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文档简介
专题14难点探究专题:利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模
型全攻略
宁甜【考点导航】
目录
【典型例题】.............................................................................1
【类型——元一次方程的应用一古代问题】...................................................1
【类型二一元一次方程的应用一销售问题】...................................................5
【类型三一元一次方程的应用一方案问题】..................................................12
【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】...........................................18
【类型五一元一次方程的应用一数轴上的行程问题】.........................................25
【典型例题】
【类型——元一次方程的应用一古代问题】
例题:(2023秋•辽宁锦州•七年级统考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中第六章《均输》
卷记载了一道有趣的数学问题:"今有凫(读加,指野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今
凫雁俱起,问何日相逢?”题目大意是:今有野鸭从南海起飞,7天到北海;大雁从北海起飞,9天到南海.现
野鸭从南海、大雁从北海同时起飞(两者的飞行路线相同),问经过多少天相遇?
【答案】整天
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【分析】首先设经过X天相遇,根据题意可得等量关系:野鸭X天的路程+大雁X天的路程=1,再根据等量
关系列出方程,再解即可.
【详解】解:设经过X天相遇,
根据题意,得回
解得:彳=:
16
答:经过77天相遇.
16
【点睛】本题考查一元一次方程的应用,解题的关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程.
【变式训练】
1.(2022•江西新余•统考一模)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的"荡杯问题"很有
趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯,津吏问曰:杯何以多?妇人曰:家有客.津吏曰:客几何?妇
人曰:二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五.不知客几何?译文:"2人同吃一碗饭,3人同吃
一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65个碗,问有多少客人?"设共有客人x人,可列方程为.
【答案】‘无+,无+!%=65
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【分析】设共有客人x人,根据"2人同吃一碗饭,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65个碗”列出方
程即可.
【详解】解:设共有客人x人,
木艮据题意,得(x+:x+Jx=65.
故答案为:Jx+g尤+;尤=65.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是要读懂题目的意思,根据题目给
出的条件,找出合适的等量关系列出方程.
2.(2023秋•七年级课时练习)《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一.其内容为:一位妇人在河
边洗碗.津吏问道:"为什么要洗这么多碗?”妇人回答:"家里来客人了."津吏问:"有多少客人?”妇人回
答:"每二人合用一只饭碗,每三人合用一只汤碗,每四人合用一只肉碗,共用65只碗.”共有_____位客人.
【答案】60
【分析】设共有尤个客人,根据“每二人合用一只饭碗,每三人合用一只汤碗,每四人合用一只肉碗,共用
65只碗.”列出方程,解方程即可.
【详解】解:设共有x个客人,根据题意得:
111
—XH--尤H--尤=65,
234
解得:x=60,
即共有60个客人.
故答案为:60.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,
找出合适的等量关系列出方程.
3.(2023秋•陕西西安•七年级西安市铁一中学校考开学考试)《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题,"今
有共买羊,人出六,不足四十五:人出八,不足三,问人数几何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出
6元,则差45元;每人出8元,则差3元.则买单的人有个.
【答案】21
【分析】设买单的人有x个,根据每人出6元,则差45元;每人出8元,则差3元,列出方程,解方程即
可.
【详解】解:设买单的人有了个,根据题意得:
6x+45=8x+3,
解得:x=21,
即买单的人有21个,
故答案为:21.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,解题的关键是根据等量关系,列出方程.
4.(2023秋•七年级课时练习)我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究,《九章算术》中提到这么一
道"以绳测井”的题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几
何?这道题大致意思是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份去测,那么绳子会多出四尺;如果
将绳子折成四等份去测,那么绳子会多出一尺.绳长和井深各多少尺?
【答案】绳子长为36尺,井深8尺
【分析】设井深为x尺,则根据"将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺"即可列出方程求解.
【详解】设绳子长工尺,
依题意得=J无一1,解得A36,
34
所以g尤-4=gx36—4=8.
答:绳子长为36尺,井深8尺.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,解题的关键在弄清题意,找到等量关系并列出方程.
5.(2023春•福建福州•七年级统考开学考试)在数学课上,同学们分组讨论解决下列问题的方法.
《孙子算经》中有这样一个问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人和车各几何?"这个题
的意思是:今有若干人乘车.若每3人乘一辆车,则余2辆空车;若每2人乘一辆车,则余9人需步行,
问共有多少辆车,多少人?
【答案】共有15辆车,39人
【分析】设共有x辆车,找准等量关系:人数是定值,列一元一次方程可解此题.
