苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数（知识归纳+题型突破）（解析版）

第七章锐角三角函数（知识归纳+题型突破）

课标要求

一、锐角三角函数的基本概念

在RtAABC中，NC为直角，则锐角/A的三角函数为（/A可换成NB）

定义表达式

.“ZA的对边

正弦sinA=---——------sinA=—

斜边C

.NA的邻边,b

余弦cosA=——-----cosA=—

斜边c

,ZA的对边a

正切tanA4=—

ZA的邻边b

二、特殊角的三角函数值

1、特殊角（30。、45。、60°）的三角函数值：

三角函数30°45°60°

j_

sinaV3

2~T~T

cosaV3旦

~T22

73

tanaV1V3

2、锐角三角函数的有界性与增减性：

（1）有界性：锐角三角函数值都为正值，即当0。<（1<90。时，有0<sina<l,0<cosa<1,tana>0；

（2）增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.

3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：

(1)sin2a+cos2a=1；(2)tana=

coscz

4、互为余角的两个锐角的正弦、余弦和正切的关系：

(1)sina=cos(90°-a)；(2)cosa=sin(90°-a)；(3)tana=——------r

tan(90°-a)

三、解直角三角形

1、直角三角形的性质（C为直角顶点）：

①边与边的关系：a2+b2=c\②角与角的关系：ZA+ZB=90°；③边与角的关系：smA=-cosA=-

c;c;

a

tanAA=­・

b

2、解直角三角形的四大类型:

类型已知条件解法

22

两直角边a、bc=^a+b,tanA=—,ZB=9CT—ZA

b

两边

22

一直角边a,斜边cb=y/c-a,sinA=—,Z5=90°—ZA

c

一直角边。，锐角AZB=9CP-ZA,b=~^—,c=—

一边一锐角tanAsinA

斜边c,锐角AZB=9CP—ZAa=c-sinA,b=ccosA

基础知识归纳

题型一求正切值

【例1】在Rt^ABC中，ZC=90°,a=\,c=4,贝UtanA的值是（）.

A.巫B.-C.-D.&

1534

【答案】A

【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出AC=j4?2_3c2=A，然后根据正弦的概念求解即可.

【详解】如图所示,

•.•在RtaABC中，NC=90°,a=l,c=4,

ABC=1,AB=4

AC=VAB2-BC2=715

BC1V15

tanA=耘一正一后

故选：A.

【例2】如图，在边长为1的方格纸中，AB与CD交于点B,其中A、8均为所在正方形小方格一边的中点,

则tanZABC=()

【答案】B

【分析】过点A作AE_LCD于点E,根据题意得出AE=3,EB=2,根据正切的定义即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AE_LCD于点E,

A

：.tanZABC=—

EB2

故选：B.

巩固训练

1.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将一ABC如图那样折叠，使点A与点8重合，折痕为。E,

则tan/CBE的值是()

二

6S

B

D

A24B.f

A.——cD

7-1-I

【答案】c

【分析】根据折叠后所形成的图形全等,利用三角函数的定义解答即可.

【详解】由题意可知：BE=AE,

设C石=%,贝AE=8-x,

在Rt3CE中,

BE2=BC2+CE2,

222

(8-%)=6+x9

7

x=—

4

7

tan^CBE=||=1=^

故选：C

2.如图，在4x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，一ABC的顶点都在格点上，则图中,BAC

r12石

C'?kJ.---------

5

【答案】C

【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解.

【详解】；由图可知,AC2=22+42=20,BC2=f+22=5,AB2=32+42=25,

ABC是直角三角形，且NACB=90。,

BC加1

..tanN_Ai5c=----=—产=一,

AC2V52

故选：c.

题型二正切概念辨析

【例3】在Rt^ABC中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（）

A.扩大4倍B.保持不变C.缩小2倍D.缩小4倍

【答案】B

【分析】根据题意可知一A大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变.

【详解】解：：在中，各边的长度都缩小4倍，

.♦•各角的大小不变，即NA大小不变.

•••一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，

.♦.锐角A的余切值保持不变.

