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文档简介

第3课有理数与无理数

预习目标|

1、学习什么是整数和分数,能区分有理数与整数和分数之间的关系;

2、能够对有理数进行正确分类;

3、学习无理数的定义,并能对一个数做出正确的判断.

知鹤汲取

、」

m

有理数:我们把能够写成分数形式一(m,n是整数,n#0)的数叫做有理数。

n

【点拨】(1)有限小数和循环小数都可以化为分数,他们都是有理数;

(2)所有整数都可以写成分母是1的分数,因此可以理解为整数和分数统称为有理数。

无理数

1.定义:无限不循环小数叫做无理数.

【点拨】(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的

形式。

(2)目前常见的无理数有两种形式:①含乃类;②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111……o

有理数与无理数的区别

(1)无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数。

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数则不能。

循环小数化分数

1.定义:如果一个无限小数的各数位上的数字,从小数部分的某一位起,按一定顺序不断重复出现,那么

这样的小数叫做无限循环小数,简称循环小数,其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节.

2.纯循环小数:从小数点后面第一位起就开始循环的小数,叫做纯循环小数。例如:0.666...x0.2..纯

循环小数化为分数的方法是:分子是一个循环节的数字组成的数;分母的各位数字都是9,9的个数等于一

个循环节的位数。

3.混循环小数:如果小数点后面的开头几位不循环,到后面的某一位才开始循环,这样的小数叫做混循

环小数。例如:012、0.3456456....混循环小数化为分数的方法是:分子是不循环部分和一个循环节的

数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差,分母就是按一个循环节的位数写几个9,再在后面

按不循环部分的位数添写几个0组成的数。

【点拨】(1)任何一个循环小数都可化为分数;

(2)混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数,然后再化为分数。

知识点对点训练

k.......

有理数

1.在2,+8,-31,-5,0,-7,87,0.5,-6.79中负整数的个数是()

A.4个B.5个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据负整数定义逐个判断即可得到答案.

【详解】解:在2,+8,-3-,-5,0,-7,87,0.5,-6.79中负整数有-5,-7共2个,

乙4

故选:C.

【点睛】本题考查有理数分类,熟记负整数定义是解决问题的关键.

513

2.在下列给出16,-5,0.1,-5.32,-80,2.333的数中,负分数的个数有()

12o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据负分数的定义,首先是负数,其次是分数,按此要求解答即可.

513513

【详解】解:在16,-5,,0.1,—5.32,-80,2.333中,负分数有:-7^,一"»一5.32,一

12o12o

共3个.

故选:B.

【点睛】本题考查的是负分数的定义,关键就是掌握有理数的分类.

3.下列各数中,属于有理数的是()

A.善B.—C.VWD.2.123122312223...

【答案】B

【分析】直接利用有理数:整数和分数统称为有理数,无理数:无限不循环小数,分析得出答案.

【详解】解:A、正是无理数,不合题意;

34

B、亍是有理数,符合题意;

C、而是无理数,不合题意;

D、2.123122312223…是无理数,不合题意;

故选:B.

【点睛】此题主要考查了实数,正确把握有理数以及无理数的定义是解题关键.

4.在乃,4,22,0,-0.3中,表示有理数的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】先根据有理数的概念判断出有理数,再计算个数.

【详解】解:在乃,4,2;,0,-0.3中,

表示有理数的有:4,2:,0,-0.3,共有5个,

故选:C.

【点睛】此题考查了有理数的概念,要掌握:整数和分数统称有理数,其中乃不是有理数.

5.下列有关有理数的说法正确的是()

A.有理数包括分数和小数B.一个有理数不是正数就是负数

C.负分数不是有理数D.0是整数,但不是正数

【答案】D

【分析】根据有理数的概念即可解答.