【详解】解:设共有X辆车,依题意得
3(x-2)=2x+9
3x-6=2x+9
x=15
3(x-2)=3(15-2)=39
答:共有15辆车,39人.
【点睛】考查了一元一次方程的应用,找准等量关系是解此题的关键.
6.(2023•安徽六安•统考模拟预测)我国古代名著《张邱建算经》中记载:"今有清酒一斗直粟八斗,醐酒
一斗直粟二斗,今持粟两斛,问清、醐酒各几何?"大意:现在一斗清酒价值8斗谷子,一斗醐酒价值2斗
谷子,拿20斗谷子共换了4斗酒,问清酒、醐酒各几斗?
【答案】清酒2斗,醐酒有2斗.
【分析】设清酒x斗,则醐酒有(4-“斗.根据"拿20斗谷子,共换了4斗酒”,即可得出关于尤的方程,
解之可得答案.
【详解】解:设清酒有x斗,则醐酒有(4-x)斗.
根据题意,得8x+2(4-x)=20,
团x=2,
x-2=2.
答:清酒2斗,醐酒有2斗.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系,并据此列
出方程.
7.(2023秋•河南平顶山•七年级统考期末)古希腊数学家丢番图(公元3〜4世纪),是代数学的创始人之一.在
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他的墓碑上记载着:"他生命的2是幸福的童年;再活了他生命的石,两萩长起了细细的胡须;又度过了一
612
生的。,他结婚了;再过5年,他有了儿子,感到很幸福;可是儿子只活了他全部年龄的一半;儿子死后,
他在极度痛苦中度过了4年,与世长辞了.”
⑴设丢番图的寿命为x岁,根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁,儿子的寿命为
岁;
⑵用你喜欢的方式,求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁?
【答案】⑴借x+5),?
⑵丢番图的寿命为84岁,儿子的寿命为42岁
【分析】(1)根据他生命的J是幸福的童年;再活了他生命的」,两萩长起了细细的胡须;又度过了一生
612
的他结婚了;再过5年,他有了儿子列式即可,再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式;
(2)设丢番图的寿命为尤岁,则根据题中的描述他的年龄的童年+生命的+5年+儿子的年龄
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M年,可列出方程,即可求解.
【详解】(1)解:设丢番图的寿命为x岁,
根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为工了+石彳+三尤+5=二尤+5岁,儿子的寿命为:x岁,
o12/154)2
故答案为:(青+5),卜;
(2)设丢番图的寿命为x岁,
根据题意得:%=—XHXHX+5HX+4,
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解得:x=84,
当尤=84时,可得儿子的寿命为LX=」X84=42,
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答:丢番图的寿命为84岁,儿子的寿命为42岁.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出丢
番图的年龄的表达式,根据等量关系,列出方程再求解.
【类型二一元一次方程的应用一销售问题】
例题:(2023春•贵州毕节•七年级统考期末)2023年4月16日至18日"金沙贡茶文化节"在岩孔贡茶古镇举
行,开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约.其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品.已知甲种
茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元.若购进甲种茶叶商品5件,乙种茶叶商品3件,
共需要700元.
⑴求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?
⑵该采购商购进了甲种茶叶商品300件,乙种茶叶商品200件.在销售时,甲种茶叶商品的每件售价为110
元,要使得这500件茶叶商品所获利润率为30%,求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?
【答案】⑴甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,100元
⑵每件乙种茶叶商品的售价是121元
【分析】(1)设甲种茶叶商品每件的进价为无元,则乙种茶叶商品每件的进价为(x+20)元,由题意知,
5x+3(x+20)=700,计算求解,然后作答即可;
(2)设每件乙种茶叶商品的售价是。元,由题意知,("80)x3(X)+ST0())x2()()xioo%=3o%,计算求
80x300+100x200
解即可.
【详解】(1)解:设甲种茶叶商品每件的进价为x元,则乙种茶叶商品每件的进价为(x+20)元,
由题意知,5x+3(x+2。)=7。。,
解得x=80,
0.x+2O=lOO(元),
回甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80,100元;
(2)解:设每件乙种茶叶商品的售价是。元,
(110-80)x300+(^-100)x200
由题意知,x100%=30%,
80x300+100x200
解得,a=121,
团每件乙种茶叶商品的售价是121元.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于对知识的熟练掌握.
【变式训练】
1.(2023秋・福建福州•七年级统考期末)列方程解应用题:
某商场经销甲、乙两种服装.甲种服装每件进价250元,售价400元;乙种服装每件进价400元,售价600
兀.
⑴销售甲种服装每件利润为元,销售乙种服装每件利润率为.
