苏科版七年级数学上册难点探究：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型（解析版）

专题14难点探究专题:利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模

型全攻略

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目录

【典型例题】.............................................................................1

【类型——元一次方程的应用一古代问题】...................................................1

【类型二一元一次方程的应用一销售问题】...................................................5

【类型三一元一次方程的应用一方案问题】..................................................12

【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】...........................................18

【类型五一元一次方程的应用一数轴上的行程问题】.........................................25

【典型例题】

【类型——元一次方程的应用一古代问题】

例题：（2023秋•辽宁锦州•七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》

卷记载了一道有趣的数学问题："今有凫（读加，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今

凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现

野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？

【答案】整天

16

【分析】首先设经过X天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭X天的路程+大雁X天的路程=1,再根据等量

关系列出方程，再解即可.

【详解】解：设经过X天相遇，

根据题意，得回

解得:彳=:

16

答：经过77天相遇.

16

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程.

【变式训练】

1.（2022•江西新余•统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的"荡杯问题"很有

趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客.津吏曰：客几何？妇

人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.不知客几何？译文："2人同吃一碗饭，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？"设共有客人x人，可列方程为.

【答案】‘无+,无+!％=65

234

【分析】设共有客人x人，根据"2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方

程即可.

【详解】解：设共有客人x人，

木艮据题意，得（x+：x+Jx=65.

故答案为：Jx+g尤+；尤=65.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系列出方程.

2.（2023秋•七年级课时练习）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一.其内容为：一位妇人在河

边洗碗.津吏问道："为什么要洗这么多碗？”妇人回答："家里来客人了."津吏问："有多少客人？”妇人回

答："每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗.”共有_____位客人.

【答案】60

【分析】设共有尤个客人，根据“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用

65只碗.”列出方程，解方程即可.

【详解】解：设共有x个客人，根据题意得：

111

—XH--尤H--尤=65,

234

解得：x=60,

即共有60个客人.

故答案为：60.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，

找出合适的等量关系列出方程.

3.（2023秋•陕西西安•七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，"今

有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出

6元，则差45元；每人出8元，则差3元.则买单的人有个.

【答案】21

【分析】设买单的人有x个，根据每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元，列出方程，解方程即

可.

【详解】解：设买单的人有了个，根据题意得：

6x+45=8x+3,

解得：x=21,

即买单的人有21个，

故答案为：21.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程.

4.（2023秋•七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一

道"以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几

何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果

将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺.绳长和井深各多少尺？

【答案】绳子长为36尺，井深8尺

【分析】设井深为x尺，则根据"将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺"即可列出方程求解.

【详解】设绳子长工尺，

依题意得=J无一1,解得A36,

34

所以g尤-4=gx36—4=8.

答：绳子长为36尺，井深8尺.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程.

5.（2023春•福建福州•七年级统考开学考试）在数学课上，同学们分组讨论解决下列问题的方法.

《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？"这个题

的意思是：今有若干人乘车.若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，

问共有多少辆车，多少人？

【答案】共有15辆车，39人

【分析】设共有x辆车，找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题.

【详解】解：设共有X辆车，依题意得

3（x-2）=2x+9

3x-6=2x+9

x=15

3（x-2）=3（15-2）=39

答:共有15辆车，39人.

【点睛】考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键.

6.（2023•安徽六安•统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载："今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？"大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗

谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？

【答案】清酒2斗，醐酒有2斗.

【分析】设清酒x斗，则醐酒有（4-“斗.根据"拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于尤的方程，

解之可得答案.

【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有（4-x）斗.

根据题意，得8x+2（4-x）=20,

团x=2,

x-2=2.

答：清酒2斗，醐酒有2斗.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列

出方程.

7.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3〜4世纪）,是代数学的创始人之一.在

11

他的墓碑上记载着："他生命的2是幸福的童年；再活了他生命的石,两萩长起了细细的胡须；又度过了一

612

生的。，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，

他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了.”

⑴设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁,儿子的寿命为

岁；

⑵用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？

【答案】⑴借x+5），?

