四川省2025届高三一诊模拟考试数学试卷（含答案）

四川省眉山第一中学2025届高三一诊模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合A={R—2<xV2},6={—1,0,1,2,345}，则AB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{2,3,4,5}

2.已知复数z满足（1-i”=4i,则复数z的虚部是（）

A._2B._2iC.2D.2i

3.已知{4}是正项等比数列，若6%，%，%成等差数列，则{4}的公比为（）

A.-B.lC.2D.3

32

4.函数“可是R上的偶函数，且〃x+l）=-/（£）,若外同在［-1,0］上单调递减，

则函数〃力在［3,5］上是（）

A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数

5.已知函数/（司=855（0>。），若/卜+j为偶函数；且“X）在区间（0,兀）内仅

有两个零点，则。的值是（）

A.2B.3C.5D.8

t

6.放射性物质的衰变规律为：其中指初始质量，/为衰变时间，

T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为7；,

T2（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的

8倍，则;-"=（）

i3

B.—C.1D.上

10245121024512

7.若函数/(x)=在无=2时取得极小值，则/（x）的极大值为（）

X+/?x+l

A.1B.lC.±D.e

e8

8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足。石=3,DF=20,

ZDEF=9Q°,则三角形ABC的面积的最大值是()

A.7有B.136C.-A/3D.—

33

二、多项选择题

9.已知函数〃％)的图象是由函数y=2sinxcosx的图象向右平移器个单位得到，贝M)

A.的最小正周期为兀

B./(x)在区间-£,三上单调递增

。.〃力的图象关于直线》=三对称

D./⑴的图象关于点［,o1对称

10.如图，AWC是边长为1的等边三角形，BD=，C，点P在以CD为直径的半圆

3

上(含端点)，^AP=xAB+yAC贝U()

19

A.y的值不可能大于1B.AD=-AC+-AB

33

CAP.的最小值为:D.AP.AB的最大值为1

11.已知数列｛%｝满足q=:,0<%<微，且(2〃+l)sin(a〃+i=sin(q+i+4),则

()

n-1

A.sin%=B.tanan=2

C.当〃22时，an>lD.q

"2n2+l

三、填空题

12.求值sin430°cos320°+cos110°sin40°=.

13.已知函数/(x)=/+x+l，若关于x的不等式/(公—l)+/(—xlnx)>2的解集中有

且仅有2个整数，则实数。的最大值为一.

14.已知函数/(X)=(x—l)e*—xlnx,若吃,芍且西工花，有

以2二8>a恒成立，则实数a的取值范围是—.

四、解答题

15.已知向量a=(l,2),]=(羽4)，—),且向量a与共线.

⑴证明：a_Lc；

(2)求a与0-b夹角的余弦值；

(3)若|。+笈|=亚，求/的值.

16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Be[。,'],且

116a

-----1------------------

tanBtanC2bsinBsinC

⑴求&

⑵若△ABC的外接圆半径为R，周长为(C+#)R，且。>>，求A

17.已知数列｛氏+「2a“｝是以3为首项，2为公比的等比数列，且4=1.

⑴证明：倍,是等差数列；

(2)求数列｛叫的前九项和S,.

18.已知函数/(x)=lnx.

⑴求过点P(0,-l)的/(x)图像的切线方程；

⑵若函数g(x)=/(x)-如+2存在两个极值点苞，x2,求用的取值范围；

X

(3)当xe1,1时，均有/00<%一(％-2)村+。恒成立，求整数。的最小值.

19.已知函数〃x)=ex—依―2(aeR>

⑴当a=2时，求/(%)的零点个数；

(2)设々N2,函数g(x)=/(x)--^-+tzex-1.

⑴判断g(x)的单调性；

(打)若/(加)=g，(〃)(m<〃)，求g(m)+g(〃)的最小值.

参考答案

1.答案：B

解析：由集合A={R—2<x<2},5={—1,0,1,23,4,5}

即可得AB={-1,0,1,2}.

故选：B

2.答案：C

解析：由已知(1—i)z=4i,

-4+4i

则”=—2+2i,

2

即复数z的虚部为2,

故选：C.

