苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数(知识归纳+题型突破)(解析版)_第1页
苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数(知识归纳+题型突破)(解析版)_第2页
苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数(知识归纳+题型突破)(解析版)_第3页
苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数(知识归纳+题型突破)(解析版)_第4页
苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数(知识归纳+题型突破)(解析版)_第5页
已阅读5页,还剩40页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第七章锐角三角函数(知识归纳+题型突破)

课标要求

一、锐角三角函数的基本概念

在RtAABC中,NC为直角,则锐角/A的三角函数为(/A可换成NB)

定义表达式

.“ZA的对边

正弦sinA=---——------sinA=—

斜边C

.NA的邻边,b

余弦cosA=——-----cosA=—

斜边c

,ZA的对边a

正切tanA4=—

ZA的邻边b

二、特殊角的三角函数值

1、特殊角(30。、45。、60°)的三角函数值:

三角函数30°45°60°

j_

sinaV3

2~T~T

cosaV3旦

~T22

73

tanaV1V3

2、锐角三角函数的有界性与增减性:

(1)有界性:锐角三角函数值都为正值,即当0。<(1<90。时,有0<sina<l,0<cosa<1,tana>0;

(2)增减性:锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.

3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系:

(1)sin2a+cos2a=1;(2)tana=

coscz

4、互为余角的两个锐角的正弦、余弦和正切的关系:

(1)sina=cos(90°-a);(2)cosa=sin(90°-a);(3)tana=——------r

tan(90°-a)

三、解直角三角形

1、直角三角形的性质(C为直角顶点):

①边与边的关系:a2+b2=c\②角与角的关系:ZA+ZB=90°;③边与角的关系:smA=-cosA=-

c;c;

a

tanAA=­・

b

2、解直角三角形的四大类型:

类型已知条件解法

22

两直角边a、bc=^a+b,tanA=—,ZB=9CT—ZA

b

两边

22

一直角边a,斜边cb=y/c-a,sinA=—,Z5=90°—ZA

c

一直角边。,锐角AZB=9CP-ZA,b=~^—,c=—

一边一锐角tanAsinA

斜边c,锐角AZB=9CP—ZAa=c-sinA,b=ccosA

基础知识归纳

题型一求正切值

【例1】在Rt^ABC中,ZC=90°,a=\,c=4,贝UtanA的值是().

A.巫B.-C.-D.&

1534

【答案】A

【分析】首先画出图形,利用勾股定理求出AC=j4?2_3c2=A,然后根据正弦的概念求解即可.

【详解】如图所示,

•.•在RtaABC中,NC=90°,a=l,c=4,

ABC=1,AB=4

AC=VAB2-BC2=715

BC1V15

tanA=耘一正一后

故选:A.

【例2】如图,在边长为1的方格纸中,AB与CD交于点B,其中A、8均为所在正方形小方格一边的中点,

则tanZABC=()

【答案】B

【分析】过点A作AE_LCD于点E,根据题意得出AE=3,EB=2,根据正切的定义即可求解.

【详解】解:如图所示,过点A作AE_LCD于点E,

A

:.tanZABC=—

EB2

故选:B.

巩固训练

1.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将一ABC如图那样折叠,使点A与点8重合,折痕为。E,

则tan/CBE的值是()

6S

B

D

A24B.f

A.——cD

7-1-I

【答案】c

【分析】根据折叠后所形成的图形全等,利用三角函数的定义解答即可.

【详解】由题意可知:BE=AE,

设C石=%,贝AE=8-x,

在Rt3CE中,

BE2=BC2+CE2,

222

(8-%)=6+x9

7

x=—

4

7

tan^CBE=||=1=^

故选:C

2.如图,在4x4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,一ABC的顶点都在格点上,则图中,BAC

r12石

C'?kJ.---------

5

【答案】C

【分析】根据网格的特点判断是直角三角形,根据正切的定义即可求解.

【详解】;由图可知,AC2=22+42=20,BC2=f+22=5,AB2=32+42=25,

ABC是直角三角形,且NACB=90。,

BC加1

..tanN_Ai5c=----=—产=一,

AC2V52

故选:c.