⑵丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁

【分析】（1）根据他生命的J是幸福的童年；再活了他生命的」，两萩长起了细细的胡须；又度过了一生

612

的他结婚了；再过5年，他有了儿子列式即可，再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式；

（2）设丢番图的寿命为尤岁，则根据题中的描述他的年龄的童年+生命的+5年+儿子的年龄

6127

M年，可列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁，

根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为工了+石彳+三尤+5=二尤+5岁，儿子的寿命为:x岁，

o12/154）2

故答案为：（青+5），卜；

（2）设丢番图的寿命为x岁，

根据题意得：%=—XHXHX+5HX+4,

61272

解得：x=84,

当尤=84时，可得儿子的寿命为LX=」X84=42,

22

答：丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢

番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解.

【类型二一元一次方程的应用一销售问题】

例题：（2023春•贵州毕节•七年级统考期末）2023年4月16日至18日"金沙贡茶文化节"在岩孔贡茶古镇举

行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约.其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品.已知甲种

茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元.若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，

共需要700元.

⑴求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元？

⑵该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件.在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110

元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为30%,求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?

【答案】⑴甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,100元

⑵每件乙种茶叶商品的售价是121元

【分析】(1)设甲种茶叶商品每件的进价为无元，则乙种茶叶商品每件的进价为(x+20)元，由题意知,

5x+3(x+20)=700,计算求解，然后作答即可；

(2)设每件乙种茶叶商品的售价是。元，由题意知，("80)x3(X)+ST0())x2()()xioo%=3o%,计算求

80x300+100x200

解即可.

【详解】(1)解：设甲种茶叶商品每件的进价为x元，则乙种茶叶商品每件的进价为(x+20)元,

由题意知，5x+3(x+2。)=7。。,

解得x=80,

0.x+2O=lOO(元),

回甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,100元;

(2)解：设每件乙种茶叶商品的售价是。元,

(110-80)x300+(^-100)x200

由题意知,x100%=30%,

80x300+100x200

解得，a=121,

团每件乙种茶叶商品的售价是121元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于对知识的熟练掌握.

【变式训练】

1.(2023秋・福建福州•七年级统考期末)列方程解应用题：

某商场经销甲、乙两种服装.甲种服装每件进价250元，售价400元；乙种服装每件进价400元，售价600

兀.

⑴销售甲种服装每件利润为元，销售乙种服装每件利润率为.

⑵该商场同时购进甲、乙两种服装共50件，总进价恰好为17000元，求商场销售完这批服装共盈利多少？

⑶在元旦当天，该商场实行“每满300元减100元"的优惠活动(比如某顾客购物300元，他只需付款200

元，购物1000元，他只需付款700元)，后又加推，晚上八点后，先打折再参与"每满300元减100元”的活

动，张女士想买一件标价为1600元的羽绒服，细心的张女士发现，打折后价格在1200元到1440元之间，

如果在晚上八点后购买，可以再便宜92元，求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加满减活

动？

【答案】⑴150,50%

（2）9000元

（3）先打八八折之后再参加满减活动

【分析】（1）根据"利润率=（售价-进价）+进价"和"售价+（1+利润率）=进价"列式计算求解；

（2）设购进甲种服装x件，根据总进价为17000元列方程求解，从而求得总利润；

（3）设商场晚上八点后打y折之后再参加活动，根据在八点后购买，可以便宜92元，列方程求解.

【详解】（1）销售甲种服装每件利润为：400-250=150元

销售乙种服装每件利润率为：（600-400）-400=200-400=50%

故答案为：150,50%,

（2）解:设该商场购进甲服装x件，则购进乙服装（50-x）件.根据题意得

250%+400（50—x）=17000

解得x=20

.-.50-x=30

.•.20x（400-250）+30x（600-400）=9000（元）

答：商场销售完这批服装共盈利9000元.

（3）设商场晚上八点后推出的是先打y折之后再参加满减活动.根据题意得

1600X上-400=1600-500-92

10

解得y=8.8

答：商场晚上八点后推出的活动是先打八八折之后再参加满减活动.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用（销售问题），找准题目间的等量关系列出方程是解题关键.

