投影与视图（2大知识点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）解析版-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

投影与视图(2大知识点14类题型)

(全章知识梳理与题型分类讲解)

第一部分【知识梳理与题型目录】

【知识点1】投影

(1)投影：用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影

(projection),照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平

行光线形成的投影是平行投影(parallelprojection).

(3)中心投影：由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(centerprojection)。

(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

【知识点2】三视图

(1)三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图

形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图一一能反映物体的前面

形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投

射所得的视图称左视图一一能反映物体的左面形状，三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从

三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表

达物体的结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向

对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

知识点与题型目录

【知识点一】投影

【题型1】平行投影..........................................................2

【题型2】中心投影..........................................................4

【题型3】正投影............................................................6

1

【题型4】视点、视角和盲区.............................................................8

【知识点二】三视图

【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图........................................n

【题型6】判断非实心几何体三视图....................................................13

【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图........................................15

【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图...........................................17

【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图................................................19

【题型10］由三视图还原几何体........................................................20

【题型n】由三视图求几何体边长、面积、体积.......................................22

【题型12］由三视图求小立方块最多个数和最少个数..................................24

【题型13］直通中考....................................................................26

【题型14］拓展延伸....................................................................29

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】平行投影

【例1】(2024•宁夏银川•模拟预测)某一时刻高度为2.5m的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段3C

表示甲树在太阳光下的影子，且BC=2m.

⑴请在图中画出统一时刻乙数的影子所；

(2)此时距离两棵树不远处身高为1.7m的小华的影长是多少？

D

BCE

【答案】⑴画图见解析；⑵小华的影长是1.36米.

【分析】(1)根据相似三角形画出图形；(2)根据相似三角形的性质求出小华的影长；

本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用.

解:(1)如图，连接4C,过。作。尸〃NC,交8E于点尸，

・•.E尸即为所求；

(2)设小华的影长是x米，

2x

由题意得：,

2

解得：x=1.36，

D

答：小华的影长是1.36米.

【变式1】（2024九年级上•全国•专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）

【答案】B

【分析】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提.

根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案.

解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中

的图形符合题意，

故选:B.

【变式2］（23-24九年级上•河南郑州•阶段练习）为了测得一棵树的高度48,一个小组的同学进行了如下

测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时发现这棵树的影子不全落

在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CZ）为1.5米，落在地面上的影

长2C为3米，则这棵树的高度4B为.

21

【答案】9米

【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上

的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似,

这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高.

解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是X米.

3

解得X=?

4

树高是?15+L5=2?1（米）.

44

故答案为21?米.

【题型2】中心投影

【例2】（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街

两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时,

甲灯照射的影子长3m,乙灯照射的影子长1.5m,又王叔叔的身高为L8m,两盏路灯的高度相同，路灯相

距12m,求路灯的高.

甲乙

串、>

y

_____________小、

DGBHF

【答案】6.6m

【分析】根据题意，得AB〃CD〃EF,CD=EF,继而得到AG/3s△G£F,^HAB^^HCD,列比例式,

解答即可.

本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键.

解：根据题意，得AB〃CD〃EF,CD=EF,

LGABS^GEF,小HABs小HCD,

GBABHBAB

‘•专一而‘HD~'CD"

GB_HB

•••G8=1.5m,HB=3m,

1.5_3

'GF~HD

・•.HD=2GF,

设方H,

•・•DF=12m,

：A2-y=2（GB+BH+HF）=9+2y,

解得y=l(m),

4

・•.GF=GB+BH+HF=5.5(m),

1,5_1.8

一而‘

解得跖=6.6(m),

甲乙

DGBHF

答：路灯高为6.6m.

【变式1］（23-24九年级上•河北保定•期末）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题

的关键.

解：••・对应点的连线经过点光源，

•••灯光与物体的影子最合理的是A,

故选：A.