题型二正切概念辨析

【例3】在Rt^ABC中,各边的长度都缩小4倍,那么锐角A的余切值()

A.扩大4倍B.保持不变C.缩小2倍D.缩小4倍

【答案】B

【分析】根据题意可知一A大小不变,即得出锐角A的余切值保持不变.

【详解】解::在中,各边的长度都缩小4倍,

.♦•各角的大小不变,即NA大小不变.

•••一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关,

.♦.锐角A的余切值保持不变.

故选B.

巩固训练

3.小明要测量公园里一棵古树的高,被一条小溪挡住去路,采用计算方法,在A点测得古树顶的仰角为a,

向前走了10。米到8点,测得古树顶的仰角为口,则古树的高度为米.

100tan«tanp

【答案】

tan夕一tana

【分析】由正切的定义分别确定tana,tan/的表达式,进而联立成方程组,求解方程组即可得到答案.

【详解】解:如图,CO为树高,点C为树顶,贝UNCW=a,NCBD=p,BD=AD-l00

c

由①得..③

tana

将③代入②,解得8=幽臀些

tanp-tana

100tan«tanfi

故答案为:

tan夕一tana

4.如图,在RtABC中,ZC=90°.

(1)在BC边上取一点D,使得BD=DC,则tanZABC和tanZA£>C有什么大小关系?

(2)在8C边上取一点£>,使得取>=2DC,则tan/ABC和tanNADC有什么大小关系?

(3)在BC边上取一点Z),使得3D=〃DC(〃>0),贝UtanNABC和tan/ADC有什么大小关系?

【答案】(1)tanZABC=-tanZAZJC;(2)tanZABC=-tanZADC;(3)tanZABC=tanZADC

23n+\

/郁J对边

【分析】利用正切的定义:tanA=进行运算即可.

4曲勺邻边'

,.ACAC1AC/“寸AC

【详解】解:(1):•tanNA5c---------------,tanZADC=------

BC2DC2DCDC

tanZABC=—tanZADC

2

(2)VBD=2DC

:.BC=3DC

ArAC_1AC

tanZABC=—=tanZADC=-----

BC~3DC~YDCDC

tanNABC=—tanZADC

3

(3)9:BD=nDC

:.BC=(n+l)DC

ACAC1AC

,tanZABC=--------=----------------------二tanNAOC=——

BC(n+l)Z)Cn+lDC'DC

tanZABC=­-—tanZADC

n+1

题型三已知正切求值

【例4】如图,在地面上的点A处测得树顶8的仰角为〃,AC=7米,则树高3。为()

7

A.7sina米B.7cosa米C.7tana米D.-----米

sina

【答案】C

【分析】利用三角函数值中正切,可得到3c与AC的关系,计算即可.

【详解】在Rt_ABC中,tanZA=tantz=,

AC7

.\BC=7tana,

故选C.

3

【例5】在RtAABC中,ZC=90°,sinA--,将绕点3旋转后,点。落在射线AB上,点A落到

点A处,联结A4,.那么tanNBAA.

【答案】2或3

【分析】设AB=5a,BC=3a,由锐角三角函数和勾股定理可求AC=4°,由旋转的性质可求A'C'=AC=4a,

BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,分两种情况讨论,求出A'C的长,即可求解.

【详解】解:;NC=90。,sinA=j=4f,

5AB

设AB=5a,BC=3a,

AC=yjAB2-BC2=4a,

•.•将ABC绕点8旋转后,点C落在射线A3上,点A落到点A,处,

AAC'=AC=Aa,BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,

如图1,当点C落在线段AB上时,

贝[]AC'=AB+BC'=8a,

故答案为:2或

【例6】如图,已知A3是。。的直径,C为。。上一点,NOCB的平分线交。。于点。,过点D作。。的

切线交CB的延长线于点E.

⑴求证:CELDE-,

⑵若AB=10,tanA=1,求QE的长.

【答案】(1)见详解

⑵3

【分析】(1)连接。。,先由OC=OD,可得8〃CB,再由OE是。。的切线,可得NODE=90。,ZCED=90°,

即可求证.

(2)先由tanA的值得出8D和的关系,在利用勾股定理求得8。的长,通过推理可证△BDEABAD,

得出成比例线段求解.