2.（2023秋・广西南宁•七年级南宁市天桃实验学校校考期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视

机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种

每台2500元.

⑴若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？

⑵若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可

获利250元.试问：同时购进画种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？

为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由.

【答案】⑴购甲种电视机25台，乙种电视机25台

（2）2种方案，即方案一：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购甲种电视机35台，丙种电视

机15台；应该选择方案二，即购买甲种电视机35台，丙种电视机15台，获利最多

【分析】（1）设购甲种电视机x台，乙种电视机（50-%）台，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；

（2）根据题意分3种情况，分别列出一元一次方程求解，即可得出具体的方案，分别计算出各方案的利润，

然后判断出获利最多的方案.

【详解】（1）设购甲种电视机x台，乙种电视机（50-x）台.

列方程得，1500%+2100（50-x）=90000,

解得x=25,50-x=50-25=25,

团购甲种电视机25台，乙种电视机25台；

（2）分三种情况计算：

①只购买甲、乙两种电视机，根据（1）可知，购甲种电视机25台，乙种电视机25台；

②设购甲种电视机y台，丙种电视机（50-y）台.

贝口500y+2500（50-y）=90000,

解得：y=35,50-y=50-35=15

团购甲种电视机35台，丙种电视机15台；

③设购乙种电视机z台，丙种电视机（50-z）台.

贝I」2100z+2500（50-z）=90000

解得：z=87.5,50-87.5=-37.5<0（不合题意，舍去）；

即进货方案有两种，方案一：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购甲种电视机35台，丙种

电视机15台；

方案一：25x150+25x200=8750.

方案二：35x150+15x250=9000元.

08750<9000,

团购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，关键是正确理解题意，找出题目

中的等量关系，列出方程.

3.(2023秋•湖北随州•七年级统考期末)为响应"把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召，某农业科技公

司对43两种玉米进行实验种植对比研究.去年42两种玉米分别种植了5亩、10亩，收获后通过测算，

A种玉米平均亩产量为400千克，2种玉米平均亩产量比A种高25%,A,8两种玉米以相同价格全部售出

后总收入为25200元.

⑴求去年A,B两种玉米的售价为多少？

⑵今年科技公司优化了玉米的种植方法，在A，8两种玉米均保持去年种植面积不变的情况下，预计A,B

两种玉米平均亩产量将在去年的基础上分别增加。％和2a%,而A种玉米的售价保持不变，B种玉米的售价

将在去年的基础上下降10%.已知A,8两种玉米全部售出后总收入在去年的基础上将增加^a%,求。的

值.

【答案】(1)3.6元/千克

⑵10

【分析】(1)根据题中的总收入=A种玉米的收入+5种玉米的收入列方程计算即可；

(2)分别用含。的代数式表示题中的产量变化，总收入变化，利用总收入=A种玉米的收入+8种玉米的

收入的数量关系列方程计算即可.

【详解】(1)解：设去年48两种玉米的售价为尤元/千克.

依题意得，［5x400+10*400x(1+25%)1x=25200

解得，x=3.6

答：去年玉米的售价为3.6元/千克.

(2)解:依题意得：B种玉米平均亩产量为：400x(1+25%)=500(千克)

5x400x(l+a%)x3.6+10x500x(l+2«%)x3.6x(l-10%)=25200x^l+|a%^

解得：＜7=10.

答：”的值为10.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握提取题中数量关系并列方程是解决本题的关键.

4.(2023秋・江苏盐城•七年级校考期末)根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中

小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本

学期剩余时间全部进行线上教学.七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的

标价为90元/副，优惠活动如下：

销售量单价

不超过10副的部分每副立减14元

超过10副但不超过20副的部分每副立减22元

超过20副的部分每副立减30元

⑴①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了元；

②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了兀；

③若该班级家委会购买了20）副这种防蓝光眼镜，花了兀；（用含x的代数式表示）

⑵若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量.

