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文档简介
第七章锐角三角函数(知识归纳+题型突破)
课标要求
一、锐角三角函数的基本概念
在RtAABC中,NC为直角,则锐角/A的三角函数为(/A可换成NB)
定义表达式
.“ZA的对边
正弦sinA=---——------sinA=—
斜边C
.NA的邻边,b
余弦cosA=——-----cosA=—
斜边c
,ZA的对边a
正切tanA4=—
ZA的邻边b
二、特殊角的三角函数值
1、特殊角(30。、45。、60°)的三角函数值:
三角函数30°45°60°
j_
sinaV3
2~T~T
cosaV3旦
~T22
73
tanaV1V3
2、锐角三角函数的有界性与增减性:
(1)有界性:锐角三角函数值都为正值,即当0。<(1<90。时,有0<sina<l,0<cosa<1,tana>0;
(2)增减性:锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.
3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系:
(1)sin2a+cos2a=1;(2)tana=
coscz
4、互为余角的两个锐角的正弦、余弦和正切的关系:
(1)sina=cos(90°-a);(2)cosa=sin(90°-a);(3)tana=——------r
tan(90°-a)
三、解直角三角形
1、直角三角形的性质(C为直角顶点):
①边与边的关系:a2+b2=c\②角与角的关系:ZA+ZB=90°;③边与角的关系:smA=-cosA=-
c;c;
a
tanAA=・
b
2、解直角三角形的四大类型:
类型已知条件解法
22
两直角边a、bc=^a+b,tanA=—,ZB=9CT—ZA
b
两边
22
一直角边a,斜边cb=y/c-a,sinA=—,Z5=90°—ZA
c
一直角边。,锐角AZB=9CP-ZA,b=~^—,c=—
一边一锐角tanAsinA
斜边c,锐角AZB=9CP—ZAa=c-sinA,b=ccosA
基础知识归纳
题型一求正切值
【例1】在Rt^ABC中,ZC=90°,a=\,c=4,贝UtanA的值是().
A.巫B.-C.-D.&
1534
【答案】A
【分析】首先画出图形,利用勾股定理求出AC=j4?2_3c2=A,然后根据正弦的概念求解即可.
【详解】如图所示,
•.•在RtaABC中,NC=90°,a=l,c=4,
ABC=1,AB=4
AC=VAB2-BC2=715
BC1V15
tanA=耘一正一后
故选:A.
【例2】如图,在边长为1的方格纸中,AB与CD交于点B,其中A、8均为所在正方形小方格一边的中点,
则tanZABC=()
【答案】B
【分析】过点A作AE_LCD于点E,根据题意得出AE=3,EB=2,根据正切的定义即可求解.
【详解】解:如图所示,过点A作AE_LCD于点E,
A
:.tanZABC=—
EB2
故选:B.
巩固训练
1.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将一ABC如图那样折叠,使点A与点8重合,折痕为。E,
则tan/CBE的值是()
二
6S
B
D
A24B.f
A.——cD
7-1-I
【答案】c
【分析】根据折叠后所形成的图形全等,利用三角函数的定义解答即可.
【详解】由题意可知:BE=AE,
设C石=%,贝AE=8-x,
在Rt3CE中,
BE2=BC2+CE2,
222
(8-%)=6+x9
7
x=—
4
7
tan^CBE=||=1=^
故选:C
2.如图,在4x4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,一ABC的顶点都在格点上,则图中,BAC
r12石
C'?kJ.---------
5
【答案】C
【分析】根据网格的特点判断是直角三角形,根据正切的定义即可求解.
【详解】;由图可知,AC2=22+42=20,BC2=f+22=5,AB2=32+42=25,
ABC是直角三角形,且NACB=90。,
BC加1
..tanN_Ai5c=----=—产=一,
AC2V52
故选:c.
题型二正切概念辨析
【例3】在Rt^ABC中,各边的长度都缩小4倍,那么锐角A的余切值()
A.扩大4倍B.保持不变C.缩小2倍D.缩小4倍
【答案】B
【分析】根据题意可知一A大小不变,即得出锐角A的余切值保持不变.
【详解】解::在中,各边的长度都缩小4倍,
.♦•各角的大小不变,即NA大小不变.
