四川省巴中市2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题（含答案及解析）

巴中市2024年秋学期高二期末考试

数学试题

本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

22

C:匕-匕=1

1.双曲线48的离心率为（）

A.V2B.73C.2D.3

2.某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现米用分层抽样的方法

抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（）

A.6,18,36B,6,20,34

C.10,18,32D,10,20,30

3.经过点尸（2,3）且与直线2x-y=0垂直的直线/的方程为（）

A.2x+y—7—0B.2x—y—1—0

C.x+2y-8=0D.x+2y+4=0

4.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷〃（〃之8,”eN*）次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别

记为p，q,则夕国的大小关系为（）

A.夕心的大小由〃确定B.p<q

c.p>qD.p=q

5.已知圆C]：(x+l)2+(y+4)2=25,圆C2：/+＞？一4x-4y—1=0,则圆。与圆G的位置关系是

()

A.外离B.外切C.相交D.内含

6.已知空间向量2=(1,1,1),S=(O,m,2),c=(1,0,0),若Z，B，)共面，则加的值为()

A.1B.-1C.-2D.2

7.某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队(下称甲队)每场比赛平

均失球数是1.3,每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队(下称乙队)每场比赛平均失球数是

1.9,每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是()

A.平均来说乙队比甲队防守效果好

B.甲队比乙队技术水平更稳定

C.甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好

D.甲队每场比赛必失球

8.已知点集J={(x,y)|x+,v+|x—升=2},%=[(x,y)(办+了)2+(办一才=4,aeR}分别表示曲

线口、r2,若「1、「2有四个公共点，则。的取值范围()

A.V2,V2jB,A/2,—ljU(l,V2j

C.(-oo,(l,+oo)D.(-2,-1)(1,2)

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某人连续投篮三次，每次投一球，记事件A为“三次都投中“，事件B为“三次都没投中”，事件C为“恰

有二次投中”，事件。为“至少有二次投中“，则()

A.AgDB.BcD大0

C.AuC=DD.BD=B

10.下列说法中，正确的是()

A,直线2x+l=0的一个方向向量为(0,1)

B.2(3,1),8(5,2),C(-3,-2)三点共线

C直线2(根+l)x+(3-机)y-9-5机=0(其中meR)必过定点(3,1)

D.经过点尸(0,1),倾斜角为。的直线方程为〉=立211。+1

11.在平面直角坐标系中，已知两定点幺8（0,1）,动点P满足直线P4与直线网的斜率之积为

—记尸的轨迹为C,则下列描述正确的是（）

m

A.当加=-1时，曲线。是以原点为圆心，半径为1的圆

B.当机＞0时，点尸所在曲线的焦点在丁轴上

C.当机＜0时，过点（1,0）的直线/与曲线C至少有一个公共点

D.当机＞0时，直线＞=日+2与曲线C有两个不同公共点，则相左2/1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量）=（1,1,0）,3=（—1,0,1）,若版+B与B互相垂直，则实数上的值为.

13.已知直线（〃7—2）x+（机—1）了一4=0与直线3x+4y+加+6=0平行（其中加为实数），则它们之间

的距离为.

14.已知三棱柱Z8C—44G，点P在V48C内，b分别为△451G三边的一个三等分点，拓为

面48C的一个法向量，且同=1.若尸到面451G的距离为2,则心（而+而+而）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22

15.已知椭圆q：=+4=1（Q＞b＞0）长轴长为8,离心率为9

ab

（1）求椭圆G的方程；

（2）以G的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为a，求的方程及其渐近线方程.

16.已知直线/：y=左（％+1）,圆〃：x2+y2—4x—4y+4=0（点M为圆心）.

（1）若直线/与圆M相切，求实数左的值；

（2）当k=1时，判断直线/与圆M是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为48,

并求△儿以8的面积，如果不相交，请说明理由.

17.甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步，比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个

红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲，乙同

时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，

乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.

（1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？

（2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.

18.如图，等腰梯形/AED的高为2,25〃。£,4&=3。£=6,。是28上靠近人的三等分点，如图①所

示，将沿。c折起到△4。。的位置，使得4CJ_C5,如图②所示，点M在棱45上.

（1）求证：直线4。，平面5C£>£；

（2）若河是的中点，求直线。河与平面45E所成角的正弦值；

AM

（3）若平面。CW与平面43E所成的锐二面角为45°，求笠的值.

