苏科版七年级数学上册难点探究：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型（原卷版）

专题14难点探究专题:利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模

型全攻略

咆

宁甜【考点导航】

目录

【典型例题】.............................................................................1

【类型——元一次方程的应用一古代问题】...................................................1

【类型二一元一次方程的应用一销售问题】...................................................3

【类型三一元一次方程的应用一方案问题】...................................................6

【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】............................................9

【类型五一元一次方程的应用一数轴上的行程问题】.........................................12

【典型例题】

【类型——元一次方程的应用一古代问题】

例题：（2023秋•辽宁锦州•七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》

卷记载了一道有趣的数学问题："今有凫（读加，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今

凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现

野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？

【变式训练】

1.（2022•江西新余•统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的"荡杯问题"很有

趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客.津吏曰：客几何？妇

人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.不知客几何？译文："2人同吃一碗饭，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？"设共有客人x人，可列方程为.

2.（2023秋•七年级课时练习）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一.其内容为：一位妇人在河

边洗碗.津吏问道："为什么要洗这么多碗？”妇人回答："家里来客人了."津吏问："有多少客人？”妇人回

答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗."共有位客人.

3.（2023秋•陕西西安•七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，"今

有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？"题意是：若干人共同出资买羊，每人出

6元，则差45元；每人出8元，则差3元.则买单的人有个.

4.（2023秋•七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一

道"以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几

何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果

将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺.绳长和井深各多少尺？

5.（2023春・福建福州•七年级统考开学考试）在数学课上，同学们分组讨论解决下列问题的方法.

《孙子算经》中有这样一个问题："今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？"这个题

的意思是：今有若干人乘车.若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，

间共有多少辆车，多少人？

6.（2023・安徽六安•统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载："今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？"大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗

谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？

7.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3~4世纪）,是代数学的创始人之一.在

他的墓碑上记载着："他生命的!是幸福的童年；再活了他生命的占，两被长起了细细的胡须；又度过了一

612

生的g,他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，

他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了.”

(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁，儿子的寿命为

岁；

(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？

【类型二一元一次方程的应用一销售问题】

例题：(2023春,贵州毕节•七年级统考期末)2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节"在岩孔贡茶古镇举

行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约.其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品.已知甲种

茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元.若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件,

共需要700元.

⑴求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元？

(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件.在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110

元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为30%,求每件乙种茶叶商品的售价是多少元？

【变式训练】

1.(2023秋•福建福州•七年级统考期末)列方程解应用题：

某商场经销甲、乙两种服装.甲种服装每件进价250元，售价400元；乙种服装每件进价400元，售价600

元.

⑴销售甲种服装每件利润为元，销售乙种服装每件利润率为

⑵该商场同时购进甲、乙两种服装共50件，总进价恰好为17000元，求商场销售完这批服装共盈利多少？

（3）在元旦当天，该商场实行“每满300元减100元”的优惠活动（比如某顾客购物300元，他只需付款200

元，购物1000元，他只需付款700元），后又加推，晚上八点后，先打折再参与"每满300元减100元”的活

动，张女士想买一件标价为1600元的羽绒服，细心的张女士发现，打折后价格在1200元到1440元之间，

如果在晚上八点后购买，可以再便宜92元，求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加满减活

动？

2.（2023秋•广西南宁•七年级南宁市天桃实验学校校考期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视

机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种

每台2500元.

⑴若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？

（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可

获利250元.试问：同时购进网型不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？

为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由.

3.（2023秋•湖北随州•七年级统考期末）为响应"把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召，某农业科技公

司对A,B两种玉米进行实验种植对比研究.去年A,8两种玉米分别种植了5亩、10亩，收获后通过测算，

A种玉米平均亩产量为400千克，2种玉米平均亩产量比A种高25%,A,2两种玉米以相同价格全部售出

后总收入为25200元.