•••一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关,
.♦.锐角A的余切值保持不变.
故选B.
巩固训练
3.小明要测量公园里一棵古树的高,被一条小溪挡住去路,采用计算方法,在A点测得古树顶的仰角为a,
向前走了10。米到8点,测得古树顶的仰角为口,则古树的高度为米.
100tan«tanp
【答案】
tan夕一tana
【分析】由正切的定义分别确定tana,tan/的表达式,进而联立成方程组,求解方程组即可得到答案.
【详解】解:如图,CO为树高,点C为树顶,贝UNCW=a,NCBD=p,BD=AD-l00
c
由①得..③
tana
将③代入②,解得8=幽臀些
tanp-tana
100tan«tanfi
故答案为:
tan夕一tana
4.如图,在RtABC中,ZC=90°.
(1)在BC边上取一点D,使得BD=DC,则tanZABC和tanZA£>C有什么大小关系?
(2)在8C边上取一点£>,使得取>=2DC,则tan/ABC和tanNADC有什么大小关系?
(3)在BC边上取一点Z),使得3D=〃DC(〃>0),贝UtanNABC和tan/ADC有什么大小关系?
【答案】(1)tanZABC=-tanZAZJC;(2)tanZABC=-tanZADC;(3)tanZABC=tanZADC
23n+\
/郁J对边
【分析】利用正切的定义:tanA=进行运算即可.
4曲勺邻边'
,.ACAC1AC/“寸AC
【详解】解:(1):•tanNA5c---------------,tanZADC=------
BC2DC2DCDC
tanZABC=—tanZADC
2
(2)VBD=2DC
:.BC=3DC
ArAC_1AC
tanZABC=—=tanZADC=-----
BC~3DC~YDCDC
tanNABC=—tanZADC
3
(3)9:BD=nDC
:.BC=(n+l)DC
ACAC1AC
,tanZABC=--------=----------------------二tanNAOC=——
BC(n+l)Z)Cn+lDC'DC
tanZABC=-—tanZADC
n+1
题型三已知正切求值
【例4】如图,在地面上的点A处测得树顶8的仰角为〃,AC=7米,则树高3。为()
7
A.7sina米B.7cosa米C.7tana米D.-----米
sina
【答案】C
【分析】利用三角函数值中正切,可得到3c与AC的关系,计算即可.
【详解】在Rt_ABC中,tanZA=tantz=,
AC7
.\BC=7tana,
故选C.
3
【例5】在RtAABC中,ZC=90°,sinA--,将绕点3旋转后,点。落在射线AB上,点A落到
点A处,联结A4,.那么tanNBAA.
【答案】2或3
【分析】设AB=5a,BC=3a,由锐角三角函数和勾股定理可求AC=4°,由旋转的性质可求A'C'=AC=4a,
BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,分两种情况讨论,求出A'C的长,即可求解.
【详解】解:;NC=90。,sinA=j=4f,
5AB
设AB=5a,BC=3a,
AC=yjAB2-BC2=4a,
•.•将ABC绕点8旋转后,点C落在射线A3上,点A落到点A,处,
AAC'=AC=Aa,BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,
如图1,当点C落在线段AB上时,
贝[]AC'=AB+BC'=8a,
故答案为:2或
【例6】如图,已知A3是。。的直径,C为。。上一点,NOCB的平分线交。。于点。,过点D作。。的
切线交CB的延长线于点E.
⑴求证:CELDE-,
⑵若AB=10,tanA=1,求QE的长.
【答案】(1)见详解
⑵3
【分析】(1)连接。。,先由OC=OD,可得8〃CB,再由OE是。。的切线,可得NODE=90。,ZCED=90°,
即可求证.
(2)先由tanA的值得出8D和的关系,在利用勾股定理求得8。的长,通过推理可证△BDEABAD,
得出成比例线段求解.
【详解】(1)连接。。,如图
,?OC=OD,
:.ZOCD=ZODC,
':NOCD=NDCB,
:.ZODC=ZDCB,
:.OD//CB,
:.NODE+ZCED=180°,
*/DE是。。的切线,
NODE=90°,ZCED=90°,
:.CEVDE.