故选B.

巩固训练

3.小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为a,

向前走了10。米到8点，测得古树顶的仰角为口，则古树的高度为米.

100tan«tanp

【答案】

tan夕一tana

【分析】由正切的定义分别确定tana,tan/的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案.

【详解】解：如图，CO为树高，点C为树顶，贝UNCW=a,NCBD=p,BD=AD-l00

c

由①得..③

tana

将③代入②，解得8=幽臀些

tanp-tana

100tan«tanfi

故答案为:

tan夕一tana

4.如图，在RtABC中，ZC=90°.

(1)在BC边上取一点D,使得BD=DC,则tanZABC和tanZA£>C有什么大小关系？

(2)在8C边上取一点£>,使得取>=2DC,则tan/ABC和tanNADC有什么大小关系？

(3)在BC边上取一点Z),使得3D=〃DC(〃>0),贝UtanNABC和tan/ADC有什么大小关系？

【答案】(1)tanZABC=-tanZAZJC；(2)tanZABC=-tanZADC；(3)tanZABC=tanZADC

23n+\

/郁J对边

【分析】利用正切的定义：tanA=进行运算即可.

4曲勺邻边'

，.ACAC1AC/“寸AC

【详解】解：(1)：•tanNA5c---------------,tanZADC=------

BC2DC2DCDC

tanZABC=—tanZADC

2

(2)VBD=2DC

：.BC=3DC

ArAC_1AC

tanZABC=—=tanZADC=-----

BC~3DC~YDCDC

tanNABC=—tanZADC

3

(3)9：BD=nDC

：.BC=(n+l)DC

ACAC1AC

,tanZABC=--------=----------------------二tanNAOC=——

BC(n+l)Z)Cn+lDC'DC

tanZABC=­-—tanZADC

n+1

题型三已知正切求值

【例4】如图，在地面上的点A处测得树顶8的仰角为〃，AC=7米，则树高3。为（）

7

A.7sina米B.7cosa米C.7tana米D.-----米

sina

【答案】C

【分析】利用三角函数值中正切，可得到3c与AC的关系，计算即可.

【详解】在Rt_ABC中，tanZA=tantz=,

AC7

.\BC=7tana,

故选C.

3

【例5】在RtAABC中，ZC=90°,sinA--,将绕点3旋转后，点。落在射线AB上，点A落到

点A处，联结A4，.那么tanNBAA.

【答案】2或3

【分析】设AB=5a,BC=3a,由锐角三角函数和勾股定理可求AC=4°,由旋转的性质可求A'C'=AC=4a,

BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,分两种情况讨论，求出A'C的长，即可求解.

【详解】解：；NC=90。，sinA=j=4f，

5AB

设AB=5a,BC=3a,

AC=yjAB2-BC2=4a，

•.•将ABC绕点8旋转后，点C落在射线A3上，点A落到点A，处,

AAC'=AC=Aa,BC=BC'=3a,ZACB=ZAC'B=90°,

如图1,当点C落在线段AB上时，

贝[]AC'=AB+BC'=8a,

故答案为：2或

【例6】如图，已知A3是。。的直径，C为。。上一点，NOCB的平分线交。。于点。，过点D作。。的

切线交CB的延长线于点E.

⑴求证：CELDE-,

⑵若AB=10,tanA=1,求QE的长.

【答案】(1)见详解

⑵3

【分析】(1)连接。。，先由OC=OD,可得8〃CB,再由OE是。。的切线，可得NODE=90。，ZCED=90°,

即可求证.

(2)先由tanA的值得出8D和的关系，在利用勾股定理求得8。的长，通过推理可证△BDEABAD,

得出成比例线段求解.

【详解】(1)连接。。，如图

,?OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

'：NOCD=NDCB,

：.ZODC=ZDCB,

：.OD//CB,

：.NODE+ZCED=180°,

*/DE是。。的切线，

NODE=90°,ZCED=90°,

：.CEVDE.