AXB

19.已知抛物线C:「=2px（夕〉0）的焦点为尸，第一象限内的一点尸（4/。）在抛物线C上，且

M=5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线P尸与抛物线C的另一个交点为0,求△。尸。的面积（其中。为坐标原点）；

（3）斜率分别为左、左2的两条直线都经过点尸，且与抛物线C的另一个交点分别为A、B,若

4

k^k2=—,求证：直线45过定点.

巴中市2024年秋学期高二期末考试

数学试题

本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

22

C:匕-匕=1

1.双曲线48的离心率为（）

A.V2B.73C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

由双曲线的方程求出仇c,然后由离心率公式求解.

【详解】因为双曲线C:工—匕=1,

48

所以a=2,b=2五，

则c=J4+8=2^3，

所以e=9=V3.

a

故选：B

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求法，属于基础题.

2.某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法

抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（）

A.6,18,36B,6,20,34

C.10,18,32D,10,20,30

【答案】A

【解析】

【分析】先求出抽样比例，进而求解.

【详解】由题意知，抽样比例为%=工，

3005

贝l]30x/=6,90xg=18,180x；=36,

所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为6,18,36.

故选：A

3.经过点尸（2,3）且与直线2x-y=0垂直的直线/的方程为（）

A.2x+y—7—0B.2x-y—1=0

C,x+2y—8=0D,x+2y+4=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程.

【详解】与直线2x-y=0垂直的直线/的斜率为-；，又直线过点尸（2,3）,

所以所求直线方程为y—3=—；（x—2）,整理得x+2y—8=0.

故选：C

4.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷〃（〃28,〃€?^）次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别

记为夕国，则夕国的大小关系为（）

A.夕国的大小由〃确定B.p<q

c.p>qD.p=q

【答案】D

【解析】

【分析】由相互独立事件的概念判断求解即可.

【详解】质地均匀的正四面体，每次抛掷每个面朝下的概率均为且每次抛掷相互独立，

4

故第5次和第8次某一面朝下的概率都是即p=q.

故选：D

5.已知圆C］：(x+l)2+(y+4)2=25,圆C2：/+>？-4x—4y-1=0,则圆G与圆C?的位置关系是

()

A.外离B.外切C.相交D.内含

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，根据圆心距与半径和差关系判断位置关系.

【详解】由G：(x+iy+(y+4)2=25,得G(—1,—4),半径八=5,

由G：(x—2y+(y—2)2=9,得02(2,2),半径々=3,

所以4=2为+4=8,

所以|GC2r'(2+1)2+(2+4)2=745e(2,8)，即4一々<|G021<八+々，

所以圆。与圆的位置关系是相交.

故选：C

6.已知空间向量2=(1,1,1),3=(0,祖,2),c=(l,0,0),若B，)共面，则加的值为()

A1B.-1C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.

【详解】因为1=(1,1,1),3=(0,%,2),c=(1,0,0),且洋石，一共面,

1=y

所以1=口+刀，又口+了?=(y,mx,2x),得到=解得冽=2,

l=2x

故选：D.

7.某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队(下称甲队)每场比赛平

均失球数是1.3,每场失球个数的标准差是12乙学校足球代表队(下称乙队)每场比赛平均失球数是

1.9,每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是()

A.平均来说乙队比甲队防守效果好

B.甲队比乙队技术水平更稳定

C.甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好

D.甲队每场比赛必失球

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数、标准差的意义逐项分析判断即可.

【详解】对于选项A：因为1.3<1.9,平均来说甲队比乙队防守效果好，故A错误；

对于选项BC：因为1.2>0.5,乙队比甲队技术水平更稳定，故B错误；

且甲队在防守中的波动性较大，可知甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C正确；

对于选项D：虽然甲队每场比赛平均失球数是1.3,但不能确定每场比赛是否失球，故D错误；

故选：C.

8.已知点集J={(x,y)|x+,v+|x—引=2},5(ax+v)2+(ax-v)2=4,aeR}分别表示曲

线［1、r2,若I；、匕有四个公共点，则。的取值范围()

A,卜亚，血)B.卜亚,_1)“1,后)

C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-2,-1)o(1,2)

【答案】B

【解析】

【分析】化简曲线「I、r2的方程，分析可知470,数形结合可知点£(1,1)在曲线「2外，且点(1,0)在曲

线—内，可得出关于实数。的不等式组，解之即可.

【详解】对于曲线「1，当时，该曲线的方程可化为2=x+y+x—y=2x,即x=l,

当xVy时，该曲线的方程可化为x+y+y—x=2y=2,即y=l.

