苏科版七年级数学下册第一次月考（压轴37题12种题型）解析版

第一次月考（压轴38题12种题型）

范围：七年级下册第一-第二单元

同底数塞的乘法（共4小题）

1.已知=Qwi,°wo）,求力的值7.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：，.力.a2*1=@25“1,“wo）,

."3+22用+1—25,

.*•3+m+2徵+1=25,

解得m=l,

故填7.

2.阅读材料：求1+2+22+23+24+-+22013的值.

解：5=1+2+22+23+24+-+22012+22013,将等式两边同时乘2得：

2S=2+22+23+24+25+--+22013+22014

将下式减去上式得2s-S=22014-1

即S=22014-1

即1+2+22+23+24+--+22013=22014-1

请你仿照此法计算：

（1）1+2+22+23+24+---+210

（2）l+3+32+33+34+-+3n（其中”为正整数）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）5=1+2+22+23+24+-+210,

将等式两边同时乘2得：2s=2+2?+23+24+…+210+2”，

将下式减去上式得：2S-S=2n-1,即S=2“-l,

贝ij1+2+22+23+24+…+21°=2"-1；

(2)设5=1+3+32+33+34+…+3”①，

两边同时乘3得：3S=3+32+33+34+-+3n+3n+1@,

②-①得：3S-S=3"+1-1,即5=A(3n+1-1),

2

贝Ul+3+32+33+34+—+3n=A(3,,+1-1).

2

3.如果那么我们规定(a,b)=c,例如：因为23=8,所以(2,8)=3

(1)根据上述规定，填空：

(3,27)=3,(4,1)=0(2,0.25)=-2；

(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证：a+b=c.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)(3,27)=3,(4,1)=0,(2,0.25)=-2,

故答案为：3,0,-2；

(2)证明：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,

：.3a=5,3b=6,3c=30,

：.3aX3b=30,

：.3aX3b=3c,

・・ci^~b=c.

4.阅读下列材料：一般地，〃个相同的因数。相乘…，记为a”.如2X2X2=23=8,

此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3).

一般地，若a"=b(。>0且,b>0),则"叫做以。为底6的对数，记为loga6(即

logab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4).

(1)计算以下各对数的值：10224=2,log216=4,10£264=6.

(2)写出(1)log24、log216、log264之间满足的关系式Iog24+log216=)g264.

(3)由(2)的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+losaJV=loga(MN)(a

>0且M>0,N>0).

(4)设/=N,am=M,请根据暴的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

【答案】(1)2,4,6；

(2)Iog24+log216=log264；

(3)log«(MN)；

(4)证明过程详见解析.

【解答】解：(1)log24=2,log216=4,log264=6,

故答案为：2,4,6；

(2)•/4X16=64,log24=2,log216=4,log264=6,

Iog24+log216=log264,

故答案为：Iog24+log216=log264；

(3)logjll+loglog«QMN),

故答案为：log。(MN)；

(4)证明：设log〃M=Ai,k)g〃N=A2,

则12=N,

cLa.

：.MN=bi«b2

AaAa

_b】+b-

a

.•.》l+02=loga(MN),

\ogaM+\ogaN=\oga(MN).

二.塞的乘方与积的乘方(共3小题)

5.定义：如果/=N(a>0,〃W1),那么x叫做以〃为底N的对数，记做x=logJV.例如：

因为72=49,所以log749=2；因为53=125,所以log5125=3.则下列说法正确的个数

为()

①log61=0；

(2)log323=31og32；

③若log2(3-4)=logs27,贝！J4=0;

@log2ry=logzx+log2y(x>0,y>0).

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解答】解：・・・60=1,

/.Iog61=0,说法①符合题意；

由于产・^=泮+%设加=心，N=^,

贝!Jm=\ogdM,n=k)gdN,

于是logd(MN)=m+n=log^Af+log6riV,说法④符合题意；

则Iog323=log3(2X2X2)=log32+log32+log32=3k)g32,说法②符合题意；

设p=logab,则aP=b,

两边同时取以。为底的对数，

logap=logb，则plogca=logcE

log^alog^b

所以P=「3,即10gab=L^，

logcbalogca

log227i4

则I°g827^^-=51og227=log2273=log23，

"/log2(3-a)=log827=log23,

.\a=0,说法③符合题意；

故选：A.