【详解】(1)连接。。,如图

,?OC=OD,

:.ZOCD=ZODC,

':NOCD=NDCB,

:.ZODC=ZDCB,

:.OD//CB,

:.NODE+ZCED=180°,

*/DE是。。的切线,

NODE=90°,ZCED=90°,

:.CEVDE.

(2)〈AB是。。的直径,

:.ZADB=9Q°,

..BD1

•tanAA=----=-

AD3f

:.^BD=x,贝ljAD=3x,

AD2+BD2=AB2,即(3x)2+]2=0,

解得%=,

,/ZODE=ZADB=90°,

:.ZBDE=ZADOf

•:OA=OD,

:.ZADO=ZOADf

:.ZBDE=ZOAD,

\9ZE=ZADB=90°,

:.ABDEABAD,

.DEADDE3M

••一,nn,

BDAB71010

解得OE=3.

巩固训练

A53

5.如图,已知ABC,tanB=近,—BC=2近,AC的长为()

BC2

A.723B.V19C.721D.3^/3

【答案】C

【分析】作交AB于。,根据tanB=g1=也,BC=273,得出=CD=3,进而得出

BD

AD=AB-BD=2^3,再根据勾股定理即可得出答案.

【详解】作。,>15交48于£),

c

:•BD=6,CD=3,

..AB3

'BC~2'

/.AB=3y/3,

:.AD=AB-BD=3%-6=2拒,

在RfACD中,AC=^AD2+CD2=^2^+32=721

故答案为:C.

2

6.有一斜坡A8,坡顶8离地面的高度8c为20m,斜坡的倾斜角是/3AC,若tanNBAC=y,则此斜坡

的水平距离AC=m

【答案】50

【分析】根据正切三角函数计算求值即可.

【详解】解:由题意作图如下,

Be2

R。ABC中,ZC=90°,BC=20m,tanZA=—=—,

5

AC=BC+tan/A=20x』=50m,

2

故答案为:50.

7.如图,在四边形ABC。中,AB//CD,AB=AD,对角线AC,BD交于点。,AC平分NBA。,过点C作

CELAB交AB的延长线于点E,连接OE.

DC

(1)求证:四边形ABC。是菱形;

(2)若tan/OAB=;,BD=2,求CE的长.

【答案】(1)见解析

⑵竽

【分析】(1)根据平行线的性质得出NC4B="C4,进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可;

(2)根据菱形的性质解答即可.

【详解】(1)AB//CD,

:.ZCAB=ZDCA,

AC平分ZZMB,

:.ZDAC=ZCAB,

:.ZDAC=ZDCA,

/.AD=DCj

AB=ADf

:.AB=DC

AB//CD,

••・四边形ABCD是平行四边形,

又・AB=AD,

.••四边形ABC。是菱形;

(2).四边形ABCQ是菱形,

:.AC±BD,OB=OD=-BD,

2

:.OB=\,

tanZOAB=—

2

二.OA=2,

22

•二AB=VOB+CM=5

.\AC=2OA=4,

-ACBD=ABCE,

2

.-X4X2=A/5-CE.

2

c*

5

题型四正弦、余弦概念辨析

【例7】如图,在Rt^ABC中,ZBAC=90°,AD13C于点。,下列结论正确的是()

ACDCBCAB

【答案】C

【分析】根据垂直定义可得/AN=NADC=90。,然后在RtADC中,利用锐角三角函数的定义即可判断

A,B,再在RtAABC中,利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得/C=/BAD,

从而在Rt54。中,利用锐角三角函数的定义即可求出sin=",即可判断D.

AB

【详解】解:

JZADB=ZADC=90°,

AT)

在RtADC中sinC=,

AC

故A、B不符合题意;

Afi

在Rt^ABC中,sinC=——,

BC

故C符合题意;

VZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

JZC=ZBAD,

BD

在Rt.BAZ)中,sinZBAD=——

AB

sinC-sinABAD=----

AB

故D不符合题意;

故选:C.

【例8】如图,在A8C中,NACB=90。,CD是斜边AB上的高,下列线段的比值等于cosA的值的有个

,、AD,■、AC…、BD…CD

(1)—;(2)——;(3)—;(4)—

ACABBCBC

【答案】3

【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案.

【详解】解::在放△ABC中,ZACB=90°,CO是斜边AB上的高,

AZA+ZACD^90°,ZACD+ZBCD^90°,

:.ZA=ZBCD,

.,ADACCD

..cosA=---=---=

ACABBC

故(1),(2),(4)正确.

