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文档简介
专题07特殊的平行四边形的判定与性质综合(三大题型,45题)
目录
一、题型一:矩形的判定与性质综合,难度三星,15题..............................................1
二、题型二:菱形的判定与性质综合,难度三星,15题..............................................5
三、题型三:正方形的判定与性质综合,难度三星,15题............................................9
一、题型一:矩形的判定与性质综合,难度三星,15题
1.如图是小安在荡秋千的侧面示意图.小安在起始位置A处时,0/与地面BC垂直,当小安在。处时,她
离BC,CM的距离分别为0.8m,1m;当小安在E处时,若NDOE=90°,且她离。”的距离为L5m,则此
时小安离地面8C的高度是()
A.ImB.1.2mC.1.3mD.1.5m
2.如图,在四边形48CD中,//=/C=90。,DG〃8C,乙48c的平分线BE交DG于点G,EHLDG,垂
足为点H,若/E=5,CD=3,则().
13
A.1B.2C.—D.——
22
3.如图平行四边形ABCD中,对角线/C、8。相交于点。,且Q4=,ZOAD=65°,则ZODC=.
4.如图,直线,曰+3与坐标轴分别交于点A,B,点尸是线段少上一动点,过点尸作尸hx轴于点
作PN”轴于点N,连接MN,则线段及W的最小值为.
5.如图,矩形EEGH的边防=6厘米,EG=4厘米,在直角梯形A8CD中,8=9厘米,8c=5厘米,
ND=4厘米,点£,F,A,B在同一直线上,且E4=5厘米,矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线
EB向右运动,同时点"从点B出发沿8-C-D-/-8的路线,以1厘米/秒的速度运动,到点B停止.当
点M共运动秒时,点〃■与点E相距5厘米.
6.如图,BCD的对角线相交于点O,AO/B是等边三角形,AD=6.
⑴求证:BCD是矩形;
⑵求四边形23CD的面积.
7.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二
步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几?”其意思为:
如图,当秋千静止在地面上时,秋千的踏板离地的距离为一尺(CE=1尺),将秋千的踏板往前推两步(每
一步合五尺,即E尸=10尺),秋千的踏板离地面的距离与人一样高,这个人的身高为五尺(。尸=5尺),
A
⑴图2所示8C=尺
⑵求这个秋千的绳索/C的长.
8.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁,核心是平面上
的点与坐标是一一对应的.用代数的方法表达图形变化,用平面直角坐标系解决几何问题,是数形结合的
重要运用.如图,轴于轴于C,8(6,8),点。在射线R4上,点£是OD的中点.
(2)如图2,连接/C,AE,CE.若BD=BC,求的面积;
⑶作E尸〃02交直线3c于R若BF=AD,求AD的长.
9.如图,在平面直角坐标系中(以1cm为单位长度),过点40,4)的直线°垂直于>轴,”(9,4)为直线0
上一点.点尸从点M出发,以2cm/s的速度沿直线。向左移动;同时,点。从原点出发,以lcm/s的速
(2»秒后尸。平行于y轴,求f值;
(3)若以工、。、。、P为顶点的四边形的面积是10cn?,求点P的坐标.
10.如图,在平行四边形48CD中,/E_LBC于点E,延长8c至点尸,使CF=BE,连接£)尸,AF与DE
交于点O.
(1)求证:四边形NEFD为矩形;
⑵若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的长.
11.如图:在A/3C中,AB=AC,力。是中线,ZN是"2C的外角NC4M■的平分线,CELAN,垂足
为E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)连接。E,交/C于点尸,直接写出。尸与48之间的关系为
12.如图1,在平面直角坐标系中,/(4,8),/8,、轴于瓦/。,、轴于。,连接3c.
(2)如图2折叠"BC,使点B与点C重合,折痕DE交45于。,交BC于E.
①求点。的坐标;
②在7轴上,是否存在点尸,使得△CD尸为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的所有点尸的坐标;若
不存在,请说明理由.
13.如图,在矩形48CD中,AB=4cm,8c=8cm,点尸从点。出发向点/运动,运动到点工即停止;
同时点0从点8出发向点C运动,运动到点C即停止.点尸、0的速度都是lcm/s,连接P。,/。,。,
设点尸、。运动的时间为/(s).
(1)当/为何值时,四边形/8QP是矩形?
(2)当/为何值时,四边形N0CP是菱形?求出此时菱形NQCP的面积.