【变式2】（2024•广东茂名•二模）如图，如图，安装路灯48的路面。比种植树木的地面P。高

CP=1.2m,在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长£尸为0.4m,通过测量知道8c的距离为1.5m,

则路灯的高度是m.

【答案】4.5

【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

根据题意可得：ABLCD,CP±PQ,CD||PQ,从而可得/ABC=NCPE=90。,ZACB=ZCEP,然后

5

证明△ZCBs^CEP,从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.

解：由题意得：ABLCD,CPLPQ,

・・.NABC=/CPE=90。,

由题意得:CD\\PQ,

；"ACB=/CEP,

・••AACBS^CEP,

AB_CB

,•不一百‘

AB1.5

解得：AB=4.5,

・•・路灯48的高度是4.5m,

故答案为：4.5.

【题型3】正投影

【例3】（17-18九年级下•全国•课后作业）如图所示，AABC被平行光线照射，CD1AB于D,AB在投影面

上.

⑴指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？

（2）探究：当AABC为直角三角形（NACB=90。）时，易得AC』AD-AB,此时有如下结论：直角三角形一直角

边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理.通过上述结论的推理，请证明以

下两个结论.

①BC2=BD-AB；（2）CD2=ADBD.

【答案】⑴AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD；（2）证明见解析.

解：试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解

即可；

（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCDMBaC,根据相似三角形对应边成比例可证明

结论；

②同理可证△/。。〜△。台。，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立.

试题解析：

6

解：⑴•:CDL4B,

而平行光线垂直

.••/C的投影是40,C。的投影是点。，BC的投影为AD；

（2）①•.•2C8=90°,CDLAB于D,

:.AACB=LCDB=90°.

•:（B=（B,

:.ABCD〜ABAC,

BC_BD

,,花一茄’

：,BC2=BD・AB；

②同理可得：AACDFCBD,

CDAD

“访一五’

.-.CD2=AD»BD.

点拨：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结

合图形得出相似三角形是解决（2）的关键.

【变式1］（2024九年级•全国•竞赛）某同学身高140cm,那么这名同学的正投影的长（）.

A.小于140cmB.等于140cmC.大于140cmD.小于或等于140cm

【答案】D

【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投

影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定

义是解此题的关键.

解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于140cm,

当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于140cm,

综上所述，某同学身高140cm,那么这名同学的正投影的长小于或等于140cm,

故选：D.

【变式2】（23-24九年级下,江西赣州,阶段练习）一根长为小的木棒在平行光线上形成的正投影为3,则相

的取值范围为.

【答案】m>3

【分析】本题考查正投影的定义和性质，解题的关键是熟练掌握正投影的定义和性质•根据正投影的定义

和性质解答即可一

7

解：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段，长度为3,此时m=3;

当木棒与光线不平行时，正投影为一条线段，长度为3,此时机＞3;

故答案为：加23.

【题型4】视点、视角和盲区

【例4】(22-23九年级上•陕西汉中,期末)如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡尸位于灯杆0M

上，地面上竖立着一个矩形单杠已知单杠右侧CD杆在路灯灯泡尸的照射下的影子末端位于点£

处，已知。、B、C、E在一条直线上，且ABLOE,DCYOE.

⑴请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧N3杆在灯泡P的照射下的影子班'；

(2)经测量。8=4米，3尸=2米，单杠的高度居=2米，请你计算路灯灯泡距地面的高度。P.

【答案】⑴见解析(2)6米

【分析】(1)连接即并延长交0M于点尸，连接尸/并延长交OE于R点尸和即即为所求;

(2)先求出。尸=6米，证明AAB尸s△尸。尸，得到包=型，即2=2,则20=6米.

POOFP06

解：(1)解：如图所示，点尸和跖即为所求；

。尸=05+5尸=6米，

M0L0E,ABLOE,BPPO//AB,

△ABFS^POF,

ABBF22

----=-----，即Rn---=-，

POOFPO6

••・P0=6米，

・•.路灯灯泡距地面的高度为6米.