(2)〈AB是。。的直径,

：.ZADB=9Q°,

..BD1

•tanAA=----=-

AD3f

：.^BD=x,贝ljAD=3x,

AD2+BD2=AB2，即（3x）2+]2=0,

解得％=，

,/ZODE=ZADB=90°,

：.ZBDE=ZADOf

•：OA=OD,

：.ZADO=ZOADf

：.ZBDE=ZOAD,

\9ZE=ZADB=90°,

：.ABDEABAD,

.DEADDE3M

••一,nn,

BDAB71010

解得OE=3.

巩固训练

A53

5.如图，已知ABC,tanB=近，—BC=2近，AC的长为()

BC2

A.723B.V19C.721D.3^/3

【答案】C

【分析】作交AB于。，根据tanB=g1=也，BC=273,得出=CD=3,进而得出

BD

AD=AB-BD=2^3,再根据勾股定理即可得出答案.

【详解】作。，＞15交48于£),

c

:•BD=6,CD=3,

..AB3

'BC~2'

/.AB=3y/3,

：.AD=AB-BD=3%-6=2拒,

在RfACD中，AC=^AD2+CD2=^2^+32=721

故答案为：C.

2

6.有一斜坡A8,坡顶8离地面的高度8c为20m,斜坡的倾斜角是/3AC,若tanNBAC=y,则此斜坡

的水平距离AC=m

【答案】50

【分析】根据正切三角函数计算求值即可.

【详解】解：由题意作图如下，

Be2

R。ABC中，ZC=90°,BC=20m,tanZA=—=—,

5

AC=BC+tan/A=20x』=50m,

2

故答案为：50.

7.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AB=AD,对角线AC,BD交于点。，AC平分NBA。，过点C作

CELAB交AB的延长线于点E,连接OE.

DC

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）若tan/OAB=；,BD=2,求CE的长.

【答案】（1）见解析

⑵竽

【分析】（1）根据平行线的性质得出NC4B="C4,进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可;

（2）根据菱形的性质解答即可.

【详解】（1）AB//CD,

:.ZCAB=ZDCA,

AC平分ZZMB,

:.ZDAC=ZCAB,

:.ZDAC=ZDCA,

/.AD=DCj

AB=ADf

:.AB=DC

AB//CD,

••・四边形ABCD是平行四边形，

又・AB=AD,

.••四边形ABC。是菱形；

（2）.四边形ABCQ是菱形，

:.AC±BD,OB=OD=-BD,

2

：.OB=\,

tanZOAB=—

2

二.OA=2,

22

•二AB=VOB+CM=5

.\AC=2OA=4,

-ACBD=ABCE,

2

.-X4X2=A/5-CE.

2

c*

5

题型四正弦、余弦概念辨析

【例7】如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD13C于点。，下列结论正确的是（)

ACDCBCAB

【答案】C

【分析】根据垂直定义可得/AN=NADC=90。，然后在RtADC中，利用锐角三角函数的定义即可判断

A,B,再在RtAABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得/C=/BAD,

从而在Rt54。中，利用锐角三角函数的定义即可求出sin="，即可判断D.

AB

【详解】解：

JZADB=ZADC=90°,

AT)

在RtADC中sinC=,

AC

故A、B不符合题意；

Afi

在Rt^ABC中，sinC=——,

BC

故C符合题意；

VZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

JZC=ZBAD,

BD

在Rt.BAZ)中，sinZBAD=——

AB

sinC-sinABAD=----

AB

故D不符合题意;

故选：C.

【例8】如图，在A8C中，NACB=90。,CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有个

,、AD,■、AC…、BD…CD

(1)—；(2)——；(3)—；(4)—

ACABBCBC

【答案】3

【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案.

【详解】解：：在放△ABC中，ZACB=90°,CO是斜边AB上的高,

AZA+ZACD^90°,ZACD+ZBCD^90°,

：.ZA=ZBCD,

.,ADACCD

..cosA=---=---=

ACABBC

故(1),(2),(4)正确.

故答案为：3.

【例9】如图，在RtAABC中，8。是斜边AC上的高，AB^BC,则下列比值中等于sinA的是（）.

