投影与视图（2大知识点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

投影与视图(2大知识点14类题型)

(全章知识梳理与题型分类讲解)

第一部分【知识梳理与题型目录】

【知识点1】投影

(1)投影：用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影

(projection),照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平

行光线形成的投影是平行投影(parallelprojection).

(3)中心投影：由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(centerprojection)。

(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

【知识点2】三视图

(1)三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图

形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图一一能反映物体的前面

形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投

射所得的视图称左视图一一能反映物体的左面形状，三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从

三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表

达物体的结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向

对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

知识点与题型目录

【知识点一】投影

【题型1】平行投影...........................................................2

【题型2】中心投影............................................................3

【题型3】正投影..............................................................3

1

【题型4】视点、视角和盲区..............................................................4

【知识点二】三视图

【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图...........................................5

【题型6】判断非实心几何体三视图.......................................................6

【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图...........................................6

【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图.............................................7

【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图..................................................8

【题型10］由三视图还原几何体..........................................................9

【题型H】由三视图求几何体边长、面积、体积........................................10

【题型12］由三视图求小立方块最多个数和最少个数....................................n

【题型13］直通中考.....................................................................12

【题型14］拓展延伸.....................................................................13

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】平行投影

【例1】（2024咛夏银川•模拟预测）某一时刻高度为2.5m的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段

表示甲树在太阳光下的影子，且BC=2m.

⑴请在图中画出统一时刻乙数的影子所；

（2）此时距离两棵树不远处身高为1.7m的小华的影长是多少？

D

【变式11（2024九年级上•全国・专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（

【变式2］（23-24九年级上•河南郑州•阶段练习）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下

2

测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时发现这棵树的影子不全落

在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长。为1.5米，落在地面上的影

长2C为3米，则这棵树的高度为.

【题型2】中心投影

【例2】（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街

两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时,

甲灯照射的影子长3m,乙灯照射的影子长L5m,又王叔叔的身高为1.8m,两盏路灯的高度相同，路灯相

距12m,求路灯的高.

甲乙

率第

DGBHF

【变式1】（23-24九年级上•河北保定,期末）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（）

【变式2］（2024•广东茂名•二模）如图，如图，安装路灯N3的路面CD比种植树木的地面尸。高

CP=1.2m,在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4m,通过测量知道8C的距离为1.5m,

则路灯N3的高度是m.

【题型3】正投影

【例3】（17-18九年级下•全国•课后作业）如图所示，AABC被平行光线照射，CD1AB于D,AB在投影面

3

上.

（1）指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？

⑵探究：当4ABC为直角三角形（NACB=90。）时，易得AC2=AD-AB,此时有如下结论：直角三角形一直角

边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理.通过上述结论的推理，请证明以

下两个结论.

①BC2=BD-AB；②CD2=AD-BD.

【变式1］（2024九年级•全国•竞赛）某同学身高140cm,那么这名同学的正投影的长（）.

A.小于140cmB.等于140cmC.大于140cmD.小于或等于140cm

【变式2】（23-24九年级下•江西赣州•阶段练习）一根长为优的木棒在平行光线上形成的正投影为3,则他

的取值范围为.

【题型4】视点、视角和盲区

【例41（22-23九年级上•陕西汉中•期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡尸位于灯杆加

上，地面上竖立着一个矩形单杠/2CD,已知单杠右侧杆在路灯灯泡尸的照射下的影子末端位于点E

处，已知。、B、C、E在一条直线上，且“。ABLOE,DCYOE.

⑴请在图中找出路灯灯泡尸的位置，并画出单杠左侧AB杆在灯泡尸的照射下的影子B尸；

（2）经测量。3=4米，AF=2米，单杠的高度月8=2米，请你计算路灯灯泡距地面的高度OP.

M

【变式1】（20-21九年级上•河北唐山•期末）如图，从点。观测建筑物/C的视角是（）

D

B

水平地面

4

A.NADCB./DABC.ZDCAD.ZDCE

【变式2］（17-18九年级下•全国•单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是

空旷的水平地面.地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点M和点N处，M、N均在的中垂线上,

且M、N到大楼的距离分别为60米和204米，又已知长40米，ND长120米，由于大楼遮挡着，所

以乙不能看到甲.若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为

米.

.M

N

【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图

【例5】（21-22九年级上•陕西汉中•阶段练习）如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的

两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图.