14.如图,平行四边形/BCD的对角线NC、2。相交于点。,延长NB至点£,连接CE.现有以下信息:
①NABC=90。;@EC//BD;@AC=EC.
从三条信息中选择两条作为条件,另一条作为结论,组成一个真命题并说明理由.
你选择的条件是,结论是(填写序号).理由:
15.如图,在平行四边形48CD中,//C8=90。,过点。作DEL8C交8C的延长线于点E,连接AE
交CD于点F.
(1)求证:四边形ZCED是矩形;
(2)连接BF,若/4BC=6CP,CE=3,求B尸的长.
二、题型二:菱形的判定与性质综合,难度三星,15题
16.在平面直角坐标系xQy中,已知点8(5,1)、C(7,7)、D(l,5),若一次函数y=蛆-5加+1的
图像将四边形/BCD分成面积比为1:3的两部分,则加的值为()
A.—5或—B.—4或—C.—4或—D.—5或—
4545
17.如图,在NMCW的两边上分别截取CM、OB,使。4=。2;分别以点/、8为圆心,04长为半径作
弧,两弧交于点C;连接NC、BC、AB、0C.若NB=3cm,四边形/O2C的面积为12cm?,则0c的
长为()
A.5cmB.8cmC.10cmD.4cm
18.如图,在矩形中,对角线4c的垂直平分线分别交8于点E,F,连接前,CE,如果
19.如图,在矩形4BCD中,对角线2C的垂直平分线分别交48,CD于点E,F,连接",CE,如果
20.如图,中,对角线4c与即相交于点尸,AC1BD,且4C=8,BD=86,若点尸是对角
线助上一动点,连接HP,将W绕点N逆时针旋转使至4E,得=连接PE,取4。的中
点O,连接OE,则在点尸的运动过程中,线段OE的最小值为.
21.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形,例如:某三角
形三边长分别是0,3,2,因为+32=12=3x2],所以这个三角形是和谐三角形.在平行四边形438
中,4CJ.BD于点、O,AB=5且△NBD是和谐三角形,则该平行四边形N3CD的面积为.(温馨
提示:4ax4b=4ab,aW0,>0)
22.如图,四边形4BCD的对角线/C,AD相交于点。,BC,E。为矩形8EC。对角线,BC//AD,
AD=EO.
(1)求证:四边形42C。是菱形;
(2)连接DE,若4c=2,ZBCZ)=120°,求DE1的值.
23.如图,在四边形4BCD中,AD//BC,AD=2BC,E为/LD的中点,连接皿,BE,ZABD=90°;
(1)求证:四边形为菱形.
(2)连接4C,^ACLBE.BC=2,求助的长.
24.如图,在矩形42CD中,对角线/CAD相交于点O,DE//AC,CE//BD.
(1)求证:四边形。DEC为菱形;
(2)连接OE,若8c=26,求OE的长.
25.如图,在£7488中,AC,助交于点。,点E,尸在/C,且4E=C尸.
⑴求证:DE//BF;
(2)若/A4C=ND/C,点G,H分别为。尸,OF的中点,连接GH,GH="即=8,
求四边形。EAF
的周长.
26.如图,四边形4BCZ)的对角线4。、AD相交于点O,0/=0C,OB=OD,且BE//AC,
OE=AB.
(1)试判定四边形4BCD的形状;
(2)若44DC=60。,BE=2,求四边形4BCD的面积.
27.如图①,已知矩形45CD的对角线/C的垂直平分线与边4D,BC分别交于点E,F.
(1)求证:四边形4尸CE是菱形;
(2)如图②,直线EF分别交矩形/BCD的边4D,BC于点E,F,将矩形W)沿EF翻折,使点C的对
称点与点4重合,点。的对称点为若48=4,BC=5,求EF的长;
(3)如图③,直线EF分别交。4BCD的边4D,BC于点瓦F,将£7438沿EF翻折,使点C的对称点
与点4重合,点。的对称点为。‘,若4B=3'V5',BC=6ZC=45°,则五边形的周长为
28.如图,在平行四边形4BCD中,BELAD,BFVCD,垂足分别为E,F,且4&=C尸.
(1)求证:平行四边形NBCD是菱形;
(2)若DB=10,AB=13,求BE的长.
29.如图,四边形48cZ)中,AD//BC9ZC=90°,AB=AD,连接助,的角平分线分别交
BD,BC于点O,E.
