苏科版八年级数学上册模型构建：全等三角形中的常见解题模型（原卷版）（重点突围）

专题03模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型

聚焦考点

模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型

模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型

:典型例题:

模型构建一四边形中构造全等三角形解题

方法模型总结：若四边形中有两对邻边

相等（如图），常连接这两对邻边的交点

构造全等三角形解题.

例题：（2021.天津・耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABC。中，AB=CB,AD=CD.求证/C=/A.

【变式训练】

1.（2022・山东济宁•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，CBLAB于点8,CDLAD于点。，点E,F

分另Ll在AB,AD上，AE=AF,CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四边形AEC尸的面积；

⑵猜想ZECF,/OFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

2.（2022・福建・漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABOC中,AC=AB,DC=OB,ZCAB=6Q°,ZCDB=\2O°,

E是AC上一点，尸是AB延长线上一点，且CE=BF.

（1）试说明：DE=DF：

（2）在图中，若G在A2上且/EDG=60。，试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论.

⑶若题中条件“/C4B=60。，NCr>8=120。改为/C4B=a,ZCDB=180°-a,G在AB上，NEDG满足什么条

件时，（2）中结论仍然成立？

模型构建二一线三等角模型

方法模型总结：如图，/8=NC=4F

Ni,由三角形内角和及平角的有/2y^

关性质易得N2=N3，N4=N5,（4焰

DL）

再加上任一组对应边相等，易证两三角形全等.

例题：（2022.全国.八年级专题练习）如图，在中，AB=AC=2,ZB=40。，点。在线段8C上运动

（。不与3、。重合），连接A。，作加>£=40。，OE交线段AC于E.

40°

BDC

⑴点。从3向C运动时，4ZM逐渐变(填“大”或“小”)，但/3ZM与NEDC的度数和始终是

__________度.

(2)当。C的长度是多少时，AABD^ADCE,并说明理由.

【变式训练】

1.(2022・全国•八年级)如图，在AABC中，点。是边BC上一点，CD=A8,点E在边AC上，且

ZBAD=ZCDE.

(1)如图1,求证：BD=CE；

(2)如图2,若QE平分NAOC,在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与NADE相等的角(N4DE

除外).

2.(2022•全国•八年级课时练习)如图，在反48。中，AB=AC=2,NB=40。，点。在线段BC上运动(。

不与8,C重合)，连接AD,作乙M>E=40。，OE交线段AC于E.

(1)当/BDE=115。时，ZBAD=。，点。从B向C运动时，/BA。逐渐变(填“大”或

“小”)；

(2)当DC等于多少时，AABD^ADCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，aADE的形状也在改变，判断当NB4D等于多少时，AADE是等腰三角形.

A

BD

3.(2021•山东•肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习)已知：8是经过NBC4的顶点C的一条直线，

CA=CB.E、尸是直线8上两点，NBEC=NCFA=Na.

(1)若直线8经过NBC4的内部，ZBCD>ZACD.

①如图1,NBCA=90°,乙a=90°,直接写出BE,EF,AF间的等量关系：.

②如图2,No与NBC4具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出/以与N3G4的数量关系，

并对结论进行证明；

(2)如图3,若直线CD经过NBC4的外部，Za=ZBCA,①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若

不成立，写出新结论并进行证明.

4.(2022•河南郑州•七年级期末)在直线机上依次取互不重合的三个点。,AE,在直线加上方有AB=AC,

且满足ABDA=ZAEC=ABAC=a.

(1)如图1,当。=90。时，猜想线段DEmCE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0＜口＜180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，Zfi4c是钝角，AB^AC,NBAD＜NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线机

与CB的延长线交于点/，若BC=3FB,AABC的面积是12,求与1CE的面积之和.

模型构建三三垂直模型

方法模型总结：在三垂直模型中，利用余角的性质寻求

两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等，

易证两直角三角形全等，常见的模型如下：

例题：(2021•福建・武夷山市第二中学八年级期中)如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,BE±C£

于点E,AD，CE于点D

(1)求证：&BCE^ACAD；

(2)若AD=12,BE=5,求ED的长.

【变式训练】

1.(2022・广东佛山•七年级阶段练习)在/ABC中，^BAC=9Q°,AC=AB,直线MN经过点A,且COLMN

于Z),BE1MN于E.

图1图2

(1)当直线绕点A旋转到图1的位置时，ZEAB+ZDAC^_______度；

(2)求证：DE^CD+BE；

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE,CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

2.（2022・全国•八年级课时练习）在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,且4D_LAfN于O,BE_LMN于E.

•M

（1）直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问OE、AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）；

（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）.

3.（2021・湖北随州•八年级期中）如图（1）ACLAB,BD_LAB,AC=BD=7cm,点尸在线段A3

上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点。在线段8。上由点B向点O运动，它们运动的时间为，

（1）若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，当t=l时，AAC尸与A3尸。是否全等，请说明理由；

（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；

（3）如图（2）,将图（1）中的“ACLAB,为改2c4B=NDBA=50。"，其他条件不变.设点。

的运动速度为xc%/s,是否存在实数x,使得△ACP与ABP。全等？若存在，求出相应的X、/的值；若不存

在，请说明理由.

4.（2021•北京冻北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,

直线/经过顶点C,过A、8两点分别作/的垂线AE、BF,E、尸为垂足.

（1）当直线/不与底边AB相交时，

①求证：ZEAC=ZBCF.

②猜想ERAE,8F的数量关系并证明.

（2）将直线/绕点C顺时针旋转，使/与底边4B交于点。（O不与AB点重合），请你探究直线/,EF、AE、

之间的关系.（直接写出）

模型构建四倍长中线模型

例题：（2022•全国•八年级课时练习）在AABC中，AB=5,BC边上的中线AO=4,则4c的长的取值范围

是.

【变式训练】

1.（2021•江苏・徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是"BC中BC边上的中线，若AB=6,AC

=8,则的取值范围是.

2.（2022・全国•八年级课时练习）已知：多项式无2+©+5可以写成（x-1）2+a（尤-1）+b的形式.

（1）求a,6的值；

（2）及42。的两边3C,AC的长分别是a,b,求第三边AB上的中线CO的取值范围.

3.（2022・全国•八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在AABC中，

AB=6,AC=8,。是3c的中点，求边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E,使请补充完整证明“”瓦格

△ECZT的推理过程.

（1）求证：AABD当AECD

证明：延长AD到点E使DE=AD

在△ASZ）和△ECZ）中

'：AD=ED（已作）

ZADB=ZEDC（）

CD=（中点定义）

?.AABD^AECD（）

（2）由（1）的结论，根据AO与AE之间的关系，探究得出AO的取值范围是；

⑶【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线''等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

如下图，AABC中，/B=90。，AB=2,AD是AABC的中线，CE1.BC,CE=4,且NAD£=90。，求AE

的长.

BD

4.（202）全国•八年级）如图1,在AABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.

（1）小聪同学是这样思考的：延长80至E,使DE=BD,连接CE,可证得ACED/△ABD

①请证明△CED0AABD；