四边形与正多边形 知识点梳理及专项练习-2025年中考数学一轮复习

专题11四边形与正多边形

1.平行四边形的定义、性质与判定

(1)定义：两组对边分别的四边形叫作平行四边形.

(2)性质：对边平行；对边________；对角相等；对角线互相平分，是_________图形.

(3)判定方法：①两组对边分别的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③有一组对边且的四边形是平行四边形；

④对角线的四边形是平行四边形.

2.矩形的定义、性质与判定

(1)定义：有一个角是_____的叫作矩形.

(2)性质：矩形的对边且；四个角都是；两条对角线互相_____且_______.

(3)判定方法：①有三个角都是________的四边形是矩形；②对角线的平行四边形是矩形.

3.菱形的定义、性质与判定

(1)定义：有一组邻边_______的平行四边形叫作菱形,菱形是_______图形，也是_______图形，它的对称轴就

是它的两条所在直线.

(2)性质：菱形的四条边都；两条对角线互相；每条对角线平分.

(3)判定方法：①有一组邻边_______的平行四边形是菱形；②对角线的平行四边形是菱形；③四条边都

的四边形是菱形.

4.正方形的定义、性质与判定

(1)定义：有一个角是_____且有一组邻边_______的平行四边形是正方形.

(2)性质：除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有对角线与边夹角为的性质；面积等于

正方形既是_______图形，也是_______图形，它的对称轴有.

(3)判定方法：有一组邻边______的矩形是正方形；有一个角是_______的菱形是正方形；对角线______且—

一平分的四边形是正方形.

5.梯形

一组对边______另一组对边_____的四边形叫作梯形.同一底上的的梯形是等腰梯形；两对角线

的梯形是等腰梯形；两腰的梯形是等腰梯形.有一个角是的梯形是直角梯形.连接梯形的两腰

的连线叫作梯形的中位线；梯形的中位线______于两底，并且等于的一半.

6.梯形的常见辅助线

(1)平移梯形的使两腰和同一底上两底角会聚到一个三角形中.

(2)平移梯形的.

(3)作梯形的.

(4)延长使延长部分等于上底长，再______上底端点和下底的延长终点.

(5)作一______的平行线，和下底的延长线相交.

(6)过一腰的作另一腰的和其中一底的延长线相交,和另一底相交.

(7)延长两腰使之相交.

7.正多边形

(1)如果多边形的各边都各内角都则称它为正多边形。)正n边形的内角和等于任意

多边形的外角和等于.

实战演练

1.如图在口ABCD中,一定正确的是()

A.AD=CDB.AC=BD

C.AB=CDD.CD=BC

2.如图，在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,点E为CD的中点.若OE=3很U菱形ABCD的周长为()

A.6B.12C.24D.48

3.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者

通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线

AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为()

图1图2

A.2mmB.2y/2mm

C.2V3mmD.4mm

4如图，在正五边形ABCDE中以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是（）

A.AE=AF

B.NEAF二NCBF

C.NF=NEAF

D.ZC=ZE

5.如图，在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.E,F分别为AC,BD上一点，且OE=OF,连接AF,BE,EF.

若NAFE=25。,则NCBE的度数为()

A.500B.55°

C.65°D.70°

6.下列多边形中，内角和最大的是()

7.如图把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,NPMN=30°,直角顶点P在正方形

ABCD的对角线BD上，点M,N分别在AB和CD边上,MN与BD交于点O,且点。为MN的中点，则NAMP

A.60°B.65°

C.75°D.80°

8.如图，面积为S的菱形ABCD中点0为对角线的交点,E是线段BC的中点，过点E作EFXBD于点F,

EG±AC于点G,则四边形EFOG的面积为()

A.-B.-

48

C.—D.—

1216

9.如图，在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点。，点E是边AD的中点点F在对角线AC上，且AF=[

连接EF.若AC=10,则EF=

10.如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G厕

BG=

11.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上，连接AE点F为CD的中点，连接OF若AE=

BE,OE=3,OA=4厕线段OF的长为

12.如图，正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=

1,G为EF的中点，连接OE,交CD于点H,连接GH.则GH的长为

13如图，在口ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,AB=AD.

⑴求证:AC_LBD;

(2)若点E,F分别为AD,AO的中点，连接.EF,第=|,2。=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.

14.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F,连接

AF,ZBDF=90°.

⑴求证:四边形ABDF是矩形;

(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.

15.如图，在口ABCD中.对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF,连接A

E,CF.