AD
(1)连接。E,求证:四边形NB助为菱形;
(2)若3C=8,CD=4,求4E的长.
30.已知:如图,4D是A43c的角平分线,CE〃匐交.AB于彘E,DF//AB交AC于点、F.
(1)求证:四边形4E7)尸是菱形;
⑵若/E=13,40=24,试求四边形/ED尸的面积.
三、题型三:正方形的判定与性质综合,难度三星,15题
31.在四边形48co中,AB=BC,ZABC=ZCDA=9Q°,BEL4D于点、E,S四边陷8^=9,则8£=(
A.9B.3C.±3D.无法确定
32.如图,在等腰RtA£45和等腰RSEDC中,ZEAB=ZEDC=90°,AB=AE,DC=DE,
AE<ED.若4D=3,则五边形/BCDE的面积是.
33.如图,已知点P(4%-1,6加-5)在第一象限的角平分线OC上,尸4=90。且点43分别在x轴,V
轴的正半轴上,则。4+。8=
34.如图,正方形/BCD的边长是5,AE=CF=4,BE=DF=3,则£尸=.
35.如图,矩形4。8c的边04、08在直角坐标系的正半轴上,点£、尸分别在ZC、BC边上,将△(?£/
沿E尸翻折,使点C落在08上的点P处,若点C的坐标为(13,5),则点尸的横坐标加的取值范围
是.
36.如图,矩形48CD中,48=5,BC=8,点E是边3C上一动点,连接/E,沿/£把折叠,得
到AAEF.
(1)当点尸恰好在矩形的边上时,BE的长为;
(2)当点尸恰好在矩形边4D的垂直平分线上时,BE的长为.
37.如图,将长方形/BCD沿E尸折叠得到两个全等的小长方形,23=12,2c=10,点G在上运动,
当点A关于DG的对称点H落在右侧长方形8CEF内部(含边界)时,则/G的长度m的取值范围为.
AD=CD,DPL4B于尸,DP=3,则四边形4BCD的面
积一
39.在四边形43CD中,ZA=ZC=90°.
(1)如图1,若45=1,AD=由,8=及,求四边形"CD的面积;
(2)如图2,若BC=CD,连接/C,AB=3,35,直接写出2c的长度为;
(3)如图3,在(2)的条件下,求四边形4BCD的周长.
40.如图,“5C是等腰直角三角形,AB=BC,AWC与“BC关于/C对称,E为边4c上一点,连
接3E并延长交CD于点尸,作4GLM交BC于点G.
⑴求证:AG=BF;
⑵探究:当工”为何值时,点G与点尸关于对称.
41.如图1,正方形N8CD的边长为5,点E为正方形边上一动点,过点3作AP,/E于点尸,将△4P3
绕点/逆时针旋转90。得△NPD,延长8P交P0于点R连接CP.
⑴判断四边形的的形状,并说明理由;
(2)若。尸=1,求/P的长度;
(3)在(2)的条件下,求学\
^\APB
42.如图1,在正方形/BCD中,点E为3C边上任意一点(点、E不与B,C重合),点厂在线段NE上,
过点下的直线分别交CD于点M,N.
图1图2图3
(1)求证:MN=AE;
(2)如图2,当点下为/£中点时,其他条件不变,连接正方形的对角线8。,MN与BD交于点、G,连接
BF,求证:BF=FG;
(3)如图3,当点E为C8延长线上的动点时,如果(2)中的其他条件不变,直线分别交直线48,CD
于点M,N,结论“5F=FG”还成立吗?如果成立,请证明:如果不成立,请说明理由.
43.(1)问题发现:如图1,将一个直角三角形纸片ANB。放置在平面直角坐标系中,点/(4,0),点
8(0,4),点。(0,0).将纸片沿N8翻折,得到点。的对应点为。,则点。'的坐标是.
4
(2)问题探究:如图2,直线>=-§、+4与1轴、y轴的交点分别为4,B,若/A4。的平分线与歹轴交
于点C,求0c的长.
(3)问题解决:设计师常常借助角平分线设计精美的作品.现有一块形状为四边形45。。的设计图纸,
如图3所示,已知四边形各顶点的坐标分别是2(8,0),5(-4,0),C(8,8),£>(-4,12).为了设计出图案,
计划在这个四边形的边48上找一点E,沿着CE,QE画出两条分割线,使得即平分/BEC请问是否存在
点E符合要求?若存在,求出点E的坐标:若不存在,请说明理由.
