”为偶数时，

结果为爰是（其中人是使彖为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取九=26,

则

若”=23,则第2024次“尸”运算的结果为（）

A.23B.37C.74D.92

（2024七年级上•重庆•专题练习）

21.如图，将一列有理数按如下规律排列，请解答下列问题：

-6-12

3915C

⑴在N,B,C三个数中，其中表示负数的是；

（2）若B,C,D,E均表示对应的有理数，则8+C+O+E的值是；

（3）数2025排列在图中吗？若在,它的位置对应/,B,C,D,E中的什么位置？并说明理

由.

-------------------------------------------------------------------------

（24-25七年级上•北京・期中）

22.“数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：

试卷第9页，共16页

上图对应的算式为：1+2+3+4+3+2+1=-X82=16.

4

用类似的方法可以计算1+2+3H----1-50+49HH2+1的值为（）

A.2401B.2500C.9801D.10000

（24-25七年级上•四川绵阳•期中）

23.如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅

子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子…；若按这种方

式摆放28张桌子需要的椅子张数是（）

A.25张B.50张C.54张D.60张

（2023•云南•校考模拟预测）

24.观察下列按一定规律排列的数：-31,9,1,-27,1,18,1,则第15个数为

A.315B.-315C.38D.-38

（24-25七年级上•山东青岛•期中）

25.将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2,得到5个正方形；第2

次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…，以此类推，根据以

上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（）

试卷第10页，共16页

ffllffi2-

A.506B.507C.508D.509

（24-25七年级上•北京•期中）

26."是不为1的有理数，我们把义称为"的差倒数，例如2的差倒数是与=-1,-1的

1-01-2

111

差倒数是］_（_］）=］.已知％=-§,々是的差倒数，是。2的差倒数，％是。3的差倒

数，……，以此类推，则g024=

（24-25七年级上•北京•期中）

27.下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）

按某种规律组成的.根据规律，第4个图中小白正方形共有一个，第"个图形中，自自小

图1图2图3

（24-25七年级上•广东深圳•阶段练习）

28.（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式;

(l+2)x2

1=1,1+2=-^——1—=3,

2

(l+3)x3

1+2+3=-^——』—=6,

2

（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式.

1=12,

1+3=22,3+6=32,6+10=42,

试卷第11页，共16页

（3）写出（2）中与第〃个点阵相对应的等式：.

（24-25七年级上•四川眉山•期中）

29.将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对（私外表示第加排，从左往右数

第"个数，如（3,2）表示整数5,则。6,4）表示的数是

1第1排

23...................第2排

456..............第3排

78910........第4排

（24-25七年级上•安徽合肥•期中）

30.用相同的小菱形按如图的方式搭图形.

（1）按这种方式搭下去，搭第6个图形需要个小菱形；

（2）按这种方式搭下去，搭第n个图形需要个小菱形（用含n的代数式表

示，其中n为偶数）；第2025个图形需要个小菱形.

（24-25七年级上•山东济南•期中）

31.从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳.它是发现数学结论、解决数

学问题的一种重要策略.

【问题】

在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形.格点多

边形的面积S与内部的格点数。和边上的格点数6（含顶点）是否存在一定的数量关系？

【特例感知】

小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1）,

绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3.

试卷第12页，共16页

以上情形的数据如下:

b

abS

2

图11633

图2684①

图36②510

①处应填一，②处应填一；

由此发现规律：格点多边形的面积S=_；（用含a,6的代数式表示），老师肯定了此规律的

正确性.

【问题解决】

在任意格点多边形中，如果a=10,6=15,那么格点多边形的面积S=_；

【联系拓广】

如图4,在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1）,格点多边形的面积

S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系.小明按照以上的归纳策略

继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为一.

-------------------------------------------------------------------------

（24-25七年级上•四川成都•期中）

32.如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三

角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要

个三角形，……，摆第〃层图案需要个三角形.

AA7WW\

AAAAAA/XAAAAAA

（24-25七年级上•四川成都•阶段练习）

33.成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同

其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站

最多能够通过三条电话线.如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种

试卷第13页，共16页

方式建立的网络系统最多能够联络个急救站.