⑵该商场同时购进甲、乙两种服装共50件,总进价恰好为17000元,求商场销售完这批服装共盈利多少?
⑶在元旦当天,该商场实行“每满300元减100元"的优惠活动(比如某顾客购物300元,他只需付款200
元,购物1000元,他只需付款700元),后又加推,晚上八点后,先打折再参与"每满300元减100元”的活
动,张女士想买一件标价为1600元的羽绒服,细心的张女士发现,打折后价格在1200元到1440元之间,
如果在晚上八点后购买,可以再便宜92元,求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加满减活
动?
【答案】⑴150,50%
(2)9000元
(3)先打八八折之后再参加满减活动
【分析】(1)根据"利润率=(售价-进价)+进价"和"售价+(1+利润率)=进价"列式计算求解;
(2)设购进甲种服装x件,根据总进价为17000元列方程求解,从而求得总利润;
(3)设商场晚上八点后打y折之后再参加活动,根据在八点后购买,可以便宜92元,列方程求解.
【详解】(1)销售甲种服装每件利润为:400-250=150元
销售乙种服装每件利润率为:(600-400)-400=200-400=50%
故答案为:150,50%,
(2)解:设该商场购进甲服装x件,则购进乙服装(50-x)件.根据题意得
250%+400(50—x)=17000
解得x=20
.-.50-x=30
.•.20x(400-250)+30x(600-400)=9000(元)
答:商场销售完这批服装共盈利9000元.
(3)设商场晚上八点后推出的是先打y折之后再参加满减活动.根据题意得
1600X上-400=1600-500-92
10
解得y=8.8
答:商场晚上八点后推出的活动是先打八八折之后再参加满减活动.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用(销售问题),找准题目间的等量关系列出方程是解题关键.
2.(2023秋・广西南宁•七年级南宁市天桃实验学校校考期末)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视
机,已知该厂家生产三种不同类型的电视机,出厂价分别为:甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种
每台2500元.
⑴若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台,求应购进甲、乙两种电视机各多少台?
⑵若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可
获利250元.试问:同时购进画种不同型号电视机的方案可以有几种(每种方案必须刚好用完9万元)?
为使销售时获利最多,应选择哪种进货方案?并说明理由.
【答案】⑴购甲种电视机25台,乙种电视机25台
(2)2种方案,即方案一:购甲种电视机25台,乙种电视机25台;方案二:购甲种电视机35台,丙种电视
机15台;应该选择方案二,即购买甲种电视机35台,丙种电视机15台,获利最多
【分析】(1)设购甲种电视机x台,乙种电视机(50-%)台,根据题意列出一元一次方程,解方程即可求解;
(2)根据题意分3种情况,分别列出一元一次方程求解,即可得出具体的方案,分别计算出各方案的利润,
然后判断出获利最多的方案.
【详解】(1)设购甲种电视机x台,乙种电视机(50-x)台.
列方程得,1500%+2100(50-x)=90000,
解得x=25,50-x=50-25=25,
团购甲种电视机25台,乙种电视机25台;
(2)分三种情况计算:
①只购买甲、乙两种电视机,根据(1)可知,购甲种电视机25台,乙种电视机25台;
②设购甲种电视机y台,丙种电视机(50-y)台.
贝口500y+2500(50-y)=90000,
解得:y=35,50-y=50-35=15
团购甲种电视机35台,丙种电视机15台;
③设购乙种电视机z台,丙种电视机(50-z)台.
贝I」2100z+2500(50-z)=90000
解得:z=87.5,50-87.5=-37.5<0(不合题意,舍去);
即进货方案有两种,方案一:购甲种电视机25台,乙种电视机25台;方案二:购甲种电视机35台,丙种
电视机15台;
方案一:25x150+25x200=8750.
方案二:35x150+15x250=9000元.
08750<9000,
团购买甲种电视机35台,丙种电视机15台获利最多.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用,有理数混合运算的应用,关键是正确理解题意,找出题目
中的等量关系,列出方程.
3.(2023秋•湖北随州•七年级统考期末)为响应"把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召,某农业科技公
司对43两种玉米进行实验种植对比研究.去年42两种玉米分别种植了5亩、10亩,收获后通过测算,
A种玉米平均亩产量为400千克,2种玉米平均亩产量比A种高25%,A,8两种玉米以相同价格全部售出
后总收入为25200元.
⑴求去年A,B两种玉米的售价为多少?
⑵今年科技公司优化了玉米的种植方法,在A,8两种玉米均保持去年种植面积不变的情况下,预计A,B
两种玉米平均亩产量将在去年的基础上分别增加。%和2a%,而A种玉米的售价保持不变,B种玉米的售价
将在去年的基础上下降10%.已知A,8两种玉米全部售出后总收入在去年的基础上将增加^a%,求。的
值.