44.如图,在£7488中,AB>AD,DE1平分N4DC,4F/BC于点尸交。E于G点,延长BC至H使
CH=BF,连接
(1)证明:四边形4TOD是矩形;
(2)当屋=,4尸时,猜想线段48、4G、BF的数量关系,并证明.
45.在正方形ABCD中,点E为射线/C上一点,连接DE,过点E作EF±DE交射线BC于点F,以DE,EF
为邻边作矩形。斤G,连接CG.
图1图2
(1)如图1,当点E在线段4C上时.
①求证:矩形DEFG是正方形:
②求证:CG=AC-CE;
(2)如图2,当点E在线段4c的延长线上时,正方形43CD的边长为3,CE=正,请直接写出GE的长.
专题07特殊的平行四边形的判定与性质综合(三大题型,45题)
目录
一、题型一:矩形的判定与性质综合,难度三星,15题----------------------------------------------1
二、题型二:菱形的判定与性质综合,难度三星,15题---------------------------------------------22
三、题型三:正方形的判定与性质综合,难度三星,15题-------------------------------------------42
一、题型一:矩形的判定与性质综合,难度三星,15题
1.如图是小安在荡秋千的侧面示意图.小安在起始位置A处时,。4与地面8。垂直,当小安在。处时,她
离BC,的距离分别为0.8m,1m;当小安在E处时,若ZDOE=90。,且她离的距离为1.5m,则此
时小安离地面BC的高度是()
A.ImB.1.2mC.1.3mD.1.5m
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,证明AOOFGAEOG是解
题关键.过点。作于过点E作E/_LBC于/,延长。4交于点J,首先证明四边形
DHJF、G旌均为矩形,由矩形的性质可得E/=DH=0.8m,EI=GJ,再证明AOD尸父AEOG,由全等
三角形的性质可得DF=OG=lm,OF=EG=1.5m,进而可得E7=GJ=L3m,即可获得答案.
【详解】解:如下图,过点。作于H,过点E作£7_LBC于/,延长。/交3c于点J,
由题意可知,DF_LOA9GE_LOA,OJ_LBC,DH=O.8111,DF=lm>EG=1.5m,
:・QHJ=ZFJH=ADFJ=90。,ZGJI=AEIJ=ZEGJ=90°f
・・・四边形。即F、GJZE均为矩形,
:.FJ=DH=0.8m,EI=GJ,
•・•/DOE=90。,
.•"DOF+ZODF=ZDOF+/EOG=90°,
・•・/ODF=/EOG,
在△0。尸和ZkEOG中,
ZODF=ZEOG
<NOFD=NEGO=90。,
OD=EO
△OD厂父△£OG(AAS),
DF=OG=Im,OF=EG=1.5m,
.・.G/=K/+G/=Q+(O9—OG)=0.8+(L5—l)=1.3m,
EI=GJ=1.3m,
即此时小安离地面BC的高度是1.3m.
故选:C.
2.如图,在四边形/BCD中,=的平分线5E交QG于点G,EHLDG,垂
足为点、H,若/E=5,CD=3,则可=().
BC
1113
A.1B.2C.—D.
2~2
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、矩形的判定与性质等知识点,证得四边形印C。是矩形成为解
题的关键.
根据平行线的性质可得以±BC,再根据角平分线的性质可得EI=AE=i5,然后证明四边形印C。是矩形,
最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答.
【详解】解:如图:延长EH交BC于I,
•••EHLDG,DG//BC,
.-.EI1BC,
•・•//3C的平分线BE交。G于点G,NN=90。,EI±BC,AE=5,
:.EI=AE=5
・・・EH工DG、EIIBC.ZC=90°,
•••四边形印8是矩形,
:.HI=DC=3,
.-.EH=EI-HI=5-3=2.
故选:B.
3.如图平行四边形48co中,对角线/C、8。相交于点O,S.OA=OB,NQ4D=65。,则N8C=
【分析】本题考查了平行四边形性质,等腰三角形性质,以及矩形的性质和判定,根据题意证得四边形
2BCD是矩形,利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出NODC的度数.
