探究性问题 专项练习-2025年中考数学一轮复习

类型9探究性问题

压轴例题精讲

【例】有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E,F分别在边AB和AD上，

连接BF,DE,M是BF的中点连接AM交DE于点N.

(1)线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；

⑵将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2,其他条件不变，线

段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由.

【解】(1)DE=2AMDEXAM.

(2)仍然成立.理由如下：

如图，延长AM到点H使MH=AM连接BH.

•••点M是BF的中点；.BM=FM.

又/BMH=NAMF,

.,.ABHM^AFAM,

二BH=AF=AE,ZH=ZFAM,

；.AF〃BH,

.•.ZFAB+ZABH=180°.

又：ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,

NABH=NDAE.又AB=AD,

△ABH/ADAE,AH=DE.

,/AH=2AM,DE=2AM.

又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,

.•.ZADE+ZDAN=90°,

ZAND=90°,

即DEXAM.

1.问题提出如图1,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E,使DE=DB延长ED交AB于点

F，探究卷勺值.

问题探究⑴先将问题特殊化.如图2,当/BAC=60。时，直接写出多勺值；

(2)再探究一般情形.如图1,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展如图3,在小ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点，^=-(n<2),延长BC至点E,

DCTl

2如图，二次函数y=-+|刀+4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

4乙

点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m.过点P作直线PDLx轴于点D,作直线B

C交PD于点E.

⑴求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当4CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC,过点P作直线1〃AC,交y轴于点F,连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P,

使得CE=FD,若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

3.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30。的角:;

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照⑴中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.

①如图2,当点M在EF上时,NMBQ=。，/CBQ=°;

②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合)，如图3,判断/MBQ与NCBQ的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用

在⑵的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时，直接写出AP的长.

图1

图2图3

4.在△ABC中,/ACB=90°,—=m,D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到4AED,连接BE.

BC

⑴特例发现如图1,当m=l,AE落在直线AC上时，

①求证:/DAC—EBC;

②填空：海勺值为「

CE

⑵类比探究如图2,当m*l,AE与边BC相交时，

在AD上取一点G,使NACG=NBCE,CG交AE于点H.探究(?的值(用含m的式子表示)，并写出探究过程;

(3)拓展运用在(2)的条件下，当机=会＞是BC的中点时，若EB.EH=6,求CG的长.

5.问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题如图①在口ABCD中,BE,AD,垂足为E,F为CD的中点，连

接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：⑵希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C

的对应点为C，,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：⑶智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点B的直线折叠,如图③，点A的对应点为A1使A-B1C

D于点H,折痕交AD于点M,连接AM,交CD于点N.该小组提出一个问题：若此口ABCD的面积为20,边长AB=

5,BC=2V5,,求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

A'

图③

1.实验与探究

操作一：如图1是一张矩形纸片，点E在边AB上把ABCE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点

F处，连接DF,且点E,F,D在同一直线上.

(1)若/CEB=70。,贝!!/EDC=°;

⑵当AE=4时，求BE的长.

操作二:如图2,矩形纸片中,AB=5,BC=4,点G是BC的中点点E是AB边上的一动点，将ABGE沿EG所在

直线翻折得到△FEG.连接DF,则线段DF的最小值是_______.

2.如图1,矩开乡ABCD中,AB=10,BC=8.E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折.叠，使点C落在AB边的点

C处.

(1)填空:AC的长为;

(2)如图2,将ADCE沿线段AB向右平移，使点C与点B重合得到△DBE：DE与BC交于点F,D'B与DE

交于点G,求EF的长;

⑶在图2中，连接GF,EE,则四边形GEEF是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.

3.已知抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，且过点((1」)和点(2,1).);

4

⑴求抛物线的解析式;

⑵若点D(-l,p)和点E(m-l,q)在抛物线上，试比较p,q的大小；

(3)过点F(0,1)作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B,线段AB的垂直平分线交y轴于点M,试探

究署是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

FM

4如图1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点P为线段CD上的一个动点，点P从D点出发，以每秒4个单位

长度的速度从点D向点C运动，过点P作AC的平行线交AD于点(2,将4PDQ沿PQ折叠，点D落在点E

处，连接DE,AE,如图2,设运动的时间为t秒.