A.处B.处C.也D.生

ABADBCBC

【答案】D

【分析】由同角的余角相等求得NA=/DBC,根据正弦三角函数的定义判断即可;

【详解】解：VZABD+ZA=90°,ZABD+ZDBC=90°,

：.NA=NDBC,

AV）

A.—=cosA,不符合题意；

B.——=tanA,不符合题意;

AD

BD

C.=cosZDBC=cosA,不符合题意；

BC

nr

D.=sinZDBC=sinA,符合题意；

BC

故选：D.

巩固训练

7.

8.已知：a是锐角，taiA.tx=--,则s0w（=，cosa=.

24

【答案】972布4

7

【分析】作出直角三角形，根据tana=三设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.

24

【详解】解：如下图，设NA=a

••+7

・tana=——,

24

.*.BC=7k,AC=24k,

・•・直角三角形的斜边AB=25k,（勾股定理）

..BC7AC24

..sina=--=一,cosa=----=一.

AB25AB25

9.如图，在RtA45C中，CD是斜边A3上的高，NA#45。，则下列比值中不等于cos5的是（）

【答案】C

【分析】根据已知可得NACO,然后利用锐角三角函数的定义判断即可.

【详解】A.・・・CD_LA5,

・•・ZCDB=ZADB=90°,

：.ZB+ZBCD=90°,

•・•ZACB=90°,

・•・ZACD+ZBCD=90°,

：.ZB=ZACD,

4—CD

在RthACD中，cosXACD=-----,

AC

••cos3一,

AC

故A不符合题意；

B.在放△OBC中，cosB=,故5不符合题意;

CB

CD

C.在Rt^DBC中,cosZBCD=----,

CB

ZA#45°,

・•・ZB^45°,

・•・ZB^ZBCD,

CD

••cosB^1

CB

故c符合题意；

D.在R/AABC中，cosB=----,故D不符合题意;

AB

故选：C.

题型五求角的正弦余弦值

【例10］如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1,点A,8,。都在格点上，则/AOB的正弦值是

【答案】噜

【分析】利用勾股定理求出AO、8。的长，再由S.="8义2=9。3。得出BC,s而乙4。8可得答案.

【详解】解：如图，过点。作于点E,

过点8作BULOA于点C.

由勾股定理，得AO=742+22=2y[5，B0=1*+2。=20，

SAB0=1ABxOE=|AOy.BC,

..ABxOE2x22亚

AO2755

,BC2业1A/W

•\sinXAOB=----___x____—____

BO52A/2-10

故答案为：巫.

10

2

【例11］在心AABC中，2A、NB、/C对边分别为。、b、c,ZC=90°,若sinNA=§,贝！JcosN5()

A.@B.-C.-D.@

3232

【答案】C

「RCR

【分析】根据三角函数定义得出sin/A=F，cosNB==,即可得出答案.

ABAB

【详解】解：由题知，ZC=90°,

sinZA=®2

AB3

...cosZB=11=|

故选C.

B

巩固训练

10.已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱08垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正

弦值为如图1;当48的另一端B着地时，A8与地面夹角的正弦值为g,如图2,则支撑柱。H的高为

()米.

【分析】根据正弦的定义得到。4=2OH,OB=3OH,根据题意列式计算即可.

CH1

【详解】解：在放及40"中，siiL4=}1=3，

CZ/iL

：.0A=20H,

OH]

在RtxBOH中，sin5=-----=—,

OB3

：.OB=3OH

U：AB=3米，

・・・2。"+30”=3,

解得：。"=0.6(米)，

故选：D.

题型六特殊角三角函数值混合运算

【例12】计算：8sin60°-V12+(2-^)°+12^-20231

【答案】2024.

【分析】利用二次根式的加减，零指数次幕，二次根式的性质，特殊角三角函数和绝对值化简进行计算即

可.

【详解】解：原式=8x且一26+1+2023-2石，

2

=4>/3-2A/3+1+2023-2^,

=2024.