【详解】解:;四边形488是平行四边形,
OA=OC,OB=OD,
•/OA—OB,
/.OA-OB=OC=OD9
.•・四边形4BCD是矩形,
:.ZADC=90°9
・・・AOAD=65°9
:.Z.ODA=ZOAD=65°,
:.ZODC=ZADC-Z.ODA=25°,
故答案为:25。.
4.如图,直线y=Jx+3与坐标轴分别交于点A,B,点尸是线段43上一动点,过点尸作尸河_Lx轴于点
M,作了W,y轴于点N,连接MN,则线段的最小值为
【分析】如图,连接OP,依题意,四边形0MPN是矩形,则。尸=MN,当。尸/4B时,。尸最小,用等
面积法求得。尸即可.本题考查了矩形的性质,勾股定理,垂线段最短,找到MN=。尸是解题的关键.
【详解】如图,连接。尸,
•••过点P作尸AUx轴于点M,作尸轴于点N,乙105=90。,
.•.四边形。M7W是矩形,
0P=MN,
二当。尸工48时,OP最小,
••♦直线y=:x+3与坐标轴分别交于点4,B,
4
令x=0,贝i|y=3,
二40,3),
令y=0,则0=±x+3,解得x=-4,
4
,5(-4,0)
OA-3.OB=4,
:.AB=y/OA2+OB2=V32+42=5,
当。尸148时,
S/UBC=xOB=^OPxAB,
八八OAxOB3x412
AB55
12
MN=OP=—.
5
12
故答案为:y.
5.如图,矩形EFGH的边E尸=6厘米,/G=4厘米,在直角梯形48co中,8=9厘米,BC=5厘米,
/。=4厘米,点E,F,A,B在同一直线上,且E4=5厘米,矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线
EB向右运动,同时点M从点B出发沿3-C-D-/-8的路线,以1厘米/秒的速度运动,到点8停止.当
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.分点M在8
上和点河在AD上利用勾股定理讨论求解即可.
【详解】解:如图1,「BCnEdnS厘米,矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线EB向右运动,同时点M
从点B出发沿5-C-D-/-B的路线,以1厘米/秒的速度运动,
•••开始运动5秒后,点河运动到点C,
过点C作CP_L48于尸,则四边形EPCH和四边形APCD以及四边形EADH都是矩形,
设再过x(x49)秒,则EP=15—2x,
当点〃■与点E相距5厘米时,即EM=5厘米,
•••MP=GF=4厘米,^EPM=90°,
二EP=|15-2.r|=V52-42=3,
解得x=6或9,
•••点M共运动了6+5=11秒或6+9=14秒时,点河与点E相距5厘米;
开始运动14秒后,点河运动到点。,此时,4E=14-6-5=3厘米,如图2,
图2
设再过y秒后,点加与点E相距5厘米,
•••/M4E=90°,
.•■AM2+AE2=52BP(4-J)2+(3+y)2=52,
解得y=。(舍去)或y=i,
.♦•点M共运动了14+1=15秒时,点”与点E相距5厘米,
故答案为:11、14或15.
6.如图,的对角线相交于点O,A04B是等边三角形,40=6.
⑴求证:O4BC。是矩形;
⑵求四边形油8的面积.
【答案】(1)见解析
(2)125/3
【分析】(D本题考查等边三角形的性质,矩形的判定,根据等边三角形性质求出。4=。8=/方,根据平
行四边形的性质求出0/=0C,OB=OD,求出/C=BD,根据矩形的判定得出即可;
(2)本题考查矩形的性质,勾股定理,求出4C、根据勾股定理求出BC,根据面积公式求出即可;
【详解】(1)证明::A/8。是等边三角形,
0A—OB=AB,
•••四边形ABCD是平行四边形,
:.OA=OC,OB=OD,
••OA=OC=OB=OD,
••AC=BD,
•••平行四边形2BCZ)是矩形;
(2)解:,••四边形488是矩形,
・・.NBAD=90。,
vAD=6,ZABD=60°,
•.ZADB=30°,
••BD=2AD,
-AB1+AD1=BD-,
•••加+36=4加,
:.AB=2小,AB=-2y/3(不符合题意舍去),
.-.DABCD的面积是4DxAB=6x2向=124.
7.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二
步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几?”其意思为:
如图,当秋千静止在地面上时,秋千的踏板离地的距离为一尺(CE=1尺),将秋千的踏板往前推两步(每
一步合五尺,即EF=10尺),秋千的踏板离地面的距离与人一样高,这个人的身高为五尺(OF=5尺),
(2)求这个秋千的绳索AC的长.
