苏科版八年级数学上册模型构建：全等三角形中的常见解题模型（解析版）（重点突围）

专题03模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型

模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型

模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型

:典型例题:

模型构建一四边形中构造全等三角形解题

方法模型总结：若四边形中有两对邻边

相等（如图），常连接这两对邻边的交点

构造全等三角形解题.

例题：（2021•天津•耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABC。中，AB=CB,AD=CD.求证/C=NA.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先连接2。，由A2=CB、AD^CD,可证及48£）g△C2。，即可证得结论.

【详解】

证明：如图：连接BD

二•在AABD和△CBO中，

AB=BC

<AD=CD

BD=BD

：.AABD沿ACBD,

AZC=ZA.

c

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的

关键.

【变式训练】

1.(2022・山东济宁•八年级期末)如图，在四边形ABC。中，CBLAB于点、B,CD，AD于点。，点E,F

分别在AB,AD上，AE=AF,CE=CF.

(1)若AE=8,CD=6,求四边形AECE的面积；

(2)猜想NECF,/DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)ZDAB+ZECF=2ZDFC,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接AC,证明"CE^AACF,贝US”1CE=S〃1CR根据三角形面积公式求得SACF与%4CE,根

据S座维AEb=S4Ab+SzAC£■求解即可；

(2)由A4CEq可得/fCA=/ECA,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC,根据垂直关系，以及三角

形的外角性质可得NDPC+ZBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC=ZDAB+ZECF.可得/D4B+Z

ECF=2ZDFC

⑴

解：连接AC,如图,

D

AE=AF

在^ACE和△ACT中ICE="

AC=AC

：.AACE^AACF(5SS).

：.SAACE=SAACF9ZFAC=ZEAC,

U：CBLAB,CDLAD,

：.CD=CB=6.

：.SAACF=SAACE=gAEC3=Ix8x6=24.

・•・S^AECF=SAACF+SAACE^24+24=48.

(2)

ZDAB+ZECF=2ZDFC

证明：VAACE^AACF,

：.ZFCA=ZECA,/FAC=NEAC,ZAFC=ZAEC.

・・・/。尸。与/4尸。互补，NBEC与NAEC互补，

・・・ZDFC=/BEC.

VZDFC=ZFCA+ZFAC,ZBEC=ZECA+ZEAC,

：.ZDFC+ZBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC

=ZDAB+ZECF.

：.ZDAB+ZECF=2ZDFC

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

2.(2022•福建・漳州实验中学七年级阶段练习)在四边形A5OC中,AC=A8OC=Z)3,ZCAB=60°,NCDB=120。,

E是AC上一点，b是A3延长线上一点，且CE=BF.

c

D

AGBF

(1)试说明：DE=DF：

(2)在图中，若G在AB上且NE£»G=60。，试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论.

⑶若题中条件"/CAB=60。，/。8=120。改为/。48=如ZCDB=180°-ct,G在AB上，NEQG满足什么条

件时，(2)中结论仍然成立？

【答案】(1)见解析；

⑵CE+BG=EG,理由见解析；

(3)当/EDG=90O-ga时，(2)中结论仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判断出NC=ND3尸，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ACDE三ABZ*,即可判断出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、3G之间的数量关系为：CE+BG=EG.首先根据全等三角形判定的方法，判断出

AABD=AACD,即可判断出/BDA=/CZM=60。；然后根据N£DG=60。，可得NCDE=NADG,

ZADE=ZBDG,再根据ZCDE=ZBDF，判断出ZEDG=/FDG,据此推得ADEG=ADFG，所以EG=FG,

最后根据CE=3尸，判断出CE+3G=EG即可.

(3)根据(2)的证明过程，要使CB+3G=EG仍然成立，则NEDG=ZBD4=NCD4=；NC£>3,即

ZEDG=-(1800-a)=9Q°--a,据此解答即可.

22

(1)

证明：Z.CAB+ZC+Z.CDB+ZABD=360°,ZCAB=6O°,NCDB=120。,

:.ZC+ZABD=360°-60°一120°=180°,

又/DBF+ZABD=180°,

:.NC=NDBF,

在ACDE和ABOF中,

CD=BD

<ZC=/DBF

CE=BF

:.ACDEwABDF(SAS),

：.DE=DF.

