苏科版八年级数学下册重难点压轴题突破：特殊的平行四边形的判定与性质综合（三大题型45题）含答案与解析

专题07特殊的平行四边形的判定与性质综合（三大题型，45题）

目录

一、题型一：矩形的判定与性质综合，难度三星，15题..............................................1

二、题型二：菱形的判定与性质综合，难度三星，15题..............................................5

三、题型三：正方形的判定与性质综合，难度三星，15题............................................9

一、题型一：矩形的判定与性质综合，难度三星，15题

1.如图是小安在荡秋千的侧面示意图.小安在起始位置A处时，0/与地面BC垂直，当小安在。处时，她

离BC,CM的距离分别为0.8m,1m；当小安在E处时，若NDOE=90°,且她离。”的距离为L5m,则此

时小安离地面8C的高度是（）

A.ImB.1.2mC.1.3mD.1.5m

2.如图，在四边形48CD中，//=/C=90。,DG〃8C,乙48c的平分线BE交DG于点G,EHLDG,垂

足为点H,若/E=5,CD=3,则().

13

A.1B.2C.—D.——

22

3.如图平行四边形ABCD中，对角线/C、8。相交于点。，且Q4=,ZOAD=65°，则ZODC=.

4.如图,直线，曰+3与坐标轴分别交于点A,B,点尸是线段少上一动点，过点尸作尸hx轴于点

作PN”轴于点N,连接MN,则线段及W的最小值为.

5.如图，矩形EEGH的边防=6厘米，EG=4厘米，在直角梯形A8CD中，8=9厘米，8c=5厘米,

ND=4厘米，点£,F,A,B在同一直线上，且E4=5厘米，矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线

EB向右运动，同时点"从点B出发沿8-C-D-/-8的路线，以1厘米/秒的速度运动，到点B停止.当

点M共运动秒时，点〃■与点E相距5厘米.

6.如图，BCD的对角线相交于点O,AO/B是等边三角形，AD=6.

⑴求证：BCD是矩形；

⑵求四边形23CD的面积.

7.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二

步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为:

如图，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（CE=1尺），将秋千的踏板往前推两步（每

一步合五尺，即E尸=10尺），秋千的踏板离地面的距离与人一样高，这个人的身高为五尺（。尸=5尺），

A

⑴图2所示8C=尺

⑵求这个秋千的绳索/C的长.

8.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，核心是平面上

的点与坐标是一一对应的.用代数的方法表达图形变化，用平面直角坐标系解决几何问题，是数形结合的

重要运用.如图，轴于轴于C,8(6,8),点。在射线R4上，点£是OD的中点.

(2)如图2,连接/C,AE,CE.若BD=BC,求的面积；

⑶作E尸〃02交直线3c于R若BF=AD,求AD的长.

9.如图，在平面直角坐标系中(以1cm为单位长度)，过点40,4)的直线°垂直于＞轴，”(9,4)为直线0

上一点.点尸从点M出发，以2cm/s的速度沿直线。向左移动；同时，点。从原点出发，以lcm/s的速

(2»秒后尸。平行于y轴，求f值；

(3)若以工、。、。、P为顶点的四边形的面积是10cn?,求点P的坐标.

10.如图，在平行四边形48CD中，/E_LBC于点E,延长8c至点尸，使CF=BE,连接£)尸，AF与DE

交于点O.

(1)求证：四边形NEFD为矩形;

⑵若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的长.

11.如图：在A/3C中，AB=AC,力。是中线，ZN是"2C的外角NC4M■的平分线，CELAN,垂足

为E.

(1)求证：四边形ADCE是矩形；

(2)连接。E,交/C于点尸，直接写出。尸与48之间的关系为

12.如图1,在平面直角坐标系中，/(4,8),/8，、轴于瓦/。，、轴于。，连接3c.

(2)如图2折叠"BC,使点B与点C重合，折痕DE交45于。，交BC于E.

①求点。的坐标；

②在7轴上，是否存在点尸，使得△CD尸为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

13.如图，在矩形48CD中，AB=4cm,8c=8cm,点尸从点。出发向点/运动，运动到点工即停止;

同时点0从点8出发向点C运动，运动到点C即停止.点尸、0的速度都是lcm/s,连接P。,/。,。，

设点尸、。运动的时间为/(s).