曲线「2的方程即为(ax+.v1+(ax—=2/》2+2>2=4,即为

当a=0时，曲线「2的方程为歹=土后，此时，两曲线只有一个公共点，不合乎题意，

所以，如下图所示:

由图可知，只需点£（1,1）在曲线「2外，且点（1,0）在曲线「2内，

a2+1>2,—、,—

所以‘<2。,解得-也<a<-1或1<a<也.

a<2

因此，实数a的取值范围是卜行Q）.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于化简两曲线的方程，抓住关键点与曲线的位置关系，列不等式

（组）求解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某人连续投篮三次，每次投一球，记事件A为“三次都投中“，事件B为“三次都没投中”，事件C为“恰

有二次投中”，事件。为“至少有二次投中“，则（）

A.A7DB.BcD力0

C.AuC=DD.BD=B

【答案】ACD

【解析】

【分析】由事件的关系，积事件，和事件的概念逐项判断即可.

【详解】对于A,事件。为“至少有二次投中“，包含恰有二次投中和三次都投中，故A正确；

对于B,“三次都没投中”与“至少有二次投中”的交事件为不可能事件，故B错误；

对于C,“三次都投中”与“恰有二次投中”的和事件为“至少有二次投中”，故C正确；

对于D,事件方为“至多有一次投中”，与“三次都没投中”的交事件为“三次都没投中”，故D正确；

故选:ACD.

10.下列说法中，正确的是（）

A.直线2x+l=0的一个方向向量为（0,1）

B.2（3,1）,8（5,2）,。（一3,-2）三点共线

C.直线2（机+l）x+（3—机）了一9一5机=0（其中meR）必过定点（3,1）

D.经过点尸（0,1）,倾斜角为6的直线方程为y=xtan6+l

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得

（2x-j-5）m+（2x+3j-9）=0,根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可.

【详解】对于选项A：因为直线2x+1=0的斜率不存在，

所以直线2x+l=0的一个方向向量为（0,1）,故A正确；

.,,2-111+21

对于选项B：因为左=7一二=不，k%c=~一，

AB5-32"3+32

即心=心，所以4（3,1）,5（5,2）,C（—3,—2）三点共线,故B正确;

对于选项C：直线2（加+1）%+（3—9—5加=0即为—y—5）加+（2x+3y—9）=0,

2x-y-5=0fx=3

令cOnZ解得VI，

2x+3y-9=0[y=l

所以直线2（m+l）x+（3—m）y—9-5加=0（其中加ER）必过定点（3,1）,故C正确；

.八兀

对于选项D：例如6=—,可知tan，不存在，故D错误；

2

故选：ABC

11.在平面直角坐标系中，己知两定点2（0,-1）,8（0,1）,动点尸满足直线P4与直线尸8的斜率之积为

—记尸的轨迹为C,则下列描述正确的是（）

m

A.当机=-1时，曲线C是以原点为圆心，半径为1的圆

B.当机＞0时，点尸所在曲线的焦点在了轴上

C.当机＜0时，过点（1,0）的直线/与曲线C至少有一个公共点

D.当机>0时，直线y=Ax+2与曲线C有两个不同公共点，则〃店/I

【答案】BD

【解析】

【分析】设P(x,y),根据题意先求得点尸的轨迹方程，再逐项判断即可.

【详解】设P®y),由题知怎/人依=区・匕°=匕2=L(xw0)，

xxxm

即点尸的轨迹方程为f-叼2=-机(%w0),加H0,

当机=—1时，点尸的轨迹方程为/+/=1小片0),

曲线。是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点幺(0,-1),8(0,1),故选项A错误；

当机>0时，点尸的轨迹方程可化为土=1(x/0),故曲线C是焦点在了轴上的双曲线，除去两定点

m

2(0,—1),8(0,1),故选项B正确;

f22

联立方程组r_/,消去y并整理得(1-加上2.2—4加点—3加=0.

y—kx+2

・・•直线y=丘+2与曲线C有两个不同公共点，

1-mk2w0

A=16m2k2+12加(1一加左2)=4m^mk2+3)>0

m>0,/.A=4加(m左2+3)>o恒成立，，加左2,故选项D正确；

2

当机<0时，点尸的轨迹方程可化为/+工=1(x/0),故曲线C是除去两定点2(0,-1),8(0,1)的椭

—m

圆或者圆.