⑴观察猜想:①当点P运动时,NADE的大小是否发生变化？若发生变化，求sin/ADE的变化范围；若不发生

变化，直接写出sin/ADE的值；

②在P点运动过程中，线段AE的最小值为(直接写出答案)；

(2)推理探究:设△PQE与△ACD的重叠部分的面积为S,请你直接写出S与t的函数解析式，并写出自变量

t的取值范围；

(3)拓展延伸诞长PE交直线AC于点F，交直线BA于点G，在运动过程中，当F为EG的中点时(如图3),

试求出t的值.

BGA

图3

5.如图1,M是线段AB上任意一点(不与点A,B重合)，分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角

三角形AMC和等腰直角三角形BMD,连接CD.取AB的中点E,CD的中点F,连接EF.

猜想验证：

⑴如图2,当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图3,当点M与点E不重合时，问题

(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

⑶如图3若AB=2cm，线段EF是否存在最小值，若存在,请直接写出最小值；若不存在,请说明理由.

图2图3

6.在学习研究完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.问题背景如下：在矩形

ABCD中，AB=4,BC=6.M为BC的中点,P,Q分别是AB,CD边上的点，连接MP,MQ.

操作与发现

如图1,WAMBP沿PM翻折，点B落在点B处，将AMCQ沿MQ翻折，点C落在点C处，连接B'C.

(1)当BC〃BC时,小组成员发现BP=CQ,请你完成证明；

⑵如图2,小组成员进一步发现当MB1±MC',CQ=1时，还能求出BP的值，请你求出这个值；

(3)如图3，小组成员沿着⑵小题的思路，提出了问题“当△MBC为等边三角形，且CQ=1.5时，求BP的长”.

请你直接写出BP的长.

7.如图1,已知抛物线y=-打2+%+4与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作

直线BC,点C关于x轴的对称点是点C.

⑴求点C的坐标和直线BC的表达式；

⑵如图2,点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM,CM,CN,NB,当四边形BMCN是菱形

时.求点M坐标；

⑶如图3,P是抛物线第一象限内一动点，过点P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E,

连接PC交直线BC于点D,连接QC,PB,设点P的横坐标为m,AQCD的面积为Sx,APBD的面积为S2,求品

-52的最大值.

类型9探究性问题

1.问题探究(1);(2)略问题拓展竽

问题探究⑴证明/ADF=/CDE=/CED=30。,从而证明人艮人口=人口以8=1:2,即可得人5人;(2)取BC的中点H,连

接DH,证明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性质证明结论；问题拓展利用全等三角形、相似

三角形的判定与性质即可证明.

解：问题探究⑴:

4

⑵证明:取BC的中点H,连接DH.

是AC的中点

1

・••DHABDH=-AB.

f2

TAB=AC,

ADH=DC,

:.NDHONDCH.

,?BD=DE,

・,.ZDBH=ZDEC.

:.ZBDH=ZEDC.

.,.△DBH^ADEC.

・・・BH=EC.

EB3

----=—.

EH2

・.・DH〃AB,

JAEDH^AEFB.

.FB_EB_3

••DH-EH-2

.FB_3

,,——■

AB4

AF_1

,t,一■

AB4

另解ADF^AABD也可求解.

另解2:取AB的中点M,证明△ECD^ADMB也可以求解.

问题拓展早.

4

2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-1x+4(2)(4,6)(3)4或2V5-2

(1)根据抛物线的函数表达式求出点C,A,B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数表达式即可；(2)

易得点P(m--im2+jm+4),过点C作CG±PD于点G,由题中已知条件可证得四边形CODG是矩形，再利用

矩形的性质与平行线的性质得到/1=/2，结合/CGE=NBOC,可证得△CGEs^BOC,从而可求出EG,根据等腰

三角形“三线合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立关于m的方程，解方程即可求出m的值，据此可得点

P的坐标;(3)过点C作CH±PD于点H,易得点P+|m+4),先求出直线AC的函数表达式，根据PF

〃AC,可得直线PF的函数表达式，从而可得点F的坐标，求出OF的长，利用HL定理证明RtACHEERSD

OF,则有/ECH=/FDO,进而得/FDO=/CBO,利用等角的正切相等，可建立关于m的方程，解方程即可求出m

的值.

解:⑴由y=-%2+|%+4得,

当x=0时,y=4.