-1

【例13］计算：|0-2|+2cos45°-(-l产I

【答案】5

【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幕、负整数指数幕法则、特殊角的三角函数计算即可求出值.

-1

【详解】解：|V2-2|+2COS450-(-1)2023+I

=2-72+72+1+2

=5

、|包2-G“c4cos60°-2cos45°

【例14J：tan60—y/3cot60H---------------------------

sin300-tan45°

【答案】2,-2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案.

2h4x--2x—

［详解】解：原式=（石『一Gx拳+f——Z

----1

2

=3-1+20-4

=272-2.

巩固训练

比计算：2c潦：二45。+国3。。小

【答案】0+G

【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算.

2x-

【详解】解：原式=2x^-111

2

看+右T

=72+1+73-1

=A/2+A/3.

12.计算:

(l)2sin60°------cos45°+tan45°

2

sin4S。/7

(2)-----------J(cos600-1)-2cos30°

cos60°7

【答案】(1)石+—

(2)^2———^3

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案.

【详解】（1）解：原式=2x正-变x也+1

222

=A/3--+1

2

="+2；

出

（2）解：原式二彳——一2义^~

2

=~J2----A/3.

2

题型六求特殊角三角函数值（已知函数值求锐角）

【例15］若（右tanA-3r+|2cos3-l|=0,贝|_帅。是（）

A.直角三角形

B.等边三角形

C.含有60。的任意三角形

D.顶角为钝角的等腰三角形

【答案】B

【分析】根据（石1皿4-3）2+|233-1|=0利用非负数的性质求得由4=338=；,再利用特殊角的三角

函数值求出NA=60。，48=60。，即可得到结论.

【详解】解：V（^tanA-3）2+|2cosB-l|=0,

A/3tanA-3=0,2cosB-l=0,

tanA=后cosB=—,

2

AZA=60°,ZB=60°,

・・・,ABC是等边三角形.

故选：B.

【例16]下列三角函数的值是走的是（）

2

A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°

【答案】A

【分析】根据特殊角的三角函数值解答.

【详解】解：cos30°=3，tan30°=^,

cos60°=—,sin45=----,

2322

观察四个选项，选项A符合题意，

故选：A.

巩固训练

13.在RtZ\ABC中，NC=90°,ZB=30°,贝！Jcos5=(C)

A.1B.B。.—D.73

3

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解

【详解】解：：N3=30°,贝I]COSB=3,

2

故选：B.

14.若锐角Na=30。，贝!Jsina的值是（）

「V2D.2

A.1B.1L•------

22

【答案】B

【分析】根据30度角的正弦值为3即可得到答案.

【详解】解：：=30。,

sina=-,

2

故选：B.

1

15.在中，cosA--+2（l-tanB）29=0,则/C的度数是（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】由题意知cosA-』=0,l-tanB=0,解得A=60。，3=45。，根据/。=180。一/4—4？，计算求

2

解即可.

1

［详解］解：VcosA--+2（l-tanB）29=0,

/.cosA--=0,1—tan5=0,

2

解得A=60。，3=45。，

・•・ZC=180°-ZA-ZB=75°,

故选：C.

题型七由三角函数值确定三角形形状

【例17］在.ABC中，若|J5sinA—1］+cosB=0,则ABC是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】根据题意可得收sinA-1=0,*cosB=0.据此即可求得答案.

【详解】根据题意，得

A/2sinA—1=0>-cosS=0.

可得

sinA=----，cosB=-----.

22

则

ZA=ZS=45°.

所以，ZC=90°.

所以，ABC为等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

【例18］在-ABC中，NA、都是锐角，且|2sinA-1+（百-tan8『=0,则..ABC的形状是_____三角形

（填“等腰”、“等边”或“直角”）.

【答案】直角

【分析】根据绝对值和偶次幕的非负性，结合特殊角的三角函数值求得，A、一3的度数，从而作出判断.

【详解】解：|2sinA-l|+^-tanB)2=0,>|2sinA-1|>0,(^-tanB)2>0,

2sinA-1=0,^/3-tanB=0，

sinA=—,tanB=A/3,

2

NA=3O°、^B=60°,

.,.在ABC中，ZC=90°,

,ABC是直角三角形，

故答案为：直角.

