苏科版七年级数学预习：有理数与无理数（解析版）

第3课有理数与无理数

预习目标|

1、学习什么是整数和分数，能区分有理数与整数和分数之间的关系；

2、能够对有理数进行正确分类；

3、学习无理数的定义，并能对一个数做出正确的判断.

知鹤汲取

、」

m

有理数：我们把能够写成分数形式一(m,n是整数，n#0)的数叫做有理数。

n

【点拨】(1)有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数；

(2)所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数。

无理数

1.定义：无限不循环小数叫做无理数.

【点拨】(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的

形式。

(2)目前常见的无理数有两种形式：①含乃类；②看似循环而实质不循环的数,如：1.313113111……o

有理数与无理数的区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能。

循环小数化分数

1.定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么

这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节.

2.纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数。例如：0.666...x0.2..纯

循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9,9的个数等于一

个循环节的位数。

3.混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循

环小数。例如：012、0.3456456....混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的

数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9,再在后面

按不循环部分的位数添写几个0组成的数。

【点拨】（1）任何一个循环小数都可化为分数；

（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数。

知识点对点训练

k.......

有理数

1.在2,+8,-31,-5,0,-7,87,0.5,-6.79中负整数的个数是（）

A.4个B.5个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据负整数定义逐个判断即可得到答案.

【详解】解：在2,+8,-3-,-5,0,-7,87,0.5,-6.79中负整数有-5,-7共2个，

乙4

故选：C.

【点睛】本题考查有理数分类，熟记负整数定义是解决问题的关键.

513

2.在下列给出16,-5,0.1,-5.32,-80,2.333的数中，负分数的个数有（）

12o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据负分数的定义，首先是负数，其次是分数，按此要求解答即可.

513513

【详解】解：在16,-5,,0.1,—5.32,-80,2.333中，负分数有：-7^，一"»一5.32,一

12o12o

共3个.

故选：B.

【点睛】本题考查的是负分数的定义，关键就是掌握有理数的分类.

3.下列各数中，属于有理数的是（）

A.善B.—C.VWD.2.123122312223...

【答案】B

【分析】直接利用有理数：整数和分数统称为有理数，无理数：无限不循环小数，分析得出答案.

【详解】解：A、正是无理数，不合题意；

34

B、亍是有理数，符合题意；

C、而是无理数，不合题意；

D、2.123122312223…是无理数，不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了实数，正确把握有理数以及无理数的定义是解题关键.

4.在乃，4,22，0,-0.3中，表示有理数的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】先根据有理数的概念判断出有理数，再计算个数.

【详解】解：在乃，4,2；,0,-0.3中，

表示有理数的有：4,2：,0,-0.3,共有5个，

故选：C.

【点睛】此题考查了有理数的概念，要掌握：整数和分数统称有理数，其中乃不是有理数.

5.下列有关有理数的说法正确的是（）

A.有理数包括分数和小数B.一个有理数不是正数就是负数

C.负分数不是有理数D.0是整数，但不是正数

【答案】D

【分析】根据有理数的概念即可解答.

【详解】解：A、项“有理数包括分数和小数”错误，有理数分数和整数的统称，故A不符合题意;

B、项“一个有理数不是正数就是负数“错误，有理数包括正数、负数、零，故B不符合题意；

C、项“负分数不是有理数”错误，有理数包括负分数和正分数，故C不符合题意；

D、项“0是整数，但不是正数”正确，故D符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了有理数的概念，熟记有理数的概念是解题的关键.

6.有理数包括、零和。

【答案】正有理数负有理数

【分析】根据有理数分类直接得到答案即可.

【详解】解：有理数分为正有理数、零和负有理数，

故答案为：正有理数，负有理数.

【点睛】本题考查有理数分类，熟记有理数分为正有理数、零和负有理数是解决问题的关键.

7.“正数和0”统称为；“负数和0”统称为.“正整数和0"统称为;“负整数和0”

统称为.

【答案】非负数非正数非负整数非正整数

【解析】略

I34

8.在数+8.3,-4,-0.8,0,90,-y,-|-24|中，分数有个.

【答案】4

【分析】根据分数包括正分数和负分数判断即可.

134

【详解】解：分数有+8.3,-0.8,,共4个.

故答案为:4.

【点睛】此题考查了分数的概念，解题的关键是熟练掌握分数的概念.

22

9.下列各数中：-1.2,3万，0,—,20%,035,有理数有个.