(2)〈AB是。。的直径,
:.ZADB=9Q°,
..BD1
•tanAA=----=-
AD3f
:.^BD=x,贝ljAD=3x,
AD2+BD2=AB2,即(3x)2+]2=0,
解得%=,
,/ZODE=ZADB=90°,
:.ZBDE=ZADOf
•:OA=OD,
:.ZADO=ZOADf
:.ZBDE=ZOAD,
\9ZE=ZADB=90°,
:.ABDEABAD,
.DEADDE3M
••一,nn,
BDAB71010
解得OE=3.
巩固训练
A53
5.如图,已知ABC,tanB=近,—BC=2近,AC的长为()
BC2
A.723B.V19C.721D.3^/3
【答案】C
【分析】作交AB于。,根据tanB=g1=也,BC=273,得出=CD=3,进而得出
BD
AD=AB-BD=2^3,再根据勾股定理即可得出答案.
【详解】作。,>15交48于£),
c
:•BD=6,CD=3,
..AB3
'BC~2'
/.AB=3y/3,
:.AD=AB-BD=3%-6=2拒,
在RfACD中,AC=^AD2+CD2=^2^+32=721
故答案为:C.
2
6.有一斜坡A8,坡顶8离地面的高度8c为20m,斜坡的倾斜角是/3AC,若tanNBAC=y,则此斜坡
的水平距离AC=m
【答案】50
【分析】根据正切三角函数计算求值即可.
【详解】解:由题意作图如下,
Be2
R。ABC中,ZC=90°,BC=20m,tanZA=—=—,
5
AC=BC+tan/A=20x』=50m,
2
故答案为:50.
7.如图,在四边形ABC。中,AB//CD,AB=AD,对角线AC,BD交于点。,AC平分NBA。,过点C作
CELAB交AB的延长线于点E,连接OE.
DC
(1)求证:四边形ABC。是菱形;
(2)若tan/OAB=;,BD=2,求CE的长.
【答案】(1)见解析
⑵竽
【分析】(1)根据平行线的性质得出NC4B="C4,进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可;
(2)根据菱形的性质解答即可.
【详解】(1)AB//CD,
:.ZCAB=ZDCA,
AC平分ZZMB,
:.ZDAC=ZCAB,
:.ZDAC=ZDCA,
/.AD=DCj
AB=ADf
:.AB=DC
AB//CD,
••・四边形ABCD是平行四边形,
又・AB=AD,
.••四边形ABC。是菱形;
(2).四边形ABCQ是菱形,
:.AC±BD,OB=OD=-BD,
2
:.OB=\,
tanZOAB=—
2
二.OA=2,
22
•二AB=VOB+CM=5
.\AC=2OA=4,
-ACBD=ABCE,
2
.-X4X2=A/5-CE.
2
c*
5
题型四正弦、余弦概念辨析
【例7】如图,在Rt^ABC中,ZBAC=90°,AD13C于点。,下列结论正确的是()
ACDCBCAB
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得/AN=NADC=90。,然后在RtADC中,利用锐角三角函数的定义即可判断
A,B,再在RtAABC中,利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得/C=/BAD,
从而在Rt54。中,利用锐角三角函数的定义即可求出sin=",即可判断D.
AB
【详解】解:
JZADB=ZADC=90°,
AT)
在RtADC中sinC=,
AC
故A、B不符合题意;
Afi
在Rt^ABC中,sinC=——,
BC
故C符合题意;
VZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,
JZC=ZBAD,
BD
在Rt.BAZ)中,sinZBAD=——
AB
sinC-sinABAD=----
AB
故D不符合题意;
故选:C.
【例8】如图,在A8C中,NACB=90。,CD是斜边AB上的高,下列线段的比值等于cosA的值的有个
,、AD,■、AC…、BD…CD
(1)—;(2)——;(3)—;(4)—
ACABBCBC
【答案】3
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案.
【详解】解::在放△ABC中,ZACB=90°,CO是斜边AB上的高,
AZA+ZACD^90°,ZACD+ZBCD^90°,
:.ZA=ZBCD,
.,ADACCD
..cosA=---=---=
ACABBC
故(1),(2),(4)正确.
故答案为:3.