6.如果2a+b=3,那么4a+2b=6；当3m+2〃=4时，则8"・4"=16

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：2a+b=3,

，4a+26=6；

gm•4〃=2?血+2〃，

・3m+2n=4,

.'.23m+2n=16.

故答案为：6；16.

7.计算：22018«,工)2019=_1_

~2—~2~

【答案】-工.

2

【解答】解：原式=22°18.(-工)2018.(_2)

22

=[2X产°18.(」)

122

=(-1)2。18,(」)

'2'

=-1

2,

故答案为-1.

2

三.同底数塞的除法(共1小题)

8.已知(am)”=〃6,(〃加)2+〃九=〃3

(1)求mn和2m-n的值;

(2)求4序+〃2的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)V(am)』6,(0)2M=3

•••C^lmn——C—l6>CJlim~n——C「l3,

贝llmn=6>2m-〃=3；

(2)当M〃=6、2根-九=3时，

4m2+n2=(2m-ri')2+4mn

=32+4X6

=9+24

=33.

四.平行线的判定(共1小题)

9.将一副三角板中的两根直角顶点。叠放在一起(如图①)，其中NA=30°,ZB=60°,

ND=NE=45°.

(1)若N3CD=150°,求NACE的度数；

(2)试猜想N5CD与NACE的数量关系，请说明理由；

(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,试探究N8CD等于多少度时,

CD//AB,并简要说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)-：ZBCA=ZECD=90°,ZBCD=150°,

：.ZDCA=ZBCD-ZBCA=150°-90°=60°,

ZACE=ZECD-ZDCA=90°-60°=30°；

(2)ZBCZ)+ZACE=180°,理由如下：

/ZBCD=ZACB+ZACD=90°+ZAC£>,

ZACE=ZDCE-ZACD=90°-ZACD,

AZBCD+ZACE=180°；

(3)当N3CO=120°或60°时，CD//AB.

如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，

当N8+/BC£>=180°时，CD//AB,此时N8CO=180°-ZB=180°-60°=120°；

如图③，根据内错角相等，两直线平行，

当/2=/2。£)=60°时，CD//AB.

A

10.如图，AB//CD,尸为上方一点，H、G分别为A3、C£>上的点，ZPHB,ZPGD

的角平分线交于点E,/PGC的角平分线与即的延长线交于点下，下列结论：

®EG.LFG；

②/P+/PHB=ZPGD；

③/P=2/E；

④若/AHP-/PGC=/F,则/尸=60。.

其中正确的结论有()个.

【答案】D

【解答】解：・.・G尸平分NPGC,GE平分NPGD,

:・NPGF=L/PGC,NPGE=L/PGD,

22

:・/EGF=/PGF+/PGE=^(/PGC+/PGD)=A.X1800=90。，

即EG,尸G,故①正确；

^AB//CD,

：.ZPMB=ZPGD,

,/ZPMB=ZP+ZPHM,

:・/P+/PHB=/PGD,故②正确；

•:HE平分NBHP,GE平分/PGD,

:・/PHB=2/EHB,/PGD=2/EGD,

9：AB//CD,

：.ZPMB=ZPGD,NENB=NEGD,

:・NPMB=2NENB,

■:/PMB=/P+/PHB,NENB=NE+NEHB,

・・・NP=2NE,故③正确；

ZAHP-ZPMC=/P,NPMH=NPGC,

ZAHP-NPGC=/F,

:,/P=/F,

VZFGE=90°,

：.ZE+ZF=9Q°,

：.ZE+ZP=90°,

VZP=2ZE,

；.3/E=90,

解得NE=30°,

ZF—ZP—60°,故④正确.

综上，正确答案有4个，

故选：D.

11.如图，已知CE、的交点为E,现作如下操作：

第一次操作，分别作/A8E和/OCE的平分线，交点为妨，

第二次操作，分别作和NOCE1的平分线，交点为&,

第三次操作，分别作乙48&和/。CE2的平分线，交点为£3,

•••，

第n次操作，分别作NABE”一1和/。C&-1的平分线，交点为En.