【答案】(1)3.6元/千克
⑵10
【分析】(1)根据题中的总收入=A种玉米的收入+5种玉米的收入列方程计算即可;
(2)分别用含。的代数式表示题中的产量变化,总收入变化,利用总收入=A种玉米的收入+8种玉米的
收入的数量关系列方程计算即可.
【详解】(1)解:设去年48两种玉米的售价为尤元/千克.
依题意得,[5x400+10*400x(1+25%)1x=25200
解得,x=3.6
答:去年玉米的售价为3.6元/千克.
(2)解:依题意得:B种玉米平均亩产量为:400x(1+25%)=500(千克)
5x400x(l+a%)x3.6+10x500x(l+2«%)x3.6x(l-10%)=25200x^l+|a%^
解得:<7=10.
答:”的值为10.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,熟练掌握提取题中数量关系并列方程是解决本题的关键.
4.(2023秋・江苏盐城•七年级校考期末)根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排,结合我市中
小学幼儿园实际,为保护广大师生安全健康,市教育局经研究决定:2022年12月19日起,全市中小学本
学期剩余时间全部进行线上教学.七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜,网上某店铺的
标价为90元/副,优惠活动如下:
销售量单价
不超过10副的部分每副立减14元
超过10副但不超过20副的部分每副立减22元
超过20副的部分每副立减30元
⑴①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜,花了元;
②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜,花了兀;
③若该班级家委会购买了20)副这种防蓝光眼镜,花了兀;(用含x的代数式表示)
⑵若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元,求他们购买的数量.
【答案】⑴①152,②1100,③(60x+240)
(2)25副
【分析】(1)①根据购买"不超过10副"确定优惠条件,并列式计算;②根据购买“超过10副但不超过20
副"确定优惠条件,并列式计算;(3)购买了x(x>20)副这种防蓝光眼镜,根据根据销售量“不超过10台
的部分"、"超过20台的部分"确定优惠条件,然后列出代数式;;
(2)设购买了尤副这种防蓝光眼镜,需要对销售量分三种情况进行讨论.
【详解】(1)①(90—14)x2=152(元),
故答案为:152;
(2)(90-14)x10+(15-10)x(90-22)=1100(:元),
故答案为:1100;
(3)(90-14)x10+(20-10)x(90-22)+(%-20)x(90-30)=(60x+240)(元)
故答案为:(60X+240)
(2)设他们购买了x副防蓝光眼镜,
①当0<xW10时,均价76元,不合题意,舍去;
②当10<xW20时,68(x-10)+760=69.6x
解之得,x=50,不在范围内,舍去;
③当x>20时,240+60x=69.6x
解之得,x—25
答:他们购买了25副防蓝光眼镜.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
5.(2023秋•四川成都•七年级校考期末)第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行,
某经销商销售带有“蓉宝"吉祥物标志的甲、乙两种纪念品,若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念
品共需要4300元.已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表:
种类种类进价(元/件)售价(元/件)
甲a80
乙a+2090
⑴甲、乙两种纪念品每件进价各多少元?
⑵经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个,全部售完后总利润(利润=售价一进价)为4700元,求
甲类和乙类纪念品分别购进多少个?
⑶经销商第二次购进了与第(2)问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品,由于两类纪念品进价都比上次优
惠了20%,甲类纪念品进行打折出售,乙类纪念品价格不变,全部售完后总利润比上次还多赚1400元,求
甲类纪念品打了几折?
【答案】(1)甲纪念品每件进价50元,乙纪念品每件进价70元
⑵甲类纪念品购进70个,乙类纪念品购进130个
(3)甲类纪念品打了8折
【分析】(1)根据题意列出关于。的一元一次方程,解方程即可求解;
(2)设甲类尤个,则乙类(200-x)个,根据题意列出关于》的一元一次方程,解方程即可求解;
(3)设甲类打y折,根据题意列出关于y的一元一次方程,解方程即可求解.
【详解】(1)由题意得:30。+40(。+20)=4300,
解得:a—50(兀),
0o+20=70(元).
答:甲纪念品每件进价50元,乙纪念品每件进价70元.
(2)设甲类x个,则乙类(200-力个,
由题意得:(8。-50)尤+(90-70)(200-尤)=47。。,
解得:x=70(个),
02OO-x=13O(个),
答:甲类纪念品购进70个,乙类纪念品购进130个.