（24-25七年级上•四川成都•期中）

34.在综合实践活动中，数学兴趣小组对1〜〃这〃个自然数中，任取两数之和大于〃的取

法种数进行了探究.发现：当〃=2时，只有｛1,2｝一种取法，即后=1；当〃=3时，有｛1,3｝

和｛2,3｝两种取法，即左=2；当”=4时，可得笈=4；.........若〃=5,则左的值为；

若”=25,则左的值为.

（24-25七年级上•四川成都•期中）

35.“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相

邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果.将长方形区域分割成三角形的过程是：在长

方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交

产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形.若长方形内有4个点，则三角形个数为

个，若长方形内有"个点，则三角形个数为个（不计被分割的三角形）.

图1图2

（24-25七年级上•重庆•期中）

36.近日，国产3A大作《黑神话：悟空》在全球持续火爆，它巧借人工智能、大数据、云

计算、物联网等现代“黑技术”推动中华优秀传统文化“转型、升级、突围”，向世界传播承载

中华文化、中国精神和中国力量的作品，展现了中国文化自信.小明同学也备受鼓舞，想设

计一款小游戏，他首先尝试变化贪吃蛇游戏的场景，让贪吃蛇在圆柱体的侧面上运动，同时

吃掉侧面有序排列的金币.小明想算出贪吃蛇按斜线S形吃完所有金币的路径总长，于是,

把圆柱的侧面展开，那么金币在侧面展开图上可以看成点，每个金币在侧面展开图上呈行、

列规律排列，每行有机个金币，每列有"个金币.如图1,行上相邻两个金币的间距都为

a,斜着排列的相邻两金币的间距都为6（加，，均为正整数，机＞〃23,其中2/=/）.

图2是贪吃蛇按斜线S形运动示意图.

试卷第14页，共16页

(1)圆柱体侧面上一共有个金币.(用含加、〃的代数式表示.)

(2)用代数式表示贪吃蛇按斜线S形运动的路径总长为(用含。、b、c、m、〃的代

数式表示.)

(24-25七年级上•四川达州•期中)

37.一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和.例如：23,3?和43分别可以按如

图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;3?=7+9+11；

43=13+15+17+19；……；若63也按照此规律来进行“分裂”，贝16“分裂”出的奇数中，最

小的奇数是,由此可得，当〃为正整数时，(2〃+1)3“分裂”出的奇数中，最大的奇数

(24-25七年级上•四川自贡•阶段练习)

38.在数学兴趣活动中，小容为了求2+2?+23…+2/+2"的值，写出下列解题过程.

解：设S=2+2?+23…+2向+2"①

两边同乘以2得：2s=2?+23…+2"T+2"+2"+i②

由②一①得：S=2"+i-2.

⑴应用结论：根据题目的结论，直接写出：2+2?+23…+2坝=;

(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：万+尹+方+^'

(24-25七年级上•河南周口•期中)

39.观察式子中的规律，并回答问题.

(1)观察发现

(gT)--1-----1-----2---；

^1+14+21x2x3

试卷第15页，共16页

2

②币不

2x3x4

2

（与3）--1------1--=

99+316+43x4x5

2

④-----------------

^16+4。+54x5x6

式子④中〃=，b=：

(2)规律提炼

写出第〃个等式(用含有字母〃的式子表示);

(3)问题解决

-200200200.,土

求-------1-------1---1-----------的值

1x2x32x3x499x100x101

试卷第16页，共16页

1.A

【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从

而可以写出第"个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2,第

三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2,然后即可得到每行的第99个数字，再作和

即可解答本题.

【详解】解：由题目中的数据可得，

第一行数据的第〃个数是(-2)",

第二行数据的第n个数是(-2)"+2,

第三行数据的第n个数是㈢1,

2

故第一行的第99个数是(-2户，第二行数据的第99个数是(-2户+2,第三行数据的第99

个数是上9_=_298,

2

4x-2j-4z

=4x(-2)"-2x(-2)"-2x2-4x(-298)

=-4X299+2X2"-4+2100

=(-4+2)x2"-4+2100

=-2x2"-4+2100

100100

=_2-4+2

=-4,

故选A.