图①图②

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图①，过E作E尸〃AB,

'JAB//CD,

：.AB//EF//CD,

.\ZB=Z1,ZC=Z2,

VZBEC=Z1+Z2,

ZBEC=ZABE+ZDCE；

如图②，：/ABE和NOCE的平分线交点为Ei,

ZCEiB=ZABEi+ZDCEi=l.ZABE+^ZDCE=^-ZBEC.

222

•；ZABEi和/OCEi的平分线交点为Ei,

：.NBEzC=ZABE2+ZDCE2^^ZABEI+1.ZDCEI^XZCEIB^^ZBEC；

2224

如图②，♦.•/A3E2和NOCE2的平分线，交点为E3,

ZBE3C=NABE3+/DCE3=L/ABE2+工/DCE2=L/CE2B=LNBEC；

2228

以此类推，NE"=L/BEC.

2n

当/瓦=1度时，/BEC等于2"度.

故答案为:2".

12.如图a是长方形纸带，ZDEF=a°,将纸带沿EF折叠成图6,再沿8尸折叠成图c,

则图c中的/CTE的度数是（180-3a）°（用含a的代数式表示）.

图a

【答案】180-3a.

【解答】1¥：'JAD//BC,ZDEF^a,

：.ZBFE=ZDEF=a,

.\ZEFC=180°-a°（图a）,

.".ZBFC=ZBFC=1800-a-a=180°-2a°（图b）,

AZCFE=180°-2a°-a°=180°-3a°（图c）.

故答案为：180-3a.

13.如图1,已知A8〃C。，ZB=30°,ZD=120°；

(1)若NE=60。，则/U=90°；

(2)请探索NE与/斤之间满足的数量关系？说明理由；

(3)如图2,已知EP平分/8ERFG平分/EFD,反向延长尸G交EP于点P,求/P

的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,分别过点E,尸作FN//AB,

J.EM//AB//FN,

:./B=NBEM=30°,ZMEF=ZEFN,

又■:AB〃CD,AB//FN,

C.CD//FN,

：.ZD+ZDFN=l80°,

又•.•/£>=120°,

：.ZDFN=60°,

：.ZBEF=ZMEF+300,NEFD=NEFN+60°,

：.ZEFD=ZMEF+600

；.NEFD=/BEF+30°=90°；

故答案为：90°；

(2)如图1,分别过点E,尸作EM〃/IB,FN//AB,

J.EM//AB//FN,

:.NB=NBEM=30°,/MEF=NEFN,

5L'：AB//CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZD+ZDFN=180°,

又:/。=120°,

：.ZDFN=60°,

AZBEF=ZMEF+300,NEFD=NEFN+60。,

:.NEFD=NMEF+60°,

：.ZEFD=ZBEF+300；

(3)如图2,过点尸作也〃£尸，

由(2)知，ZEFD=ZBEF+30°,

设/BEF=2x°,则NEF£>=(2x+30)°,

■:EP平分NBEF,GF平分NEFD,

：.ZPEF=^ZBEF=x°,/EFG=Z/EFD=(x+15)°,

22

'JFH//EP,

Z.PEF=ZEFH=x°,Z.P=ZHFG,

'：ZHFG=ZEFG-NEFH=15°,

.*.ZP=150.