【例9】如图,在RtAABC中,8。是斜边AC上的高,AB^BC,则下列比值中等于sinA的是().
A.处B.处C.也D.生
ABADBCBC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得NA=/DBC,根据正弦三角函数的定义判断即可;
【详解】解:VZABD+ZA=90°,ZABD+ZDBC=90°,
:.NA=NDBC,
AV)
A.—=cosA,不符合题意;
B.——=tanA,不符合题意;
AD
BD
C.=cosZDBC=cosA,不符合题意;
BC
nr
D.=sinZDBC=sinA,符合题意;
BC
故选:D.
巩固训练
7.
8.已知:a是锐角,taiA.tx=--,则s0w(=,cosa=.
24
【答案】972布4
7
【分析】作出直角三角形,根据tana=三设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.
24
【详解】解:如下图,设NA=a
••+7
・tana=——,
24
.*.BC=7k,AC=24k,
・•・直角三角形的斜边AB=25k,(勾股定理)
..BC7AC24
..sina=--=一,cosa=----=一.
AB25AB25
9.如图,在RtA45C中,CD是斜边A3上的高,NA#45。,则下列比值中不等于cos5的是()
【答案】C
【分析】根据已知可得NACO,然后利用锐角三角函数的定义判断即可.
【详解】A.・・・CD_LA5,
・•・ZCDB=ZADB=90°,
:.ZB+ZBCD=90°,
•・•ZACB=90°,
・•・ZACD+ZBCD=90°,
:.ZB=ZACD,
4—CD
在RthACD中,cosXACD=-----,
AC
••cos3一,
AC
故A不符合题意;
B.在放△OBC中,cosB=,故5不符合题意;
CB
CD
C.在Rt^DBC中,cosZBCD=----,
CB
ZA#45°,
・•・ZB^45°,
・•・ZB^ZBCD,
CD
••cosB^1
CB
故c符合题意;
D.在R/AABC中,cosB=----,故D不符合题意;
AB
故选:C.
题型五求角的正弦余弦值
【例10]如图,在上述网格中,小正方形的边长均为1,点A,8,。都在格点上,则/AOB的正弦值是
【答案】噜
【分析】利用勾股定理求出AO、8。的长,再由S.="8义2=9。3。得出BC,s而乙4。8可得答案.
【详解】解:如图,过点。作于点E,
过点8作BULOA于点C.
由勾股定理,得AO=742+22=2y[5,B0=1*+2。=20,
SAB0=1ABxOE=|AOy.BC,
..ABxOE2x22亚
AO2755
,BC2业1A/W
•\sinXAOB=----___x____—____
BO52A/2-10
故答案为:巫.
10
2
【例11]在心AABC中,2A、NB、/C对边分别为。、b、c,ZC=90°,若sinNA=§,贝!JcosN5()
A.@B.-C.-D.@
3232
【答案】C
「RCR
【分析】根据三角函数定义得出sin/A=F,cosNB==,即可得出答案.
ABAB
【详解】解:由题知,ZC=90°,
sinZA=®2
AB3
...cosZB=11=|
故选C.
B
巩固训练
10.已知一个不等臂跷跷板AB长3米,支撑柱08垂直地面,当AB的一端A着地时,AB与地面夹角的正
弦值为如图1;当48的另一端B着地时,A8与地面夹角的正弦值为g,如图2,则支撑柱。H的高为
()米.
【分析】根据正弦的定义得到。4=2OH,OB=3OH,根据题意列式计算即可.
CH1
【详解】解:在放及40"中,siiL4=}1=3,
CZ/iL
:.0A=20H,
OH]
在RtxBOH中,sin5=-----=—,
OB3
:.OB=3OH
U:AB=3米,
・・・2。"+30”=3,
解得:。"=0.6(米),
故选:D.
题型六特殊角三角函数值混合运算
【例12】计算:8sin60°-V12+(2-^)°+12^-20231
【答案】2024.
【分析】利用二次根式的加减,零指数次幕,二次根式的性质,特殊角三角函数和绝对值化简进行计算即
可.
【详解】解:原式=8x且一26+1+2023-2石,
2
=4>/3-2A/3+1+2023-2^,
=2024.