(3)设甲类打y折,由题意得:70^80x^-50x80%^|+130(90-70x80%)=4700+1400,
解得:>=8.
答:甲类纪念品打了8折.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,明确题意,找准等量关系是解答本题的关键.
【类型三一元一次方程的应用一方案问题】
例题:(2023秋•河南省直辖县级单位•七年级校联考期末)按照"双减”政策,为丰富课后托管服务内容,学
校准备订购一批篮球和跳绳,经过市场调查后发现篮球每个定价70元,跳绳每条定价10元.某体育用品
商店提供A、B两种优惠方案:
A方案:买一个篮球送一条跳绳;
B方案:篮球和跳绳都按定价的90%付款.
己知要购买篮球50个,跳绳x条(x>50)
⑴若按A方案购买,一共需付款兀(用含尤的代数式表示);若按2方案购买,一共需付款
元(用含x的代数式表示).
⑵购买跳绳条数为多少时,两种方案的收费相同?
⑶当x=100时,你能设计出一种最省钱的购买方案吗?请写出你的购买方案,并计算需付款多少元?
【答案】⑴(300。+10”,(3150+9%)
⑵购买150根跳绳时,A、B两种方案所需要的钱数一样多
⑶按A方案买50个篮球,剩下的50条跳绳按8方案购买,付款3950元
【分析】(1)由题意按A方案购买可列式:50x70+(x-50)xl0,在按2方案购买可列式:(50x70+10%)x0.9;
(2)由(1)列等式求解即可;
(3)先算全按同一种方案进行购买,计算出两种方案所需付款金额,再根据A方案是买一个篮球送跳绳,
8方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款,考虑可以按A方案买50个篮球,剩下的50条跳绳按2方案购
买,计算出所需付款金额,进行比较即可.
【详解】(1)解:A方案购买可列式:50x70+(x-50)xl0=3000+10x元;
按B方案购买可列式:(50x70+10x)x0.9=(3150+9x)元;
故答案为:(3000+10”,(3150+9%);
(2)由(1)可知,
当4B两种方案所需要的钱数一样多时,
BP3000+10%=3150+9%
解得x=150.
答:购买150根跳绳时,A、8两种方案所需要的钱数一样多.
(3)当x=100时,
按A方案购买需付款:3000+10x=3000+10xl00=4000(元);
按2方案购买需付款:3150+9x=3150+9xl00=4050(元);
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳,按B方案购买50个跳绳合计需付款:
50x70+10x50x90%=3500+450=3950(:元);
03950<4000<4050,
回省钱的购买方案是:
按A方案买50个篮球,剩下的50条跳绳按2方案购买,付款3950元.
【点睛】此题考查的是列代数式并求值,也可作为一元一次方程来考查,因此做此类题需要掌握解应用题
的能力.
【变式训练】
1.(2023秋•江西吉安•七年级统考期末)暑假期间,甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩,甲、
乙两单位共102人,其中甲单位人数多于乙单位人数,且甲单位人数不够100人.经了解,该风景区的门票
价格如下表:
数量(张)1-5051〜100101张及以上
单价(元/张)60元50元40元
如果两单位分别单独购买门票,一共应付5500元.
⑴甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩?
⑵如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩,那么你有几种购买方案,通过比较,你该如何购
买门票才能最省钱?
【答案】⑴甲单位有62人,乙单位有40人
⑵甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱
【分析】(1)设甲单位有退休职工x人,则乙单位有退休职工(102-尤)人,根据“如果两单位分别单独购买
门票,一共应付5500元〃建立方程求出其解即可;
(2)有三种方案:方案一:各自购买门票;方案二:联合购买门票;方案三:联合购买101张门票.分别
求出三种方案的付费,比较即可求解.
【详解】(1)解:设甲单位有退休职工x人,则乙单位有退休职工(102-x)人.
依题意得:50x+60x(102-x)=5500,
解得:x=62.
则乙单位人数为:102-x=40.
答:甲单位有62人,乙单位有40人;
(2)解:•.•甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩,
二甲单位外出游玩的人数有62-12=50人,
方案一:各自购买门票需50x60+40x60=5400(元);
方案二:联合购买门票需(50+40)x50=4500(元);
方案三:联合购买101张门票需101x40=4040(元);
综上所述:因为5400>4500>4040.
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱♦
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次方程的解法的运用,有理数大小比
较的运用,设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键.
2.(2023秋•海南省直辖县级单位•七年级统考期末)某学校计划购买书柜20张和书架x只(x>20),现从
4、8两家超市了解到:书柜每张300元,书架每只80元.A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架;
8超市的优惠政策为所有商品八折.