ApA_____________7B

图1图2

14.如图，已知直线/l〃/2,且/3和/i,/2分别交于A,8两点，/4和/1,/2相交于C,。两

点，点P在直线AB上，

(1)当点尸在A,B两点间运动时，问/I,Z2,23之间的关系是否发生变化？并说

明理由；

(2)如果点尸在A,2两点外侧运动时，试探究NACP,ZBDP,NCPD之间的关系，

并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）如图1,过点P作P。〃/1,

'：PQ//h,

=（两直线平行，内错角相等），

"：PQ//h,11//12（已知），

：.PQ//l2（平行于同一条直线的两直线平行），

；./5=/2（两直线平行，内错角相等），

VZ3=Z4+Z5,

.*.Z3=Z1+Z2（等量代换）；

(2)如图2,过/^点作/^a^^交^^于f点,

'：AC//BD,

:.PF〃AC,

：.NACP=ZCPF,ZBDP=ZDPF,

:./CPD=/DPF-NCPF=NBDP-AACP-,

同理，如图/CPD=ZACP-NBDP；

15.如图，己知直线h〃a直线/3和直线h、/2交于点C和D、A、B两点分别在A和h

上，直线/3上有一动点尸

（1）如果尸点在C、。之间运动时，猜测/B4C,ZAPB,/尸8。之间有什么关系，证

明你的结论

（2）若点P在。C的延长线上运动时，ZPAC,ZAPB,/PBD之间的关系为/PBD

（3）在（2）的条件下，NB4C和/尸8。的角平分线相交于点。，探索/APB和/AQB

的关系，并证明.

【解答】解：（1）结论：如图①，当尸点在C、£＞之间运动时，ZAPB=ZPAC+ZPBD.

理由如下:

过点P作PE〃/1,

"：h//l2,

：.PE//h//l\,

：.APAC=Z.\,NPBD=N2,

：.ZAPB=Zl+Z2=ZPAC+ZPBD；

(2)结论：如图②，当点尸在C、。两点的外侧运动，且在人上方时，/PBD=/MC+

ZAPB.

理由如下：

'：h//l2,

：.ZPEC=ZPBD,

'：NPEC=ZPAC+ZAPB,

：.NPBD=ZFAC+ZAPB.

故答案为NB4C+NAPB.

(3)结论：NAPB=2/AQB.

理由：由(2)可知-NE4C,同理NAQ8=NQB£>-NQ4C,

：A。平分/RIC,BQ平分/PBD,

：.ZFAC=2ZQAC,ZPBD=2ZQBD,

：.ZAPB=ZPBD-ZR\C=2ZQBD-2ZQAC=2(.ZQBD-ZQAC)=2ZAQB.

16.将一副三角板按如图放置，ZBAC=ZDAE=90°,ZB=45°,ZE=60°,贝！J：①

/l=/3；②/CAZ)+/2=180°；③如果N2=30°，则有AC〃Z)E；④如果/2=45°,

则有3c〃AD上述结论中正确的是①②③④(填写序号).

【答案】①②③④.

【解答】解：①,

.•.Zl+Z2=Z2+Z3=90°,

AZ1=Z3,故①正确；

@VZ1+Z2+Z2+Z3=18O°,

：.ZCAD+Z2=1SQ°,故②正确；

③；/2=30°,

；./l=/E=60°,

J.AC//DE,故③正确；

@VZ2=45°,

；./3=48=45°,

J.BC//AD,故④正确.

故答案为：①②③④.

17.如图，直线MN与直线45、CZ)分别交于点E、F,AB//CD,/8跖与NEFD的角平

分线交于点P,EP与CD交于点G,点、H是MN上一点，且GHLEG,连接PH,K是

GH上一点、使/PHK=/HPK,作PQ平分NEPK,交A/N于点。，ZHPQ：ZQFP=3：

2,则NEHG=30°.

【解答】解：：AB〃C。，

AZB£T+Z£FD=180°,

,:/BEF与NEFD的角平分线交于点P,

:.NPEF=LNBEF,ZPFE=^ZEFD,

22

AZPEF+ZPFE=1.(NBEF+NEFD)=90°,

2

VZEPF=180°-CZPEF+ZPFE)=90°,

'：GH±EG,

：.ZEGH=ZEPF=90°,

J.FP//HG,

：.ZFPH=ZPHK,ZQFP=ZEHG,

设/P”K=x°,则NHPK=NPHK=x°,ZFPK=ZFPH+ZHPK=2x°,

AZEPK=ZEPF+ZFPK=90°+2x°,

■:PQ平分NEPK,

：.ZQPK=1ZEPK=A(90°+2x°)=45°+x°,

22

NHPQ=ZQPK-NHPK=45°,

•?ZHPQ：ZQFP=3：2,

：.ZQFP=3Q°,

；.NEHG=NQFP=30°；

故答案为：30°.