/主视方向

图①

【变式1】（24-25九年级上•内蒙古包头,阶段练习）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方

则这个几何体的左视图是（

领奖台

5

T士

①②③④⑤

（1）这个几何体的主视图是（填序号）；

（2）这个几何体的左视图是（填序号）；

（3）这个几何体的俯视图是（填序号）.

【题型6】判断非实心几何体三视图

【例6】（2024九年级下•四川成都•专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（）

【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图

【例7】（20-21七年级上,山西太原•阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察

这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数.请分别画出

从正面、左面看到的形状图.

33

123

【变式1】（2024・山西大同•模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个

数，则该几何体的左视图是（）

121

31

6

A.B.C.D.

【变式2】（22-23六年级上,山东烟台•期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视

图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积

为.

【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图

［例8］（24-25九年级上,陕西西安•阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的

圆柱组成的几何体.

⑴请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）；

（2）求该几何体的表面积.

【变式1］（2023•广东深圳•二模）如图，几何体的主视图是（）

Zo

正面

A.（B.，/''\C.D.

【变式2】如图，右边的图形是物体的—图.

7

【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图

【例9】（24-25七年级上•山东青岛•阶段练习）如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几

何体.

正面主视图左视图俯视图

⑴画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（友情提示：用28铅笔画图）

（2）直接写出该几何体的表面积为；

⑶如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加个小正方体.

【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳,单元测试）如图是某几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示

该位置小立方块的个数，则该几何体从左面看到的形状图是（）

【变式2】（22-23七年级上•辽宁丹东•阶段练习）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图

所示，则这个几何体至少有个小正方体组成，至多又是个.

主视图俯视图

【题型10］由三视图还原几何体

【例10】（23-24九年级上•全国・单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左

视图如图所示.

⑴请你画出这个几何体的俯视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为"，请你写出〃的所有可能值.

8

【变式1］（2024九年级下•全国•专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

C.圆锥D.棱柱

【变式2】（23-24七年级上•江苏南京•期末）请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体.

【题型11］由三视图求几何体边长、面积、体积

【例11}（20-21九年级上,山东淄博,期末）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求

出这个几何体的侧面积.

2

（2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=/,S£=a+a,求出

主视图左视图

。口「口

•□':/J;

正面俯视图

图1图2

【变式1】（24-25七年级上•浙江•开学考试）如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体

图形，则这个立体图形的表面积为（）平方厘米.

9

A.22B.23C.44D.46

【变式2】（24-25七年级上•江西吉安•阶段练习）如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积为•

俯视图

【题型12］由三视图求小立方块个数

【例12】（23-24七年级上•重庆铜梁•开学考试）人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图

形.一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图

形称为俯视图.

在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示.

⑴请画出这个几何体的三视图.

（2）若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（）个.

⑶若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以

添加（）个小正方体.

【变式1】（2024•广东中山•模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则

这个几何体中小正方体的个数（）

10

左视图

俯视图

A.4B.5C.6D.7

【变式2】（2022•山东青岛•模拟预测）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图,

则组成这个几何体的小正方体的个数最少是个.当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条

【题型12］由三视图求小立方块最多个数和最少个数

【例13】（24-25七年级上•辽宁沈阳•阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正

面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数.

（2）这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成；

⑶当d=3,e=l时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图.

【变式1】（24-25七年级上•河南郑州•阶段练习）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面

和上面看到的这个几何体的形状图如图所示.则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（）

从正面看从上面看

A.最多需要8块，最少需要7块B.最多需要8块，最少需要6块

C.最多需要7块，最少需要6块D.最多需要6块，最少需要5块

【变式2】（23-24七年级上,福建泉州•阶段练习）由〃个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和

11

俯视图如图所示，贝V的最小值是

主视图俯视图

第三部分【中考链接与拓展延伸】

【题型13】直通中考

【例1】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主

视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）

主视图左视图

A.1种B.2种C.3种D.4种

【例2】（2024・四川自贡・中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测

量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

（1）如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长斯恰好等于自己的身高。E.此时，小组同学测得旗

杆45的影长为11.3m,据此可得旗杆高度为m；

（2）如图2,小李站在操场上£点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部小组同学测得

小李的眼睛距地面高度。E=L5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离C2=16m.求旗杆高度;

⑶小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显

提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

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