(1)当/为何值时，四边形/8QP是矩形？

(2)当/为何值时，四边形N0CP是菱形？求出此时菱形NQCP的面积.

14.如图，平行四边形/BCD的对角线NC、2。相交于点。，延长NB至点£,连接CE.现有以下信息:

①NABC=90。；@EC//BD；@AC=EC.

从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由.

你选择的条件是,结论是(填写序号).理由:

15.如图，在平行四边形48CD中，//C8=90。，过点。作DEL8C交8C的延长线于点E,连接AE

交CD于点F.

(1)求证：四边形ZCED是矩形；

(2)连接BF,若/4BC=6CP,CE=3,求B尸的长.

二、题型二：菱形的判定与性质综合，难度三星，15题

16.在平面直角坐标系xQy中，已知点8(5,1)、C(7,7)、D(l,5),若一次函数y=蛆-5加+1的

图像将四边形/BCD分成面积比为1:3的两部分，则加的值为()

A.—5或—B.—4或—C.—4或—D.—5或—

4545

17.如图，在NMCW的两边上分别截取CM、OB,使。4=。2；分别以点/、8为圆心，04长为半径作

弧，两弧交于点C;连接NC、BC、AB、0C.若NB=3cm,四边形/O2C的面积为12cm?,则0c的

长为()

A.5cmB.8cmC.10cmD.4cm

18.如图，在矩形中，对角线4c的垂直平分线分别交8于点E,F,连接前，CE,如果

19.如图，在矩形4BCD中，对角线2C的垂直平分线分别交48,CD于点E,F,连接"，CE,如果

20.如图，中，对角线4c与即相交于点尸，AC1BD,且4C=8,BD=86,若点尸是对角

线助上一动点,连接HP,将W绕点N逆时针旋转使至4E,得=连接PE,取4。的中

点O,连接OE,则在点尸的运动过程中，线段OE的最小值为.

21.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角

形三边长分别是0，3,2,因为+32=12=3x2],所以这个三角形是和谐三角形.在平行四边形438

中，4CJ.BD于点、O,AB=5且△NBD是和谐三角形，则该平行四边形N3CD的面积为.（温馨

提示：4ax4b=4ab,aW0,>0）

22.如图，四边形4BCD的对角线/C,AD相交于点。，BC,E。为矩形8EC。对角线，BC//AD,

AD=EO.

(1)求证：四边形42C。是菱形；

(2)连接DE,若4c=2,ZBCZ)=120°,求DE1的值.

23.如图，在四边形4BCD中，AD//BC,AD=2BC,E为/LD的中点，连接皿，BE,ZABD=90°；

(1)求证：四边形为菱形.

(2)连接4C,^ACLBE.BC=2,求助的长.

24.如图，在矩形42CD中，对角线/CAD相交于点O,DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形。DEC为菱形;

(2)连接OE,若8c=26，求OE的长.

25.如图，在£7488中，AC,助交于点。，点E,尸在/C,且4E=C尸.

⑴求证：DE//BF；

(2)若/A4C=ND/C,点G,H分别为。尸，OF的中点，连接GH,GH="即=8,

求四边形。EAF

的周长.

26.如图，四边形4BCZ)的对角线4。、AD相交于点O,0/=0C,OB=OD,且BE//AC,

OE=AB.

(1)试判定四边形4BCD的形状;

(2)若44DC=60。，BE=2,求四边形4BCD的面积.

27.如图①，已知矩形45CD的对角线/C的垂直平分线与边4D,BC分别交于点E,F.

(1)求证：四边形4尸CE是菱形;

(2)如图②，直线EF分别交矩形/BCD的边4D,BC于点E,F,将矩形W)沿EF翻折，使点C的对

称点与点4重合，点。的对称点为若48=4,BC=5,求EF的长;

(3)如图③，直线EF分别交。4BCD的边4D,BC于点瓦F,将£7438沿EF翻折，使点C的对称点

与点4重合，点。的对称点为。‘，若4B=3'V5'，BC=6ZC=45°,则五边形的周长为

28.如图，在平行四边形4BCD中，BELAD,BFVCD,垂足分别为E,F,且4&=C尸.