【答案】(1)4
(2)这个秋千的绳索AC的长为14.5尺.
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理的应用,熟练掌握利用勾股定理列方程是解题的关键.
(1)由题意可得四边形是矩形,则3£>=EF=10,BE=DF=5,从而即可得解:
(2)设这个秋千的绳索2C的长为x,则4C=AD=x,AB=AC+CE-BE=x+l-5=x-4,在
中,由勾股定理得,BD-+AB2=AD-<则1()2+(X-4)2=X2,解方程即可得到答案.
【详解】(1)解:由题意可知,ZABD=ZEBD=ZBEF=ZF=90。,
二四边形BE叩是矩形,
:.BD=EF=10,BE=DF=5,
・・・CE=1,
•.BC=BE-CE=4(尺),
故答案为:4;
(2)解:设这个秋千的绳索4。的长为x,则ZC=〃=x,AB=AC+CE-BE=x+l-5=x-4f
222
在中,由勾股定理得,BD+AB=AD9
则1()2+(X-4)2=/,
解得:x=14.5.
即这个秋千的绳索NC的长为14.5尺.
8.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁,核心是平面上
的点与坐标是一一对应的.用代数的方法表达图形变化,用平面直角坐标系解决几何问题,是数形结合的
重要运用.如图,切lx轴于Z,轴于c,5(68),点。在射线切上,点E是。D的中点.
(1)如图1,连接CE,若。为48中点,求CE的长;
(2)如图2,连接/C,AE,CE.若BD=BC,求△ZCE的面积;
(3)作E尸〃交直线BC于尸,若8尸=40,求AD的长.
【答案】(1)CE=36
(2)9
64
⑶元或12.8
【分析】(1)过点E分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为N,证明四边形0Z3C为矩形,
BC=OA=6,AB=OC=8,再证明EM为△040的中位线,得到目1/=140=2,OM=-OA=3,证明
22
四边形OMEN为矩形,得到0N=EM=2,0M=EN=3,在RtZ\CEM中,由勾股定理即可得到CE;
(2)过点E分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为7,同(1)理可得:四边形。麻T为矩形,EH为AOAD
的中位线,得到Ea=g4D=l,OH=ET=^OA=3,根据S,^c=S4Aoe_SqcE—S^0AE即可得到答案:
(3)分两种情况:点。在切上和点。在册的延长线上,分别进行求解即可.
【详解】(1)解:过点E分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M,N,
•••841x轴于4,BC_Ly轴于C,ZAOC=90°,5(6,8).
•■•四边形。4BC为矩形,BC=OA=6,48=。。=8,
•••点。为48的中点,
AD=49
•••点£为的中点,EM//AD,
EM为△040的中位线,
EM=—AD=2,OM=—OA=3,
22
•.•硒'lx轴,EN_Ly轴,
二四边形0M硒为矩形,
:.ON=EM=2,OM=EN=3,
:.CN=OC-ON=8-2=6,
在RtZXCEN中,CN=6,EN=3,
由勾股定理得:CE=^CN2+EN-=375:
(2)过点E分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为X,T,
■>
X
由(1)可知:BC=OA=69AB=OC=S,
•:BD=BC,
BD=6,
••AD=2,
同(1)理可得:四边形。班T为矩形,为△Q4D的中位线,
:.EH^-AD=\,OH=ET=-OA=3,
22
,口"4"。。=24,S^^OC.ET=n,邑研三。・郎=3,
又S=.4£C=S、AOC-S、ocE—S,OAE>
•••S皿=24-12-3=9;
(3)•.•点。在射线初上,
・••有以下两种情况:
①当点。在助上时,
过点E作x轴的垂线垂足为P,
同(1)理可得:EP为△04D的中位线,。尸=3,
设EP=h,则40=26,
:.BF=AD=2/?,
.•.点E的坐标为(3,4),点尸的坐标为(6+2九8),
设直线03的解析式为:y=h,
将点8(6.8)代入y=",得:k=i,
4
•••直线OB的解析式为:y=
设直线的解析式为:y=mx+n,
将点(3,矶点尸(6+2%,8)代入”小+〃,
3〃?+〃=力z、
得:(6+2a+〃=8,消去〃得:(3+2人)…也
vOB//EF,
〃4
:.m=k=一,
3
二(3+2呜=8-力,解得:〃考,
24
:.AD=2h=—,
11
2464
:.BD=AB-AD=?>--=—.