・••点C的坐标为(0,4).

当y=0时，--X2+-%+4=0,

"42

—

解,得.2,%2=8.

•••点A在点B的左侧，

二点A,B的坐标分别为A(-2,0),B(8,0).

直线BC的函数表达式为y=-1x+4.

(2);♦点P在第一象限抛物线上，横坐标为m,且PDLx轴于点D,

・••点P的坐标为—]m?+|T71+4),00=TH.

13

.•・PD=——7+-m+4.

42

丁点B的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),

・・・OB=8,OC=4.

过点C作CGXPD于点G,则NCGD=90。.

ZPDO=ZCOD=90°,

・•・四边形CODG是矩形.

・・・CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

：.Z1=Z2.

丁ZCGE=ZBOC=90°,

:.ACGE^ABOC.

EG_CG

••CO-BO'

即日=依，

48

・•・EG=-m.

2

在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,

I

••・PG=EG=-m.

2

1

・•.PD=PG+DG=-m+4.

2

1?31

••・——mz+-m+4=-m+4.

422

解，得码=4,m2=0(舍去).

m=4.

当m=4时，y=—im2+|m+4=6.

•••点P的坐标为(4,6).

⑶m的值为4或26-2.

3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME⑵①15,15②/MBQ=/CBQ,理由略⑶*m或||cm

⑴过点M作MH_LBC于点H,则易证四边形BEMH是矩形，则MH=BE根据折叠的性质可知/ABP=乙PBM

,AE=BE=IAB,AB=BM,再利用正弦的定义可得sinZMBH的值，从而可得NMBC=30。,结合/ABC=90。,可得

NABP=/PBM=30。从而可得/BME=3(F;(2)①根据(1)中结论可得NMBC=30。,根据HL证明RtAMBQ^RtAC

BQ,从而即可求解;②根据正方形的性质与轴对称的性质得到对应边相等、对应角相等,再根据HL证明RtAMBQ^

RtACBQ,从而即可得结论；(3)分点Q在线段DF上、线段CF上两种情况进行讨论，根据折叠的性质、勾股定理

即可求解.解:⑴NABP或/PBM或NMBC或/BME.(注:任意写出一个即可)

(2)①15,15.

®ZMBQ=ZCBQ.

(注：若没有写出判断结果，但后续证明正确，不扣分)

理由如下：

•••四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZA=ZC=90o.

由轴对称性质彳导BM=AB,ZBMP=ZA=90°.

ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.

VBQ是公共边，

Z.RtAMBQ^RtACBQ.

-,.ZMBQ=ZCBQ.

4n

(3)—cni或2413cm.

4.(1)①略②1⑵m(3)V2

(1)①延长AD交BE于F,由折叠和等角的余角相等即可证明结论；②根据已知条件证明△ADC^ABEC,即

可求解；⑵延长AD交BE于F,根据折叠和等角的余角相等证明两个角相等，并结合已知相等的角，证明△ACG

-△BCE,得比例式，即可求解；(3)根据折叠的性质，结合点D是BC的中点得三角形的中位线，根据平行得同

位角相等、内错角相等，再利用⑵中的相似三角形得对应边成比例，从而求出AC和CD的比值，即可求出CG

和AG的比值，设CG=x,再根据比例式、三角形全等、勾股定理,表示出各边的长，根据EBEH=6，求出x的值，

取正值即可求解.

解:⑴①证明:延长AD交BE于点F.

由折叠得^AFB=90°=ZXCB.

ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

NADONBDF,

・・・ZDAC=ZEBC.

②法=「

⑵*=m.

理曲延长AD交BE于点F.

由折叠得^AFB=90°=ZXCB.

，ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.

VZADC=ZBDF,

.\ZDAC=ZCBE.

VZACG=ZBCE,

AAACG^ABCE.

CGAC

—=—=TH.

CEBC

⑶由折叠得NAFB=90O,BF=FE.

•・・D是BC的中点,

・・・DF〃CE.

・•・ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.

由(2)知4ACG^ABCE,

・•・NAGC=NBEC=90。,

AGCGACV2

—=—=—=TIT=—.

BECEBC2

AC

=V2.

CD

CG.，「人「DC1

—=tanziGAC=—

AGAC后

设CG=x，贝UAG=V2x,CE=s/2x,BE=2x.