(1)求证：平行四边形NBCD是菱形；

(2)若DB=10,AB=13,求BE的长.

29.如图，四边形48cZ)中，AD//BC9ZC=90°,AB=AD,连接助，的角平分线分别交

BD,BC于点O,E.

AD

(1)连接。E,求证：四边形NB助为菱形;

(2)若3C=8,CD=4,求4E的长.

30.已知：如图，4D是A43c的角平分线，CE〃匐交.AB于彘E,DF//AB交AC于点、F.

(1)求证：四边形4E7)尸是菱形;

⑵若/E=13,40=24,试求四边形/ED尸的面积.

三、题型三：正方形的判定与性质综合，难度三星，15题

31.在四边形48co中，AB=BC,ZABC=ZCDA=9Q°,BEL4D于点、E,S四边陷8^=9,则8£=(

A.9B.3C.±3D.无法确定

32.如图，在等腰RtA£45和等腰RSEDC中，ZEAB=ZEDC=90°,AB=AE,DC=DE,

AE<ED.若4D=3,则五边形/BCDE的面积是.

33.如图，已知点P(4%-1,6加-5)在第一象限的角平分线OC上，尸4=90。且点43分别在x轴，V

轴的正半轴上，则。4+。8=

34.如图，正方形/BCD的边长是5,AE=CF=4,BE=DF=3,则£尸=.

35.如图，矩形4。8c的边04、08在直角坐标系的正半轴上，点£、尸分别在ZC、BC边上,将△(?£/

沿E尸翻折，使点C落在08上的点P处，若点C的坐标为(13,5),则点尸的横坐标加的取值范围

是.

36.如图，矩形48CD中，48=5,BC=8,点E是边3C上一动点，连接/E,沿/£把折叠，得

到AAEF.

(1)当点尸恰好在矩形的边上时，BE的长为；

(2)当点尸恰好在矩形边4D的垂直平分线上时，BE的长为.

37.如图，将长方形/BCD沿E尸折叠得到两个全等的小长方形，23=12,2c=10,点G在上运动,

当点A关于DG的对称点H落在右侧长方形8CEF内部(含边界)时，则/G的长度m的取值范围为.

AD=CD,DPL4B于尸，DP=3,则四边形4BCD的面

积一

39.在四边形43CD中，ZA=ZC=90°.

(1)如图1,若45=1,AD=由,8=及，求四边形"CD的面积;

(2)如图2,若BC=CD,连接/C,AB=3,35,直接写出2c的长度为；

(3)如图3,在(2)的条件下，求四边形4BCD的周长.

40.如图，“5C是等腰直角三角形，AB=BC,AWC与“BC关于/C对称，E为边4c上一点，连

接3E并延长交CD于点尸，作4GLM交BC于点G.

⑴求证：AG=BF；

⑵探究：当工”为何值时，点G与点尸关于对称.

41.如图1,正方形N8CD的边长为5,点E为正方形边上一动点，过点3作AP，/E于点尸，将△4P3

绕点/逆时针旋转90。得△NPD,延长8P交P0于点R连接CP.

⑴判断四边形的的形状，并说明理由；

(2)若。尸=1,求/P的长度；

(3)在(2)的条件下，求学\

^\APB

42.如图1,在正方形/BCD中，点E为3C边上任意一点(点、E不与B,C重合)，点厂在线段NE上,

过点下的直线分别交CD于点M,N.

图1图2图3

(1)求证：MN=AE；

(2)如图2,当点下为/£中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线8。，MN与BD交于点、G,连接

BF,求证：BF=FG；

(3)如图3,当点E为C8延长线上的动点时，如果(2)中的其他条件不变，直线分别交直线48,CD

于点M,N,结论“5F=FG”还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由.

43.(1)问题发现：如图1,将一个直角三角形纸片ANB。放置在平面直角坐标系中，点/(4,0),点

8(0,4),点。(0,0).将纸片沿N8翻折，得到点。的对应点为。，则点。'的坐标是.

4

(2)问题探究：如图2,直线>=-§、+4与1轴、y轴的交点分别为4,B,若/A4。的平分线与歹轴交

于点C,求0c的长.