8

【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.

【变式1】（20-21九年级上•河北唐山•期末）如图，从点。观测建筑物/C的视角是（）

水平地面

A.NADCB./DABC.ZDCAD.ZDCE

【答案】A

【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断.

解：如图所示，根据视角的定义，建筑物NC两端发出的光线在眼球内交叉的角为/4DC,

故选：A.

【点拨】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义.

【变式2】（17-18九年级下•全国•单元测试）如图，大楼4BCD（可以看作不透明的长方体）的四周都是

空旷的水平地面.地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点/和点N处，M、N均在3的中垂线上,

且/、N到大楼的距离分别为60米和206米，又已知褴长40米，长120米，由于大楼遮挡着，所

以乙不能看到甲.若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为

米.

【答案】（40V3+20V2）

【分析】据已知首先得出DH=HP寸米，NO=（20V3+40-X）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比

例定理和三角形面积求出即可.

解：连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P,

作POLMN于O,作CG1MP于G,

根据题意可得出：

ME=60,DE=HO=FC=60米，FN=20百米，EF=40,

9

■■NC=yjFN2+FC2>

=40百米,

设EO=x米，

；.DH=x米，

-ME=DE=60米,

/.ZMDE=45°,

.,.DH=HP=x米,A/0=(20VJ+40-力米，PO=(60+x)米,

FCWPO,

FNFC

而一而

20拒60

204+40-x60+x

解得：x=60-20V3,

“0=(120-206)米，A/O=(40百-20)米，

11

-CD-HP=-DP-CG,

22

；*40x(120-206-60)=[206+40-(406-20)]CG,

CG=200米，

••・行走的最短距离长为：A/C+CG=(40百+20行)米.

故答案为4073+2072

A

B

【点拨】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出宏=会，求出N。

NOPO

与P。的长是解题关键.

【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图

【例5】（21-22九年级上,陕西汉中•阶段练习）如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的

两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图.

10

/主视方向

图①

【分析】找到从正面、上面、左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在视图中.

解：如图如下:

左视图

【点拨】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图观察的角度.

【变式1】（24-25九年级上•内蒙古包头•阶段练习）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方

形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

【答案】B

【分析】本题考查三视图的画法；左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可.注意

实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示.

解：从左边看，可得如下图形，

11

故选：B.

【变式2］（24-25九年级上•全国•课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体.

（1）这个几何体的主视图是（填序号）;

（2）这个几何体的左视图是（填序号）;

（3）这个几何体的俯视图是（填序号）.

【答案】③⑤②

【分析】本题考查三视图.根据三视图的定义判断即可.

解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②.

故答案为：③，⑤，②.

【题型6】判断非实心几何体三视图

【例6】（2024九年级下•四川成都・专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（）

A.B.''C.।'D.

【答案】B

【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键.俯视图是从物体的上

面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示.根据俯视图的概念，即可得到答案.

解：俯视图如图所示：

12

故选：B.

【变式】（2024•河南驻马店•二模）如图，该几何体的俯视图是（)

【分析】本题考查的是三视图，俯视图,从上面看到的平面图形,注意能看到的棱都要画成实线，不能看

到的线画成虚线.

解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形,

所以俯视图是:

故选C

【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图

【例7】（20-21七年级上•山西太原•阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察

这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数.请分别画出

从正面、左面看到的形状图.

【分析】根据三视图的定义画出图形即可.

解：图形如图所示：

13

主视图左视图

【点拨】本题考查作图-三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型.

【变式1］（2024・山西大同•模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个

数，则该几何体的左视图是（）

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可.

解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形,

第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下：

故选：B.

【变式2】（22-23六年级上,山东烟台,期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视

图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积

为.

22

122

【答案】4

【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；

解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形,

可以画出左视图如图，

14

所以这个几何体的左视图的面积为4.

故答案为4

【点拨】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左

视图.