【答案】⑴①152,②1100,③（60x+240）

（2）25副

【分析】（1）①根据购买"不超过10副"确定优惠条件，并列式计算；②根据购买“超过10副但不超过20

副"确定优惠条件，并列式计算；（3）购买了x（x>20）副这种防蓝光眼镜，根据根据销售量“不超过10台

的部分"、"超过20台的部分"确定优惠条件，然后列出代数式;；

（2）设购买了尤副这种防蓝光眼镜，需要对销售量分三种情况进行讨论.

【详解】（1）①（90—14）x2=152（元），

故答案为：152；

（2）（90-14）x10+（15-10）x（90-22）=1100（:元），

故答案为：1100；

（3）（90-14）x10+（20-10）x（90-22）+（%-20）x（90-30）=（60x+240）（元）

故答案为：（60X+240）

（2）设他们购买了x副防蓝光眼镜，

①当0<xW10时，均价76元，不合题意，舍去；

②当10<xW20时，68（x-10）+760=69.6x

解之得，x=50,不在范围内，舍去;

③当x>20时，240+60x=69.6x

解之得，x—25

答：他们购买了25副防蓝光眼镜.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

5.（2023秋•四川成都•七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，

某经销商销售带有“蓉宝"吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念

品共需要4300元.已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：

种类种类进价（元/件）售价（元/件）

甲a80

乙a+2090

⑴甲、乙两种纪念品每件进价各多少元？

⑵经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润=售价一进价）为4700元，求

甲类和乙类纪念品分别购进多少个？

⑶经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优

惠了20%,甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求

甲类纪念品打了几折？

【答案】（1）甲纪念品每件进价50元，乙纪念品每件进价70元

⑵甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个

（3）甲类纪念品打了8折

【分析】（1）根据题意列出关于。的一元一次方程，解方程即可求解；

（2）设甲类尤个，则乙类（200-x）个，根据题意列出关于》的一元一次方程，解方程即可求解；

（3）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解.

【详解】（1）由题意得：30。+40（。+20）=4300,

解得：a—50（兀），

0o+20=70（元）.

答：甲纪念品每件进价50元，乙纪念品每件进价70元.

（2）设甲类x个，则乙类（200-力个,

由题意得：（8。-50）尤+（90-70）（200-尤）=47。。，

解得：x=70（个），

02OO-x=13O（个），

答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个.

（3）设甲类打y折，由题意得：70^80x^-50x80%^|+130（90-70x80%）=4700+1400,

解得：>=8.

答：甲类纪念品打了8折.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键.

【类型三一元一次方程的应用一方案问题】

例题：（2023秋•河南省直辖县级单位•七年级校联考期末）按照"双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学

校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元.某体育用品

商店提供A、B两种优惠方案：

A方案：买一个篮球送一条跳绳；

B方案:篮球和跳绳都按定价的90%付款.

己知要购买篮球50个，跳绳x条（x>50）

⑴若按A方案购买，一共需付款兀（用含尤的代数式表示）;若按2方案购买，一共需付款

元（用含x的代数式表示）.

⑵购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？

⑶当x=100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？

【答案】⑴（300。+10”,（3150+9%）

⑵购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多

⑶按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按8方案购买，付款3950元

【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：50x70+（x-50）xl0,在按2方案购买可列式：（50x70+10%）x0.9;

（2）由（1）列等式求解即可；

（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，

8方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按2方案购

买，计算出所需付款金额，进行比较即可.

【详解】（1）解:A方案购买可列式：50x70+（x-50）xl0=3000+10x元；

按B方案购买可列式：（50x70+10x）x0.9=（3150+9x）元；

故答案为：（3000+10”,（3150+9%）；

（2）由（1）可知,

当4B两种方案所需要的钱数一样多时，

BP3000+10%=3150+9%

解得x=150.

答：购买150根跳绳时，A、8两种方案所需要的钱数一样多.

（3）当x=100时,

按A方案购买需付款：3000+10x=3000+10xl00=4000（元）；

按2方案购买需付款：3150+9x=3150+9xl00=4050（元）；

按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：

50x70+10x50x90%=3500+450=3950（:元）；

03950<4000<4050,

回省钱的购买方案是：

按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按2方案购买，付款3950元.

【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题

的能力.