【详解】解:A、项“有理数包括分数和小数”错误,有理数分数和整数的统称,故A不符合题意;

B、项“一个有理数不是正数就是负数“错误,有理数包括正数、负数、零,故B不符合题意;

C、项“负分数不是有理数”错误,有理数包括负分数和正分数,故C不符合题意;

D、项“0是整数,但不是正数”正确,故D符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了有理数的概念,熟记有理数的概念是解题的关键.

6.有理数包括、零和。

【答案】正有理数负有理数

【分析】根据有理数分类直接得到答案即可.

【详解】解:有理数分为正有理数、零和负有理数,

故答案为:正有理数,负有理数.

【点睛】本题考查有理数分类,熟记有理数分为正有理数、零和负有理数是解决问题的关键.

7.“正数和0”统称为;“负数和0”统称为.“正整数和0"统称为;“负整数和0”

统称为.

【答案】非负数非正数非负整数非正整数

【解析】略

I34

8.在数+8.3,-4,-0.8,0,90,-y,-|-24|中,分数有个.

【答案】4

【分析】根据分数包括正分数和负分数判断即可.

134

【详解】解:分数有+8.3,-0.8,,共4个.

故答案为:4.

【点睛】此题考查了分数的概念,解题的关键是熟练掌握分数的概念.

22

9.下列各数中:-1.2,3万,0,—,20%,035,有理数有个.

【答案】5

【分析】根据有理数的概念进行判断即可.

【详解】解:有理数包括整数和分数,

22

.••是有理数的有-120,亍,20%,035,共5个

故答案为:5

【点睛】本题主要考查有理数的概念,熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键.

10.把下列各数的序号填在相应的横线内:

31

①1②--③"@0⑤]@-5⑦-6.5

⑴整数:;

(2)负分数:;

(3)有理数:.

【答案】(1)①④⑥

⑵②⑦

(3)①②④⑤⑥⑦

【分析】(1)根据整数的定义作答即可;

(2)依据负分数的定义作答即可;

(3)整数、有限小数、无限循环小数,分数等都是有理数,据此作答即可.

【详解】(1)①1是整数,也是有理数;②-(是负数,分数,也是有理数;③乃不是有理数;④0是整数,

也是有理数;⑤;是分数,也是有理数;⑥-5是整数,负数,也是有理数;⑦-6.5是分数,负数,也是有

理数.

即整数有:①④⑥,

故答案为:①④⑥;

(2)根据(1)中的判断,可知负分数为②⑦,

故答案为:②⑦;

(3)根据(1)中的判断,可知有理数为①②④⑤⑥⑦,

故答案为:①②④⑤⑥⑦;

【点睛】本题主要考查了有理数的分类,有理数的判断等知识,掌握有理数、负分数、整数的定义是解答

本题的关键.

11.把下列各数填入相应的大括号中:

5,-20,-0.1415,98%,1,-0.10,-789,-325,0,10.10,1000.1,-0.12,-51%.

83

正数:{___________

负数:{___________

非负整数:{

负分数:{___________

【答案】5,98%,1,325,10.10,1000.1;-20,-0.1415,-0.10,-789,--0.12,-51%;

83

5,1,325,0;-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%.

【分析】根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可.

【详解】解:正数:{5,98%,1,325,10.10,1000.1...);

8

负数:{-20,-0.1415,-0.10,-789,-1,-0.12,-51%...};

非负整数:{5,1,325,0...};

负分数:{-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%...}.

故答案为:5,98%,1,325,10.10,1000.1;-20,-0.1415,-0.10,-789,--,-0.12,-51%;

83

5,1,325,0;-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%.

【点睛】本题考查有理数的意义及有理数的分类,理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提.

无理数

1.下列实数中,是无理数的是()

221

A.-J2B.3.14C.—D.-

73

【答案】A

【分析】根据无限不循环小数是无理数判断即可.

【详解】A.一0是无理数,符合题意;

B.3.14不是无理数,不符合题意;

22

C.亍不是无理数,不符合题意;

D.;不是无理数,不符合题意;

故选D.

【点睛】本题考查了无理数;熟练掌握定义是解题的关键.