(1)求证:4ADE^ACBF;

⑵连接AF,CE.当BD平分NABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.

1.如图，在正方形ABCD中,E为AB边上一点,BFLCE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面

AFD

积和的是（）

A.SABAFB.SABCF

C.SABCGD.SAFCG

2.如图，在△ABC中,NBAC=90。,以BC为边向上作正方形BCDE,以AC为边作正方形ACFG,点D落在GF

上，连接AE,EG若DG=2,BC=6^!UAEG的面积为（）

A.4B.6

C.5V2D.8

3.如图，在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,对角线ACLAB,对角线AC,BD交于点。点E为BC边中点,

连接OE,DE^bDOE的面积为）

A

N2B片

C.V52D.2

4.如图，在菱形ABCD中,AB=4,NB=120。,点E,F分别在边AD,BC上，点G,H在对角线AC上.若四边形EGF

H是矩形，且FG〃AB,则EG的长是（）

D

C.2O.2V3

5.问题如图，在口ABCD中点E、点F在对角线AC上（不与点A、点C重合），连接BE,DF.若______，求证:

BE=DF在①AE=CF;②NABE=/CDF;③/BEC=NDFA,这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，

并完成问题的解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

6.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点过点O作EFLAC分别交边AB,CD于点E,F.

求证：四边形AECF是菱形.

7.如图，在正方形ABCD中,AC,BD相交于点0,点E,F分别在0A,0D±,ZABE=ZDCF.

(1)求证:△ABE^ADCF;

(2)若BC=4五,AE=3,求BE的长.

8.如图在等腰三角形ABC中,AB=AC点D是BC中点点E是AD的中点，过点A作AF〃BC交BE的延

长线于点F,连接CF.

⑴试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；

(2)若AB=17,BC=30,求四边形ADCF的面积.

BDC

参考答案

1.⑴平行

⑵相等中心对称

⑶平行平行相等互相平分

2.⑴直角平行四边形

⑵相等平行直角平分相等

⑶直角相等

3.(1)相等中心对称轴对称对角线

(2)相等垂直平分每一组对角

(3)相等互相垂直相等

4.(1)直角相等

(2)45°边长的平方轴对称中心对称四条

(3)相等直角相等垂直

5.平行不平行两底角相等相等相等直角中点平行两底和

6.⑴腰

⑵对角线

⑶高

⑷下底连接

(5)对角线

⑹中点平行线

7.(1)相等相等

(2)(n-2)-180°360°

1.C【解析】本题考查平行四边形的性质.根据平行四边形对边相等可得AB=CD,故选C.

2.C【解析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理.因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC.又E为CD

的中点，所以AD=2OE=6,所以菱形ABCD的周长为4AD=24,故选C.

3.D【解析】本题考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质.如图所示，连接CF,与AD交于点O.V

六边形ABCDEF是正六边形,AD=8mm,AZAOF=60°,OA=OF=3AD,40F是等边三角形-4mm

，故选D.

CD

4.C【解析】本题考查正多边形的性质、多边形内角和定理多边形ABCDE为正五边形,，AB=AE,/C=

=4EAB=^CBA=色W变:=MABF是等边三角形,.•.AB=AF,/F=/FAB=NFBA=60。.对于A,VAB=AE,AB

=AF,；.AE=AF,故A选项正确;对于B//ZEAB=NCBA,/FAB=NFBA,；.NEAF=/CBF,故B选项正确;对于C,

^.^/F=60。,/EAF=108。-60。=48。,.^./FW/EAF,故C选项错误对于D,/C=/E成立,故D选项正确，故选C.

5.C【解析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质四边形A

BCDZAOB=ZAOD=90o,OA=OB,ZOBC=45°.VOE=OF,△OEF为等腰直角三角形，

ZOEF=ZOFE=45°.'ZZAFE=25°,ZAFO=ZAFE+ZOFE=70°,AZFAO=20°.在△AOF和△BOE中，

"OA=OB,

^AOF=乙BOE=90AOF=△BOE(SAS),.*.ZEBO=ZFAO=20°,；.ZCBE=/EBO+/OBC=65°,故选C.

OF=OE,

6.D【解析】本题考查多边形的内角和.选项A中的图形是一个三角形，其内角和为180。；选项B中的图形

是一个四边形，其内角和为360°；选项C中的图形是一个五边形，其内角和为540°；选项D中的图形是一个六边

形，其内角和为720°，，内角和最大的是六边形，故选D.