,>.AG=CE.

-•.AAGH^AECH.

-•.AH=EH,GH=CH.

GH=-x.

2

在RtAAGH中，

由勾股定理得AH=ZAG?+GH2=|x.

VEBEH=6,

c3,

・••2%•一%=6.

2

解得X=±&(负值舍去).

CG=V2.

5.(1)EF=BF(2)AG=BG,证明略(3)彳

(1)证法一：分别延长AD,BF交于点M,根据平行四边形的性质可得对应角相等，结合中点得对应边相等，

可证△MDF^ABCF，得对应边相等，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半进行代换，可证明EF=B

F；证法二：过点F作FM±EB于点M,由已知条件结合平行线的判定得AD〃FM〃BC,由平行线分线段成比例

定理，得出EM=MB，进而由线段垂直平分线的性质得EF=BF；(2)证法一：根据折叠得对应角相等和对应边相等，

结合中点和已知角相等进行代换，可证明四边形DGBF是平行四边形，等量代换后可证明AG=BG；证法二:连接C

C交FB于点N,根据折叠的性质得C'C±FB，根据平行线的判定得DG〃FB，进而证得四边形DGBF是平行四边

形，进而得出AG=BG;⑶过点M作MPLBH于点P,由折叠的性质得4BPM是等腰直角三角形根据SABCD=20

得BH的长,进而可求出AH的长.通过证明△A'HN-ACHB得NH的长，再证△AHNsaAPM,进而求得HP,

MP的长,即可求出阴影部分的面积.

解:(1)EF=BF.

证法一：如图①，分别延长AD,BF相交于点M.

•••四边形ABCD是平行四边形，,AD〃BC.

,•.Z2=ZC,ZM=Z1.

为CD的中点,；.DF=CF.

-•.△MDF^ABCF.

.*.FM=FB.即F为BM的中点.

1

BF=-BM.

2

VBE±AD,.\ZBEM=90°.

.•.在RtABEM中.EF=EF=BF.

证法二:如图①，过点F作FMLEB于点M,

DFC

图①

贝！］NEMF=90。.

•.*BE±AD,I.NAEB=90。.

・•・NAEB=NEMF.・・.AD〃FM.

.・•四边形ABCD是平行四边形,JAD/7BC.

NnEMDF

ADFMBC.*,•—=—.

MBFC

；F为CD的中点,...DF=FC.

.\EM=MB.

•/FM±EB,AFM垂直平分EB..\EF=BF.

(2)AG=BG.

证法一：如图②，

由折叠可知：41=42=^CFC.

FC=FC.

图②

•・・F为CD的中点，FC=FD=\CD.

・・・FC=FD.・・・N3=N4.

1

•••ACFC=z3+z4,z4=jzCFCz.

.•./4=/l".DG〃FB.

••,四边形ABCD为平行四边形,，DC〃AB.

四边形DGBF为平行四边形.

•••BG=DF.BG=-AB..-.AG=BG.

2

证法二:连接CC交FB于N.

DC

图②

由折叠可知：FC'=FC,CC'±FB.

•••乙CNB=90°.

为CD的中点，FC=FD=\CD.

FC=FD.Z1=Z2.

VFC'=FC..\ZFC'C=ZFCC'.^ADC'C中，Z1+Z.DCC+/.DCC=180°,

•••zl+z2+Z.FCC+乙FCU=180°.

.*.2Z2+2ZFC'C=180°.

/2+/FC'C=9O。".ZDC'C=90°.

NDC'C=/C'NB.DG〃FB.

"/四边形ABCD是平行四边形,DC〃AB.

四边形DGBF是平行四边形.

122

BG=FD.BG="B.；.AG=BG.(3)y

过点M作MP_LBH于点P,在□ABCD中,AB〃DC.

•.•AB_LDC,；.A'B_LAB,

由折叠可知/ABM=/MBH=45。，

...APBM是等腰直角三角形,PM=PB.

又SaABCD=BH-DC=5BH=20,ABH=4.

由折叠知A'B=AB=5,A'H=1.

在RtABCH中，BC=2逐，由勾股定理可得CH=2.

由/A'=/C,/A'HN=/BHC=9O。,可得△A'HN^ACHB,.*=器，即|=等，［NH=2.