⑴若学校到同一家超市选购所有商品,则到A超市购买费用是元(用含x的式子表示),到B超市购
买费用是元(用含x的式子表示);
(2)在(1)的条件下,当购买书架尤多少只时?到A、B两家超市购买费用相等.
⑶学校要购买20张书柜和60只书架.
①若学校到同一家超市选购所有商品,则到A超市购买费用是元,到8超市购买费用是元;
②假如你是本次购买的负责人,且可到两家超市自由选购,请你设计一种购买方案,使购买费用更少,并
求出购买费用是多少元?
【答案】(1)(80%+4400),(64%+4800)
(2)25只
(3)(1)9200,8640②8560元
【分析】(1)根据两个超市的优惠政策列代数式即可;
(2)根据购买费用相等以及(1)题中的代数式列方程求解即可;
(3)①将书架数量为60分别代入(1)题中的代数式求解即可;②选择最便宜的方案后再代入计算即可.
【详解】(1)解:A超市:由题意得,在A超市只需买20张书柜及(x-20)只书架,
0A购买费用为:20x300+80(%—20)=6000+80^-1600=(80%+4400)元
B超市费用为:20x300x0.8+80x0.8x%=(4800+64x)TE
故答案为:(80元+4400),(64%+4800)
(2)解:由题意得:80%+4400=64%+4800
解得:x=25,
答:购买25只书架时,到A、B两家超市购买费用相等.
(3)①解:将x=60代入80x+4400
得80x60+4400=9200元
将x=60代入64X+4800
得64x60+4800=8640元
故答案为:9200,8640;
②到A超市购买20个书柜(赠送20个书架),到2超市购买40只书架
20x300+80x(60—20)x0.8=8560元.
答:购买费用是8560元.
【点睛】本题主要考查列代数式以及一元一次方程的应用,熟练掌握一元一次方程的应用是解决本题的关
键.
3.(2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末)2022年11月30日,神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完
成全自主快速交会对接.中国首次实现空间站三船三舱构型,以及6名航天员同时在轨驻留.正式开启了
中国空间站常态化运营的新篇章.中国空间站模型在某商店价格规定如下表:
购买数量$0套51?套100套以上
每套价格13元11元9元
某校七年级(1)班和(2)班共104人计划购买模型,其中(1)班有40
多人,不足50人,经估算,如果两个班以班为单位每人购买一套,则一共应付1240元,问:
⑴两班各有多少学生?
⑵如果两班联合起来,作为一个团体购买模型,可省多少钱?
⑶如果七年级(1)班单独组织去购买模型,作为组织者的你如何采购才最省钱?
【答案】⑴(1)班有学生48名,(2)班有学生56名;
(2)两班联合起来,作为一个团体购买模型,可省304元;
⑶组织(1)班去购买51套模型最省钱.
【分析】(1)由(1)班人数确定(2)班人数在51?范围内,且每套售价11元,依题意列方程求解即
可;
(2)两班共104人,超过100,计算出1240-104x9即为所省的钱;
(3)计算出51套模型的钱数与实际比较即可.
【详解】(1)因为(1)班有40多人,所以根据题意可知,(2)班人数在51?范围内,且每套售价11元.
设(1)班有x名学生,则(2)班有(104-x)名学生.
13x+ll(104-x)=1240
解得:x=48
104-x=56
答:班有学生48名,(2)班有学生56名.
(2)1240-104x9=1240-936=304(元)
答:如果两班联合起来,作为一个团体购买,可省304元.
(3)因为(1)班有48名学生,
正常花费13x48=624元;
而买51套模型则花费11x51=561元,
624-561=63元,
所以,组织(1)班去购买51套模型最省钱.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用;解题的关键是正确建立方程求解,结合题意分析比较.
4.(2023秋•湖北武汉•七年级统考期末)有下列两种移动电话计费方法:
月使用费/元主叫限定时间/加〃主叫超时费/(元加)被叫
A套餐381000.2免费
8套餐985000.25免费
其中,月使用费固定收,主叫不超过限定时间不再收费,主叫超过部分加收超时费,被叫免费.
⑴小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟,则选用A套餐比选用8套餐节省元.
⑵小宇的爸爸选择A套餐,小谦的爸爸选择2套餐,7月份他们的通话费相等,小宇的爸爸比小谦的爸爸
主叫时间少20分钟,求小宇的爸爸7月份的主叫时间.
⑶设主叫时间为f分钟,直接写出/满足什么条件时,8套餐省钱.