【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图

【例8】（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的

圆柱组成的几何体.

俯视图

⑴请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）；

⑵求该几何体的表面积.

【答案】⑴答案见解析（2）54+1^

【分析】本题考查了作图一一三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解二视图的定义.

（1）根据三视图的定义画出图形即可；

（2）根据表面积的定义求解即可.

解：（1）解：该几何体的三视图如图所示

主视图左视图

俯视图

15

（2）解：由图可知，该几何体的表面积=3x3x6-2万xI|+»xlx3=54+"|».

【变式1］（2023•广东深圳二模）如图，几何体的主视图是（）

D.

【答案】A

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答.

解：从正面看图形为

【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键.

【变式2】如图，右边的图形是物体的—图.

【答案】主视

【分析】根据几何体分别画出主视图、左视图、俯视图，对比后即可得出答案.

解：此几何体的三视图如下：

俯视图

故答案为主视.

16

【点拨】本题考查了三视图的识别.准确画出几何体的三视图是解题的关键.

【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图

【例9】(24-25七年级上•山东青岛•阶段练习)如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几

⑴画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；(友情提示：用28铅笔画图)

⑵直接写出该几何体的表面积为;

⑶如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加个小正方体.

【答案】(1)见解析(2)36(3)3

【分析】此题考查了三视图的画法、求几何体的表面积等知识.

(1)根据三视图的定义结合几何体画出即可；

(2)求出几何体的表面积即可；

(3)根据左视图和俯视图不变进行添加即可.

主视图左视图俯视图

(2)几何体的表面积：6x2+5x2+6x2+2=36,

故答案为：36

【变式1】(24-25七年级上•辽宁沈阳,单元测试)如图是某几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示

该位置小立方块的个数，则该几何体从左面看到的形状图是()

17

【答案】B

【分析】本题考查了从不同方向看组合图形，三视图的含义.先细心观察，从左面看去，一共两列，左边

有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案.

解：从左面看去，一共两列，左边有2个小正方形，右边有3个小正方形，

・•・从左面看到的形状图是

故选：B.

【变式2】（22-23七年级上•辽宁丹东•阶段练习）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图

所示，则这个几何体至少有个小正方体组成，至多又是个.

主视图俯视图

【答案】911

【分析】根据主视图和俯视图把图形还原，找出每处可能的正方体个数.判断至少需要正方体的个数，即

可进行解答.

解：由主视图可知，图形有三层，则最少有：2+14-3+1+1+1=9（个）；

主视图俯视图

最多有：2+1+3+2+1+2=11（个）,

18

主视图俯视图

故答案为：9,11.

【点拨】本题主要考查了三视图，解题的关键是根据三视图将几何题还原.

【题型10］由三视图还原几何体

【例10］（23-24九年级上•全国・单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左

视图如图所示.

⑴请你画出这个几何体的俯视图;

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为〃，请你写出〃的所有可能值.

主视图左视图

【答案】⑴见解析⑵〃=3或，=4或〃=5

【分析】本题主要考查了对三视图的理解应用及空间想象能力.

（1）由左视图可得第一层立方体的可能个数，由主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，画出几

何体可能的俯视图即可；

（2）易得这个几何体共有2层，由左视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能

的个数，相加即可.

解：（1）解：由题中所给出的主视图知这个几何体共二列，且右侧一列高两层，左侧一列最高一层，由左

视图可知左侧一层，右侧两层；

，后面一行有1或2个小正方体，而前面一行可能有2个或3个小正方体，

这个几何体的俯视图如图所示：

（2）解：由（1）知图中的小正方体最少3块，最多5块,

〃=3或"=4或"=5.

19

【变式1］（2024九年级下•全国•专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

C.圆锥D.棱柱

【分析】本题主要考查了根据三视图判断几何体，掌握三视图的定义是解题的关键.