2.在实数T,0,0.5,3.14159…中,无理数是()

A.-1B.0C.0.5D.3.14159...

【答案】D

【分析】根据无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)逐个判断即可.

【详解】解:A.-1是整数,属于有理数,故本选项不符合题意;

B.0是整数,属于有理数,故本选项不符合题意;

C.0.5是有限小数,属于有理数,故本选项不符合题意;

D.3.14159…是无理数,故本选项符合题意.

故选:D.

【点睛】本题考查了无理数的定义,能熟记无理数的定义是解此题的关键.

3.请写出一个无理数,使这个无理数的绝对值小于3:.

【答案】加(答案不唯一)

【分析】由于无理数就是无限不循环小数,只要找一个绝对值小于3的无理数即可求解.

【详解】解::一个无理数,这个无理数的绝对值小于3,

这个无理数可以是:卮

故答案是:A/5(答案不唯一).

【点睛】此题主要考查了无理数的定义,初中范围内学习的无理数有:含乃的数;开方开不尽的数;以及像

0.1010010001...,这样规律的数.

4.在实数2、0.585858、〃、彳中,无理数是.

【答案】j

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.据此解答即可.

【详解】:2是整数,

•••2属于有理数;

0.585858是无限循环小数,

0.585858属于有理数;

,•,4=2是整数,

属于有理数;

:兀是无理数,

•是无理数.

JT

故答案为:P

【点睛】此题主要考查了无理数的概念,熟知无理数的特点是解决问题的关键.

22兀

5.下列实数亍,3.1415926,-8,次,-后,03030030003...,§中,无理数有个。

【答案】3

【分析】无理数就是无限不循环小数,理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数

与分数的统称,即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数,由此即可求解.

【详解】解:三是分数,3.1415926是有限小数,-8是整数,-底=-6是整数,这些都是有理数,

TT

正,03030030003...,§都是无理数,即无理数有3个.

故答案为:3.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:万,2万等,开方开不尽的数,

以及像0.1010010001…等有这样规律的数.

6.把下列各数的序号填入相应的横线内:

17r

①-②+8,③20%,@0,⑤-|+5』,⑥万,⑦-(一1.8),⑧-3,©0.1313313331(每两个“1”之间依

次多一个“3”).

整数:{};

负分数:{};

无理数:{).

【答案】整数:②④⑧;负分数:①⑤;无理数:⑥⑨

【分析】先化简多重符号及绝对值,然后根据有理数及无理数的定义求解即可.

【详解】解:-|+5.1|=-5.1,-(-1.8)=1.8,

整数:+8,0,-3;

负分数:4,-1+5.11;

JT

无理数:5,0.1313313331(每两个“1”之间依次多一个“3”).

故答案为:整数:②④⑧;负分数:①⑤;无理数:⑥⑨.

【点睛】题目主要考查数的分类及化简,熟练掌握数的分类是解题关键.

1___3TT

7.把下列各数写入相应的集合中:-不,竹,石,万,A/36,O,0,0.1212212221.(相邻两个1

之间2的个数逐次加1)

⑴正数集合{};

⑵有理数集合{);

⑶无理数集合{}.

3TT

【答案】(1)-万,736,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)

742

131—,—

(2)--,忑,V36,A/^8,0

jr

(3)gT,y,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)

【分析】(1)根据正数的概念逐一判断即可;

(2)根据有理数的概念逐一判断即可;

(3)根据无理数的概念逐一判断即可.

37T

【详解】⑴解:正数集合{石,y,V36,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)};

33

(2)解:=V^=6,V-8=-2,

i3

・•・有理数集合为{-万,忑,V36,O,0};

rr

(3)解:无理数集合{归7,y,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)}.

【点睛】本题考查了有理数和无理数的概念,理解无理数和有理数的概念是解题的关键.

8.把下列各数填入大括号:一2.4,3,2.004,-1,1:,-0.15,0,,-[-2.28),3.14,-|-4|,-2,1010010001...

(每两个1之间依次增加1个①.