7.C【解析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质.在RtAPMN中,NMPN=90。.因为。为MN的中点，

所以OP=]MN=0M.因为NPMN=30。,所以NMPO=30。,所以/DPM=150。.在四边形ADPM中，因为NA=90°,

ZADB=45°,ZDPM=150°,所以NAMP=360°-/A-NADB-/DPM=360°-90°-45°-150°=75°,,故选C.

8.B【解析】本题考查菱形的性质及面积公式、三角形中位线定理四边形ABCD是菱形,；.BD垂直平分A

C,设AC=4a,BD=4b,则S=|X4aX=8ab,VE为BC的中点EF_LOB于点F,EG_LOC于点G,...四边形EFOG

为矩形,：OC=2a,OB=2b,；.EG=b,OG=a,S=ab,S=故选B.

BF0GEF0Go

9.|【解析】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理.在矩形ABCD中,BD=AC=10,，OA=OD=5.•••4F=；

AC=|,.\F是AO的中点又：E是AD的中点,，EF是4AOD的中位线，FF=|oD=|

10.1【解析】本题考查正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理.如图，连接AG,EG,在正方形ABC

D中,/B=/C=9(T,CD=AB=BC=8.因为E是CD的中点，所以CE=|CD=4.因为HG垂直平分AE,所以AG=E

G.设BG=x，在RtAABG中,.AG2=AB2+BG2=64+%2..在RtACEG中，EG2=CE2+CG2=16+(8-%)2,

所以(64+x2=16+(8-久产解得x=l,即BG=1.

11.2V5【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理、菱形的性质在菱形ABCD中,AC，BD,AB=BC,

OD=OB在RtAAOE中，AE=VOX2+OE2=5,所以BE=AE=5,所以OB=BE+OE=8.在RtAAOB中，AB=

VOX2+OB2=4有，所以BC=AB=又因为F为CD的中点，所以OF为ABCD的中位线，所以OF=掷

=2V5.

12.手【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理.如图，

过点O作OM_LCD,则OM=CE=2,ZOMH=ZECH=90°.又ZOHM=ZEHC,.,.△OHM^AEHC,.*.O

H=EH,即H是OE的中点.连接OF,：G是EF的中点,，GH是AEFO的中位线.在RtzXOMF中,FM=DM+DF

=2+1=3,；.OF=VOM2+FM2=V22+32=V13,GH=］。尸=手，即GH的长为手.

作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答本题的关键.

13.⑴略(2)4713

(1)根据菱形的判定与性质即可证明；(2)由三角形的中位线定理求得OD,再由菱形的性质求得BD,利用勾股

定理求出AD,即可求解.

解:⑴证明：：四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD,.•.口ABCD是菱形，

/.ACXBD.

(2);•点E,F分别为AD,AO的中点，

AEF是4AOD的中位线，

；.OD=2EF=3.

由⑴可知,四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,AC±BD,BD=2OD=6.

在RtAAOD中，由勾股定理得

AD=7A。2+=713,

菱形ABCD的周长为4AD=4V13.

14.(1)略(2)18

⑴利用平行四边形的性质与“AAS”证明△ABE0△DFE,则有AB=DF,结合AB〃DF与/BDF=90唧可证明结论

成立；(2)根据平行四边形与矩形的性质可得四边形ABCF的面积是4BDF的面积的3倍，根据矩形的对边相等与

勾股定理可得BD的长，求出△BDF的面积，进而求出四边形ABCF的面积.

解：⑴证明：由四边形ABCD是平行四边形和已知得AB〃CF.

ZBAE=ZFDE,ZABE=ZDFE.

,/E是AD的中点,AE=DE.

/.△ABE乌ADFE(AAS).AAB=DF.

VAB/7CF.BPAB^DF,

..•四边形ABDF是平行四边形.

又：/BDF=90。，

四边形ABDF是矩形.

(2)：四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDF是矩形，

；.AB=CD=DF.即D是CF的中点.

ABCD,ABDF,AABF的面积相等.

四边形ABCF的面积S=3SABDF.

AD=5,DF=3,四边形ABDF是矢巨形，

BD=AF=yjAD2-DF2=V25-9=V16=4.

11

'''SBDF=-XDFXBD=-X3X4=6.

四边形ABCF的面积S=3SBDF=3X6=18.