根据三视图判断几何体的形状即可；

解：由已知三视图可知，主视图、左视图为长方形，俯视图为圆，则符合条件的立体图形是圆柱；

故选：A.

【变式2】（23-24七年级上•江苏南京•期末）请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体.

【答案】正方体（答案不唯一）

【分析】本题考查学生对三视图的掌握程度以及灵活运用能力.主视图、左视图、俯视图是物体分别从正

面、左面和上面看，所得到的图形.

解：球的三视图都为圆；正方体的三视图都为正方形.

故答案为：正方体（答案不唯一）.

【题型11］由三视图求几何体边长、面积、体积

【例11】（20-21九年级上•山东淄博・期末）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求

出这个几何体的侧面积.

22

⑵如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S±=a,S£=a+a,求出S腑.

20

主视图左视图

口匚。

'1Z7

正面俯视图

图1图2

【答案】(1)65n；(2)a2+a

【分析】(D根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积;

(2)根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而求得俯视图的面积.

解：(1)由三视图可知，原几何体为圆锥，

S网=兀尸•/=n：x5xl3=65n:.

答：这个几何体的侧面积是65Tl.

(2)S^(a+1),

二俯视图的长为a+L宽为a,

■•Sdf—a(a+1)=a2+a.

【点拨】本题考查了三视图，关键会由三视图还原几何体.

【变式1】(24-25七年级上•浙江•开学考试)如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体

图形，则这个立体图形的表面积为()平方厘米.

A.22B.23C.44D.46

【答案】D

【分析】本题考查了几何体表面积.掌握立体图形的三视图是解题的关键.由立体图形可知，上表面共有

8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个

正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解.

解：图中每一个正方形面积1X1=10/,

7x2+8x2+8x2=46(cm2),

故选：D.

【变式2】(24-25七年级上•江西吉安•阶段练习)如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积为•

21

俯视图

【答案】24万

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式

即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键.

解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4+2=2,高是6,

则这个几何体的体积为万x2?x6=24万.

故答案为：24万.

【题型12］由三视图求小立方块个数

【例12］（23-24七年级上•重庆铜梁•开学考试）人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图

形.一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图

形称为俯视图.

在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示.

⑴请画出这个几何体的三视图.

（2）若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（）个.

⑶若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以

添加（）个小正方体.

【答案】（1）见解析（2）1（3）4

【分析】本题考查了从不同角度观察物体，求三视图求最多或最少的小立方块的个数.需熟练掌握三视图

22

的概念以及画法是解题的关键.

（1）根据题意中三视图的概念画出平面图形即可；

（2）根据立体图形可以直接分析，只有最下层中间排最右端一个小正方体三个面上是红色;

（3）要保持正视图和左视图不变，最底层可以加3个，第二层可以加1个，共可加4个.

解：（工）解：由题意作图如下：

d口

正视图左视图俯视图

（2）解：由题意知，若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方

体有1个，

故答案为：1;

（3）解：由题意知，若现在还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，

则最多可以添加4个小正方体，

故答案为：4.

【变式1］（2024•广东中山•模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则

这个几何体中小正方体的个数（）

主视图左视图

俯视图

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.掌

握口诀"俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章"是关键.

根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该几何体的小正方体的个

数.

23

解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体，

第二层左边有1个小正方体，

因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个.

故选B.

【变式2】（2022•山东青岛•模拟预测）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，

则组成这个几何体的小正方体的个数最少是个.当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条

【分析】本题考查俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形

的个数即为其余层数小正方体的最少个数.

由俯视图易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正

方体的可能的最少个数，相加即可，再根据小正方体的个数最少的情况，判断得用14个小正方体搭建这

个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可.

解：由俯视图易得最底层有8个正方体，由主视图第二层最少有3个正方体，第三层最少有2个正方体,

则组成这个几何体的小正方体的个数最少是：8+3+2=13.

根据三视图可画图小正方体的个数最少的情况如下：

则用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可，

.•・满足条件的几何体一共有10种摆法，

故答案为：13,10.