230小+1)

【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化

特点，从而可以写出第"个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的

数字.

即261220

【详解】解：---,—,--,—,...»

592/o1

,々犯粉出1x22x33x44x5

••这组数为：--^―，,--

答案第1页，共23页

•••这一组数的第5个数是-竽=-盖，第〃个数是(-1)"勺口,

卫研华、r30/n(n+l)

故答案为：—诟，(T)-

3.D

【分析】本题考了有理数的混合运算、数字类规律探索、有理数的大小比较，由题意得出规

律第〃个数为彳--7,再求出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数，比较即可

277+1

得解.

八一11111111

【详解】解：第1个数

12J22222

第2个数：1+

3

1431

=—X—X-----------

2343

~-1---1•

23'

印卜里卜甲卜喇小

第3个数：[1+£]1+

mm

143651

=—X—X—X—X-----------

234564

=-1---1•

24'

...,

」-1)”1+(-叫(1上尸］111

...第〃个数：1-

3人4J12HJH+12n+1

・•.第10个数为=!1-二=之、第11个数为=M3=J第12个数为

211222222212121212

£_^_£3_2__H第13个数分别为二==二=。；

213-26-26-26"2141414147

31159

V—>——>——>——,

7261222

・•・最大的数是第13个数

故选：D.

答案第2页，共23页

4.（46,4）

【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键根据表格得出数字的变化规律.由已

知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方；第一行的偶数列的规律是:

第几列就是几的平方;根据45x45=2025,可得数2025在45行，第1列，结合2025+4=2029,

即可求解.

【详解】解：由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方；

第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方；

•••45x45=2025,

.•.数2025在45行，第1列，

•••2025+4=2029,

2029在第46行，第4列，

故数2029对应的有序数对为（46,4）,

故答案为：（46,4）.

5.D

【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第77个数记为:"（”+1）,再进行求解

即可.

【详解】解：根据题意知4=1,

a2=1+2=3,

%=1+2+3=6,

a4=1+2+3+4=10…，

则%=1+2+3+…+1）,

/.%o=；x30x（30+1）=465,

故选：D.

6.tagc

【分析】本题考查数字变化的规律，将。。加婷中各个字母对应的序号代入相应的代数式求出

对应的值，再写出以该值为序号对应的字母，把这些字母依次排列起来即可.

答案第3页，共23页

Y]4

【详解】解：“对应的序号为14,则=+13=工+13=20,20对应的字母为人

22

。对应的数字为1,则2=三=1,1对应的字母为〃；

22

加对应的数字为13,则W=要=7,7对应的字母为g；

22

e对应的数字为5,则W=U=3,3对应的字母为J

22

故答案为：Sgc.

7.(1)4,7

(2)(2〃J-(2〃.2)2=4x(2〃-1)

(3)448

【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式

子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键.

(1)根据所给等式的规律，直接写出即可；

(2)通过观察可得，第〃个等式为(2〃)2-(2〃-2)2=4X(2;L1)；

(3)由(2)可得，M^=^X(22-02+42-22+62-42+---+2242-2222),再求解即可.

【详解】(1)解：根据所给等式的规律可知：

82-62=4x7,

故答案为：4,7；

(2)解：根据所给等式的规律可知，第〃个等式为:

(3)解：L(l+3+5+…+223)

28

1

x4x(l+3+5+…+223)

-28x4

(4x1+4x3+4x5+…+4x223)

(22-02+42-22+62-42+---+2242-2222

=-L

x；2242

112

=448.

5

8.(1)7

O

答案第4页，共23页

n+\

n

⑶

2n+l

【分析】本题主要考查了探究数字规律、有理数的混合运算等知识点，根据已知等式、找出

规律是解题的关键.