3.答案：C

解析：设等比数列｛端的公比为q,由数列｛4｝为正项数列，则q>0,

由6%,为'%为等差数列，则2a4=6。2+。3，即2qq3=6au+qq2,

所以2q2=6+q,整理得(2q+3)(q-2)=0,解得q=2或-［(舍去).

故选：C.

4.答案：D

解析：因为/(x+1)=—/(%),所以/(x+2)=—/(x+l)=/(%),所以函数/(x)的周期是

2.又/(x)在定义域R上是偶函数，在［-1,0］上是减函数，所以函数/(x)在［0,1］上是增

函数，所以函数在［1,2］上是减函数，在［2,3］上是增函数，在［3,4］上是减函数，

在［4,5］上是增函数，所以/(x)在［3,5］上是先减后增的函数.故选D项.

5.答案：A

解析：/卜+3=cos,x+e3,为偶函数，

所以①3=kGZ，a>=2k，keZ，

2

当次£(0,71)，COXe(0,6971),因为/(x)在区间(0,兀)内仅有两个零点,

3兀5兀

所以—<am<—,得3<gv9,则①=2.

2222

故选：A

6.答案：A

1024

解析：由题意可得

X

即詈号一3,

故选：A.

7.答案：D

3e"

解析：由函数/（%）=——,求导可得r（x）=—

X+bx+1

由题意可得/<2）=0，贝|4+2伍—2）+1—/?=0，解得）=—1，

所以小）=心+小，

则X2—x+l=

e、'(x~-3x+2)el(x-l)(x-2)

/'(x)=22

令r(x)=0，解得x=l或2,

可得下表:

X(-8,1)1。，2）2(2,-H»)

正0负0正

/(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

则函数的极大值为/（1）=-^_=e.

故选：D.

8.答案：A

解析：由题意，△DEE为直角三角形，且OE=3,DF=26，

:.cosNEDF=^=区IPZEDF=-,

DF26

令4BDE=6,

•△ABC是等边三角形，

JT

/B=NA=一,

3

27c

则/BED=n-ZB-ZBDE=——0,

3

5兀

ZFDA=7i-ZEDF-ZBDE=——6

6

JT

ZDFA=n-ZFDA-ZA=3——，

6

在△BDE中，由正弦定理得

DEBD

sinBsinABED'

即5D=26sin[g—e],

在△A£)E中，由正弦定理得

DFAD

sinAsinZDFA'

AB^AD+BD

=4^^-sin3-—cos0+26-^-cos^+—sin^^l

I22JI22)

=3+sin0+cos0=2A/7sin(6+cp),

则Mnax=2S\此时△ABC面积最大，最

大面积为:XQX(2A/7)2=7百.

故选：A.

9.答案：AD

解析：因为y=2sinxcos%=sin2x,向右平移四个单位得

/(x)=sin2sin(2x-1则最小正周期为7=女=故A选项正确;

2

令—二+2EV2X—二4二+2E，+—+fai，所以单调递增区间为

2321212

--+bt,—+br,左eZ，故B选项错误;

1212

令y中机解得若+:芯Z，故C选项错误;

令2x-g=左兀,解得x=弓+也，ZeZ所以函数/(%)的对称中心为1+E,o］，

kGZ，故D选项正确.

故选：AD

10.答案：BD

解析：对于A选项，过点p作PCJ/AB交AC延长线于G,

过点尸作P5//AC交A5于用，作图如下：

;

在平行四边形A51PG中，AP=AB1+AC1=xAB+yAC>由|A£|>|AC|，则y>l，

故A选项错误；

11一］2

对于B选项，AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB^-AC+-AB，

故B正确；

对于C、D选项，取线段CZ)中点E,连接A£，PE，作图如下：

APAB=AB(AE+EP)=AB(AC+CE+EP)=ABAC+ABCE+ABEP，

在等边三角形ABC中，易知CE=2C3，所以AB-AC=lxlxcos60o=L

32

ABCE=lx-xcos60°=-，则AB=」+工+AB.EP=+AB.EP，

36263

「2/1

设AB与EP的夹角为e，易知0,—,则A5-EP=lX]Cosee

6,3

所以AB-APe—,1,故C选项错误，D选项正确.