⑴求去年A,8两种玉米的售价为多少？

（2）今年科技公司优化了玉米的种植方法，在A,B两种玉米均保持去年种植面积不变的情况下，预计A,B

两种玉米平均亩产量将在去年的基础上分别增加。％和2a%,而A种玉米的售价保持不变，B种玉米的售价

将在去年的基础上下降10%.已知A,8两种玉米全部售出后总收入在去年的基础上将增加ga%,求。的

值.

4.（2023秋•江苏盐城•七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中

小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本

学期剩余时间全部进行线上教学.七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的

标价为90元/副，优惠活动如下：

销售量单价

不超过10副的部分每副立减14元

超过10副但不超过20副的部分每副立减22元

超过20副的部分每副立减30兀

⑴①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了兀；

②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了兀；

③若该班级家委会购买了x（x>20）副这种防蓝光眼镜，花了元；（用含尤的代数式表示）

⑵若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量.

5.（2023秋•四川成都•七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，

某经销商销售带有"蓉宝"吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念

品共需要4300元.已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：

种类种类进价（元/件）售价（元/件）

甲a80

乙a+2090

⑴甲、乙两种纪念品每件进价各多少元?

⑵经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润=售价一进价）为4700元，求

甲类和乙类纪念品分别购进多少个?

⑶经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优

惠了20%,甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求

甲类纪念品打了几折?

【类型三一元一次方程的应用一方案问题】

例题：（2023秋•河南省直辖县级单位•七年级校联考期末）按照"双减"政策，为丰富课后托管服务内容，学

校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元.某体育用品

商店提供A、8两种优惠方案：

A方案：买一个篮球送一条跳绳；

8方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款.

已知要购买篮球50个，跳绳无条（x>50）

⑴若按A方案购买，一共需付款兀（用含尤的代数式表示）；若按2方案购买，一共需付款

元（用含尤的代数式表示）.

⑵购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？

（3）当x=100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元?

【变式训练】

1.（2023秋•江西吉安•七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、

乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人.经了解，该风景区的门票

价格如下表：

数量（张）1-5051〜100101张及以上

单价（元/张）60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.

⑴甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

（2）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购

买门票才能最省钱？

2.（2023秋•海南省直辖县级单位•七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（x>20）,现从

48两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元.A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；

2超市的优惠政策为所有商品八折.

⑴若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是元（用含x的式子表示），到8超市购

买费用是元（用含x的式子表示）；

（2）在（1）的条件下，当购买书架尤多少只时？到A、B两家超市购买费用相等.

（3）学校要购买20张书柜和60只书架.

①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是元，到B超市购买费用是一元；

②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并

求出购买费用是多少元？

3.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完

成全自主快速交会对接.中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留.正式开启了

中国空间站常态化运营的新篇章.中国空间站模型在某商店价格规定如下表：

购买数量50套51?套100套以上

每套价格13元11元9元

某校七年级（1）班和（2）班共104人计划购买模型，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两

个班以班为单位每人购买一套，则一共应付1240元，问：

⑴两班各有多少学生？

⑵如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？

⑶如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？

4.（2023秋・湖北武汉•七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法:

月使用费/元主叫限定时间/加〃主叫超时费/（元/加几）被叫

A套餐381000.2免费

8套餐985000.25免费

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费.

⑴小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省元.

（2）小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择3套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸

主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间.

⑶设主叫时间为f分钟，直接写出f满足什么条件时，8套餐省钱.

【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】

例题：（2023秋•七年级课时练习）目前，某市“一户一表"居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下.

一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）

第1档不超过180度的部分0.5

第2档超过180度的部分0.6

⑴若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费元.

（2）若该市某户12月用电量为无度，请用含x的式子分别表示04x4180和x>180时该户12月应交电费多少

元.

（3）若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？

【变式训练】

1.（2023秋•福建福州•七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行"阶梯电价"收费，收费标

准如下表：

每户每月用电量（度）电费（元/度）

不超过200度0.5

超过200度且不超过500度的部分0.6

超过500度的部分0.8

⑴小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？

⑵小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为0.64元/度，求小明家今年7月份用电多少度?