18.如图1,E点在8c上，ZA=ZD,ZACB+ZBED=180°.

(2)如图2,AB//CD,BG平分NABE,与/即尸的平分线交于X点，若/DEB比/

DHB大60°,求/。班的度数.

(3)保持(2)中所求的/。£8的度数不变，如图3,BM平分NEBK,DN平济/CDE,

作BP//DN,则NP8M的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由.

【答案】(1)证明过程请看解答；

(2)100°；

(3)40°.

【解答】(1)证明：如图1,延长DE交A2于点R

D

VZACB+ZBED=180°,NCE0+N5ED=180°,

:./ACB=/CED,

：.AC//DF,

：.NA=NDFB,

'：NA=NO,

:./DFB=/D,

J.AB//CD；

(2)如图2,gEM〃CD,HN//CD,

J.AB//EM//HN//CD,

.*.Zl+ZEDF=180°,/MEB=NABE,

•・,5G平分NA3E,

・・・NABG=//A瓯

■:XB//HN,

：.Z2=ZABG,

■:CF〃HN,

・・・N2+N0=N3,

•・・DH平分NEOR

：.Z3=^^/EDF,

：.-1/ABE+ZP=-1/EDF,

.\ZR=A(ZEDF-ZABE),

2

：.ZEDF-NABE=2N0,

设/。EB=Na,

VZa=Zl+ZMEB=1800-ZEDF+ZABE=180°-(ZEDF-ZABE)180°-2

4，

ZDEB比ZDHB大60°,

Za-60°=Zp,

；./a=180°-2(Za-60°)

解得/a=100°

班的度数为100°；

(3)/PBM的度数不变，理由如下：

如图3,过点E作ES〃CD设直线。厂和直线3尸相交于点G,

；BM平分NEBK,DN平分/CDE,

：.ZEBM=/MBK=//EBK,

ZCDN=ZEDN=-1/CDE,

'JES//CD,AB//CD,

：.ES//AB//CDf

：.ZDES=ZCDE,

ZBES=ZABE=180°-NEBK,

ZG=ZPBKf

由(2)可知：ZDEB=100°,

.*.ZCDE+1800-ZEBK=100°,

：.ZEBK-ZC£)E=80°,

•；BP〃DN,

：.ZCDN=ZG,

NPBK=NG=/CDN=上/CDE,

：.ZPBM=ZMBK-ZPBK

=L/EBK-工/CDE

22

=A(ZEBK-NCDE)

2

=-80。

2

=40°.

19.(1)证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直.

已知：如图①，AB//CD,直线分别交直线AB,CD于点E,F,OE、。歹分别平

分/AEF、NCFE.

求证：OEL。/.

证明：

(2)如图②，AB〃CD,点E、尸分别在直线A8、CD±,EM//FN,/AEM与NCFN

的角平分线相交于点。求证：EOLFO.

(3)如图③，AB//CD,点、E、F分别在直线A3、CD±.,EM//PN,MP//NF,ZAEM

与/C/W的角平分线相交于点O,ZP=102°,求/O的度数.

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)证明过程见解答；

(3)51°.

【解答】(1)已知：如图①，AB//CD,直线MN分别交直线AB,CD于点、E,F,OE、

。尸分别平分NAEP、NCFE,

求证：OELOF；

证法I：'：AB//CD,

：.ZAEF+ZCFE=180°,

'：OE,OP分另lj平分/AEF、ZCFE,

：.ZOEF+ZOFE=1ZAEF+^ZCFE=90°.

22

VZO£F+ZOFE+Z£OF=180°,

：.ZEOF=90°.

C.OELOF-,

证法2：如图，过点。作OP〃。交直线MN于点P.

①

"：AB//CD,

：.ZA£F+ZCF£=180°,

：OE、OF分另lj平分/AEF、ZCFE,

：.ZAEO+ZCFO=AZA£F+AZCFE=90°.

22

"：OP//CD,AB//CD,

J.OP//AB.

：.ZEOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=9Q°.