故答案为:3.

【例9】如图,在RtAABC中,8。是斜边AC上的高,AB^BC,则下列比值中等于sinA的是().

A.处B.处C.也D.生

ABADBCBC

【答案】D

【分析】由同角的余角相等求得NA=/DBC,根据正弦三角函数的定义判断即可;

【详解】解:VZABD+ZA=90°,ZABD+ZDBC=90°,

:.NA=NDBC,

AV)

A.—=cosA,不符合题意;

B.——=tanA,不符合题意;

AD

BD

C.=cosZDBC=cosA,不符合题意;

BC

nr

D.=sinZDBC=sinA,符合题意;

BC

故选:D.

巩固训练

7.

8.已知:a是锐角,taiA.tx=--,则s0w(=,cosa=.

24

【答案】972布4

7

【分析】作出直角三角形,根据tana=三设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.

24

【详解】解:如下图,设NA=a

••+7

・tana=——,

24

.*.BC=7k,AC=24k,

・•・直角三角形的斜边AB=25k,(勾股定理)

..BC7AC24

..sina=--=一,cosa=----=一.

AB25AB25

9.如图,在RtA45C中,CD是斜边A3上的高,NA#45。,则下列比值中不等于cos5的是()

【答案】C

【分析】根据已知可得NACO,然后利用锐角三角函数的定义判断即可.

【详解】A.・・・CD_LA5,

・•・ZCDB=ZADB=90°,

:.ZB+ZBCD=90°,

•・•ZACB=90°,

・•・ZACD+ZBCD=90°,

:.ZB=ZACD,

4—CD

在RthACD中,cosXACD=-----,

AC

••cos3一,

AC

故A不符合题意;

B.在放△OBC中,cosB=,故5不符合题意;

CB

CD

C.在Rt^DBC中,cosZBCD=----,

CB

ZA#45°,

・•・ZB^45°,

・•・ZB^ZBCD,

CD

••cosB^1

CB

故c符合题意;

D.在R/AABC中,cosB=----,故D不符合题意;

AB

故选:C.

题型五求角的正弦余弦值

【例10]如图,在上述网格中,小正方形的边长均为1,点A,8,。都在格点上,则/AOB的正弦值是

【答案】噜

【分析】利用勾股定理求出AO、8。的长,再由S.="8义2=9。3。得出BC,s而乙4。8可得答案.

【详解】解:如图,过点。作于点E,

过点8作BULOA于点C.

由勾股定理,得AO=742+22=2y[5,B0=1*+2。=20,

SAB0=1ABxOE=|AOy.BC,

..ABxOE2x22亚

AO2755

,BC2业1A/W

•\sinXAOB=----___x____—____

BO52A/2-10

故答案为:巫.

10

2

【例11]在心AABC中,2A、NB、/C对边分别为。、b、c,ZC=90°,若sinNA=§,贝!JcosN5()

A.@B.-C.-D.@

3232

【答案】C

「RCR

【分析】根据三角函数定义得出sin/A=F,cosNB==,即可得出答案.

ABAB

【详解】解:由题知,ZC=90°,

sinZA=®2

AB3

...cosZB=11=|

故选C.

B

巩固训练

10.已知一个不等臂跷跷板AB长3米,支撑柱08垂直地面,当AB的一端A着地时,AB与地面夹角的正

弦值为如图1;当48的另一端B着地时,A8与地面夹角的正弦值为g,如图2,则支撑柱。H的高为

()米.

【分析】根据正弦的定义得到。4=2OH,OB=3OH,根据题意列式计算即可.

CH1

【详解】解:在放及40"中,siiL4=}1=3,

CZ/iL

:.0A=20H,

OH]

在RtxBOH中,sin5=-----=—,

OB3

:.OB=3OH

U:AB=3米,

・・・2。"+30”=3,

解得:。"=0.6(米),

故选:D.

题型六特殊角三角函数值混合运算

【例12】计算:8sin60°-V12+(2-^)°+12^-20231

【答案】2024.

【分析】利用二次根式的加减,零指数次幕,二次根式的性质,特殊角三角函数和绝对值化简进行计算即

可.