【变式训练】

1.（2023秋•江西吉安•七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、

乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人.经了解，该风景区的门票

价格如下表：

数量（张）1-5051〜100101张及以上

单价（元/张）60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.

⑴甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

⑵如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购

买门票才能最省钱？

【答案】⑴甲单位有62人，乙单位有40人

⑵甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱

【分析】（1）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102-尤）人，根据“如果两单位分别单独购买

门票，一共应付5500元〃建立方程求出其解即可；

（2）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票.分别

求出三种方案的付费，比较即可求解.

【详解】（1）解：设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102-x）人.

依题意得：50x+60x（102-x）=5500,

解得：x=62.

则乙单位人数为：102-x=40.

答：甲单位有62人，乙单位有40人；

（2）解：•.•甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，

二甲单位外出游玩的人数有62-12=50人，

方案一：各自购买门票需50x60+40x60=5400（元）；

方案二：联合购买门票需（50+40）x50=4500（元）；

方案三：联合购买101张门票需101x40=4040（元）；

综上所述：因为5400>4500>4040.

故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱♦

【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比

较的运用，设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键.

2.（2023秋•海南省直辖县级单位•七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（x>20）,现从

4、8两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元.A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；

8超市的优惠政策为所有商品八折.

⑴若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是元（用含x的式子表示），到B超市购

买费用是元（用含x的式子表示）；

（2）在（1）的条件下，当购买书架尤多少只时？到A、B两家超市购买费用相等.

⑶学校要购买20张书柜和60只书架.

①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是元，到8超市购买费用是元；

②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并

求出购买费用是多少元？

【答案】(1)(80%+4400),(64%+4800)

(2)25只

(3)(1)9200,8640②8560元

【分析】(1)根据两个超市的优惠政策列代数式即可；

(2)根据购买费用相等以及(1)题中的代数式列方程求解即可；

(3)①将书架数量为60分别代入(1)题中的代数式求解即可；②选择最便宜的方案后再代入计算即可.

【详解】(1)解：A超市：由题意得，在A超市只需买20张书柜及(x-20)只书架，

0A购买费用为：20x300+80(%—20)=6000+80^-1600=(80%+4400)元

B超市费用为：20x300x0.8+80x0.8x%=(4800+64x)TE

故答案为：(80元+4400),(64%+4800)

(2)解：由题意得：80%+4400=64%+4800

解得：x=25,

答：购买25只书架时，到A、B两家超市购买费用相等.

(3)①解：将x=60代入80x+4400

得80x60+4400=9200元

将x=60代入64X+4800

得64x60+4800=8640元

故答案为：9200,8640；

②到A超市购买20个书柜(赠送20个书架)，到2超市购买40只书架

20x300+80x(60—20)x0.8=8560元.

答:购买费用是8560元.

【点睛】本题主要考查列代数式以及一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解决本题的关

键.

3.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完

成全自主快速交会对接.中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留.正式开启了

中国空间站常态化运营的新篇章.中国空间站模型在某商店价格规定如下表：

购买数量$0套51?套100套以上

每套价格13元11元9元

某校七年级（1）班和（2）班共104人计划购买模型，其中（1）班有40

多人，不足50人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付1240元，问:

⑴两班各有多少学生？

⑵如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？

⑶如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？

【答案】⑴（1）班有学生48名，（2）班有学生56名；

（2）两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省304元；

⑶组织（1）班去购买51套模型最省钱.

【分析】（1）由（1）班人数确定（2）班人数在51?范围内，且每套售价11元，依题意列方程求解即

可；

（2）两班共104人，超过100,计算出1240-104x9即为所省的钱；

（3）计算出51套模型的钱数与实际比较即可.

【详解】（1）因为（1）班有40多人，所以根据题意可知，（2）班人数在51?范围内，且每套售价11元.

设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生.

13x+ll（104-x）=1240

解得：x=48

104-x=56

答：班有学生48名，（2）班有学生56名.

（2）1240-104x9=1240-936=304（元）

答：如果两班联合起来，作为一个团体购买，可省304元.

（3）因为（1）班有48名学生，

正常花费13x48=624元；

而买51套模型则花费11x51=561元，

624-561=63元，

所以，组织（1）班去购买51套模型最省钱.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是正确建立方程求解，结合题意分析比较.