又由DC〃MP得△A'HNs/iAPM,.•.翳=禁.

设HP=x,贝！］A'P=l+x,BP=MP=4-x,

—=工，解得%=-,

4-x1+X3'

4210

・•・MP=4

33

=x

・•.s=SAfMB-SAfNH|5Xy-|xlx2=y-1=等即阴影部分的面积为y

AB

压轴预测

1.操作一。)4。(2)2V5-2操作二：回—2

操作一：(1)由四边形ABCD是矩形得CD〃AB,/DAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,则/AE

D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)设BE=x,根据折叠的性质与矩形的性质得到对应边与对应角相等，根据CD〃AB

证明△DFCs/iEFA,根据相似三角形对应边成比例，可建立方程求出x的值，从而可得BE的长；操作二：连接D

G,根据三角形三边关系可知DF>DG-FG,当点F落在DG上时，线段DF=DG-FG,即DFNDG-FG根据勾股定理求

得DG的长,即可得DF的最小值.

解操作一:⑴40

(2)设BE=x,

由折叠得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,

；./CEB=/DCE,

ZCED=ZDCE,.\CD=DE,

；.DE=AB,

；.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.

,/CD〃AB,ADFCsAEFA,

CD_DF

••AE-EFf

.x+4_4

-4-x

解得Xi=2遮一2,X2=-2V5-2(舍)，

；.BE=2V5-2.

操作二：V29-2.

2.(1)6(2)2⑶四边形GEE'F不是平行四边形，理由略

⑴由△ACD为直角三角形，利用勾股定理建立方程求得AC的长;(2)由勾股定理求得BE,连接EE,由平移的性

质、相似三角形的判定和性质求得EF；⑶作辅助线,由相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质计算出

D'F与DG的长度.从而得到GE与FE，的长度关系，根据平行四边形的判定进行判断.

解:⑴6.

⑵由折叠可知,DC=DC=10.

在RtADAC中根据勾股定理可求得AC=6,

ABC'=AB-AC'=10-6=4.

在RtABEC'中,设BE=x,

根据勾股定理，得（（8-x）2=%2+42,

解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.

连接EE,则由平移可知，

EE，=C'B=4,且EE'〃AB〃CD,

于是可得4FEE'S△FCD's/\ECD,

EF:EE'=CE:CD=5:10=l:2.

又EE'=4,；.EF=2.

⑶四边形GEE'F不是平行四边形.

理由如下：

由折叠可知ZCDE=ZCDE.

另由平移可知NC'DE=/BDE,且DE〃D'E：于是得NBDE=NDGD,

.•.NCDE=NDGDq|]ADD'G是等腰三角形,•,.DD,=DG=4.

如图，过点D作DHLDG于点H,

贝[]DH=HG,B.ADD'H^ADEC,

贝D'H:DH=EC:DC=1:2.

设D'H=x,贝!]DH=2x.

在RtADD'H中根据勾股定理，

得/+（2刈2=42,解得*=誓，

DH=—DG=—,

55

而在RtAD'CF中,DC=DC-DD'=10-4=6,

CF=CE-EF=5-2=3,

根据勾股定理可求得D'F=3V5

；.DG我DF,即GE/FE',

故四边形GEE'F不可能是平行四边形.

3.(l)y=i%2(2)当m=0或m=2时,p=q;当m<0或m>2时,p<q;当0<m<2时,p>q(3)2

(1)根据抛物线关于y轴对称可确定b的值，再根据已知两点求出a,c的值，即可求出抛物线的解析式；⑵先

求出点D及其关于y轴的对称点的坐标，再根据抛物线的开口方向和对称轴确定横坐标的关系，列出方程或

不等式，求出m的值，从而分情况比较出p和q的大小即可；或由p-q=--2>得p-q关于m的函

数，进而即可求解；或根据二次函数的图象与性质直接求解即可；(3)设定点A,B的坐标及直线AB的解析式，

将其代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求出方程的解(含待定系数k),即可分别求出自变量以及函数值

的和或差，再利用勾股定理、相似三角形的判定与性质即可求解；或设出A,B两点坐标及直线AB的解析式,

将直线AB的解析式代入y=[/中，得关于x的一元二次方程,得方程的解再设AB的垂直平分线上的任意

一点Q(x,y),再由勾股定理进而即可求解.