【详解】解:原式=8x且一26+1+2023-2石,

2

=4>/3-2A/3+1+2023-2^,

=2024.

-1

【例13]计算:|0-2|+2cos45°-(-l产I

【答案】5

【分析】原式利用绝对值的代数意义,零指数幕、负整数指数幕法则、特殊角的三角函数计算即可求出值.

-1

【详解】解:|V2-2|+2COS450-(-1)2023+I

=2-72+72+1+2

=5

、|包2-G“c4cos60°-2cos45°

【例14J:tan60—y/3cot60H---------------------------

sin300-tan45°

【答案】2,-2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值,分别代入计算得出答案.

2h4x--2x—

[详解】解:原式=(石『一Gx拳+f——Z

----1

2

=3-1+20-4

=272-2.

巩固训练

比计算:2c潦:二45。+国3。。小

【答案】0+G

【分析】先代入特殊角三角函数值,再利用二次根式的运算法则进行计算.

2x-

【详解】解:原式=2x^-111

2

看+右T

=72+1+73-1

=A/2+A/3.

12.计算:

(l)2sin60°------cos45°+tan45°

2

sin4S。/7

(2)-----------J(cos600-1)-2cos30°

cos60°7

【答案】(1)石+—

(2)^2———^3

【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入,进而得出答案;

(2)直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简,进而得出答案.

【详解】(1)解:原式=2x正-变x也+1

222

=A/3--+1

2

="+2;

(2)解:原式二彳——一2义^~

2

=~J2----A/3.

2

题型六求特殊角三角函数值(已知函数值求锐角)

【例15]若(右tanA-3r+|2cos3-l|=0,贝|_帅。是()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.含有60。的任意三角形

D.顶角为钝角的等腰三角形

【答案】B

【分析】根据(石1皿4-3)2+|233-1|=0利用非负数的性质求得由4=338=;,再利用特殊角的三角

函数值求出NA=60。,48=60。,即可得到结论.

【详解】解:V(^tanA-3)2+|2cosB-l|=0,

A/3tanA-3=0,2cosB-l=0,

tanA=后cosB=—,

2

AZA=60°,ZB=60°,

・・・,ABC是等边三角形.

故选:B.

【例16]下列三角函数的值是走的是()

2

A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°

【答案】A

【分析】根据特殊角的三角函数值解答.

【详解】解:cos30°=3,tan30°=^,

cos60°=—,sin45=----,

2322

观察四个选项,选项A符合题意,

故选:A.

巩固训练

13.在RtZ\ABC中,NC=90°,ZB=30°,贝!Jcos5=(C)

A.1B.B。.—D.73

3

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解

【详解】解::N3=30°,贝I]COSB=3,

2

故选:B.

14.若锐角Na=30。,贝!Jsina的值是()

「V2D.2

A.1B.1L•------

22

【答案】B

【分析】根据30度角的正弦值为3即可得到答案.

【详解】解::=30。,

sina=-,

2

故选:B.

1

15.在中,cosA--+2(l-tanB)29=0,则/C的度数是()

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】由题意知cosA-』=0,l-tanB=0,解得A=60。,3=45。,根据/。=180。一/4—4?,计算求

2

解即可.

1

[详解]解:VcosA--+2(l-tanB)29=0,

/.cosA--=0,1—tan5=0,

2

解得A=60。,3=45。,

・•・ZC=180°-ZA-ZB=75°,

故选:C.

题型七由三角函数值确定三角形形状

【例17]在.ABC中,若|J5sinA—1]+cosB=0,则ABC是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】根据题意可得收sinA-1=0,*cosB=0.据此即可求得答案.

【详解】根据题意,得

A/2sinA—1=0>-cosS=0.

可得

sinA=----,cosB=-----.

22

ZA=ZS=45°.

所以,ZC=90°.

所以,ABC为等腰直角三角形.

故答案为:等腰直角三角形.

【例18]在-ABC中,NA、都是锐角,且|2sinA-1+(百-tan8『=0,则..ABC的形状是_____三角形

(填“等腰”、“等边”或“直角”).

【答案】直角

【分析】根据绝对值和偶次幕的非负性,结合特殊角的三角函数值求得,A、一3的度数,从而作出判断.