4.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法：

月使用费/元主叫限定时间/加〃主叫超时费/（元加）被叫

A套餐381000.2免费

8套餐985000.25免费

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费.

⑴小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用8套餐节省元.

⑵小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择2套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸

主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间.

⑶设主叫时间为f分钟，直接写出/满足什么条件时，8套餐省钱.

【答案】⑴40

（2）400分或900分

（3）400<r<900

【分析】（1）根据"A套餐套餐"的计费方式，分别求得通话时间200分钟时的计费，再进行比较即可得

出结论；

（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为无分，分另IJ讨论若100<尤4500和x>500,根据"A套餐""3套餐"

的计费方式，列出关于x的一元一次方程，解之即可，

（3）根据（2）所求即可得出结论.

【详解】（1）根据题意得：

0200>100

0A套餐需交费：38+(200-100)x0.2=58(元)，

0200<500

0B套餐需交费98元

所以，选用A套餐比选用B套餐节省的费用为：98-58=40(元)

故答案为：40；

(2)设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分，

若100<xW500,根据题意得：

38+(%—100)x0.2=98,

解得：％=400,

若x>500,根据题意得：

38+(x-100)x0.2=98+(x-500)x0.25,

解得：x=900,

综上所述，小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分

(3)当400</<900,选择8套餐省钱

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，正确掌握分类讨论思

想是解题的关键.

【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】

例题：(2023秋•七年级课时练习)目前，某市“一户一表"居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下.

一户居民一个月用电量(单位：度)电价(单位：元/度)

第1档不超过180度的部分0.5

第2档超过180度的部分0.6

⑴若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费元.

⑵若该市某户12月用电量为x度，请用含x的式子分别表示04x4180和尤>180时该户12月应交电费多少

元.

⑶若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度?

【答案】⑴102

⑵当0VXW180时，该户12月应交电费为0.5尤元；当x>180时，该户12月应交电费为Q6x-18）元；

⑶该户12月用电量为240度

【分析】（1）根据总价=单价x数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；

（2）分04x（180及x>180两种情况，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；

（3）由（1）可得出x>180,结合（2）的结论即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】（1）解：0.5x180+0.6x（200-180）,

=0.5x180+0.6x20,

=90+12,

=102（元）.

故答案为：102.

（2）解：当04尤4180时，该户12月应交电费为0.5x元；

当尤>180时，该户12月应交电费为0.5xl80+0.6（x—180）,

=90+0.6%-108,

=（0.6x—18）（元）.

（3）解:­.-102<126,

x>180,

.,.0.6x—18=126,

x=240.

答：该户12月用电量为240度.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各

数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；（3）

找准等量关系，正确列出一元一次方程.

【变式训练】

1.（2023秋•福建福州•七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行"阶梯电价"收费，收费标

准如下表:

每户每月用电量（度）电费（元/度）

不超过200度0.5

超过200度且不超过500度的部分0.6

超过500度的部分0.8

⑴小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？

⑵小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为0.64元/度，求小明家今年7月份用电多少度？

【答案】（1）3月份应缴电费166元

（2）7月份用电750度

【分析】（1）根据题意列算式求解即可；

（2）设7月份用电x度，依题意可得x>500,进而列一元一次方程求解即可.

【详解】（1）解：0.5x200+0.6x（310-200）=166（元），

答：3月份应缴电费166元.

（2）解：设7月份用电x度,依题意可得x>500,

则0.5x200+0.6x（500-200）+0.8x（%-500）=0.64x,

解得x=750,

答：7月份用电750度.

【点睛】本题考查有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式和方程是

解答的关键.