(3)问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品.现有一块形状为四边形45。。的设计图纸，

如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是2(8,0),5(-4,0),C(8,8),£>(-4,12).为了设计出图案,

计划在这个四边形的边48上找一点E,沿着CE,QE画出两条分割线，使得即平分/BEC请问是否存在

点E符合要求?若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.

44.如图,在£7488中，AB>AD,DE1平分N4DC,4F/BC于点尸交。E于G点，延长BC至H使

CH=BF,连接

(1)证明：四边形4TOD是矩形;

(2)当屋=,4尸时，猜想线段48、4G、BF的数量关系，并证明.

45.在正方形ABCD中，点E为射线/C上一点，连接DE,过点E作EF±DE交射线BC于点F,以DE,EF

为邻边作矩形。斤G,连接CG.

图1图2

(1)如图1,当点E在线段4C上时.

①求证：矩形DEFG是正方形：

②求证：CG=AC-CE；

(2)如图2,当点E在线段4c的延长线上时，正方形43CD的边长为3,CE=正，请直接写出GE的长.

专题07特殊的平行四边形的判定与性质综合（三大题型，45题）

目录

一、题型一：矩形的判定与性质综合，难度三星，15题----------------------------------------------1

二、题型二：菱形的判定与性质综合，难度三星，15题---------------------------------------------22

三、题型三：正方形的判定与性质综合，难度三星，15题-------------------------------------------42

一、题型一：矩形的判定与性质综合，难度三星，15题

1.如图是小安在荡秋千的侧面示意图.小安在起始位置A处时，。4与地面8。垂直，当小安在。处时，她

离BC,的距离分别为0.8m,1m；当小安在E处时，若ZDOE=90。，且她离的距离为1.5m,则此

时小安离地面BC的高度是（）

A.ImB.1.2mC.1.3mD.1.5m

【答案】C

【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明AOOFGAEOG是解

题关键.过点。作于过点E作E/_LBC于/,延长。4交于点J,首先证明四边形

DHJF、G旌均为矩形，由矩形的性质可得E/=DH=0.8m,EI=GJ,再证明AOD尸父AEOG,由全等

三角形的性质可得DF=OG=lm,OF=EG=1.5m,进而可得E7=GJ=L3m,即可获得答案.

【详解】解：如下图，过点。作于H,过点E作£7_LBC于/,延长。/交3c于点J,

由题意可知，DF_LOA9GE_LOA,OJ_LBC,DH=O.8111,DF=lm>EG=1.5m,

:・QHJ=ZFJH=ADFJ=90。,ZGJI=AEIJ=ZEGJ=90°f

・・・四边形。即F、GJZE均为矩形，

：.FJ=DH=0.8m,EI=GJ,

•・•/DOE=90。，

.•"DOF+ZODF=ZDOF+/EOG=90°,

・•・/ODF=/EOG,

在△0。尸和ZkEOG中，

ZODF=ZEOG

<NOFD=NEGO=90。,

OD=EO

△OD厂父△£OG(AAS),

DF=OG=Im,OF=EG=1.5m,

.・.G/=K/+G/=Q+(O9—OG)=0.8+(L5—l)=1.3m,

EI=GJ=1.3m,

即此时小安离地面BC的高度是1.3m.

故选：C.

2.如图，在四边形/BCD中，=的平分线5E交QG于点G,EHLDG,垂

足为点、H,若/E=5,CD=3,则可=().

BC

1113

A.1B.2C.—D.

2~2

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质、矩形的判定与性质等知识点,证得四边形印C。是矩形成为解

题的关键.

根据平行线的性质可得以±BC,再根据角平分线的性质可得EI=AE=i5,然后证明四边形印C。是矩形,

最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答.

【详解】解：如图：延长EH交BC于I,

•••EHLDG,DG//BC,

.-.EI1BC,

•・•//3C的平分线BE交。G于点G,NN=90。，EI±BC,AE=5,

:.EI=AE=5

・・・EH工DG、EIIBC.ZC=90°,

•••四边形印8是矩形，

:.HI=DC=3,

.-.EH=EI-HI=5-3=2.

故选：B.

3.如图平行四边形48co中，对角线/C、8。相交于点O,S.OA=OB,NQ4D=65。，则N8C=

【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形

2BCD是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出NODC的度数.