【详解】解:|2sinA-l|+^-tanB)2=0,>|2sinA-1|>0,(^-tanB)2>0,

2sinA-1=0,^/3-tanB=0,

sinA=—,tanB=A/3,

2

NA=3O°、^B=60°,

.,.在ABC中,ZC=90°,

,ABC是直角三角形,

故答案为:直角.

巩固训练

16.已知a、b、c分别是,1BC的角A、B、C的对边(a>b),二次函数y=(x-2a)x-26(x-a)+<?图像的

顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(加+5)炉-(2/"-5)x+加-8=0的两个根.

(D判断,ABC的形状;

⑵求相的值;

(3)若这个三角形的外接圆面积为25%,求ABC的内接正方形的边长.

【答案】(DAMC是直角三角形

(2)20

八、24120

⑶亍或方

【分析】(1)先由二次函数丫=(%-24口-2。。-幻+02图像的顶点在工轴上得到公=0,进而求得片+〃=。2,

再根据勾股定理逆定理即可证明;

(2)先利用互余两角三角函数的关系得到sinB=cosA,再根据一元二次方程根与系数的关系得到方程求

解.

(3)先由圆的面积公式求出11ABe的外接圆半径R=5,则斜边c=10,再将加=20代入方程得到

25X2-35%+12=0,解方程并求出。=8,6=6,再分类讨论.

【详解】(1)ABC是直角三角形;

证明:将y=(x-2a)x-26(x-a)+<?化简得至y=x2-2(a+b)x+lab+c1,

由于二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+<:2图像的顶点在无轴上,

/.A=4(tz+Z?)2-4(2ab+c2)=0,

「♦a2+Z?2=c2;

故」.ABC是直角三角形;

(2)解:_ABC是直角三角形,NC=90。,

/.ZA+ZB=90°,

•*-sinB=cosA,

sinA、sin3是关于x的方程(m+5)/一(2M一5)%+加一8=0的两个根,

2m-5

sinA+cosA=

m+5

m-8

sinA-cosA=

m+5

sin2A+cos2A=l,

/.(sinA+cosA)2-2sinAcosA=1,

・•.(网】)2-2m—8r

x——T=1,

m+5m+5

整理得用2—24机+80=0,

解得叫=20,冽2=4,

经检验,g=20,咫=4都是原方程的根,

当叫=20时,sinA+cosA>0,sinAcosA>0,

当加2=4时,sinA+cosA>0,sinAcosAv0舍去,

故机=20;

(3)解:由于三角形的外接圆面积为25乃,

•••外接圆半径R=5,

・,・斜边c=10,

将根=20代入方程得到25/—35%+12=0,

,43

解得玉=-,^2=-,

..6Z—8,b=6,

设正方形边长为工,

上EFAF

由——=——,

BCAC

得在6-x

o~~6~

解得冗=亍;

CKDG

市一方

24

5

图2

综上所述,ABC的内接正方形的边长为m或静.

17.在ABC中,2A、一3都是锐角,且sinA=必,cosB--,贝ijABC是().

22

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值求出NA=60。,ZB=60°,然后利用三角形内角和定理求出/C的度数,

即可解答.

【详解】解::sinA=走,cosB=1,

22

Z.ZA=60°,ZB=60°,

ZC=1800-ZA-ZB=60°,

.ABC是等边三角形,

故选:B.

题型八互余两角之间的三角函数关系

2

【例19】在Rt^ABC中,ZC=90°,已知sinA=§,那么cosB的值是()

A,-B,-C.立D.亚

3232

【答案】A

【分析】利用互余两角的三角函数关系求解,即可得到答案.

2

【详解】解:在RtZXABC中,NC=90。,sinA=-,

BC_2

,AB"3?

CB

【例20]若/a的余角是30。,则cosa的值是

【答案】1/0.5

【分析】先求出Na的余角,由cos6(F=;即可求解.

【详解】解:由题意得

Na=90°-30°=60°,

丁•cosa=cos60°=—,

2

故答案:.

巩固训练

2

18.已知分=90。,tana=—,则cot/?=.

2

【答案】y/0.4

【分析】应用互余两角三角函数的关系cos〃=tan(90。-⑶进行计算即可得出答案.