(1)根据所给等式对乙+工+工+工+工进行拆分，然后进行计算即可；

1x22x33x44x55x6

(2)按照(1)的思路对丁=+白+4+…+拆分,然后进行计算即可；

1x22x33x4nx(「«+1)

1\(11)

(3)由(2)的结论，可以推出7^—777^—7---—-----,然后运用该规律解答

(2〃-+212〃-12n+lJ

即可.

【详解】(1)

11111111111111

解:--------1----------1----------1----------1---------=1—I——I——I——I—

1x22x33x44x55x6223344556

6

5

6

故答案为：—.

o

(2)解：----1------1------H...H----------

1x22x33x4nx(n+l)

1__1_

i-14-—F,

223nH+1

n+1

n

71+1

_1111

(3)角牛,-------1----------1----------F...H----------------------------

31x33x55x7(2H-1)X(2Z?+1)

1111111

—l——i—

335572a-l2n+1

1

2H+1

12n

=—x---------

22H+1

n

2H+1

答案第5页，共23页

n

故答案为:

2n+\

12

9.(1)225；-n2(n+l)

(2)41075

(3)19900

【分析】(1)根据给出的等式寻找规律，得出答案即可；

(2)根据例题得到原式等于(F+2?+33+…+1妒+203)-03+23+33+…+103),再根据规律

计算即可；

(3)将原式变形为=F+23+3'+…+193+203-(23+43+6+…+203),再对

3333

2+4+6+---+20进行计算，最后仿照例题解答即可.

【详解】(1)解：•••I'l—x"*

4

13+23=9=-X22X32,

4

13+23+33=36=-X32X42,

4

l3+23+33+43=100=-X42X52,

4

.-.l3+23+33+43+53=-X52X62=225,

4

I3+23+33H---l-(n-l)3+n3=^xn2x(«+l)2=；(/+2n3+叫；

(2)解：ll3+123+133+---+193+203

=(l3+23+33+---+193+203)-(l3+23+33+---+103)

=-x202x212--xl02xll2

44

=44100-3025

=41075；

(3)解：I3+33+53+……+173+193

=l3+23+33+---+193+203-(23+43+63+---+203)

=13+23+33+---+193+203-23X(13+23+33+---+103)

=-x202x212-8x-xl02xll2

44

=44100-24200

答案第6页，共23页

==19900.

【点睛】此题考查有理数的规律计算，能读懂例题，仿照例题依次得到每个算式的计算方法

是解题的关键.

10.D

【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总

结规律，运用规律.

根据图形的变化发现规律：第〃个图案中涂有阴影的小正方形个数为4〃+1,进而求得第100

个图案中涂有阴影的小正方形个数.

【详解】解：观察图形的变化可知：

第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5=4x1+1；

第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9=4x2+1；

第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13=4x3+1；

发现规律：

第"个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4力+1；

・•・第100个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4/7+1=4x100+1=401；

故选：D.

11.A

【分析】本题是数字规律探究题，读懂题意，找出规律，列出关系式是解题的关键.设碳原

子的数目为“，氢原子的数目为％,由观察可知。“=2〃+2,进而即可得出答案.

【详解】解：设碳原子（C）的数目为"（〃为正整数），氢原子的数目为见,

观察可知,=4=2xl+2,

a2=6=2x2+2,

%=8=2*3+2,

an=2n+2,

•••碳原子（C）的数目为"，则它们的化学式为C“H2”+2,

故选：A.

答案第7页，共23页

12.B

【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知第一个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个

图形多3枚棋子，进行求解即可.

【详解】解：观察可知第一个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，

・•・第〃个图形需要4+3(”-1)=(3〃+1)枚棋子；

故选：B.

13.C

【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第”个图形有(4+r)朵梅花是解本题

的关键.根据题意可得第1个图形有4+『=5朵梅花，第2个图形有4+22=8朵梅花，第3

个图形有4+3?=13朵梅花，据此得出规律，进行解答即可.