1111'
②当点。在及1的延长线上时,
过点E作x轴的垂线垂足为0,
同(1)理可得:EP为△04。的中位线,。。=3,
设EQ=f,则4D=2f,BF=AD=2t,
•••点E的坐标为(3,-f),点F(6+2f,8),
同①得:f=2.4,
:.AD=2t=4.8,
・・・5Z)=A8+ZD=8+4.8=12.8.
综上所述:皿的长为书64或12.8.
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、三角形中位线定理、求一次函数解析式、勾股定理、一元一次方
程的应用等知识,数形结合和分类讨论是解题的关键.
9.如图,在平面直角坐标系中(以1cm为单位长度),过点40,4)的直线°垂直于y轴,加(9,4)为直线0
上一点.点尸从点”出发,以2cm/s的速度沿直线。向左移动;同时,点0从原点出发,以lcm/s的速
度沿x轴向右移动.
(2»秒后尸。平行于y轴,求"直;
⑶若以工、。、。、尸为顶点的四边形的面积是10cm?,求点P的坐标.
【答案】⑴9-2/
(2)3
⑶(1,4)或'
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、矩形的判定和性质、坐标与图形等知识,理解题意,正确列出
方程是解此题的关键.
(1)根据点M的坐标、点尸的运动方向和速度分两种情况求解即可;
(2)设点把后线段P。平行于了轴,则。。=/,PM=2t,AM=9,AP=9-2t,根据矩形的判定和性质
得到AP=OQ,列出方程求解即可;
(3)分两种情况分别根据四边形的面积列方程,解方程即可得到答案.
【详解】(1)解:•••川(9,4)为直线。上一点.点P从点M出发,以2cm/s的速度沿直线。向左移动;
PM=2。AM=9,
当点尸在y轴右侧时,/秒后,PM=2t,
.”秒后,AP=AM-PM=9-2t,
当点尸在y轴左侧时,f秒后,PM=2t,
."秒后,AP=PM-AM=2t-9,
故答案为:9-2/或2”9
(2)解:设点fs后线段尸。平行于歹轴,
由题意得:OQ=t,PM=2t,AM=9,
AP=AM-PM=9-2t,
;尸。〃>轴,AP//OQ,AAOQ=90°,
四边形/。0P是矩形,
OQ=AP,即9-2/=/,
解得:/=3,
••.3秒后线段尸。平行于V轴;
(3)①当点尸在〉轴右侧时,/秒后,PM=2t,
秒后,AP=AM-PM=(9-2/)cm,。。=隹m,点尸的坐标为(9-2/,4),
根据题意可得,!x4x(9-2z+/)=10,
解得f=4,
:.9-2t=\,
.,•点P的坐标是(1,4),
当点尸在夕轴左侧时,/秒后,PM=2t,
."秒后,AP=PM-AM=2t-9,O0=fcm,点尸的坐标是(9-2t,4),
根据题意可得,!x4x(2/-9+/)=10,
解得,=914,
综上可知,点尸的坐标是(1,4)或
10.如图,在平行四边形N8CD中,/E_L8C于点£,延长3c至点R使CF=BE,连接力AF与DE
交于点O.
AD
(1)求证:四边形NEED为矩形;
(2)若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的长.
【答案】(1)见详解
⑵。尸=彳
【分析】(1)根据线段的和差关系可得BC=M,根据平行四边形的性质可得AD=BC,即可
得出/D=斯,AD//EF,可证明四边形/£阳为平行四边形,根据4ELBC即可得结论;
(2)根据矩形的性质可得N尸=OE=4,进而可得△以尸为直角三角形,利用“面积法”可求出/E的长,
进而可得。尸的长.
【详解】(1)证明:•••3E=CF,
:.BE+CE=CF+CE,gpBC=EF,
••・四边形/BCD是平行四边形,
AD//BC,AD=BC,
AD=BC=EF,
又,.•/DIIEF,
.•.四边形AEFD为平行四边形,
AELBC,
NAEF=90°,
・•.平行四边形AEFD为矩形;
(2)解:由(1)知,四边形NEED为矩形,
DF=AE,AF=DE=1OE=4,
AB=3,AF=4,BF=5,
AB2+AF2=BF2,
:.ABAF为直角三角形,NBAF=90°,
SAABF=-ABXAF=-BFXAE,
22
ABxAF=BFxAE,即3x4=5/E,
:.DF=AE=—,
5
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理等知识,熟练掌握相
关性质及判定定理是解题关键.