-1
【例13]计算:|0-2|+2cos45°-(-l产I
【答案】5
【分析】原式利用绝对值的代数意义,零指数幕、负整数指数幕法则、特殊角的三角函数计算即可求出值.
-1
【详解】解:|V2-2|+2COS450-(-1)2023+I
=2-72+72+1+2
=5
、|包2-G“c4cos60°-2cos45°
【例14J:tan60—y/3cot60H---------------------------
sin300-tan45°
【答案】2,-2
【分析】直接利用特殊角的三角函数值,分别代入计算得出答案.
2h4x--2x—
[详解】解:原式=(石『一Gx拳+f——Z
----1
2
=3-1+20-4
=272-2.
巩固训练
比计算:2c潦:二45。+国3。。小
【答案】0+G
【分析】先代入特殊角三角函数值,再利用二次根式的运算法则进行计算.
2x-
【详解】解:原式=2x^-111
2
看+右T
=72+1+73-1
=A/2+A/3.
12.计算:
(l)2sin60°------cos45°+tan45°
2
sin4S。/7
(2)-----------J(cos600-1)-2cos30°
cos60°7
【答案】(1)石+—
(2)^2———^3
【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入,进而得出答案;
(2)直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简,进而得出答案.
【详解】(1)解:原式=2x正-变x也+1
222
=A/3--+1
2
="+2;
出
(2)解:原式二彳——一2义^~
2
=~J2----A/3.
2
题型六求特殊角三角函数值(已知函数值求锐角)
【例15]若(右tanA-3r+|2cos3-l|=0,贝|_帅。是()
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有60。的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
【答案】B
【分析】根据(石1皿4-3)2+|233-1|=0利用非负数的性质求得由4=338=;,再利用特殊角的三角
函数值求出NA=60。,48=60。,即可得到结论.
【详解】解:V(^tanA-3)2+|2cosB-l|=0,
A/3tanA-3=0,2cosB-l=0,
tanA=后cosB=—,
2
AZA=60°,ZB=60°,
・・・,ABC是等边三角形.
故选:B.
【例16]下列三角函数的值是走的是()
2
A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答.
【详解】解:cos30°=3,tan30°=^,
cos60°=—,sin45=----,
2322
观察四个选项,选项A符合题意,
故选:A.
巩固训练
13.在RtZ\ABC中,NC=90°,ZB=30°,贝!Jcos5=(C)
A.1B.B。.—D.73
3
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解
【详解】解::N3=30°,贝I]COSB=3,
2
故选:B.
14.若锐角Na=30。,贝!Jsina的值是()
「V2D.2
A.1B.1L•------
22
【答案】B
【分析】根据30度角的正弦值为3即可得到答案.
【详解】解::=30。,
sina=-,
2
故选:B.
1
15.在中,cosA--+2(l-tanB)29=0,则/C的度数是()
A.45°B.60°C.75°D.105°
【答案】C
【分析】由题意知cosA-』=0,l-tanB=0,解得A=60。,3=45。,根据/。=180。一/4—4?,计算求
2
解即可.
1
[详解]解:VcosA--+2(l-tanB)29=0,
/.cosA--=0,1—tan5=0,
2
解得A=60。,3=45。,
・•・ZC=180°-ZA-ZB=75°,
故选:C.
题型七由三角函数值确定三角形形状
【例17]在.ABC中,若|J5sinA—1]+cosB=0,则ABC是.
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据题意可得收sinA-1=0,*cosB=0.据此即可求得答案.
【详解】根据题意,得
A/2sinA—1=0>-cosS=0.
可得
sinA=----,cosB=-----.
22
则
ZA=ZS=45°.
所以,ZC=90°.
所以,ABC为等腰直角三角形.
故答案为:等腰直角三角形.
【例18]在-ABC中,NA、都是锐角,且|2sinA-1+(百-tan8『=0,则..ABC的形状是_____三角形
(填“等腰”、“等边”或“直角”).
【答案】直角
【分析】根据绝对值和偶次幕的非负性,结合特殊角的三角函数值求得,A、一3的度数,从而作出判断.