(2)

解：如图，连接AO,

C

猜想CE、EG、3G之间的数量关系为：CE+BG=EG.

证明：在AABD和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

AABD=AACD(SSS)f

ABDA=ZCDA=-ZCDB=L120。=60°,

22

又・・・NEDG=60。，

:.ZCDE=ZADG,ZADE=NBDG,

由(1),可得ACDE=Afi。尸，

/CDE=NBDF,

ZBDG+ZBDF=60°9

即NFDG=60。，

:.ZEDG=ZFDG,

在ADEG和AD尸G中，

DE=DF

<ZEDG=ZFDG

DG=DG

ADEG=ADFG(SAS),

EG=FG,

又•：CE=BF,FG=BF+BG,

；.CE+BG=EG；

(3)

解：要使CE+3G=EG仍然成立，

贝UZEDG=ABDA=ZCDA=-ZCDB,

2

即ZEDG=1(180°-a)=90°-1a,

.•.当=时，CE+3G=£G仍然成立.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意

推出规律是解此题的关键.

模型构建二一线三等角模型

方法模型总结：如图，NS=NC=EF

N1,由三角形内角和及平角的有/2V/5

关性质易得N2=N3，N4=N5,/4拚

DU

再加上任一组对应边相等，易证两三角形全等.

例题：(2022•全国•八年级专题练习)如图，在“1BC中，AB=AC=2,N3=40。，点。在线段8C上运动

不与8、C重合)，连接A。，作加)E=4O。，DE交线段AC于E.

(1)点。从8向C运动时，逐渐变(填“大”或“小”)，但与NEDC的度数和始终是

__________度.

(2)当DC的长度是多少时，AABD^ADCE,并说明理由.

【答案】⑴小；140

(2)当Z)C=2时，XABD迫ADCE,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的内角和即可得出结论；

(2)当。C=2时，禾!|用/Z)EC+NEr>C=140。，ZAZ)B+Z£DC=140°,求出/AOB=/OEC,再利用AB=DC=2,

即可得出ADCE.

(1)

在“BD中，ZB+ZBAD+ZADB=180°,

设NA4O=x。，ZBDA=y0,

.,.40°+x+y=180°,

.".y=l40-x(0<x<100),

当点。从点2向C运动时，x增大，

减小，

ABDA+NEDC=180°-ZADE=140°

故答案为：小，140；

⑵

当。C=2时，△ABg^DCE,

理由：VZC=40°,

ZDEC+ZEDC=140°,

又：ZAD£=40°,

ZADB+ZEDC=140°,

：.ZADB=ZDEC,

又；AB=DC=2,

在AAB。和AOCE中

'NADB=NDEC

，NB=NC,

AB=DC

A(A4S)；

【点睛】

此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的

理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论.

【变式训练】

1.(2022・全国•八年级)如图，在AABC中，点。是边BC上一点，8=43,点E在边AC上，且AD=OE,

ZBAD=ZCDE.

⑴如图1,求证：BD=CE；

(2)如图2,若DE平分NAOC,在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与/ADE相等的角(/ADE

除外).

【答案】(1)见解析

(2)ZEDC,/BAD,ZB,ZC

【解析】

【分析】

(1)由“SAS”可证△A8£>0Z\£>CE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性质可得NB=/C,由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解.

(1)

证明：在母48£)和AOCE中，

AB=CD

<NBAD=ZCDE,

AD=DE

.♦.△ABD段ADCE(SAS),

：.BD=CE.

⑵

解：AABD^ADCE,

：.ZB=ZC,

•.•£>£平分乙4。(7,

ZADE=ZCDE=/BAD,

,：ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZB=ZADE=ZBAD=ZEDC=ZC,

.,.与NADE相等的角有/EOC,ABAD,NB,ZC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明

确角度的数量关系是解题的关键.

2.(2022・全国•八年级课时练习)如图，在AABC中，AB=AC=2,/2=40。，点。在线段BC上运动(D

不与8,C重合)，连接A。，作/AZ)E=40。，交线段AC于E.

(1)当/8。£=115。时，/BAD=。，点。从B向C运动时，NBA。逐渐变(填“大”或

“小”)；

(2)当。C等于多少时，bABDgXDCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，△4DE的形状也在改变，判断当/BAD等于多少时，AADE是等腰三角形.