【详解】解：；四边形488是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,

•/OA—OB,

/.OA-OB=OC=OD9

.•・四边形4BCD是矩形，

:.ZADC=90°9

・・・AOAD=65°9

:.Z.ODA=ZOAD=65°,

:.ZODC=ZADC-Z.ODA=25°,

故答案为：25。.

4.如图，直线y=Jx+3与坐标轴分别交于点A,B,点尸是线段43上一动点，过点尸作尸河_Lx轴于点

M,作了W，y轴于点N,连接MN,则线段的最小值为

【分析】如图，连接OP,依题意，四边形0MPN是矩形，则。尸=MN,当。尸/4B时，。尸最小，用等

面积法求得。尸即可.本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到MN=。尸是解题的关键.

【详解】如图，连接。尸，

•••过点P作尸AUx轴于点M,作尸轴于点N,乙105=90。，

.•.四边形。M7W是矩形，

0P=MN,

二当。尸工48时，OP最小，

••♦直线y=：x+3与坐标轴分别交于点4,B,

4

令x=0,贝i|y=3,

二40,3),

令y=0,则0=±x+3,解得x=-4,

4

,5(-4,0)

OA-3.OB=4,

:.AB=y/OA2+OB2=V32+42=5,

当。尸148时，

S/UBC=xOB=^OPxAB,

八八OAxOB3x412

AB55

12

MN=OP=—.

5

12

故答案为：y.

5.如图，矩形EFGH的边E尸=6厘米，/G=4厘米，在直角梯形48co中，8=9厘米，BC=5厘米,

/。=4厘米，点E,F,A,B在同一直线上，且E4=5厘米，矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线

EB向右运动，同时点M从点B出发沿3-C-D-/-8的路线，以1厘米/秒的速度运动，到点8停止.当

【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.分点M在8

上和点河在AD上利用勾股定理讨论求解即可.

【详解】解：如图1,「BCnEdnS厘米，矩形从尸点开始以1厘米/秒的速度沿直线EB向右运动，同时点M

从点B出发沿5-C-D-/-B的路线，以1厘米/秒的速度运动，

•••开始运动5秒后，点河运动到点C,

过点C作CP_L48于尸，则四边形EPCH和四边形APCD以及四边形EADH都是矩形，

设再过x(x49)秒，则EP=15—2x,

当点〃■与点E相距5厘米时，即EM=5厘米,

•••MP=GF=4厘米，^EPM=90°,

二EP=|15-2.r|=V52-42=3,

解得x=6或9,

•••点M共运动了6+5=11秒或6+9=14秒时，点河与点E相距5厘米；

开始运动14秒后，点河运动到点。，此时，4E=14-6-5=3厘米，如图2,

图2

设再过y秒后，点加与点E相距5厘米，

•••/M4E=90°,

.•■AM2+AE2=52BP（4-J）2+（3+y）2=52,

解得y=。（舍去）或y=i,

.♦•点M共运动了14+1=15秒时，点”与点E相距5厘米，

故答案为：11、14或15.

6.如图，的对角线相交于点O,A04B是等边三角形，40=6.

⑴求证：O4BC。是矩形;

⑵求四边形油8的面积.

【答案】（1）见解析

（2）125/3

【分析】（D本题考查等边三角形的性质，矩形的判定，根据等边三角形性质求出。4=。8=/方，根据平

行四边形的性质求出0/=0C,OB=OD,求出/C=BD,根据矩形的判定得出即可；

（2）本题考查矩形的性质，勾股定理，求出4C、根据勾股定理求出BC,根据面积公式求出即可；

【详解】（1）证明：:A/8。是等边三角形，

0A—OB=AB,

•••四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

••OA=OC=OB=OD,

••AC=BD,

•••平行四边形2BCZ）是矩形；

（2）解：,••四边形488是矩形,

・・.NBAD=90。，

vAD=6,ZABD=60°,

•.ZADB=30°,

••BD=2AD,

-AB1+AD1=BD-,

•••加+36=4加，

:.AB=2小,AB=-2y/3（不符合题意舍去）,

.-.DABCD的面积是4DxAB=6x2向=124.

7.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二

步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为:

如图，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（CE=1尺），将秋千的踏板往前推两步（每

一步合五尺，即EF=10尺），秋千的踏板离地面的距离与人一样高，这个人的身高为五尺（OF=5尺），

（2）求这个秋千的绳索AC的长.