当机=—1时，点尸的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点幺(0,-1),8(0,1),此时直线/与曲

线C至少有一个公共点；

当机<-i时，点尸的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，左、右顶点分别为二浣刀)，(V£,o),此时点

(1,0)在椭圆内，直线/与曲线C至少有一个公共点；

当-1<%<0时，点尸的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，左、右顶点分别为卜‘二£刀)，(后刀)，此时

点(1,0)在椭圆外，直线/与曲线C的位置关系不确定.故选项C错误.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对加的合理分类讨论，讨论曲线时要注意去除某些特殊的点.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量5=（1,1,0）/=（—1,0,1）,若版+B与B互相垂直，则实数上的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出左.

【详解】由向量i=（i,i,o）,3=（—1,0,1）,得限6=一1，片=2，

由标+B与彼互相垂直,得（kG+b）-b=ka-b+b~=-k+2=0,

所以左=2.

故答案为：2

13.已知直线（机一2）x+（7〃—l）y-4=0与直线3x+4y+加+6=0平行（其中机为实数），则它们之间

的距离为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据直线平行求得加=5,即可求两平行线之间的距离.

【详解】因为直线（根一2）x+（加-1）了一4=0与直线3x+4y+加+6=0平行，

则4（机一2）=3（机—1）,解得加=5,

可知两直线分别为3x+4y—4=0,3x+4j+ll=0,符合题意，

111+41

所以两直线的距离为d='——L=3.

V32+42

故答案为：3.

14.已知三棱柱ABC-44。，点尸在V48C内，。，瓦厂分别为△4与。1三边的一个三等分点，万为

面48。的一个法向量，且同=1.若P到面4月。1的距离为2,则心（而+而+而）=.

【答案】±6

【解析】

【分析】设平面48C的重心为。，则丽+而+而=而+砺+而+无+而+砺=3而，点尸

\n-PO\

到面451G的距离为一^=h=2,从而求解即可.

同

【详解】设点尸到面451G的距离为"，则力=2,设平面48。的重心为。，

贝U丽+砺+砺=6,

则丽+而+而=而+砺+而+市+而+历^=3而，

\n-PO\,,_.

又因为[为面A8C的一个法向量，^—[=h=2,因为同=1，所以为.所=±2

hl

所以为.（PD+PE+PF）=n-3PO=+6，

故答案为：±6.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用中心的性质，其次是注意绝对值的考虑.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22

15.已知椭圆G：=+与=1（。〉6〉0）长轴长为8,离心率为9

ab

（1）求椭圆G的方程;

（2）以G的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为。2,求的方程及其渐近线方程.

22

【答案】（1）—+^=1

1612

22

（2）——2―=1；y—+y/3x

412

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求见伍。，即可得方程；

（2）设。2：二-4=1（机〉0,〃〉0），再根据题意得到掰，〃，进而可得双曲线方程和渐近线方程.

mn

【小问1详解】

2。二8

由题意可知：\a=4

c1可得c=2

e----

、a2

则b=Na2_2g,

22

所以椭圆G的方程为—+^-=1.

1612

【小问2详解】

椭圆G的焦点为片(-2,0),g(2,0),且短轴长为4G.

22

以Fx(-2,0),F2(2,0)为左，右顶点的双曲线C2的方程设为二—二=1(加〉0,〃〉0).

mn

依题意得掰=2,〃=26，所以双曲线C2的方程为三—二=1.

-412

其渐近线方程为y=土岛.

16.已知直线/：y=左(％+1),圆儿f:》2+/一4》_4卜+4=0(点M为圆心).

(1)若直线/与圆M相切，求实数上的值；

(2)当左=1时，判断直线/与圆M是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为4台，

并求△儿〃8的面积，如果不相交，请说明理由.

【答案】(1)左=0或左=?；

(2)直线/与圆/相交于不同的两点，旦

2

【解析】

【分析】(1)借助切线定义计算即可得；

(2)计算点M到直线/的距离，比较半径即可得直线/与圆M是否相交于不同的两点，再借助垂径定理可

计算［48|,即可的△〃和的面积.

【小问1详解】

由4x—4y+4=0可得(x—2y+(y—2)2=4,即回(2,2)、半径外=2,

由y=k(x+l)可得+左=0,

\2k-2+k\/、

由直线/与圆河相切，则有曲力・=2,化简得左(5左—12)=0,

12

即左=0或左=三；

【小问2详解】

*2+1匚豆

当左=1时,y=x+\,此时点M到直线/的距离为d=

FT—3

故直线/与圆河相交，即直线/与圆w相交于不同的两点,

则S.M4B=gx|A8|xd=；x71^义曰=字.