【详解】解：•••第1个图形有4+F=5朵梅花，

第2个图形有4+2?=8朵梅花，

第3个图形有4+9=13朵梅花，

第“个图形有(4+«2)朵梅花,

・•・第8个图形中共有梅花的朵数是4+82=68朵，

故选：C.

14.112”(〃+1)+2

【分析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第"个图形中圆的个数是解

题的关键.

根据图形得出第〃个图形中圆的个数是"("+1)+2进行解答即可.

【详解】解：第1个图形中一共有lx(l+l)+2=4个圆，

第2个图形中一共有2x(2+l)+2=8个圆，

第3个图形中一共有3x(3+l)+2=14个圆，

第4个图形中一共有4x(4+l)+2=22个圆；

可得第〃个图形中圆的个数是"("+1)+2；

答案第8页，共23页

.•.”=10时，一共有10x(10+1)+2=112个圆；

故答案分别为：112；〃(“+1)+2.

]53n°+3n

'-2-

【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键，

观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小

三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数.

【详解】第①个图形有1=/个三角形，共有长度为。的线段3条，

第②个图形有1+3=22个三角形，共有长度为。的线段(l+2)x3=9(条)，

第③个图形有1+3+5=9=32个三角形，共有长度为0的线段(1+2+3*3=18(条)，第③

个图形有1+3+5+7=16=42个三角形，共有长度为a的线段(1+2+3+4)X3=30(条)，

第⑤个图形有1+3+5+7+9=25=52个三角形，拼成大正方形边长为5a,共有长度为。的

线段(l+2+3+4+5)x3=45(条)，

按此规律,

则第"个图形中三角形的个数：1+3+5+……+2〃+1=/个三角形，图中共有长度为。的线

段(1+2+3H-----1-n)x3=2^n(条).

故答案为：十

16.D

【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律性，根据题意设

111111G…，11111,1

s=]+>+^r+梦+…+>+呼①，贝12s=1+]+>+级+牙+…+尹②，则n1s=l-法，

从而再加上，即可求解，解题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想

解答.

【详解】解：设S=；+J+J+J+…+，+：①，

…、门11111),11111公

BiJ2^2x^-+-+-+-+...+-+-j=l+2+-+-+-+...+-@)

二②-①得：s=1-/,

答案第9页，共23页

・••再加上最后，结果就是1

故选：D.

17.包

64

【分析】本题考查了图形的变化类问题，观察图形发现部分①的面积为g，部分②的面积

为:……部分〃的面积为《，根据剩余阴影部分面积为解答即可.

【详解】解：观察图形发现部分①的面积为十，部分②的面积为:……部分〃的面积为

1

如图所示，剩余阴影部分面积为:

1111,163

•••--1--T-!--r-!--1---T—1------T=，-

22223262664

故答案为：三.

64

4"

此干

【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是理解题意，数形结合.观察图形，求出

一次“生长”和二次“生长”的图形的周长，从中发现规律，即可求解.

【详解】解：观察图形发现，第一个图形的周长是3,经过一次“生长”的图形的周长是

CC1C4

3+3x-=3x—；

33

经过二次“生长”的图形的周长是3x9+3x4xL』=3xd

333⑺

以此类推，贝「生长”〃次，得到的多边形的周长是3x

故答案为：.

3'1

19.D

【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据1在射线上，2在射线。2上，3在射线OC

上，4在射线上，5在射线上，6在射线。尸上，7在射线。/上，…得出每6个数为

一周期.用2028除以6,根据余数来决定数2028在哪条射线上.

【详解】解：「I在射线。4上，

2在射线03上，

答案第10页，共23页

3在射线OC上，

4在射线上，

5在射线上，

6在射线O尸上，

7在射线O/上，

每六个一循环，

2028+6=338,

.•.所描的第2028个点所在射线和6所在射线一样，

・•・第2028个点在射线O尸上.

故选：D.

20.B

【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能

力.根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出

第2024次“尸运算”的结果.

【详解】解：当〃=23时，第一次运算：3x23+5=74；

74

第二次运算：y=37；

第三次运算：3x37+5=116；

第四次运算：岁=29；

第五次运算：3x29