：.OE±OF；

故答案为：直线MN分别交直线AB,CD于点、E,F,OE、OP分别平分/AEEZCFE,

OELOF-,

(2)证明：如图，延长EM交CD于点G,过点。作OP〃CQ交ME于点P,

-B

②

\9AB//CD.

：.ZAEG+ZCGE=180°,

'：EM//FN9

：.ZCGE=ZCFN.

,：OE、。厂分别平分NAEM、ZCFN,

：.ZAEO+ZCFO=AZAEM+-1ZCFN=^ZAEM+^ZCGE=90°,

2222

VOP//CD,AB//CD,

：.OP//AB.

：.ZEOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=90°.

：.OE±OF；

(3)解：如图，延长EM、FN交于点、Q,过点。作。G〃C。交”石于点G.

③

■:EM//PN,FN//MP,

:・NEQF=NEMP=NP=102°,

由(1)证法2可知NA£M+NC/W=NE。/=102°,

•：OE、。厂分别平分NAEM、ZCFN,

：.ZEOF=/AEO+/CFO

=^ZAEM+^ZCFN=^X102°=51°.

222

20.已知直线人〃/2,点A,C分别在/i,/2上，点8在直线人，/2之间，且4BCN<N8AM

W90°.

（1）如图①，求证：NABC=/BAM+/BCN.

阅读并将下列推理过程补齐完整：

过点8作8G〃NC,因为人〃/2,

所以BG（平行于同一条直线的两条直线平行）.

所以ZCBG^ZBCN（两直线平行，内错角相等）.

所以/ZABG+ZCBG=ZBAM+ZBCN.

（2）如图②，点。，E在直线/1上，且BE平分NABC.

求证：ZDEB=ZDBE；

（3）在（2）的条件下，如果/CBE的平分线8尸与直线A平行，试确定与NBCN

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）8G,平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等;

（2）证明过程见解答；

（3）/BAM=3/BCN.理由见解答.

【解答】（1）解：如图①，过点B作3G〃MC,因为/i〃/2,

所以AM〃BG（平行于同一条直线的两条直线平行）.

所以ZCBG=ZBCN（两直线平行，内错角相等）.

所以/ABC=ZABG+ZCBG=NBAM+NBCN.

故答案为：BG,平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；

（2）证明：如图②，过点B作BG〃NC,因为“〃/2,

D

Ei

..............G

N________________12

C

所以AM〃BG,

所以/DEB=/EBG,ZCBG=ZBCN,

由（1）知：ZABC=ZBAM+ABCN.

又NDBC=/BAM,

所以NA8C=/r>BC+/BCN.

因为NABC=ZABD+ZDBC.

所以/ABO=N8CN,

所以/A8O=/C2G,

因为BE平分/ABC.

所以NABE=NEBC,

所以NDBE=/EBG,

所以NDEB=NDBE；

（3）解：NBAM=3NBCN,理由如下:

备用图

因为NDBC=/DBE+NEBF+NFBC,BF//AM,

所以NEBF=NDEB,

因为8尸平分NCBE,

所以NCBF=NEBF,

由（2）知：/DEB=/DBE,

所以NQBC=3/FBC,

因为CN//h,

所以CN//BF,

所以NFBC=NBCN,ZDBC=3ZBCN,

所以/BAM=3NBCN.

21.已知，BC//OA,NB=/A=108°,试解答下列问题：

（1）如图①，则/。=72。，则OB与AC的位置关系为平行

（2）如图②，若点E、尸在线段8C上，且满足NR9C=NAOC,并且OE平分则

ZEOC的度数等于36°；

（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置.

①在AC移动的过程中，/OCB与/OEB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，

若要改变说明理由；

②当/OEB=/OCA时，求/OCA.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）'.,BC//OA,

.,.ZB+ZO=180°,

VZB=108°,

：.20=72°,

VZA=108°,

.,.NO+NA=180°,

：.OB//AC,

故答案为：72。，平行；

(2)'：ZFOC=ZAOC,OE平分NBOF,NBOA=72°,

0

ZEOC=ZEOF+ZFOC=1ZBOF+1ZFOA=1.^BQ^=36,

故答案为：36°；

(3)①不变,

"JBC//OA,

：.ZOCB=ZAOC,

ZFOC=ZAOC,

：.ZFOC=ZOCB,

又：8C〃OA,

ZOFB=ZF0A=2ZF0C,

：./OFB=2/OCB,

即NOCB：NOFB=1：2.