17.甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步，比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个

红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲，乙同

时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，

乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.

（1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？

（2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.

【答案】（1）甲，理由见解析

⑵上

75

【解析】

【分析】（1）在一轮比赛中，记”甲向前走一步”为事件A,“乙向前走一步”为事件计算出尸（4）、

P（3）的值，比较大小后可得出结论;

（2）在2轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向

前走两步，甲最多向前走一步”两个事件，利用独立事件的概率公式计算出这两个事件的概率，相加即为

所求事件的概率.

【小问1详解】

经过多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多，

原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，具体如下：

一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件A,“乙向前走一步”为事件8,

23

根据古典概型概率的计算可得尸（N）=W，尸（8）=1，

则P（A）＞P（B）,即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，

所以，多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多.

【小问2详解】

在2轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向前走两

步，甲最多向前走一步”两个事件，

分别记为C、D,且事件C、。为互斥事件，

则尸(C)=P(88ZZ+88ZZ

/--一一、33/21121M1

=PBBAA+BBAA+BBAA]=-x-x\-x-+-x-+-x-=—

333333

41

所以，2轮比赛后，乙走的步数比甲多的概率为尸（。）+尸（。）=石+）=

18.如图，等腰梯形/AEZ）的高为2,46〃。£,45=3。£=6,。是幺8上靠近人的三等分点，如图①所

示，将A/C。沿。C折起到△4CD的位置，使得4cLCB,如图②所示，点M在棱45上.

（1）求证：直线4。，平面3CDE；

（2）若河是45的中点，求直线。河与平面所成角的正弦值；

A.M

（3）若平面。CW与平面4台£所成的锐二面角为45。，求美方的值.

A{B

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可知48,进而可得结合线面垂直的判定定理分析证明;

（2）建系标点，求平面4台£的法向量，利用空间向量求线面夹角；

（3）设4M=彳4民0</1<1,求平面。CM的法向量，利用空间结合面面夹角运算求解.

【小问1详解】

在图（1）中，作4B的靠近B的三等分点”，

连接所以4B=3HB,结合AB=3DE和DE//HB.

所以四边形为平行四边形，所以DH=EB.

所以A4D〃为等腰三角形，

因为C是4s上靠近A的三等分点，

所以C为等腰三角形底边上的中点，所以DCL/C.

所以在图（2）中，AXC1CD.

又因为4CLC8,且CDcCS=C,CD,C3u平面BCDE,

所以直线4C，平面3CQE

【小问2详解】

由（1）知CD,CB,C4两两垂直，分别以CD,C8,C4所在直线为x轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示.

则C(0,0,0),£>(2,0,0),£(2,2,0),5(0,4,0),A,(0,0,2),M(0,2,l),

所以DM=(-2,2,1),A3=(0,4,-2),BE=(2,-2,0).

设平面4BE的法向量为n=（x,y,zy

n-A,B=4y-2z=0_

则，-，令>=1，得“=(1,1,2).

n-BE=2x-2y=Q

设直线DM与平面ABE所成角的大小为e,

\n-DM2V6

则sin8=|cos九=

\nfpM3x76-9'

所以直线。河与平面45E所成角的正弦值为逅

9

八z

【小问3详解】

CD=(2,0,0),CB=(0,4,0),CAX=(0,0,2),乖=(2,2,-2).

设加=4福,OWX<1,则由="+猛=离+4踵=(0,44,2(1—X)).

一m-CD=2a=0

设平面DCN的法向量为机=(a,仇c),贝叫---，解得。=0,

m-CM=42Z)+2(l-2)c=0

令c=2X,得6=4—1,可得平面。CM的一个法向量为7〃=(0,4—1,22),

__心狗52-111

由题知C丽=®j(f2+4%=后解得+/A/;7，且点〃在棱3上'

所以噌的值为w.

4B5

19.已知抛物线C：/=2px(P〉0)的焦点为尸，第一象限内的一点尸(4/o)在抛物线C上，且

囱=5.

(1)求抛物线。的方程；

(2)直线P尸与抛物线C的另一个交点为。，求△。尸。的面积(其中。为坐标原点)；

(3)斜率分别为左1、左2的两条直线都经过点尸，且与抛物线C的另一个交点分别为A、B,若

4

k^k2=—,求证：直线45过定点.

【答案】(1)y2=4x

(3)证明见解析

【解析】

【