【详解】解:|2sinA-l|+^-tanB)2=0,>|2sinA-1|>0,(^-tanB)2>0,
2sinA-1=0,^/3-tanB=0,
sinA=—,tanB=A/3,
2
NA=3O°、^B=60°,
.,.在ABC中,ZC=90°,
,ABC是直角三角形,
故答案为:直角.
巩固训练
16.已知a、b、c分别是,1BC的角A、B、C的对边(a>b),二次函数y=(x-2a)x-26(x-a)+<?图像的
顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(加+5)炉-(2/"-5)x+加-8=0的两个根.
(D判断,ABC的形状;
⑵求相的值;
(3)若这个三角形的外接圆面积为25%,求ABC的内接正方形的边长.
【答案】(DAMC是直角三角形
(2)20
八、24120
⑶亍或方
【分析】(1)先由二次函数丫=(%-24口-2。。-幻+02图像的顶点在工轴上得到公=0,进而求得片+〃=。2,
再根据勾股定理逆定理即可证明;
(2)先利用互余两角三角函数的关系得到sinB=cosA,再根据一元二次方程根与系数的关系得到方程求
解.
(3)先由圆的面积公式求出11ABe的外接圆半径R=5,则斜边c=10,再将加=20代入方程得到
25X2-35%+12=0,解方程并求出。=8,6=6,再分类讨论.
【详解】(1)ABC是直角三角形;
证明:将y=(x-2a)x-26(x-a)+<?化简得至y=x2-2(a+b)x+lab+c1,
由于二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+<:2图像的顶点在无轴上,
/.A=4(tz+Z?)2-4(2ab+c2)=0,
「♦a2+Z?2=c2;
故」.ABC是直角三角形;
(2)解:_ABC是直角三角形,NC=90。,
/.ZA+ZB=90°,
•*-sinB=cosA,
sinA、sin3是关于x的方程(m+5)/一(2M一5)%+加一8=0的两个根,
2m-5
sinA+cosA=
m+5
m-8
sinA-cosA=
m+5
sin2A+cos2A=l,
/.(sinA+cosA)2-2sinAcosA=1,
・•.(网】)2-2m—8r
x——T=1,
m+5m+5
整理得用2—24机+80=0,
解得叫=20,冽2=4,
经检验,g=20,咫=4都是原方程的根,
当叫=20时,sinA+cosA>0,sinAcosA>0,
当加2=4时,sinA+cosA>0,sinAcosAv0舍去,
故机=20;
(3)解:由于三角形的外接圆面积为25乃,
•••外接圆半径R=5,
・,・斜边c=10,
将根=20代入方程得到25/—35%+12=0,
,43
解得玉=-,^2=-,
..6Z—8,b=6,
设正方形边长为工,
上EFAF
由——=——,
BCAC
得在6-x
o~~6~
解得冗=亍;
CKDG
市一方
24
5
图2
综上所述,ABC的内接正方形的边长为m或静.
17.在ABC中,2A、一3都是锐角,且sinA=必,cosB--,贝ijABC是().
22
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出NA=60。,ZB=60°,然后利用三角形内角和定理求出/C的度数,
即可解答.
【详解】解::sinA=走,cosB=1,
22
Z.ZA=60°,ZB=60°,
ZC=1800-ZA-ZB=60°,
.ABC是等边三角形,
故选:B.
题型八互余两角之间的三角函数关系
2
【例19】在Rt^ABC中,ZC=90°,已知sinA=§,那么cosB的值是()
A,-B,-C.立D.亚
3232
【答案】A
【分析】利用互余两角的三角函数关系求解,即可得到答案.
2
【详解】解:在RtZXABC中,NC=90。,sinA=-,
BC_2
,AB"3?
CB
【例20]若/a的余角是30。,则cosa的值是
【答案】1/0.5
【分析】先求出Na的余角,由cos6(F=;即可求解.
【详解】解:由题意得
Na=90°-30°=60°,
丁•cosa=cos60°=—,
2
故答案:.
巩固训练
2
18.已知分=90。,tana=—,则cot/?=.
2
【答案】y/0.4
【分析】应用互余两角三角函数的关系cos〃=tan(90。-⑶进行计算即可得出答案.
【详解】解:根据题意可得,cos£=tan(90。-万),
a+6=90°,
tana=cos/3,
2
cot夕=—=0.4,
故答案为:(2或0.4.