【答案】（1）4

（2）这个秋千的绳索AC的长为14.5尺.

【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理列方程是解题的关键.

（1）由题意可得四边形是矩形，则3£>=EF=10,BE=DF=5,从而即可得解：

（2）设这个秋千的绳索2C的长为x,则4C=AD=x,AB=AC+CE-BE=x+l-5=x-4,在

中，由勾股定理得，BD-+AB2=AD-＜则1()2+(X-4)2=X2,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意可知，ZABD=ZEBD=ZBEF=ZF=90。,

二四边形BE叩是矩形，

:.BD=EF=10,BE=DF=5,

・・・CE=1,

•.BC=BE-CE=4(尺)，

故答案为：4；

(2)解：设这个秋千的绳索4。的长为x,则ZC=〃=x,AB=AC+CE-BE=x+l-5=x-4f

222

在中，由勾股定理得，BD+AB=AD9

则1()2+(X-4)2=/，

解得：x=14.5.

即这个秋千的绳索NC的长为14.5尺.

8.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，核心是平面上

的点与坐标是一一对应的.用代数的方法表达图形变化，用平面直角坐标系解决几何问题，是数形结合的

重要运用.如图，切lx轴于Z,轴于c,5(68),点。在射线切上，点E是。D的中点.

(1)如图1,连接CE,若。为48中点，求CE的长；

(2)如图2,连接/C,AE,CE.若BD=BC,求△ZCE的面积;

(3)作E尸〃交直线BC于尸，若8尸=40,求AD的长.

【答案】(1)CE=36

(2)9

64

⑶元或12.8

【分析】(1)过点E分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,证明四边形0Z3C为矩形,

BC=OA=6,AB=OC=8,再证明EM为△040的中位线，得到目1/=140=2,OM=-OA=3,证明

22

四边形OMEN为矩形，得到0N=EM=2,0M=EN=3,在RtZ\CEM中，由勾股定理即可得到CE；

（2）过点E分别作x轴,y轴的垂线，垂足分别为7,同（1）理可得：四边形。麻T为矩形，EH为AOAD

的中位线，得到Ea=g4D=l,OH=ET=^OA=3,根据S,^c=S4Aoe_SqcE—S^0AE即可得到答案：

（3）分两种情况：点。在切上和点。在册的延长线上，分别进行求解即可.

【详解】（1）解：过点E分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M,N,

•••841x轴于4,BC_Ly轴于C,ZAOC=90°,5(6,8).

•■•四边形。4BC为矩形，BC=OA=6,48=。。=8,

•••点。为48的中点，

AD=49

•••点£为的中点，EM//AD,

EM为△040的中位线，

EM=—AD=2,OM=—OA=3,

22

•.•硒'lx轴，EN_Ly轴，

二四边形0M硒为矩形，

：.ON=EM=2,OM=EN=3,

:.CN=OC-ON=8-2=6,

在RtZXCEN中，CN=6,EN=3,

由勾股定理得：CE=^CN2+EN-=375:

（2）过点E分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为X,T,

■>

X

由（1）可知：BC=OA=69AB=OC=S,

•:BD=BC,

BD=6,

••AD=2,

同（1）理可得：四边形。班T为矩形，为△Q4D的中位线，

:.EH^-AD=\,OH=ET=-OA=3,

22

，口"4"。。=24,S^^OC.ET=n,邑研三。・郎=3,

又S=.4£C=S、AOC-S、ocE—S，OAE>

•••S皿=24-12-3=9；

(3)•.•点。在射线初上，

・••有以下两种情况：

①当点。在助上时，

过点E作x轴的垂线垂足为P,

同(1)理可得：EP为△04D的中位线，。尸=3,

设EP=h,则40=26,

:.BF=AD=2/?,

.•.点E的坐标为(3,4)，点尸的坐标为(6+2九8),

设直线03的解析式为：y=h,

将点8(6.8)代入y=",得：k=i,

4

•••直线OB的解析式为：y=

设直线的解析式为：y=mx+n,

将点（3,矶点尸（6+2%,8）代入”小+〃,

3〃?+〃=力z、

得:（6+2a+〃=8,消去〃得：（3+2人）…也

vOB//EF,

〃4

:.m=k=一,

3

二（3+2呜=8-力，解得:〃考,

24

:.AD=2h=—,

11

2464

:.BD=AB-AD=?>--=—.