2

故选：BD.

11.答案：ACD

解析：根据三角恒等变换计算得色吧皿=四，再利用累乘法求得数列｛4,卜

tan61rln

对于B,由(2〃+l)sin(4+i-%)=sin(Q〃+i+4),

得(2n+1)sinan+xcosan-(2n+1)cosan+isinan=sinan+icosan+cosan+xsinan,

口rt*Zr-rmZRtaIl〃+l

即2nsinan+icosan=(2n+2)cosan+isinan,整理得----=----,

w…tanatana,tana.nn-\21

当九N2时，tanan=-----------……-------？--tanax=------------A=n,

tanan_xtanan_2tanaxn-ln-21

tan〃i=l满足上式，因此tana〃=〃，B错误；

对于A,tan%=2,即cos4=；sin〃2，

又sin?&+COS?g=1，解得sin%：—，A正确;

对于C,当〃22时,tana〃=2>百，

又0<a〃<^，因此%>]，即C正确;

对于D,由tana〃=〃，得sin%=〃cosa〃，

22

又sinan+cos%=1，cos%>0，

因止匕sin(——Q〃)=cosan=”，

2n+1

令函数/(%)=%一sin;r,0〈犬v］，求导得f\x)=1—cosx>0,

函数〃x)在(0弓)上单调递增，f(x)>/(0)=0,即％>sinx，

因此g-4〉sin4—a〃)=Y??，即见<5一五，D正确•

22n+12n+1

故选：ACD

12.答案：1/0.5

2

解析：sin430°cos320°+cos110°sin40°=sin70°cos(-40°)-cos70°sin40°

=sin700cos40°-cos700sin40°=sin(70°-40°)=sin30°=1.

故答案为：-

2

13.答案：ln3+-

3

解析：设g(%)=f(x)一1=+%,

因为y=/y=x均为R上的增函数，故g(x)为R上的奇函数，

又g(一x)=一9一九=―g(x)，

由不等式可化为"-1)—l+/(-xInx)-1>0,

即g(or-l)+g(-xlnx)>0,故g(or-l)>g(xlnx),

故女-l>xlnx的解集中有且仅有2个整数，

故〃>lnx+工的解集中有且仅有2个整数，设力(%)=1口%+工,%>0，

xx

贝U〃(%)=,x>0,

则当0v光<1时，当%>1时，〃(x)>0，

故/z(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

故g+ln2=/z(2)<aV/z(3)=；+ln3，

故a的最大值为』+ln3，

3

故答案为：—+ln3

3

14.答案：[-00'；

解析：不妨设玉>々>。，则不等式"V2a2)>〃可化为

/(%)-/(%2)>。储一看)，

所以/(%)-依;>/(%)-应，

设g(x)=/(x)-ax2,由已知可得g(x)=f(x)-ax2在(0,+oo)上单调递增,

所以f\x)—2依20在(0,+oo)上恒成立，

所以xe"-Inx-1-0在(。,+8)上恒成立，

所以e-国土—工22a在(0,+8)上恒成立，

XX

用7/、xIn九1m％1-lnx1%Inxx2ex+Inx

Xh(x)=e--------，则"⑴=e"--------+—=ex+—=-------，

xxxxxx3

设夕(%)=x2ex+lnx，贝!J夕'(犬)=(炉+2%)ex+—>0，

所以函数0(%)=x2ex+ln%在(0,+oo)上单调递增，

]_

又〃)=e〉0,00=?_山2</lnG=0，

所以存在/,满足0(%)=0，

即考e"+Inx0=0)所以x()e心=—In—=In—e跖,

工0%0%)

设〃(x)=xex(x>0)，则〃'(%)=xex+e">0，

所以〃(%)=xex在(0,+oo)上单调递增，又%>0,In—>0,

%

所以％o—In—=—In4,

%

所以当%>不时，(p(x)>0，h\x)>0，

函数丸(x)=e*-皿-，在(％,+oo)上单调递增，

XX

当0<x</时，(p(x)<0,h\x)<0,

函数以x)=e=皿-!在(0,不)上单调递减，

v

所以/i(x)>h(xQ}—e°---------,又x：e*+Inx()=0，

%x0

所以/z(x)2e*°+/e而---=—+1---=1,

X。x0玉)

所以2a〈l，所以

—2

所以实数。的取值范围是，oo,；,

故答案为：[-oo].