【题型12］由三视图求小立方块最多个数和最少个数

【例13】（24-25七年级上•辽宁沈阳,阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正

面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数.

24

(2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成；

(3)当d=3,e=l时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图.

【答案】(1)2,1,1；(2)8,10；⑶见解析

【分析】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形.

(1)根据从正面和上面看到的形状判断即可；

(2)根据从正面和上面看到的形状判断即可；

(3)根据从左面看到的形状图画出图形.

解：(1)解：观察从正面看到的图可知a=2,b=c=\

故答案为：2,1,1；

(2)解：这个几何体最少由2+1+1+3+1=8个小立方块搭成，最多由2+1+1+3+3=10个小立方块搭成.

故答案为：8,10；

(3)解：从左面看到的图形如图所示：

【变式1](24-25七年级上•河南郑州•阶段练习)用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面

和上面看到的这个几何体的形状图如图所示.则搭成这样的几何体需要小立方块个数为()

从正面看从上面看

A.最多需要8块，最少需要7块B.最多需要8块，最少需要6块

C.最多需要7块，最少需要6块D.最多需要6块，最少需要5块

【答案】C

【分析】本题考查了由三视图求最多或最少的小立方块的个数.熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块，然后求解作答即可.

25

解：由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块，

・••搭成这样的几何体需要小立方块个数为最多需要7块，最少需要6块，

故选：C.

【变式2】（23-24七年级上•福建泉州•阶段练习）由〃个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和

俯视图如图所示，贝卜的最小值是.

主视图俯视图

【答案】6

【分析】本题考查了由三视图判断几何体，从主视图和俯视图分别判定上层和下层的小正方体个数即可.

解：由主视图和俯视图可知，下层小正方体为5个，上层在俯视图左边则至少有一个小正方体，要使得〃

最小，则上层只有一个小正方体，此时"=1+5=6,

故答案为：6.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

【题型13】直通中考

【例1】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主

视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）

主视图左视图

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】C

【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义.根据小正方体一共5个，以及主视图和左

视图，画出俯视图即可.

解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最

高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，

26

13133

故选：c.

【例2】（2024・四川自贡・中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测

量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

⑴如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长昉恰好等于自己的身高可.此时，小组同学测得旗

杆褴的影长3c为11.3m,据此可得旗杆高度为m；

⑵如图2,小李站在操场上£点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部小组同学测得

小李的眼睛距地面高度〃£=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离C2=16m.求旗杆高度;

⑶小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显

提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

图4（找水平线）图5（定标高线）图6（测雕塑高）

如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M,N两点始终处于同一水

平线上.

如图5,在支架上端尸处，用细线系小重物0,标高线P0始终垂直于水平地面.

如图6,在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部3处于同一水平线的。，G两点，并

标记观测视线与标高线交点C,测得标高CG=L8m,DG=1.5m.将观测点。后移24nl到。处，采用

同样方法，测得C'G'=1.2m,D'G'=2m.求雕塑高度（结果精确到1m）.

【答案】（1）11.3⑵旗杆高度为12m；⑶雕塑高度为29m.

【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用.

27

(1)根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；

(2)根据镜面反射性质，可求出4c8=得出A4CBSADCE,最后根据三角形相似的性质，即

可求出答案;

(3)BG=xm,由题意得：△DGCSADB4,^D'G'C'^AD'BA,利用相似三角形的性质列出式子，计

算即可求解.

解：(1)解：由题意得/用尸，由题意得：空=竺，

AB-BC=11.3m,

故答案为：11.3；

♦:AB工BE,DELBE,

：.ZABC=ZDEC=90°,

:AACBSADCE,

ABCBAB16

/.——=——,即Hn——=—,

DECE1.52

/.AB=12f

答：旗杆高度为12m；

（3）解：设BG=xm,

由题意得：ADGCs^DBA,八D'GC'SA