1111'

②当点。在及1的延长线上时，

过点E作x轴的垂线垂足为0,

同（1）理可得：EP为△04。的中位线，。。=3,

设EQ=f,则4D=2f,BF=AD=2t,

•••点E的坐标为（3,-f）,点F（6+2f,8）,

同①得：f=2.4,

:.AD=2t=4.8,

・・・5Z）=A8+ZD=8+4.8=12.8.

综上所述：皿的长为书64或12.8.

【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、三角形中位线定理、求一次函数解析式、勾股定理、一元一次方

程的应用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中(以1cm为单位长度)，过点40,4)的直线°垂直于y轴，加(9,4)为直线0

上一点.点尸从点”出发，以2cm/s的速度沿直线。向左移动；同时，点0从原点出发，以lcm/s的速

度沿x轴向右移动.

(2»秒后尸。平行于y轴，求"直；

⑶若以工、。、。、尸为顶点的四边形的面积是10cm?,求点P的坐标.

【答案】⑴9-2/

(2)3

⑶(1,4)或'

【分析】本题考查了一元一次方程的应用、矩形的判定和性质、坐标与图形等知识，理解题意，正确列出

方程是解此题的关键.

(1)根据点M的坐标、点尸的运动方向和速度分两种情况求解即可；

(2)设点把后线段P。平行于了轴，则。。=/,PM=2t,AM=9,AP=9-2t,根据矩形的判定和性质

得到AP=OQ,列出方程求解即可；

(3)分两种情况分别根据四边形的面积列方程，解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：•••川(9,4)为直线。上一点.点P从点M出发，以2cm/s的速度沿直线。向左移动；

PM=2。AM=9,

当点尸在y轴右侧时，/秒后，PM=2t,

.”秒后，AP=AM-PM=9-2t,

当点尸在y轴左侧时，f秒后，PM=2t,

."秒后，AP=PM-AM=2t-9,

故答案为：9-2/或2”9

(2)解:设点fs后线段尸。平行于歹轴，

由题意得：OQ=t,PM=2t,AM=9,

AP=AM-PM=9-2t,

；尸。〃＞轴，AP//OQ,AAOQ=90°,

四边形/。0P是矩形，

OQ=AP,即9-2/=/,

解得：/=3,

••.3秒后线段尸。平行于V轴；

（3）①当点尸在〉轴右侧时，/秒后，PM=2t,

秒后，AP=AM-PM=（9-2/）cm,。。=隹m,点尸的坐标为（9-2/,4）,

根据题意可得，!x4x（9-2z+/）=10,

解得f=4,

：.9-2t=\,

.,•点P的坐标是（1,4）,

当点尸在夕轴左侧时，/秒后，PM=2t,

."秒后，AP=PM-AM=2t-9,O0=fcm,点尸的坐标是（9-2t,4）,

根据题意可得，!x4x（2/-9+/）=10,

解得,=914,

综上可知，点尸的坐标是（1,4）或

10.如图，在平行四边形N8CD中，/E_L8C于点£,延长3c至点R使CF=BE,连接力AF与DE

交于点O.

AD

（1）求证：四边形NEED为矩形；

（2）若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的长.

【答案】（1）见详解

⑵。尸=彳

【分析】(1)根据线段的和差关系可得BC=M,根据平行四边形的性质可得AD=BC,即可

得出/D=斯，AD//EF,可证明四边形/£阳为平行四边形，根据4ELBC即可得结论；

(2)根据矩形的性质可得N尸=OE=4,进而可得△以尸为直角三角形，利用“面积法”可求出/E的长,

进而可得。尸的长.

【详解】(1)证明：•••3E=CF,

:.BE+CE=CF+CE,gpBC=EF,

••・四边形/BCD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,

AD=BC=EF,

又,.•/DIIEF,

.•.四边形AEFD为平行四边形，

AELBC,

NAEF=90°,

・•.平行四边形AEFD为矩形；

(2)解：由(1)知，四边形NEED为矩形，

DF=AE,AF=DE=1OE=4,

AB=3,AF=4,BF=5,

AB2+AF2=BF2，

:.ABAF为直角三角形，NBAF=90°,

SAABF=-ABXAF=-BFXAE,

22

ABxAF=BFxAE,即3x4=5/E,

:.DF=AE=—,

5

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相

关性质及判定定理是解题关键.