15.答案：(1)证明见解析；

(2)一变；

2

⑶”土L

2

解析：(1)因为向量a与6共线，所以a=26(2/0)，

则，="，解得卜=2，

j|x=2

所以〃=(2,4)，c=(4,—2)，

因为4•(?=lx4+2x(-2)=0,

所以a_Lc.

(2)由(1)得c—人=(2,-6)，

a-(c-b')_lx2+2x(-6)V2

所以cos〈a,d—6〉

|a||c-Z?|Vl2+22x+(-6.2

即a与c4夹角的余弦值为一旦.

2

⑶因为a?=|a『=]2+22=5,c?=|c『=42+(-2)2=20,a-c=0>

所以Ia+/c^a2+2ta-c+t2c2=5+20产=10，解得f

16.答案：（1）N;

3

⑵N

12

解析：（1）因为」-+」_sinCcosB+sinBcosC

tanBtanCsinBsinC

故1+1_sin(B+C)_sinA_6a

tanBtanCsinBsinCsinBsinC2bsinBsinC

所以sinA=®=百sinA.

2b2sinB

因为sinAw0,所以sinB=,

2

又Be[。,'],所以3=1.

(2)由正弦定理可知a=2RsinA>b=2RsinB，c=2RsinC，

sinA+sinC=sinA+sinf--=-sinA+—cosA=A/3sinfA+—

I3)22I6/2

所以4+巴=至，故A=〃E.

6412

17.答案：（1）证明见解析；

⑵耳=（3〃-4）/+2.

解析：（1）因为｛%,+「2%,｝是以3为首项，2为公比的等比数列,

所以4M-24=3X2"T,所以务=3,即■—纽=3,

〃+1n2〃M2〃+I42"i2〃4

又驾=L所以[&]是首项为L,公差为3的等差数列.

212[2n]24

(2)由(1)知组=▲+(〃—1)义3=加匚，

2"244

所以q=2^1x2"=(3«-1)-2"-2,

所以，S„=2-2-'+5-2°+8-21+.+(3«-l)-2n-2o

则2s“=2.2。+5.21++(3«-4)-2”-2+(3”—1).2"^,

上述两个等式作差可得S〃=-l—3・(2°+21++2"-2)+(3〃—1)-2"T

3(1-2"叫

=-1--12，+伽-1)•2"T=(3〃-4)-2'T+2，

故S,=(3〃-4)X2"T+2.

18.答案：(1)丁=尤—1；

(2)0<zn<—；

2

⑶-3.

解析：(1)由题意得，函数“X)的定义域为(0,+oo),尸(x)=L

设切点坐标为(%,In%),则切线方程为y=—x+lnx0-l,

XQ

把点尸(0,—D代入切线方程，M-l=—xO+lnxo-l,则比%=0,=1，

*0

.・.过点P(0,-1)的切线方程为y=x-1.

(2)g(x)=f(x)-mxH——=Inx-mx——，

XX

，/、1mx—mx—mmx2—x+m

...g(x)=一—m--=-------；----=------2------------

XXrXX

令h(x)=JWC2—x+m9

要使g(X)存在两个极值点为，%，

则方程如2—%+机=0有两个不相等的正数根X，%，

,解得0<m<—

2

+m<0

2

(3)由于/(犬)<%—(x-2)e“+〃在工£g,l上恒成立,

/.In%+(x-2)ex-x<a^xe上怛成立,

令G(%)=ln%+(尤—2)e"-九，则G(x)<。在xe上恒成立，

则G(x)=，+(x—2)ev+e"-l=(x-l)|e"--1

Xyx)

当』V九<1时，

2

令沈(%)=e"-L则"，(九)=/+±~>0，，"(1)在［11］上单调递增,

xxV2)

又“出=6—2<0,u(l)=e-l