即ZOCB与NOFB的比值为』；

2

②由（1）知：OB//AC,

：.ZOCA=ZBOC,

由（2）可以设：NBOE=NEOF=a,ZFOC=ZCOA^^,

：.ZOCA=NBOC=2a+0

由（1）知：BC//OA,

NO£3=NEOA=a+0+B=a+20

'：ZOEB=ZOCA

2a+B=a+20

a=P

VZAOB=12°,

.•.a=0=18°

・・・NOCA=2a+0=36°+18°=54°.

七.三角形的面积（共4小题）

22.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、8是方格纸中的两个格

点（即正方形的顶点），在这个5X5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平

方单位，则满足条件的格点C的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解答】解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就

是.

故选：A.

23.如图，/XABC面积为1,第一次操作：分别延长A8,BC,CA至点Ai,Bi,Ci,使43

=AB,BiC=BC,C1A=CA,顺次连接Ai,Bi,C\,得到△A1B1C1.第二次操作：分别

延长AiBi,BiCi,GAi至点AbBI,CI,使A2BI=48I,22cl=BICI,C2A1—C1A1,

顺次连接A2,B2,C2,得到282c2,…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010,

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解答】解：ZVIBC与底相等高为1：2(BBi=2BC),故面积比

为1：2,

：△ABC面积为1,

•••SAA1BTB=2.

同理可得，SAC1B1C=2,SAA41C=2,

SAAIBICI=SACIBIC+SAA41C+SAAIBIB+SAABC=2+2+2+1=7；

同理可证SAA2B2C2=7SAA1B1Cl=49,

第三次操作后的面积为7X49=343,

第四次操作后的面积为7X343=2401.

故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010,最少经过4次操作.

故选：C.

24.如图，对面积为1的△A8C逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB,BC,CA

至点Ai,Bi,Ci,使得AiB=2AB,BiC=2BC,CiA=2CA,顺次连接Ai,Bi,Ci,得

到△AiBiCi,记其面积为Si；第二次操作，分别延长ALBI,BICI,QAi至点A2,BI,

C2,使得4281=2481,B2CI=2BICI,C2AI=2G4,顺次连接&2,Bi,Ci,得到△?1222c2,

记其面积为S2;…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5,则其面积$5=195.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接4C,根据48=248,得到：AB：AiA=l：3,

因而若过点2,4作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3,

因而面积的比是1：3,则△ALBC的面积是△ABC的面积的2倍，

设AABC的面积是a,则△A1BC的面积是2a,

同理可以得到△4B1C的面积是△4BC面积的2倍，是4a,

则△A181B的面积是6a,

同理△B1C1C和△4C1A的面积都是6a,

△AiBiCi的面积是19a,

即△421Q的面积是△ABC的面积的19倍，

同理△A2B2C2的面积是△4B1C1的面积的19倍，

即△A1B1C1的面积是19,AA2B2c2的面积192,

依此类推，585c5的面积是$5=195=2476099.

25.如图，在△ABC中，点。，E,尸分别是BC,AD,EC的中点，若AABC的面积等于

36,则AB跖的面积为9

A

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：点D,E,尸分别是BC,AD,EC的中点,

.\A£=D£=AAD,EF=CF=LCE,BD=DC=LBC,

222

•..△ABC的面积等于36,

S"BD=SMCD=ySAABC=18,

===

S/^ABES^BEDS△黜口=9，S/\AEC=SACDE=—•$AACD9,

S^BEC—SABDE+SACDE—9+9=18,

:.SABEF=SABCF=XNEC=工x18=9,

22

故答案为：9.

A.三角形内角和定理(共7小题)

26.已知△ABC,

(1)如图1,若P点是/ABC和/AC8的角平分线的交点，则NP=90°+lzA；

2

(2)如图2,若尸点是NABC和外角NACE的角平分线的交点，则/尸=90°-ZA；

(3)如图3,若尸点是外角/CB尸和NBCE的角平分线的交点，则/尸=90°-IzA.