2.（2023秋•江苏•七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：

计费方法A计费方法8

每月基本服务费（元/月）68元98元

每月免费通话时间（分）200分500分

超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元

⑴若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为

兀；

(2)若月通话时间是尤分钟(x>500),则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？(用含尤的代数式表

示)

⑶当通话时间为多长时，按A、8两种计费方法所需的用户话费相等？

【答案】⑴93；98；

(2)按A种计费方法的用户话费为(0.25x+18)元，按8种计费方法的用户话费为(0.2x-2)元；

⑶当通话320分钟时，按A、8两种计费方法所需的用户话费相等

【分析】(1)根据题意和表格中的数据，可以计算出月通话时间是5小时，计费方法A和B对应的费用；

(2)根据题意和表格中的数据，可以含x的代数式表示出按A、8两种计费方法的用户话费；

(3)根据题意，可以分两种情况，然后列出相应的方程，求解即可.

【详解】(1);S小时=5x60=300(分钟)，

,若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为：68+(300-200)x0.25=93(元)，

使用计费方法5的用户话费为：98元，

故答案为：93；98；

(2)由题意可得，

若月通话时间是x分钟(x>500),按A种计费方法的用户话费为：68+(x-200)x0.25=(0.25x+18)元，

按8种计费方法的用户话费为：98+(尤-500)x0.2。=(0.2尤-2)元；

(3)当200cx<500时，

令68+(x-200)x0.25=98,

解得x=320；

当x>500,显然方式8比方式A便宜，

答：当通话320分钟时，按A、8两种计费方法所需的用户话费相等.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程.

3.(2023秋•四川成都•七年级统考期末)某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温

天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻.已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，

规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：

价目表

每月用电量价格

不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时

超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时

超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时

⑴若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；

⑵若小明家8月份用电。千瓦时(其中。>280),则应缴多少电费；(用含。的代数式表示，并化简)

⑶若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时.

【答案】⑴102元

⑵0.8a—74

(3)500千瓦时

【分析】(1)由小明家8月份用电200千瓦时，可知小明家8月份电费应分2部分计算；

(2)由。>280,可知小明家8月份电费应分3部分计算；

(3)先根据缴电费326元判断用电量的范围，再求解即可.

【详解】(1)180x0.5+(200-180)x0.6=102(元)

答：应缴电费102元.

(2)180x0.5+(280-180)x0.6+(a-280)x0.8=0.8<7-74

(3)由于用电280千瓦时应缴电费为Q8x280-74=150元，而326>150,

所以用电量超过了280千瓦时，

故由⑵得0.8。-74=326

a=500

答：小明家8月份用电500千瓦时.

【点睛】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式

或列方程是解题关键.

4.(2023秋•河南新乡•七年级统考期末)某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的

手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下(注：水费按月份结算，n?表示立方米),

请根据表中的内容解答下列问题：

每月用水量价格

价不超出12m3的部分2.5元/m3

目超出12m3不超出20H?的部分4元/n?

表超出20m3的部分7.5元/n?

⑴若某用户9月份用水lOn?,则应交水费元；

⑵若该用户10月份应收水费77元，则用水m3;

⑶若该用户11月份和12月份两个月共用水40m3（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水m?,

求该用户11J2两个月各交水费多少元.（用含x的代数式表示，并化简）

【答案】⑴25

（2）22

⑶H月应交水费（212-7.5X）元，12月份当x412时，交水费为2.5x元；

当12Vx＜20时，总水费为（4尤一18）元.

【分析】（1）根据不超出12m3的部分，价格为2.5元/n?,据此计算即可；

（2）设该用户10月份用水x,超出20m3的部分为（。-20）加，然后列一元一次方程求解即可；

（3）设12月份用水皿？；可知》＜20,然后根据12月份用水量分类讨论即可解答；

【详解】（1）解：团不超出的部分12m3,价格为2.5元/n?,

回应收水费为：10x2.5=25（元）.

故答案为25.

（2）解:设该用户10月份用水x,则由题意可得：

回12x2.5+4x8+7.5（。-20）=77,解得：a—22.

故答案为22.

（3）解：•.TL12月共用水40m3,11月份用水量超过了12月份

.•.11月份用水量大于20m3,

•.•12月用水%则11月份用水（40-x）＞20,

,此用户11月应交水费为

2.5xl2+4x（20-12）+7.5（40-x-20）=（212-7.5%）%

12月份用水量x<20m3，

①当X412时，12月应交水费：2.5x元；

②当12〈尤<20时；1