A
19.在RtZXABC中,ZC=90°,sinA=—,则cos3=
7
【答案】|
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦,可得答案.
A
【详解】解:・・・NC=90。,sinA=y,
...BC6
..sinA=----=—
AB7
.RBC6
AB7
题型九判断锐角取值范围
【例21]己知:<cosa<sin80。,则锐角a的取值范围是()
A.30°<cz<80°B.10°<a<80°C.60°<iz<80°D.10°<c<60°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值,1=COS60°,sin80。=cos10。,再由余弦函数值在锐角范围内,随角度
增大而减小即可得到答案
【详解】解:-=cos60°,sin80°=cos10°,
2
••.由一vcosa<sin80°可得cos600<cosa<cos10°,
2
,.在锐角范围内,余弦函数值随着角度的增大而减小,
「.IO。<a<60。,
故选:D.
【例22】若锐角。满足cosavg,则a的取值范围是()
A.0°<«<60°B.60°<tz<90°C.0°<«<30°D.30°<tz<90°
【答案】B
【分析】利用特殊角的三角函数值得到cosa<cos600,然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解.
【详解】解:cos600=1,
而cosaJ,
2
/.coscir<cos60°,
/.a>60°,
锐角a的取值范围为:60°<«<90°.
故选:B.
巩固训练
20.已知cosA>;,则锐角—A的取值范围是()
A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<90°
C.0°<ZA<60°D.60°<ZA<90°
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出cos60。=g,根据当-A是锐角时,其余弦随角度的增大而减小即可
求解,
【详解】解:7/A为锐角,且cos6(T=g,
又:当NA是锐角时,其余弦随角度的增大而减小,
0°<ZA<60°,
故选:C.
21.已知—A为锐角,且sinAW且,贝!1()
2
A.0°<ZA<60°B.60°<ZA<90°
C.0°<ZA<30°D.30°<ZA<90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大,进行判断即可.
【详解】解:当sinA=走时,ZA=60。,
2
为锐角,正弦值随着角度的增大而增大,
0°<ZA<60°;
故选A.
22.若NA为锐角,且tanA>V^,则/A()
A.小于30。B.大于30。C.大于45。且小于60。D.大于60。
【答案】D
【分析】首先确定在锐角范围内tan60。=石,并且在此范围内,正切函数值随角度的增大而增大,由此判
断即可.
【详解】解::在锐角范围内tan6(T=g,正切函数值随角度的增大而增大,
tanA〉石,BPtanA>tan60°,
/.ZA>60°,
故选:D.
题型十解(非)直角三角形相关计算
【例23]如图,在,ABC中,ZA=30°,AC=2^3,tanB=^-,则A3的长为()
2
A.2+2括B.3+gC.4D.5
【答案】D
【分析】作CD_LAB于。,根据NA=30。,AC=273,算出。。和AD,再根据tanB=8=1,算出比),
BD2
最后根据筋=力£)+3。计算即可.
【详解】如下图,作CDLAB于。,
在Rt△ACQ中,ZA=30°,AC=273,
CD=—AC=#,AD=sfiCD=3,
在RtBCD中,tanB=—=—,
BD2
..---=---,
BD2
BD=2,
.•.AB=AD+RD=3+2=5,
故选:D.
【例24】在RtZvlBC中,NC=90°,AB=26,tanA=—,那么BC=
12
【答案】10
【分析】设3c=5x,则AC=12x,求出AB=13x,然后解出x的值即可解题.
【详解】解:•••tanA=q1=1,
设3C=5x,贝i]AC=12x,
22
/•AB=^BC+AC=J(5、y+02x)2=13%=26,
解得:x=2,
/.BC=5x=10,
故答案为:10.
【例25】已知:在.ABC中,NA=60。,ZB=45。,AB=8.贝UABC的面积为—(结果可保留根号).
【答案】48-166
【分析】过C作CDLAB于。,利用直角三角形的性质求得C。的长.已知AB的长,根据三角形的面积公
式即可求得其面积.
【详解】解:过C作CDLAB于。,
CDr-
----=tanZDAC=tan60°=J3,
AD
CD
即如方
在
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