11.如图:在中,AB=AC,4D是中线,ZN是448c的外角NC4M的平分线,CELAN,垂足
为E.
M
⑴求证:四边形/OCE是矩形;
(2)连接。£,交ZC于点尸,直接写出。尸与之间的关系为
【答案】(1)证明见解析
(2)DF=;AB
【分析】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题
的关键.
(1)由等腰三角形的性质得4。,BC,ABAD=ACAD,则//DC=90。,再证ND4E=90。,然后证
//EC=90。,即可得出结论;
(2)由矩形的性质得/C=DE,DF=EF=;DE,,再证即可得出结论.
【详解】(1)证明:VAB=AC,是中线,
/.AD1BC,ABAD=ACAD,
ZADC=90°,
・・•AN为-BC的外角/CAM的平分线,
:.ZMAN=ZCAN,
/CAD+/CAN=lxl80°=90°,
2
即^DAE=90°,
•・•CE1AN,
ZAEC=90°f
一.四边形ZQCE是矩形;
(2)解:DF=^AB,理由如下:
由(1)知,四边形4以为为矩形,
:.AC=DE,DF=EF=-DE,
2
又・・AB=AC,
:.AB-DE,
:.DF=-AB.
2
12.如图1,在平面直角坐标系中,/(4.8),N3,x轴于瓦/CJ_y轴于C,连接BC.
(2)如图2折叠”3C,使点8与点C重合,折痕。E交48于。,交BC于E.
①求点。的坐标;
②在丁轴上,是否存在点尸,使得△(?分为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的所有点尸的坐标;若
不存在,请说明理由.
【答案】(1)8,4,4^5
⑵①(4,5);②存在点P,使得尸为等腰三角形,点尸的坐标为(0,3)或(0』3)或(0,2)或
【分析】本题考查矩形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质等,注意分类讨论是解题的关键.
(1)根据点Z的坐标可知48,ZC的长度,再利用勾股定理求BC的长度:
(2)①由折叠可知。B=Z)C,设DB=DC=x,用勾股定理解Rt^C4D求出x的值即可;
②分。B=DC=5,CP=CD=5,PC=PZ)三种情况,利用等腰三角形的性质及勾股定理,分别求解即可.
【详解】(1)解:•••/B/x轴于8,/C_Ly轴于C,
ZABO=ZACO=ZBOC=90°,
二四边形。切C是矩形,
OB=AC,AB=OC,4=90。,
•••4(4,8),
二43=OC=8,/C=O8=4,
BC=dAB'+AC?=V82+42=4下,
故答案为:8,4,4yB:
(2)解:①由折叠可知。8=OC,
设DB=DC=x,则n4=4B-OB=8-x,
在RtZ\C4I)中,由勾股定理得4£>2+4。2=82,
/.(8-x)2+43=x2,
解得x=5,即。8=5,
二点。的坐标为(4.5);
②由①知DB=Z)C=5,
vOC=8,
.-.C(0,8),
设点尸的坐标为(o,y),
当CP=CD=5时,|y-8|=5,
解得y=3或13,
二点尸的坐标为(0,3)或(0,13):
当。C=。尸=5时,如图,过点。作O0LC尸于点0,可得四边形4C0Z)是矩形,
CQ=y]CD2-QD2=V52-42=3,
CQ=2CQ=6,
:.OP=OC-CP=S-6=2,
二点尸的坐标为(0,2);
当PC=P。时,如图,过点尸作尸48于点“,可得四边形4cPH是矩形,
・・・点尸的坐标为(OJ),
/.OP=HB=y9
:,CP=DP=8-y,DH=5-y9
在Rt△尸砂中,由勾股定理得PH-+DH2=PD2,
42+(5-y)2=(8-^)2,
解得,4,
二点P的坐标为.高
综上可知,存在点尸,使得△C。尸为等腰三角形,点尸的坐标为(0,3)或(0,13)或(0,2)或10,1).
13.如图,在矩形2BCD中,AB=4cm,5C=8cm,点尸从点。出发向点4运动,运动到点4即停止:
同时点。从点8出发向点C运动,运动到点C即
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