【答案】⑴40
(2)400分或900分
(3)400<r<900
【分析】(1)根据"A套餐套餐"的计费方式,分别求得通话时间200分钟时的计费,再进行比较即可得
出结论;
(2)设小宇的爸爸7月份的主叫时间为无分,分另IJ讨论若100<尤4500和x>500,根据"A套餐""3套餐"
的计费方式,列出关于x的一元一次方程,解之即可,
(3)根据(2)所求即可得出结论.
【详解】(1)根据题意得:
0200>100
0A套餐需交费:38+(200-100)x0.2=58(元),
0200<500
0B套餐需交费98元
所以,选用A套餐比选用B套餐节省的费用为:98-58=40(元)
故答案为:40;
(2)设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分,
若100<xW500,根据题意得:
38+(%—100)x0.2=98,
解得:%=400,
若x>500,根据题意得:
38+(x-100)x0.2=98+(x-500)x0.25,
解得:x=900,
综上所述,小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分
(3)当400</<900,选择8套餐省钱
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,正确找出等量关系,列出一元一次方程,正确掌握分类讨论思
想是解题的关键.
【类型四一元一次方程的应用一电费和水费问题】
例题:(2023秋•七年级课时练习)目前,某市“一户一表"居民用电实行阶梯电价,具体收费标准如下.
一户居民一个月用电量(单位:度)电价(单位:元/度)
第1档不超过180度的部分0.5
第2档超过180度的部分0.6
⑴若该市某户12月用电量为200度,该户应交电费元.
⑵若该市某户12月用电量为x度,请用含x的式子分别表示04x4180和尤>180时该户12月应交电费多少
元.
⑶若该市某户12月应交电费126元,则该户12月用电量为多少度?
【答案】⑴102
⑵当0VXW180时,该户12月应交电费为0.5尤元;当x>180时,该户12月应交电费为Q6x-18)元;
⑶该户12月用电量为240度
【分析】(1)根据总价=单价x数量结合阶梯电价收费标准,即可求出结论;
(2)分04x(180及x>180两种情况,用含x的代数式表示出该户12月应交电费;
(3)由(1)可得出x>180,结合(2)的结论即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】(1)解:0.5x180+0.6x(200-180),
=0.5x180+0.6x20,
=90+12,
=102(元).
故答案为:102.
(2)解:当04尤4180时,该户12月应交电费为0.5x元;
当尤>180时,该户12月应交电费为0.5xl80+0.6(x—180),
=90+0.6%-108,
=(0.6x—18)(元).
(3)解:.-102<126,
x>180,
.,.0.6x—18=126,
x=240.
答:该户12月用电量为240度.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算,解题的关键是:(1)根据各
数量之间的关系,列式计算;(2)根据各数量之间的关系,用含x的代数式表示出该户12月应交电费;(3)
找准等量关系,正确列出一元一次方程.
【变式训练】
1.(2023秋•福建福州•七年级统考期末)为鼓励居民节约用电,某市电力公司实行"阶梯电价"收费,收费标
准如下表:
每户每月用电量(度)电费(元/度)
不超过200度0.5
超过200度且不超过500度的部分0.6
超过500度的部分0.8
⑴小明家今年3月份用电310度,求小明家3月份应缴电费多少元?
⑵小明家今年7月份用电增大,7月份的平均电价为0.64元/度,求小明家今年7月份用电多少度?
【答案】(1)3月份应缴电费166元
(2)7月份用电750度
【分析】(1)根据题意列算式求解即可;
(2)设7月份用电x度,依题意可得x>500,进而列一元一次方程求解即可.
【详解】(1)解:0.5x200+0.6x(310-200)=166(元),
答:3月份应缴电费166元.
(2)解:设7月份用电x度,依题意可得x>500,
则0.5x200+0.6x(500-200)+0.8x(%-500)=0.64x,
解得x=750,
答:7月份用电750度.
【点睛】本题考查有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用,理解题意,正确列出算式和方程是
解答的关键.
2.(2023秋•江苏•七年级专题练习)一家通讯公司推出两种移动电话计费方法,如表所示:
计费方法A计费方法8
每月基本服务费(元/月)68元98元
每月免费通话时间(分)200分500分
超出后每分钟收费(元/分)0.25元0.20元
⑴若月通话时间是5小时,则使用计费方法A的用户话费为元,使用计费方法B的用户话费为
兀;
(2)若月通话时间是尤分钟(x>500),则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少?(用含尤的代数式表
示)
⑶当通话时间为多长时,按A、8两种计费方法所需的用户话费相等?