15.⑴略⑵菱形，理由略

⑴根据平行四边形的性质，利用SAS证明△ADEgZkCBF;⑵利用△ADE且Z\CBE得到AE与CF平行且相

等，从而证明四边形AFCE是平行四边形，再由角平分线的性质证明对角线互相垂直，从而证明四边形AFCE是

菱形.

解：(1)证明：,四边形ABCD是平彳亍四边形，；.AD=BC,NADB=NCBD.

又：ZADB+ZADE=180°,

ZCBF+ZCBD=180°,

ZADE=ZCBF.

在4ADE和^CBF中,AD=BC,

ZADE=ZCBF,DE=BF,

.,.△ADE^ACBF(SAS),

(2)如图所示，连接AF,EC,

由(1)彳导△ADEg/XCBF贝(JAE=CF,ZAED=ZCFB,

；.AE〃CF,

即AF±CE,

四边形AFCE是平行四边形，当BD平分NABC时,/ABD=NCBD.

又；AD〃CB,

ZADB=ZDBC,

/.ZADB=ZABD,

即AD=AB=BC,

/•△ABC为等腰三角形.

由等腰三角形三线合一的性质可知AC±EF,

平行四边形AFCE是菱形.

压轴预测

1.D【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质.在正方形ABCD中,AB=BC=AD,/BAD=/

ABC=90°.•/BF±CE,/.ZABF+ZBEC=ZABF+ZAFB=90°,BPZBEC=ZAFB,A△ABF^ABCE,AAF=BE,AAE

S

=DF,/.SAAEC=SACDF,AS阴影=SABC-S^OG•又：°SABC=SBCF=5s的彩BCD，工5-形=BCF—

SBCG=SROG，・，・•右已知SAFCG,可求出阴影部分的面积和，故选D.

AFD

BC

2.D【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式四边形BCDE是正

方形，•♦•BC=CD,/BCD=90。.：四边形ACFG是正方形，

；.CF=AG=AC,ZACF=90°.XZACB+ZACD=ZACD+ZFCD,.\ZACB=NFCD.在△ABC和△FDC中,

(AC=CF.

/.AABC^AFDC

BC=CD,

AB=FD.过点E作EH±BG于点H,贝!JNEBH二NACB,NEHB=NBAC=9(T,BE=BC,AAABC^AHEB(AA

S),・'・EH=AB.设AB=a,AC=b,a2+b2=BC2=36.vDG=FG-DF=AC-AB,:.b—a=2,・•.a2-2ab+b2

=4,36—2ab—4ab=16,SAEG—-EH—^AC-AB=^ab=|x16=8故选D.

3.B【解析】本题考查平行四边形的性质.・・•四边形ABCD为平行四边形,・・・BC=AD=4在RtABAC中,AB=2,

22

BC=4,贝[|AC=V4-2=2V3,・•.S加力中=AB-AC=^,SBCD=2点・.・点O,E分别为BD,BC的中点，

SBED=]SBCD=V3,SD0E=-SBED=故选B.

4.A【解析】本题考查菱形的性质、矩形的性质.如图，连接BD,交AC于点O,因为四边形ABCD是菱形，

所以AC_LBD,所以NAOB=90。,因为/ABC=12(F,AB=BC,所!以NBA。=|x(180°-120°)=30。，所以OB=

=2,OA=WOB=28,因为四边形EGFH是矩形，所以NGFH=90。,因为FG〃AB,所以/FGH=/BAC=30。，

所以GH=2FH=2GE,即OG=GE,因为/GFC=NABC=120。,NGFH=90。,所以NHFC=/HCF=30。,所以FH=HC,同理可

得GE=AG,所以OA=AG+OG=2GE=2W所以GE=旧,故选A.

5.略

根据题意，若选条件①，结合平行四边形的对边平行且相等，再由平行线得内错角相等，结合已知条件即可证

明两个三角形全等，从而可得结论；若选条件②，结合平行四边形的对边平行且相等，再由平行线得内错角相等，

结合已知条件，即可证明两个三角形全等，从而可得结论；若选条件③，结合平行四边形的对边平行且相等，再由

平行线得内错角相等，结合已知条件，即可证明两个三角形全等，从而可得结论.

证明：若选条件①：

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=CD,AB〃CD,

所以/BAE=NDCF.

又因为AE=CF,

所以△ABE^ACDF(SAS),

所以BE=DF.

若选条件②：

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=CD,AB〃CD,

所以/BAE=NDCF.

又因为/ABE=/CDF,

所以△ABE^ACDF(ASA)