解:⑴：抛物线关于y轴对称，,b=o.

又：抛物线过点(1,7)，(2,1),

;Ja+c=]，解得卜.

(4a+c=1,(c=0,

，抛物线的解析式为y=i%2.

4

⑵解法一:：点D(-l,p)在抛物线y=卜2上，；.p=1

•••抛物线图象开口向上，且点。(-关于y轴的对称点的坐标为((1,》，

由图象可知，

当m-l=l或即当m=2或m=0时,p=q;当m-l<-l或即当m<0或m>2时,p<q;当即0<m

<2时,p>q,

当m=0或m=2时,p=q;当m<0或m>2时,p<p;当0<m<2时,p>q.

解法二：p—q=1—[(TH-1)2

=--m(m—2).

把p-q看成关于m的函数，由图象可知，

当m=0或m=2时,p=q;

当m<0或m>2时,p<q;

当0<m<2时,p>q.

解法三：二次函数y=开口向上，对称轴为y轴，

.♦・抛物线y=；/上距离y轴越远的点，函数值越大.

•••点D到y轴距离为1,

・,・由图象可知，

当m-l=±l,即m=0或m=2时,p二q;

当或m-l>l,BPm<0或m>2时,p<q;

当一即0<m<2时,p>q.

(3)解法一：普为定值，且定值是2.

设A(xi),B(X2,y2)，直线AB的解析式为y=kx+l(krO).

把y=kx+1代入y=2中，得/—4kx—4=0.

•・•△=16k2+16>0,

•••/=2/c+27k2+1,%2=2k-2V/c2+1,

贝[]%i+%2=4k,yi+丫2=fc(%i+%2)+2=4k2+2

xr—x2=47k2+L

=2

y-L—y2k(x]—犯)—4fcVfc+1.

如图，过点B作BNJLy轴过点A作人?4〃丫轴，交点为N.

线段AB中点P的坐标为(2k,2k2+1).

又・・・F(0,1),根据勾股定理，可得

FP=V(2fc)2+(2fc2+1-l)2=

=2

・•.AN=ly-L—y2l|4/c|V/c+1.

ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,

AAFPM^AANB,

AB_AN_|4k|〃2+l_2

**FM-FP-\2k\y/k2+l-'

解法.二：弓为定值，且定值是2.

FM

设A&,yi),B(X2，Y2)，直线AB的解析式为y=kx+l(k^0).

把y=kx+1代入y=中，得%2—4kx—4=0.

•・•△=16k2+16>0,

・,•=2/c+27k2+I,%2=2k-27k2+1,

贝!]%i+%2=4k,y±+y2=fc(%i+x2)+2=4k2+2

xr—x2=4〃2+L

2

yi-y2=Mx1-冷)=4fcVfc+1.

设AB的垂直平分线上的任意一点Q的坐标为(x,y).

-.-QA=QB,.-.QA2=QB2.

根据勾股定理，可得

222

(x-久1)2+(y-yi)=(%-x2)+(y-y2),

整理得y=一台

•X+-2(yi-y2)-2J

/.y=---%+2k2+3.

k

令x=0彳导y=2k2+3,即M(0,2k2+3),

FM=2k2+2=2(/c2+1).

根据勾股定理，可得

22

AB=V(%i-%2)+(yi-y2)

=J16〃2+l)2=4(^2+1),

.AB__4(d+1)_2

**FM-2(fc2+l)-'

4.⑴①|②与⑵S={_]"北获1黑2)(琥

(1)①由已知条件得/ADE=NACD,从而判断出/ADE不发生变化并求得sin/ADE;②当AELDE时，AE=

双

AD-sinZTlDE,即可求解;(2)当0<t<l时，S=Sp%;当1<92时，S=SPDQ-SEMM利用相似三角形的性质及边关系表

示出EM和EN的长，进而求得结果；(3)结合(2)可表示出线段的长，进而表示出PG,过点G作GH_LCD于点

H,表示出PH的长，在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.

解:⑴①由题意知PQ为DE的中垂线，由PQ〃AC知直线DE始终与AC垂直,二NADE=NACD,

•••ZADE的大小不会发生变化，sin^ADE=

②线段AE的最小值为募

⑵由题意知PD=4t,PC=8-4t,当点E刚好落在AC上时，P为CD的中点，如图1,

图1

/.4t=4,t=l.