巩固训练

16.已知a、b、c分别是，1BC的角A、B、C的对边(a>b),二次函数y=(x-2a)x-26(x-a)+<?图像的

顶点在x轴上，且sinA、sinB是关于x的方程(加+5)炉-(2/"-5)x+加-8=0的两个根.

(D判断,ABC的形状；

⑵求相的值；

(3)若这个三角形的外接圆面积为25%,求ABC的内接正方形的边长.

【答案】(DAMC是直角三角形

(2)20

八、24120

⑶亍或方

【分析】(1)先由二次函数丫=(%-24口-2。。-幻+02图像的顶点在工轴上得到公=0,进而求得片+〃=。2,

再根据勾股定理逆定理即可证明；

(2)先利用互余两角三角函数的关系得到sinB=cosA,再根据一元二次方程根与系数的关系得到方程求

解.

(3)先由圆的面积公式求出11ABe的外接圆半径R=5,则斜边c=10,再将加=20代入方程得到

25X2-35%+12=0,解方程并求出。=8,6=6,再分类讨论.

【详解】(1)ABC是直角三角形；

证明：将y=(x-2a)x-26(x-a)+<?化简得至y=x2-2(a+b)x+lab+c1,

由于二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+<:2图像的顶点在无轴上,

/.A=4(tz+Z?)2-4(2ab+c2)=0,

「♦a2+Z?2=c2;

故」.ABC是直角三角形；

(2)解：_ABC是直角三角形，NC=90。，

/.ZA+ZB=90°,

•*-sinB=cosA,

sinA、sin3是关于x的方程(m+5)/一(2M一5)%+加一8=0的两个根,

2m-5

sinA+cosA=

m+5

m-8

sinA-cosA=

m+5

sin2A+cos2A=l,

/.(sinA+cosA)2-2sinAcosA=1,

・•.(网】)2-2m—8r

x——T=1，

m+5m+5

整理得用2—24机+80=0，

解得叫=20,冽2=4,

经检验，g=20,咫=4都是原方程的根,

当叫=20时，sinA+cosA>0,sinAcosA>0,

当加2=4时，sinA+cosA>0,sinAcosAv0舍去,

故机=20；

(3)解：由于三角形的外接圆面积为25乃，

•••外接圆半径R=5,

・,・斜边c=10,

将根=20代入方程得到25/—35%+12=0,

,43

解得玉=-,^2=-，

..6Z—8,b=6,

设正方形边长为工,

上EFAF

由——=——，

BCAC

得在6-x

o~~6~

解得冗=亍;

CKDG

市一方

24

5

图2

综上所述，ABC的内接正方形的边长为m或静.

17.在ABC中，2A、一3都是锐角，且sinA=必，cosB--,贝ijABC是（）.

22

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值求出NA=60。，ZB=60°,然后利用三角形内角和定理求出/C的度数,

即可解答.

【详解】解：：sinA=走，cosB=1,

22

Z.ZA=60°,ZB=60°,

ZC=1800-ZA-ZB=60°,

.ABC是等边三角形,

故选：B.

题型八互余两角之间的三角函数关系

2

【例19】在Rt^ABC中，ZC=90°,已知sinA=§,那么cosB的值是（）

A,-B,-C.立D.亚

3232

【答案】A

【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案.

2

【详解】解：在RtZXABC中，NC=90。，sinA=-,

BC_2

,AB"3?

CB

【例20］若/a的余角是30。，则cosa的值是

【答案】1/0.5

【分析】先求出Na的余角，由cos6（F=；即可求解.

【详解】解：由题意得

Na=90°-30°=60°,

丁•cosa=cos60°=—,

2

故答案：.

巩固训练

2

18.已知分=90。，tana=—,则cot/?=.

2

【答案】y/0.4

【分析】应用互余两角三角函数的关系cos〃=tan（90。-⑶进行计算即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得，cos£=tan（90。-万）,

a+6=90°,

tana=cos/3,

2

cot夕=—=0.4,

故答案为：（2或0.4.