(1)正有理数集合:{…};

(2)整数集合:{…};

(3)负分数集合:{…};

(4)无理数集合:{…}.

【答案】⑴3,2.004,1—,3.14,-(-2.28)

(2)3,0,-|-4|

(3)-2.4,--0.15

(4)万,-2.1010010001...(每两个1之间依次增加1个0)

【分析】根据有理数和无理数的分类解答即可.

【详解】(1)正有理数集合:3,2.004,1:,3.14,-(-2.28)...

故答案为:3,2.004,3.14,-(-2.28);

(2)整数集合:3,0,-|-4|,...

故答案为:3,0,-|-4|

(3)负分数集合:-2.4,-冬-0.15…

故答案为:-2.4,--^,-015;

(4)无理数集合:万,-2.1010010001...(每两个1之间依次增加1个0),…

故答案为:万,一2.1010010001...(每两个1之间依次增加1个0).

【点睛】此题考查了实数的定义:有理数和无理数统称为实数,以及有理数的分类,正确掌握实数的定义

是解题的关键.

1.有理数分为()

A.正数和负数B.素数和合数C.整数和分数D.偶数和奇数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类求解即可.

【详解】解:有理数分为整数和分数.

故选:C.

【点睛】题目主要考查有理数的分类,熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

2.下列说法正确的是()

A.。既是正数又是负数B.。是最小的正数

C.。既不是正数也不是负数D.。是最大的负数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类判断即可.

【详解】既不是正数也不是负数,

故选C.

【点睛】本题考查了零的属性,熟练掌握。既不是正数也不是负数是解题的关键.

3.在下列分数中,不能化成有限小数的是()

04245

A.—B.—C.—D.—

16252430

【答案】C

【分析】首先,要看分数是否是最简分数,先把分数化成最简分数,再根据一个最简分数,如果分母中除

了2与5以外,不再含有其它的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2与5以外的质因

数,这个分数就不能化成有限小数.据此逐项分析后再选择.

9

【详解】解:A.J是最简分数,分母中只含有质因数2,能化成有限小数,故本选项不合题意;

16

4

B.石是最简分数,分母中只含有质因数5,能化成有限小数,故本选项不合题意;

211

C.-「是最简分数,分母中含有质因数3,不能化成有限小数,故本选项合题意;

D.—45=3|3■是最简分数,分母中只含有质因数2,能化成有限小数,故本选项不符合题意.

故选:C.

【点睛】此题主要考查分数的性质,解题的关键是熟知分母中含有质因数3,不能化成有限小数.

4.下列实数是无理数的是()

A.0B.1C.V3D.-

7

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】解:A、是整数,属于有理数,故本选项不合题意;

B、1是整数,属于有理数,故本选项不合题意;

C、石是无理数,故本选项符合题意;

D、g是分数,属于有理数,故本选项不合题意.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有兀,2兀等;开方开不尽的数;以及

像0.1010010001...,等有这样规律的数.

71

5.在3.67,0,1,-1,-(-3),5p-6中,非负整数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据非负整数的概念求解即可.

【详解】解:-(-3)=3,

21

.,.在3.67,0,1,--,-(-3),5-,-6中,

非负整数有:0,1,-(-3),共3个,

故选:C.

【点睛】此题考查了非负整数的概念,解题的关键是掌握非负整数的概念.非负整数包括正整数和零.

6.在0、卜3.5|、2.37、x(-1)\—3.1415七个数中,负有理数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据有理数的分类,找出其中的负有理数即可.

【详解】解:•.•在0、|-3.5|.2.37、-|x(-1)\-3.1415七个数中,

二负有理数有-(-3)、(-1)5、-3.1415,共4个,

故选:C.

【点睛】本题考查了有理数的分类,根据负有理数的特征找出所有的负有理数是解答本题的关键.

25兀

7.下列实数亍,3.14159,-79,0.3030030003……中,无理数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据无理数的定义,即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数,即可解答.