【答案】5

【分析】根据有理数的概念进行判断即可.

【详解】解：有理数包括整数和分数，

22

.••是有理数的有-120,亍,20%,035，共5个

故答案为：5

【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键.

10.把下列各数的序号填在相应的横线内：

31

①1②--③"@0⑤]@-5⑦-6.5

⑴整数：;

(2)负分数：;

(3)有理数：.

【答案】(1)①④⑥

⑵②⑦

(3)①②④⑤⑥⑦

【分析】（1）根据整数的定义作答即可；

（2）依据负分数的定义作答即可；

（3）整数、有限小数、无限循环小数，分数等都是有理数，据此作答即可.

【详解】（1）①1是整数，也是有理数；②-（是负数，分数，也是有理数；③乃不是有理数；④0是整数，

也是有理数；⑤;是分数，也是有理数；⑥-5是整数，负数，也是有理数；⑦-6.5是分数，负数，也是有

理数.

即整数有：①④⑥，

故答案为：①④⑥；

（2）根据（1）中的判断，可知负分数为②⑦，

故答案为：②⑦；

（3）根据（1）中的判断，可知有理数为①②④⑤⑥⑦，

故答案为：①②④⑤⑥⑦；

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，有理数的判断等知识，掌握有理数、负分数、整数的定义是解答

本题的关键.

11.把下列各数填入相应的大括号中：

5,-20,-0.1415,98%,1,-0.10,-789,-325,0,10.10,1000.1,-0.12,-51%.

83

正数：｛___________

负数：｛___________

非负整数：｛

负分数：｛___________

【答案】5,98%,1,325,10.10,1000.1；-20,-0.1415,-0.10,-789,--0.12,-51%；

83

5,1,325,0；-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%.

【分析】根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可.

【详解】解：正数：｛5,98%,1,325,10.10,1000.1...）；

8

负数：｛-20,-0.1415,-0.10,-789,-1,-0.12,-51%...｝；

非负整数：｛5,1,325,0...｝；

负分数：{-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%...}.

故答案为：5,98%,1,325,10.10,1000.1；-20,-0.1415,-0.10,-789,--,-0.12,-51%；

83

5,1,325,0；-0.1415,-0.10,-1,-0.12,-51%.

【点睛】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提.

无理数

1.下列实数中，是无理数的是（）

221

A.-J2B.3.14C.—D.-

73

【答案】A

【分析】根据无限不循环小数是无理数判断即可.

【详解】A.一0是无理数，符合题意；

B.3.14不是无理数，不符合题意；

22

C.亍不是无理数，不符合题意；

D.；不是无理数，不符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了无理数；熟练掌握定义是解题的关键.

2.在实数T,0,0.5,3.14159…中,无理数是（）

A.-1B.0C.0.5D.3.14159...

【答案】D

【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可.

【详解】解：A.-1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

B.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

C.0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；

D.3.14159…是无理数，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键.

3.请写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于3：.

【答案】加（答案不唯一）

【分析】由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于3的无理数即可求解.

【详解】解：：一个无理数，这个无理数的绝对值小于3,

这个无理数可以是：卮

故答案是：A/5（答案不唯一）.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含乃的数；开方开不尽的数；以及像

0.1010010001...,这样规律的数.

4.在实数2、0.585858、〃、彳中，无理数是.

【答案】j

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.据此解答即可.

【详解】：2是整数，

•••2属于有理数；

0.585858是无限循环小数，

0.585858属于有理数；

,•,4=2是整数，

属于有理数；

:兀是无理数,

•是无理数.

JT

故答案为：P

【点睛】此题主要考查了无理数的概念，熟知无理数的特点是解决问题的关键.

22兀

5.下列实数亍，3.1415926,-8,次，-后，03030030003...,§中，无理数有个。

【答案】3

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可求解.

【详解】解：三是分数，3.1415926是有限小数，-8是整数，-底=-6是整数，这些都是有理数，

TT

正，03030030003...,§都是无理数，即无理数有3个.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，2万等，开方开不尽的数，

以及像0.1010010001…等有这样规律的数.

6.把下列各数的序号填入相应的横线内：

17r

①-②+8,③20%,@0,⑤-|+5』，⑥万，⑦-（一1.8）,⑧-3,©0.1313313331（每两个“1”之间依

次多一个“3”）.

整数：｛｝;

负分数：｛｝;

无理数：｛）.