2

【答案】c

【解答】解：(1)若尸点是/ABC和NAC3的角平分线的交点,

则ZPCB=^ZACB

22

则(ZABC+ZACB)=A(180°-NA)

22

在△BCP中利用内角和定理得到：

ZP=180-(NPBC+NPCB)=180-A(180°-/A)=90°+AZA,

22

故成立；

(2)当△ABC是等腰直角三角形，/A=90°时，结论不成立；

(3)若尸点是外角/C2F和/2CE的角平分线的交点，

则(180°-ZABC)=90°-1ZABC,

222

ZBCP=l.ZBCE=90o-AZACB

22

：.ZPBC+ZBCP=1SO°-A(ZABC+ZACB)

2

XVZABC+ZACB=180°-ZA

：.ZPBC+ZBCP=9Q°+1ZA,

2

在△BCP中利用内角和定理得到：

ZP=180-CZPBC+ZPCB)=180-A(180°+ZA)=90°-AZA,

22

故成立.

说法正确的个数是2个.

故选：C.

27.如图，在第1个△A8A1中，ZB=40°,ZBAAi=ZBAiA,在Ai2上取一点C,延长

A41到A2,使得在第2个△4C42中，NAICA2=ZA1A2C；在A2c上取一点D,延长AiAi

到A3,使得在第3个△A2D43中，ZA2DA3=ZA2A3D；按此做法进行下去，第3个

三角形中以加为顶点的内角的度数为17.5°；第n个三角形中以4为顶点的底角的

度数为迎

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：在△A2A1中，ZB=40°,AB=AiB,

：.ZBAiA=A(180°-ZB)=工(180°-40°)=70°,

22

VAIA2=AIC,ZBAIA是△41A2c的外角，

.\ZCA2AI=AZBAIA=AX70°=35°；

22

同理可得，ZDA3A2=AX70°=17.5°,Z£A4A3=AX70°,

48

以此类推，第"个三角形的以4为顶点的底角的度数=型丁.

2kl

故答案为：17.5°,生丁.

2nH

28.己知：如图1,线段A3、C。相交于点。，连接A。、CB,我们把形如图1的图形称之

为“8字形”，试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出/A、/B、NC、/£＞之间的数量关系NA+ND=NC+/

(2)在图2中，若ND=40°,/B=36°,/D4B和/BC。的平分线AP和CP相交

于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,利用(1)的结论，试求NP的度数；

(3)如果图2中/。和为任意角时，其他条件不变，试问/P与NB之间存

在着怎样的数量关系？并说明理由.

D

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：ZA+ZD=ZC+

NB；

故答案为：ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)由(1)可知，Z1+ZD=ZP+Z3,①

Z4+ZB=Z2+ZP,②

•/ZDAB和NBCO的平分线AP和CP相交于点P,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

由①+②得：Z1+ZD+Z4+ZJB=ZP+Z3+Z2+ZP,

即2NP=ND+NB,

又：/。=40°,ZB=36°,

.•.2/P=40°+36°=76°,

.*.ZP=38°；

(3)/P与ND、N2之间存在的关系为2/尸=/。+/艮

VZ1+ZD=ZP+Z3,①

Z4+ZB=Z2+ZP,②

•；/DAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,

.*.Z1=Z2,Z3=Z4,

由①+②得：Z1+ZD+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,

即2NP=/D+/B.

29.同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解

答：

(1)如图1,/a和具有怎样的数量关系？请说明理由；

(2)如图2,ZDFC的平分线与/EGC的平分线相交于点Q,求/PQG的大小；

(3)如图3,点尸是线段上的动点(不与A,。重合)，连接PRPG,NDFP+NFPG

ZEGP

【答案】（1）a+0=9O°,理由详见解答过程.

（2）135°.

⑶不变，

【解答】解：（1）如图1,延长AM交EG于

Zp+Za=90°,理由如下：

由题意知：DF//EG,NACB=90°.

：.Za=ZGMC,ZACB=ZGMC+ZCGM=90°.

：NEGB和NCGM是对顶