11.如图：在中，AB=AC,4D是中线，ZN是448c的外角NC4M的平分线，CELAN,垂足

为E.

M

⑴求证：四边形/OCE是矩形；

(2)连接。£,交ZC于点尸，直接写出。尸与之间的关系为

【答案】(1)证明见解析

(2)DF=；AB

【分析】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题

的关键.

(1)由等腰三角形的性质得4。，BC,ABAD=ACAD,则//DC=90。，再证ND4E=90。，然后证

//EC=90。，即可得出结论；

(2)由矩形的性质得/C=DE,DF=EF=；DE,,再证即可得出结论.

【详解】(1)证明：VAB=AC,是中线，

/.AD1BC,ABAD=ACAD,

ZADC=90°,

・・•AN为-BC的外角/CAM的平分线，

:.ZMAN=ZCAN,

/CAD+/CAN=lxl80°=90°,

2

即^DAE=90°,

•・•CE1AN,

ZAEC=90°f

一.四边形ZQCE是矩形；

(2)解：DF=^AB,理由如下：

由(1)知，四边形4以为为矩形，

:.AC=DE,DF=EF=-DE,

2

又・・AB=AC,

:.AB-DE,

:.DF=-AB.

2

12.如图1,在平面直角坐标系中，/(4.8),N3，x轴于瓦/CJ_y轴于C,连接BC.

(2)如图2折叠”3C,使点8与点C重合，折痕。E交48于。，交BC于E.

①求点。的坐标；

②在丁轴上，是否存在点尸，使得△(?分为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】(1)8,4,4^5

⑵①(4,5)；②存在点P,使得尸为等腰三角形，点尸的坐标为(0,3)或(0』3)或(0,2)或

【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，注意分类讨论是解题的关键.

(1)根据点Z的坐标可知48,ZC的长度，再利用勾股定理求BC的长度：

(2)①由折叠可知。B=Z)C,设DB=DC=x,用勾股定理解Rt^C4D求出x的值即可；

②分。B=DC=5,CP=CD=5,PC=PZ)三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理，分别求解即可.

【详解】(1)解：•••/B/x轴于8,/C_Ly轴于C,

ZABO=ZACO=ZBOC=90°,

二四边形。切C是矩形，

OB=AC,AB=OC,4=90。，

•••4(4,8),

二43=OC=8,/C=O8=4,

BC=dAB'+AC?=V82+42=4下，

故答案为：8,4,4yB：

（2）解：①由折叠可知。8=OC,

设DB=DC=x,则n4=4B-OB=8-x,

在RtZ\C4I）中，由勾股定理得4£>2+4。2=82,

/.（8-x）2+43=x2,

解得x=5,即。8=5,

二点。的坐标为（4.5）；

②由①知DB=Z）C=5,

vOC=8,

.-.C（0,8）,

设点尸的坐标为（o,y）,

当CP=CD=5时，|y-8|=5,

解得y=3或13,

二点尸的坐标为（0,3）或（0,13）：

当。C=。尸=5时，如图，过点。作O0LC尸于点0,可得四边形4C0Z）是矩形,

CQ=y]CD2-QD2=V52-42=3,

CQ=2CQ=6,

：.OP=OC-CP=S-6=2,

二点尸的坐标为(0,2)；

当PC=P。时，如图，过点尸作尸48于点“，可得四边形4cPH是矩形,

・・・点尸的坐标为（OJ）,

/.OP=HB=y9

:,CP=DP=8-y,DH=5-y9

在Rt△尸砂中，由勾股定理得PH-+DH2=PD2,

42+（5-y）2=（8-^）2,

解得,4，

二点P的坐标为.高

综上可知，存在点尸，使得△C。尸为等腰三角形，点尸的坐标为（0,3）或（0,13）或（0,2）或10,1）.

13.如图，在矩形2BCD中，AB=4cm,5C=8cm,点尸从点。出发向点4运动，运动到点4即停止:

同时点。从点8出发向点C运动，运动到点C即