【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨

【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可.

【详解】解：-|+5.1|=-5.1,-（-1.8）=1.8,

整数:+8,0,-3；

负分数：4，-1+5.11;

JT

无理数：5,0.1313313331（每两个“1”之间依次多一个“3”）.

故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨.

【点睛】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键.

1___3TT

7.把下列各数写入相应的集合中：-不，竹，石，万，A/36,O,0,0.1212212221.（相邻两个1

之间2的个数逐次加1）

⑴正数集合｛｝;

⑵有理数集合｛）;

⑶无理数集合｛｝.

3TT

【答案】（1）-万，736,0.1212212221（相邻两个1之间2的个数逐次加1）

742

131—,—

（2）--,忑，V36,A/^8,0

jr

（3）gT,y,0.1212212221（相邻两个1之间2的个数逐次加1）

【分析】（1）根据正数的概念逐一判断即可;

(2)根据有理数的概念逐一判断即可；

(3)根据无理数的概念逐一判断即可.

37T

【详解】⑴解：正数集合｛石，y,V36,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)｝；

33

(2)解：=V^=6,V-8=-2,

i3

・•・有理数集合为｛-万，忑,V36,O,0｝；

rr

(3)解：无理数集合｛归7,y,0.1212212221(相邻两个1之间2的个数逐次加1)｝.

【点睛】本题考查了有理数和无理数的概念，理解无理数和有理数的概念是解题的关键.

8.把下列各数填入大括号：一2.4,3,2.004,-1,1：,-0.15,0,,-[-2.28),3.14,-|-4|,-2,1010010001...

(每两个1之间依次增加1个①.

(1)正有理数集合：｛…｝;

(2)整数集合：｛…｝;

(3)负分数集合：｛…｝;

(4)无理数集合：｛…｝.

【答案】⑴3,2.004,1—,3.14,-(-2.28)

(2)3,0,-|-4|

(3)-2.4,--0.15

(4)万,-2.1010010001...(每两个1之间依次增加1个0)

【分析】根据有理数和无理数的分类解答即可.

【详解】(1)正有理数集合：3,2.004,1：,3.14,-(-2.28)...

故答案为：3,2.004,3.14,-(-2.28)；

(2)整数集合：3,0,-|-4|,...

故答案为：3,0,-|-4|

(3)负分数集合：-2.4,-冬-0.15…

故答案为：-2.4,--^,-015；

（4）无理数集合:万,-2.1010010001...（每两个1之间依次增加1个0）,…

故答案为:万,一2.1010010001...（每两个1之间依次增加1个0）.

【点睛】此题考查了实数的定义：有理数和无理数统称为实数，以及有理数的分类，正确掌握实数的定义

是解题的关键.

1.有理数分为（）

A.正数和负数B.素数和合数C.整数和分数D.偶数和奇数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类求解即可.

【详解】解：有理数分为整数和分数.

故选：C.

【点睛】题目主要考查有理数的分类，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

2.下列说法正确的是（）

A.。既是正数又是负数B.。是最小的正数

C.。既不是正数也不是负数D.。是最大的负数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类判断即可.

【详解】既不是正数也不是负数，

故选C.

【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握。既不是正数也不是负数是解题的关键.

3.在下列分数中，不能化成有限小数的是（）

04245

A.—B.—C.—D.—

16252430

【答案】C

【分析】首先，要看分数是否是最简分数，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除

了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因

数，这个分数就不能化成有限小数.据此逐项分析后再选择.

9

【详解】解：A.J是最简分数，分母中只含有质因数2,能化成有限小数，故本选项不合题意；

16

4

B.石是最简分数，分母中只含有质因数5,能化成有限小数，故本选项不合题意；

211

C.-「是最简分数，分母中含有质因数3,不能化成有限小数，故本选项合题意；

D.—45=3|3■是最简分数，分母中只含有质因数2,能化成有限小数，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查分数的性质，解题的关键是熟知分母中含有质因数3,不能化成有限小数.

4.下列实数是无理数的是()

A.0B.1C.V3D.-

7

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B、1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、石是无理数，故本选项符合题意；

D、g是分数，属于有理数，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有兀,2兀等；开方开不尽的数；以及

像0.1010010001...,等有这样规律的数.

71

5.在3.67,0,1,-1,-(-3),5p-6中，非负整数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据非负整数的概念求解即可.