【答案】⑴93;98;
(2)按A种计费方法的用户话费为(0.25x+18)元,按8种计费方法的用户话费为(0.2x-2)元;
⑶当通话320分钟时,按A、8两种计费方法所需的用户话费相等
【分析】(1)根据题意和表格中的数据,可以计算出月通话时间是5小时,计费方法A和B对应的费用;
(2)根据题意和表格中的数据,可以含x的代数式表示出按A、8两种计费方法的用户话费;
(3)根据题意,可以分两种情况,然后列出相应的方程,求解即可.
【详解】(1);S小时=5x60=300(分钟),
,若月通话时间是5小时,则使用计费方法A的用户话费为:68+(300-200)x0.25=93(元),
使用计费方法5的用户话费为:98元,
故答案为:93;98;
(2)由题意可得,
若月通话时间是x分钟(x>500),按A种计费方法的用户话费为:68+(x-200)x0.25=(0.25x+18)元,
按8种计费方法的用户话费为:98+(尤-500)x0.2。=(0.2尤-2)元;
(3)当200cx<500时,
令68+(x-200)x0.25=98,
解得x=320;
当x>500,显然方式8比方式A便宜,
答:当通话320分钟时,按A、8两种计费方法所需的用户话费相等.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程.
3.(2023秋•四川成都•七年级统考期末)某地今年夏季降雨量大幅下降,水电发电量严重受限,再加上高温
天气持续,居民用电量居高不下,电力供需形势十分严峻.已知该地为节约用电,利用价格调控的手段,
规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下:
价目表
每月用电量价格
不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时
超过180千瓦时,但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时
超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时
⑴若小明家8月份用电200千瓦时,则应缴多少电费;
⑵若小明家8月份用电。千瓦时(其中。>280),则应缴多少电费;(用含。的代数式表示,并化简)
⑶若小明家8月份缴电费326元,求小明家8月份用电多少千瓦时.
【答案】⑴102元
⑵0.8a—74
(3)500千瓦时
【分析】(1)由小明家8月份用电200千瓦时,可知小明家8月份电费应分2部分计算;
(2)由。>280,可知小明家8月份电费应分3部分计算;
(3)先根据缴电费326元判断用电量的范围,再求解即可.
【详解】(1)180x0.5+(200-180)x0.6=102(元)
答:应缴电费102元.
(2)180x0.5+(280-180)x0.6+(a-280)x0.8=0.8<7-74
(3)由于用电280千瓦时应缴电费为Q8x280-74=150元,而326>150,
所以用电量超过了280千瓦时,
故由⑵得0.8。-74=326
a=500
答:小明家8月份用电500千瓦时.
【点睛】本题考查了整式加减的应用,解一元一次方程的应用,掌握一元一次方程的解法,根据题意列式
或列方程是解题关键.
4.(2023秋•河南新乡•七年级统考期末)某市为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,采用价格调控的
手段以达到节水的目的,该市2022年自来水收费的价目表如下(注:水费按月份结算,n?表示立方米),
请根据表中的内容解答下列问题:
每月用水量价格
价不超出12m3的部分2.5元/m3
目超出12m3不超出20H?的部分4元/n?
表超出20m3的部分7.5元/n?
⑴若某用户9月份用水lOn?,则应交水费元;
⑵若该用户10月份应收水费77元,则用水m3;
⑶若该用户11月份和12月份两个月共用水40m3(11月份用水量超过了12月份),设12月份用水m?,
求该用户11J2两个月各交水费多少元.(用含x的代数式表示,并化简)
【答案】⑴25
(2)22
⑶H月应交水费(212-7.5X)元,12月份当x412时,交水费为2.5x元;
当12Vx<20时,总水费为(4尤一18)元.
【分析】(1)根据不超出12m3的部分,价格为2.5元/n?,据此计算即可;
(2)设该用户10月份用水x,超出20m3的部分为(。-20)加,然后列一元一次方程求解即可;
(3)设12月份用水皿?;可知》<20,然后根据12月份用水量分类讨论即可解答;
【详解】(1)解:团不超出的部分12m3,价格为2.5元/n?,
回应收水费为:10x2.5=25(元).
故答案为25.
(2)解:设该用户10月份用水x,则由题意可得:
回12x2.5+4x8+7.5(。-20)=77,解得:a—22.
故答案为22.
(3)解:•.TL12月共用水40m3,11月份用水量超过了12月份
.•.11月份用水量大于20m3,
•.•12月用水%则11月份用水(40-x)>20,
,此用户11月应交水费为
2.5xl2+4x(20-12)+7.5(40-x-20)=(212-7.5%)%
12月份用水量x<20m3,
①当X412时,12月应交水费:2.5x元;
②当12〈尤<20时;1
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