【答案】(1)65°,大；(2)DC=2-(3)30°或60。.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形内角和计算即可求出NBA。，由点的运动方式即可得出NBA。逐渐变大；

(2)先求出NAD3=NDEC,再由/3=NC,AB=DC=2,即可得出AASD三ADCEIASA)；

(3)分两种情况4£>=DE或AEMOE讨论即可.

【详解】

解:(1)•;NBDE=115°,ZADE=40°,

ABDA=NBDE—/ADE=115°-40°=75°,

ABAD=180°-ZB-ABDA=180°—75°—40°=65°,

当点。从8向C运动时，NBA。逐渐变大.

故答案为：65°,大；

(2)当£>C=2时，AABDWADCE,

理由如下：

•：AB=AC=2,ZB=40°

:.ZC=ZB=40°,

■.■ZADE=40°,

又ZB+NBAD=ZADC=ZADE+NEDC,

：.ZBAD=ZEDC,

在和AOCE中，

ABAD=NEDC

<AB=DC,

ZB=ZC

.-.△ABD=ADCE(ASA)；

(3)当ZB4D得度数为30。或60。时，AADE是等腰三角形.

理由如下：

---ZC=ZB=40°,

Za4C=180°-(ZC+ZB)=100°,

•/ZADE=ZC=40°,ZAED>Z.C,

.〔VADE为等腰三角形时，只能是=或=

当AD=DE时，/DAE=ZDEA=1(180°-40°)=70°,

ABAD=ABAC-ADAC=100°-70°=30°,

当E4=ED时，ZAZ?E=ZZME=40°,

ZAED=180°-40°-40°=100°,

/BAD=ABAC-ADAC=100°-40°=60°,

综上所述，当ZS4D得度数为30°或60。时，44DE是等腰三角形.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及

到的知识点较多，综合性较强.

3.(2021•山东•肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习)已知：CD是经过NBG4的顶点C的一条直线，

CA=CB.E、尸是直线8上两点，NBEC=NCFA=Na.

(1)若直线CO经过N3C4的内部，ZBCD>ZACD.

①如图1,ZBC4=90°,Na=90。，直接写出BE,EF,AF间的等量关系：.

②如图2,与NBC4具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与NBC4的数量关系，

并对结论进行证明；

(2)如图3,若直线CD经过NBC4的外部，Z(z=ZBC4,①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若

不成立，写出新结论并进行证明.

【答案】(1)①EF=BE—AF；②N(z+/BCA=180。，证明见解析；(2)不成立，EF=FA+BE,理由见

解析

【解析】

【分析】

(1)①根据题意，推导得ZAB=NCBE,通过证明ZACV空△CBE,得BE=CF,CE=AF,结合

EF=CF-CE,即可得到答案；

②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得NCBE=NACF,通过证明△3CE2尸，即可完成证明；

(2)根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得NCBE=NACF,通过证明△3CE空△C4F,得EC=FA,

BE=CF；根据瓦=CE+CF,即可得到答案.

【详解】

⑴①：/BCA=90°,Z«=90°

Z.ZACF+ZBCE=90°.NCBE+ZBCE=90°

ZACF=NCBE

NBEC=/CFA

：.(ZACF=ZCBE

CA=CB

：.ZACF沿MBE

:・BE=CF,CE=AF

,:EF=CF-CE

：.EF=BE-AF；

②满足Na+N5c4=180。，理由如下：

ZCBE+ZBCE+ZBEC=180°,Na+N3c4=180。

・・・NCBE+/BCE+/BEC=Na+/BCA

・•・/CBE+ZBCE+/a=/a+/BCE+ZACF

：.ZCBE=ZACF

VZBEC=ZCFA,CA=CB,

：.Z\BCE沿ACAF

：.BE=CF,CE=AF

,:EF=CF-CE,

：.EF=BE-AF

(2)不成立，EF=BE+AF,理由如下：

・.•ZCBE+ZBCE+ZBEC=180°,NBCE+NBCA+ZACF=180。，NBEC=ZCFA=ZBCA=Na

：./CBE+ZBCE+Na=ZBCE+Na+ZACF

：.NCBE=ZACF

•：ZBEC=NCFA,CA=CB,

：.Z\BCE^Z^CAF

：.BE=CF,CE=AF

•・・EF=CF+CE,

：・EF=BE+AF

【点睛】

本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形

的性质，从而完成求解.