当0<t<l时，S=[x3tx4t=6t2；当l<tW2时，如图2,

BA

CPD

图2

设EQ,PE分别交AC于点N,M.

由折叠知N1=N2.

PQ〃AC,・・・N1=N4,N2=N3,

Z3=Z4,.'.PC=PM=8-4t,・・・EM=8t-8.

同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,

.-.5=6t2-j(8t-8)-(6t-6)

—18t2+48t—24,

16t2(0<t<1),

l—18t2+48t—24(1<t<2).

(3)如图3,由题意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,EF=FG=GA=8-8t,/.PG=16-12t.

过点G作GHLCD于点H,

图3

则DH=8-8t,PH=12t-8,

...在RtAGPH中，62+(12t-8)2=(16-12£产解得t=—.

16

541)CD=2EF,理由略⑵成立，证明略⑶!

⑴利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；⑵延长AC交BD的延长线于点G,连接GM,GE,利用矩形

的性质，直角三角形斜边中线的性质求解即可；⑶根据CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.

解:⑴CD=2EF.

理由如下：

VAAMC和△BMD都是等腰直角三角形，

，ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

・•・5=乙AMC=1(180°-4ACM)=45°,

乙DMB=ZB=1(180°-4MDB)=45°,

ZCMD=18O°-ZAMC-ZDMB=90°.

是CD的中点，

1

MF=。，即CD=2MF.

•.•点M与点E重合，

.•.MF=EF,.".CD=2EF.

⑵成立.

证明：如图，延长AC交BD的延长线于点G,连接GM,GE.

VAAMC和小BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

・•・乙N=乙AMC=:(180°-4ACM)=45°,

乙DMB==1(1800-乙MDB)=45。，

ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,

四边形MCGD是矩形，△AGB是等腰直角三角形，

,•.GM=CD.

；E是AB的中点,；.GEJ_AB,

•••N&EG=90°.

•；F是CD的中点,，F是GM的中点

在RtAMEG中,F是GM的中点，

-1-1

EF=EF=|CD,BPCD=2EF.

⑶I

6.(1)略(2)|(3)1573-24

(1)由等边对等角得./-MB'C=NMC'BI,由BC,〃BC得.乙MB'C'=乙BMB'/MC'B'=乙CMC',,再利用等腰

三角形两底角相等和折叠的性质得到NBMP=NCMQ,通过三角函数的定义可证得BP=CQ；⑵延长PM与D

C,延长线交于点E，作QFXME于点F，由折叠及对顶角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出

MQ的长，设BP=x,易证得ACME丝ABMP,表示出QE,QF,ME的长，再利用等面积法列方程解出x的值，即可

得到BP的长度；⑶延长QM交AB的延长线于点H,作PNXMH于点N.由折叠及对顶角相等可得/PMH=6

0。,在RtACMQ中利用勾股定理求出MQ的长，设BP=x易证得△CMQ丝ABMH,表示出PN,MH,PH的长，再利

用等面积法列方程解出x的值，即可得到BP的值.

解:⑴证明:；M为BC的中点,；.MB=MC.

由折叠知B'M=BM,C'M=CM,

MB'=MC,•••乙MB'C=Z.MCB'.

VB'C'/7BC,

•••Z-MB'C==/.CMC,

：.乙BMB'=/.CMC.

由折叠可知，APMB=|乙BMB'/CMQ=|/.CMC,

.\ZBMP=ZCMQ.

四边形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.

在RtABMP和RtACMQ中可得，tan/BMP=焉,tan/CMQ=器

MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.

⑵如图所示延长PM与DC,延长线交于点E,作QF_LME于点F.

VMB'XMC,

.­,乙BMB'+/.CMC=90°.

再由折叠及对顶角相等可得ZQME=45°.

；BC=6,M是BC的中点，

；.BM=CM=3.

在RtACMQ中，由勾股定理得

MQ="Q2+CM2=“+32=710,

设BP=x，在RtABPM中面勾股定理得

PM2=BP2+BM2=%2+9.

在小CME和仆BMP中，

,?ZCME=ZBMP,CM=BM,

ZMCE=ZMBP=90°,

.♦.△CME之△BMP