【详解】解:-,/9=-3,

25JTJT

所以在实数,,y,3.14159,一亚,0.3030030003.......中,无理数有“0.3030030003........,共2个.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义,熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键.

8.在9分19数39中,不能化成有限小数的是.

13

【答案y,?

【分析】分数化成有限小数指的是分子能整除分母,由此即可求解.

【详解】解:弓9==3=0.6,1-=0.333是无限循环小数,9—=0.36,3三=0.428571是无限循环小数,

1553257

13

・・・不能化成有限小数的是

13

故答案为:

【点睛】本题主要考查分数与小数的转化,理解有限小数,无限小数的概念是解题的关键.

3TT

9.下列各数:-5,3.14,-0,2.13131313,万,其中分数的个数是个.

【答案】3

【分析】根据有理数的分类进行判断即可,有理数分为整数和分数.

【详解】解:-5和0是整数,

3

3.14,2.13131313是分数,

4

段jr是无理数,

故答案为:3.

【点睛】本题考查了有理数的分类;熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

1222

10.下列各数-2.5,10,3.14,0,--,-20,9.7,+58,y,-1中正分数有,非负整数有

22

【答案】3.14,9.7,—10,0,+58

【分析】根据正分数,非负整数的定义进行分类即可解决问题.

22

【详解】解:正分数集合:{3.14,9.7,y,...};

非负整数集合:{10,0,+58,

22

故答案为:3.14,9.7,y;10,0,+58.

【点睛】本题考查了有理数的分类,解题的关键是熟练掌握有理数的分类方法.

29

11.有理数-1.7,-17,0,-5-,-1,-0.001,2003中,负分数有个.

//

【答案】4

【分析】根据“比0小的分数为负分数,小数可以化为分数”即可得出答案.

29

【详解】解:负分数有:T.7,-57,-0.001,共4个,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了有理数的分类,解题的关键是掌握负分数的定义.

12.实数:、万、1.34、般、国中,无理数有个.

【答案】2

【分析】根据无理数的定义:无限不循环小数,判断即可.

【详解】解:即=3,*=2后,

无理数有万,龙,共2个,

故答案为:2.

【点睛】本题考查了无理数的识别,算术平方根,立方根,无限不循环小数叫无理数,初中范围内常见的

无理数有三类:①万类,如2%,3等;②开方开不尽的数,如行,为等;③虽有规律但却是无限不循环

的小数,如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0),0.2121121112--■(两个2之间依次增加1个1)

等.

2277-

13.在-4,―,0,3.14159,1.3,0.121121112…中,有理数的个数有个.

【答案】5

【分析】根据整数、有限小数、无限循环小数统称有理数即可解答.

2271

【详解】解::在T,—,0,3.14159,1.3,0.121121112…中,

22

.•.有理数为-4,一,0,3.14159,1.3,

•••有理数的个数为5个;

故答案为5.

【点睛】本题考查了有理数的概念,理解有理数的概念是解题的关键.

1,0,

14.把下列各数填在相应集合中:-0.75,+3,+—,-3,-2021

10

分数集合:{___________…};

负整数集合:{___________…};

非负数集合:{_____

+>3、L。、3

【答案】-V-0.75V-2021;+3、H----.

10510

【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可.

13

【详解】分数集合:{、、-0.75、

负整数集合:{-3、-2021...};

13

非负数集合:{'、0、+3、+》.}.

1313

故答案为:—V-0.75、+—;-3、—2021;S、°、+3'+历

【点睛】此题考查的是有理数,掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键.

15.将下列各数填入相应的大括号内:

I22

—13,0.1,—2.23,+27,0,—15%,—3—,.

(1)非正数:{

(2)非负数:{...}

(3)非正整数:{...};

(4)非负整数:{...}

【答案】(1)-13,-2.23,0,-15%,-31

22

(2)0.1,+27,0,—

(3)-13,0

(4)+27,0

【分析】(1)根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答;

(2)根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答;

(3)根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答;

(

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