4.(2022•河南郑州•七年级期末)在直线机上依次取互不重合的三个点QA,E,在直线加上方有AB=AC,

(1)如图1,当々=90。时，猜想线段82CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<«<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，NBAC是钝角，AB=AC,NBAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线机

与CB的延长线交于点若BC=3EB,AABC的面积是12,求AEBD与AACE的面积之和.

【答案】(1)£>E=BD+CE

(2)OE=8Z)+CE仍然成立，理由见解析

(3)AFBD与AACE的面积之和为4

【解析】

【分析】

(1)由ZBDA=ZBAC=NAEC=90。得到ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,进而得到ZDBA=ZEAC,

然后结合AB=AC得证AOBA丝ZkEAC,最后得到DE=BD+CE-,

(2)由NBZM=NBAC=/AEC=a得到N2Ar>+/EAC=NBAr)+ND&4=180。-a,进而得到/。

EAC,然后结合AB=AC得证AOBA丝△E4C,最后得至UOE=BO+CE；

(3)由/氏4£>>NCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NCAE=/ABD,由AAS证得AADB之△CAE,得

出SAABZ)=SACEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出SAABF即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

ZBDA=ZBAC=/AEC=90。，

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=9Q°,

NDBA=NEAC,

"：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

・・・DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

•・・ZBDA=ZBAC=NAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

9：AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：•：/BADV/CAE,NBDA=/AEC=NBAC,

：.ZCAE=ZABD,

在△■)和△CAE中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=/CEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

S〉ABD=S>CAE,

^△ABC的底边BC上的高为h,则△然方的底边Bb上的高为h,

：.S^ABC=gBC・h=12,S^ABF=gBF・h,

•;BC=3BF,

：.S^ABF=4f

SAABF=SABDF+SAABD=SAFBD+SAACE=4,

・・・AFBD与^ACE的面积之和为4.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三

角形的判定与性质.

模型构建三三垂直模型

方法模型总结：在三垂直模型中，利用余角的性质寻求

两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等,

易证两直角三角形全等，常见的模型如下：

例题：(2021.福建・武夷山市第二中学八年级期中)如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,BE±CE

于点E,AD，。万于点。.

(1)求证：&BCEg△CW；

(2)若A。=12,BE=5,求即的长.

【答案】(1)见解析；(2)即的长为7.

【解析】

【分析】

(1)根据AAS证明三角形全等即可；

(2)根据全等三角形的性质得到4O=CE=12,CD=BE=5,从而求得即的长.

【详解】

解：(1)证明："：BELCE于点E,AD_LCE于点。，

ZCEB=ZADC=90°,

：.ZACD+ZCAD=90°,

ZACB=90°,

ZACD+ZBCE=90°,

：.ZCAD=ZBCE,

y.'：AC=BC,

：.ABCE^ACAD-,

(2)由(1)知，ABCE咨KAD,

：.BE=CD,CE=AD,

VAD=12,BE=5,

：.CE=12,CD=5,

ED=CE-CD=12-5=7.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022・广东佛山•七年级阶段练习)在ZA8C中，^BAC=90°,AC=AB,直线MN经过点A,且CO，MN

于。，BELMN于E.

图1图2

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，ZEAB+ZDAC^度；

(2)求证：DE=CD+BE；

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、8、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

【答案】(1)90。

(2)见解析

⑶CD=BE+DE,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由/BAC=90。可直接得到ZEAB+ZDAC=90°；

(2)由CO_LMN,BE工MN,得/AOC=NBE4=NBAC=90。，根据等角的余角相等得到/r>CA=NEAB,根

据A4S可证AOCAq△EAB,所以AO=CE,DC=BE,即可得至I]OE=EA+AO=OC+BE.

(3)同(2)易证ADCA0△EA2,得到AD=CE,DC=BE,由图可知AE=A。+£>£,所以CD=BE+DE.

(1)

,/^BAC=90°

ZEAB+ZDAC=180o-ZBAC^180o-90o=90°

故答案为：90°.