【详解】解:根据题意可得,cos£=tan(90。-万),

a+6=90°,

tana=cos/3,

2

cot夕=—=0.4,

故答案为:(2或0.4.

A

19.在RtZXABC中,ZC=90°,sinA=—,则cos3=

7

【答案】|

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦,可得答案.

A

【详解】解:・・・NC=90。,sinA=y,

...BC6

..sinA=----=—

AB7

.RBC6

AB7

题型九判断锐角取值范围

【例21]己知:<cosa<sin80。,则锐角a的取值范围是()

A.30°<cz<80°B.10°<a<80°C.60°<iz<80°D.10°<c<60°

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值,1=COS60°,sin80。=cos10。,再由余弦函数值在锐角范围内,随角度

增大而减小即可得到答案

【详解】解:-=cos60°,sin80°=cos10°,

2

••.由一vcosa<sin80°可得cos600<cosa<cos10°,

2

,.在锐角范围内,余弦函数值随着角度的增大而减小,

「.IO。<a<60。,

故选:D.

【例22】若锐角。满足cosavg,则a的取值范围是()

A.0°<«<60°B.60°<tz<90°C.0°<«<30°D.30°<tz<90°

【答案】B

【分析】利用特殊角的三角函数值得到cosa<cos600,然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解.

【详解】解:cos600=1,

而cosaJ,

2

/.coscir<cos60°,

/.a>60°,

锐角a的取值范围为:60°<«<90°.

故选:B.

巩固训练

20.已知cosA>;,则锐角—A的取值范围是()

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<90°

C.0°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】C

【分析】根据特殊角的三角函数值求出cos60。=g,根据当-A是锐角时,其余弦随角度的增大而减小即可

求解,

【详解】解:7/A为锐角,且cos6(T=g,

又:当NA是锐角时,其余弦随角度的增大而减小,

0°<ZA<60°,

故选:C.

21.已知—A为锐角,且sinAW且,贝!1()

2

A.0°<ZA<60°B.60°<ZA<90°

C.0°<ZA<30°D.30°<ZA<90°

【答案】A

【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大,进行判断即可.

【详解】解:当sinA=走时,ZA=60。,

2

为锐角,正弦值随着角度的增大而增大,

0°<ZA<60°;

故选A.

22.若NA为锐角,且tanA>V^,则/A()

A.小于30。B.大于30。C.大于45。且小于60。D.大于60。

【答案】D

【分析】首先确定在锐角范围内tan60。=石,并且在此范围内,正切函数值随角度的增大而增大,由此判

断即可.

【详解】解::在锐角范围内tan6(T=g,正切函数值随角度的增大而增大,

tanA〉石,BPtanA>tan60°,

/.ZA>60°,

故选:D.

题型十解(非)直角三角形相关计算

【例23]如图,在,ABC中,ZA=30°,AC=2^3,tanB=^-,则A3的长为()

2

A.2+2括B.3+gC.4D.5

【答案】D

【分析】作CD_LAB于。,根据NA=30。,AC=273,算出。。和AD,再根据tanB=8=1,算出比),

BD2

最后根据筋=力£)+3。计算即可.

【详解】如下图,作CDLAB于。,

在Rt△ACQ中,ZA=30°,AC=273,

CD=—AC=#,AD=sfiCD=3,

在RtBCD中,tanB=—=—,

BD2

..---=---,

BD2

BD=2,

.•.AB=AD+RD=3+2=5,

故选:D.

【例24】在RtZvlBC中,NC=90°,AB=26,tanA=—,那么BC=

12

【答案】10

【分析】设3c=5x,则AC=12x,求出AB=13x,然后解出x的值即可解题.

【详解】解:•••tanA=q1=1,

设3C=5x,贝i]AC=12x,

22

/•AB=^BC+AC=J(5、y+02x)2=13%=26,

解得:x=2,

/.BC=5x=10,

故答案为:10.

【例25】已知:在.ABC中,NA=60。,ZB=45。,AB=8.贝UABC的面积为—(结果可保留根号).

【答案】48-166

【分析】过C作CDLAB于。,利用直角三角形的性质求得C。的长.已知AB的长,根据三角形的面积公

式即可求得其面积.

【详解】解:过C作CDLAB于。,

CDr-

----=tanZDAC=tan60°=J3,

AD

CD

即如方

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论