2.（2023秋•江苏•七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示:

计费方法A计费方法8

每月基本服务费（元/月）68元98元

每月免费通话时间（分）200分500分

超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元

⑴若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为

兀；

⑵若月通话时间是x分钟（x>500）,则按48两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含尤的代数式表

示）

⑶当通话时间为多长时，按A、8两种计费方法所需的用户话费相等?

3.（2023秋•四川成都・七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温

天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻.已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，

规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：

价目表

每月用电量价格

不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时

超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时

超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时

⑴若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；

⑵若小明家8月份用电。千瓦时（其中。＞280）,则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）

⑶若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时.

4.（2023秋•河南新乡•七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的

手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，n?表示立方米）,

请根据表中的内容解答下列问题：

每月用水量价格

价不超出12m3的部分2.5元/m3

目超出12m3不超出20m3的部分4元/n?

表超出20m3的部分7.5元/n?

⑴若某用户9月份用水lOn?,则应交水费元；

⑵若该用户10月份应收水费77元，则用水m3;

（3）若该用户11月份和12月份两个月共用水40m3（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水;m?,

求该用户11J2两个月各交水费多少元.（用含无的代数式表示，并化简）

5.（2023春•浙江杭州•七年级校考阶段练习）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的

80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额:

消费金额(元)小于或等于500元500—10001000—15001500以上

返还金额(元)060100150

注：500〜1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同.

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金

额为960元，获得的优惠额为1200x(1—80%)+60=300(元).

⑴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)若顾客在该商场购买一件标价尤元(x>1250)的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？(用含有x的代

数式表示)

(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元(龙〉1250)的商品后,第二次又购买了一件标价为800元的商品,

两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？

【类型五一元一次方程的应用一数轴上的行程问题】

例题：(2023秋•全国•七年级课堂例题)［应用意识］如图，数轴上42两点所表示的数分别为-5,10,。为原点，

C为数轴上一动点且表示的数为》.点尸以2个单位长度/秒的速度，点。以3个单位长度/秒的速度，分别

自A,2两点同时出发，相向而行，在数轴上运动.设运动时间为f秒.

AOB

($io~

⑴若点P,。在点C处相遇，求点C所表示的数尤；

(2)若OP=OQ,求t的值；

(3)当尸Q=5时，求/的值；

(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点B出发，与点尸相向而行，宠物鼠遇到点尸后立即返回，

又遇到点2后立即返回，又遇到点尸后立即返回......直到点尸,。相遇为止.求宠物鼠在整个过程中所经过的

路程.

【变式训练】

1.(2023秋・广西桂林•七年级统考期末)如图，点。为数轴原点，点A、B、C都在数轴上，AO=2BO.已

知点A表示的数为-30.

ACOB

।ii1A

-300

⑴直接写出点B表示的数；

(2)一动点尸从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点。同时从点B出发,

以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q两点恰好在点C相遇，求点C表示的数.

(3)在(2)的条件下，当点P分别到A、B、C三点的距离之和为68个单位长度时，求点P的运动时间.

2.(2023春•黑龙江哈尔滨•六年级校考期中)己知数轴上点A、点8对应的数分别为。、b,满足

|a+4|+(b-=0

---------1--------1-------------1--------->>

A0B

---------1--------1-------------1---------A

A0B

---------1--------1-------------«---------A

AQB

⑴a=,b=；

(2)若点E以每秒5个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动，点F以每秒2个单位长度的速度从点B出

发沿数轴向右运动，求点E、点尸同时出发，几秒后点E与点尸相距4个单位长度？

(3)在(2)的条件下，点P以每秒4个单位长度的速度从原点出发沿数轴向右运动，求点E、点/、点P同

时出发，几秒后点尸到点E的距离与点尸到点F的距离相等?

3.（2023秋,陕西西安•七年级统考期末）问题提出：

（1）如图，点AC在数轴上表示的数分别是a,c,且满足卜+12|+（。-10）2=0,贝lja=,c=.

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