【详解】解：-(-3)=3,

21

.,.在3.67,0,1,--,-(-3),5-,-6中，

非负整数有：0,1,-(-3),共3个，

故选：C.

【点睛】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念.非负整数包括正整数和零.

6.在0、卜3.5|、2.37、x(-1)\—3.1415七个数中，负有理数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据有理数的分类，找出其中的负有理数即可.

【详解】解：•.•在0、|-3.5|.2.37、-|x(-1)\-3.1415七个数中，

二负有理数有-(-3)、(-1)5、-3.1415,共4个，

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的分类，根据负有理数的特征找出所有的负有理数是解答本题的关键.

25兀

7.下列实数亍，3.14159,-79,0.3030030003……中，无理数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答.

【详解】解：-,/9=-3,

25JTJT

所以在实数,，y,3.14159,一亚,0.3030030003.......中，无理数有“0.3030030003........,共2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键.

8.在9分19数39中，不能化成有限小数的是.

13

【答案y,?

【分析】分数化成有限小数指的是分子能整除分母，由此即可求解.

【详解】解：弓9==3=0.6,1-=0.333是无限循环小数，9—=0.36,3三=0.428571是无限循环小数，

1553257

13

・・・不能化成有限小数的是

13

故答案为：

【点睛】本题主要考查分数与小数的转化，理解有限小数，无限小数的概念是解题的关键.

3TT

9.下列各数：-5,3.14,-0,2.13131313,万，其中分数的个数是个.

【答案】3

【分析】根据有理数的分类进行判断即可，有理数分为整数和分数.

【详解】解:-5和0是整数,

3

3.14,2.13131313是分数，

4

段jr是无理数，

故答案为：3.

【点睛】本题考查了有理数的分类；熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

1222

10.下列各数-2.5,10,3.14,0,--,-20,9.7,+58,y,-1中正分数有,非负整数有

22

【答案】3.14,9.7,—10,0,+58

【分析】根据正分数，非负整数的定义进行分类即可解决问题.

22

【详解】解：正分数集合：｛3.14,9.7,y,...｝；

非负整数集合：｛10,0,+58,

22

故答案为：3.14,9.7,y；10,0,+58.

【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类方法.

29

11.有理数-1.7,-17,0,-5-,-1,-0.001,2003中，负分数有个.

//

【答案】4

【分析】根据“比0小的分数为负分数，小数可以化为分数”即可得出答案.

29

【详解】解：负分数有：T.7,-57,-0.001,共4个，

故答案为：4.

【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义.

12.实数：、万、1.34、般、国中,无理数有个.

【答案】2

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，判断即可.

【详解】解：即=3,*=2后，

无理数有万，龙，共2个，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了无理数的识别，算术平方根，立方根，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的

无理数有三类：①万类，如2%,3等；②开方开不尽的数，如行，为等；③虽有规律但却是无限不循环

的小数,如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）,0.2121121112--■（两个2之间依次增加1个1）

等.

2277-

13.在-4,―,0,3.14159,1.3,0.121121112…中，有理数的个数有个.

【答案】5

【分析】根据整数、有限小数、无限循环小数统称有理数即可解答.

2271

【详解】解：：在T,—,0,3.14159,1.3,0.121121112…中，

22

.•.有理数为-4,一,0,3.14159,1.3,

•••有理数的个数为5个；

故答案为5.

【点睛】本题考查了有理数的概念，理解有理数的概念是解题的关键.

1，0,

14.把下列各数填在相应集合中：-0.75,+3,+—,-3,-2021

10

分数集合：｛___________…};

负整数集合：｛___________…};

非负数集合：｛_____

+>3、L。、3

【答案】-V-0.75V-2021；+3、H----.

10510

【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可.

13

【详解】分数集合：｛、、-0.75、

负整数集合：｛-3、-2021...｝；

13

非负数集合：｛'、0、+3、+》.｝.

1313

故答案为：—V-0.75、+—；-3、—2021；S、°、+3'+历

【点睛】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键.

15.将下列各数填入相应的大括号内：

I22

—13,0.1,—2.23,+27,0,—15%,—3—,.

（1）非正数：｛

(2)非负数：｛...｝

(3)非正整数：｛...｝；

(4)非负整数：｛...｝

【答案】(1)-13,-2.23,0,-15%,-31

22

(2)0.1,+27,0,—

(3)-13,0

(4)+27,0

【分析】(1)根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答；

(2)根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答；

(3)根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答；

(