A

19.在RtZXABC中，ZC=90°,sinA=—,则cos3=

7

【答案】|

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

A

【详解】解：・・・NC=90。，sinA=y,

...BC6

..sinA=----=—

AB7

.RBC6

AB7

题型九判断锐角取值范围

【例21］己知:<cosa<sin80。，则锐角a的取值范围是（）

A.30°<cz<80°B.10°<a<80°C.60°<iz<80°D.10°<c<60°

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，1=COS60°,sin80。=cos10。，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度

增大而减小即可得到答案

【详解】解：-=cos60°,sin80°=cos10°,

2

••.由一vcosa<sin80°可得cos600<cosa<cos10°，

2

，.在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，

「.IO。<a<60。,

故选：D.

【例22】若锐角。满足cosavg,则a的取值范围是（）

A.0°<«<60°B.60°<tz<90°C.0°<«<30°D.30°<tz<90°

【答案】B

【分析】利用特殊角的三角函数值得到cosa<cos600,然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解.

【详解】解：cos600=1,

而cosaJ,

2

/.coscir<cos60°,

/.a>60°,

锐角a的取值范围为：60°<«<90°.

故选：B.

巩固训练

20.已知cosA>；,则锐角—A的取值范围是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<90°

C.0°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】C

【分析】根据特殊角的三角函数值求出cos60。=g,根据当-A是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可

求解，

【详解】解：7/A为锐角，且cos6（T=g,

又：当NA是锐角时，其余弦随角度的增大而减小，

0°<ZA<60°,

故选：C.

21.已知—A为锐角，且sinAW且，贝！1（）

2

A.0°<ZA<60°B.60°<ZA<90°

C.0°<ZA<30°D.30°<ZA<90°

【答案】A

【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可.

【详解】解：当sinA=走时，ZA=60。，

2

为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，

0°<ZA<60°；

故选A.

22.若NA为锐角，且tanA>V^,则/A（）

A.小于30。B.大于30。C.大于45。且小于60。D.大于60。

【答案】D

【分析】首先确定在锐角范围内tan60。=石，并且在此范围内，正切函数值随角度的增大而增大，由此判

断即可.

【详解】解：：在锐角范围内tan6（T=g,正切函数值随角度的增大而增大，

tanA〉石，BPtanA>tan60°,

/.ZA>60°,

故选：D.

题型十解（非）直角三角形相关计算

【例23］如图，在,ABC中，ZA=30°,AC=2^3,tanB=^-,则A3的长为（）

2

A.2+2括B.3+gC.4D.5

【答案】D

【分析】作CD_LAB于。，根据NA=30。，AC=273,算出。。和AD,再根据tanB=8=1,算出比),

BD2

最后根据筋=力£)+3。计算即可.

【详解】如下图，作CDLAB于。,

在Rt△ACQ中，ZA=30°,AC=273,

CD=—AC=#,AD=sfiCD=3,

在RtBCD中，tanB=—=—,

BD2

..---=---,

BD2

BD=2,

.•.AB=AD+RD=3+2=5,

故选：D.

【例24】在RtZvlBC中，NC=90°,AB=26,tanA=—,那么BC=

12

【答案】10

【分析】设3c=5x,则AC=12x,求出AB=13x,然后解出x的值即可解题.

【详解】解：•••tanA=q1=1,

设3C=5x,贝i]AC=12x,

22

/•AB=^BC+AC=J（5、y+02x）2=13%=26,

解得：x=2,

/.BC=5x=10,

故答案为：10.

【例25】已知：在.ABC中，NA=60。，ZB=45。,AB=8.贝UABC的面积为—（结果可保留根号）.

【答案】48-166

【分析】过C作CDLAB于。，利用直角三角形的性质求得C。的长.已知AB的长，根据三角形的面积公

式即可求得其面积.

【详解】解：过C作CDLAB于。,

CDr-

----=tanZDAC=tan60°=J3,

AD

CD

即如方

在