⑵

证明：,/CDLMN于D,BELMN于E

：.ZADC=ZBEA=ZBAC=90°

•：/ZMC+N£>C4=90。且ZDAC+ZEAB=90°

：.ZDCA=ZEAB

:在△DCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90"

<NDCA=NEAB

AC=AB

：.ADCA^AEAB(AAS)

：.AD=BEREA=DC

由图可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

CDLMN于D,BE_LMN于■E

：.ZADC=ZBEA=ZBAC=90°

'：/ZMC+/Z)G4=90°且NZMC+NEAB=90°

ZDCA=ZEAB

:在ADCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90°

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

：.^DCA^/\EAB(AAS)

：.AD=BES.AE=CD

由图可知：AE=AD+DE

：.CD=BE+DE.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线

段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质.

2.（2022•全国•八年级课时练习）在AABC中，ZACB=90°,AC^BC,且于。，BE1MN于E.

⑴直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问。E、AD,8E具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）；

（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问。£、AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）.

【答案】（1）证明见详解

⑵DE+BE=AD理由见详解

（3）DE=BE-AD（或AD=BE-DE,BE=AD+DE等）.理由见详解.

【解析】

【分析】

⑴根据题意由垂直得N">C=/BEC=90。，由同角的余角相等得：NDAC=NBCE,因此根据A4s可以证

明AAOC四△CEB,结合全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACDgZkCBE,然后由全等三角形的对应边相等、图形

中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；

（3）由题意可知。E、AD.BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE,BE=AD+DE等）.证明的

方法与（2）相同.

⑴

证明：如图1,

9

：AD_LMNfBE_LMN,

：.ZADC=ZBEC=90°,

：.ZDAC+ZACD=90°,

•・・ZACB=90°,

・•・ZACD+ZBCE=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

在△AQC和△C£3中，

ZADC=ZBEC

•：\ZDAC=ZBCE,

AC=BC

：.△ADgMEB；

:,DC=BE,AD=EC,

,:DE=DC+EC,

：.DE=BE+AD.

(2)

解：DE+BE=AD.理由如下:

如图2,VZACB=90°f

：.ZACD+ZBCE=90°,

又..・AOJ_MN于点。，

・・・ZACD+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZBCE.

在小。。和△C3E中，

ZADC=ZCEB=90°

<ZCAD=ZBCE,

AC=BC

：./XACD^ACBE(A4S),

:・CD=BE,AD=CE,

：・DE+BE=DE+CD=EC=AD,即OE+BE=AD

⑶

解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE,BE=AD+DE等）.理由如下：

如图3,易证得△ADCg/iCEB,

：.AD=CE,DC=BE,

:.DE=CD-CE=BE-AD,即DE=BE-AD.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种

判定方法是关键：SSS.SAS.AAS,ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直

线上得出结论.

3.（2021・湖北随州•八年级期中）如图（1）AB^9cm,ACLAB,BD±AB,3c=B£）=7cm,点尸在线段AB

上以2cm/s的速度由点A向点8运动，同时，点。在线段8。上由点8向点。运动，它们运动的时间为r

（1）若点。的运动速度与点P的运动速度相等，当f=l时，AACP与ABP。是否全等，请说明理由；

（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；

（3）如图（2）,将图（1）中的“AC_LAB,8。_1_48”为改“/。18=/。54=50。"，其他条件不变.设点Q

的运动速度为xaw/s,是否存在实数无，使得AACP与ABP。全等？若存在，求出相应的X、/的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）AACP与ABP。全等，理由见解析；（2）PCLPQ,证明见解析；（3）存在，当t=Ts,x=2cm/s

928

或/=-s,尤=一cvw/s时，AACP与ABP。全等.

49

【解析】

【分析】

（1）利用SAS定理证明AACPMABP。；

（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；

（3）分AACP三ABP。，AACPMABQ尸两种情况，根据全等三角形的性质列式计算.

【详解】

(1)AACP与ABP。全等，

理由如下：当1=1时，AP=BQ=2,

则BP=9-2=7,

：.BP=AC,

又；NA=NB=90°,

在AACP和ABP。中，

AP=BQ

■ZA=ZB,

CA=PB

A(SAS)；

(2)PCLPQ,

证明：:△AC尸名△BP。，

ZACP^ZBPQ,

：.ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°.

.,.ZCP2=90°,

即线段PC与线段尸。垂直；

(3)①若"C尸四△BP。，

贝|JAC=BP,AP=BQ,

：.9-2t=7,

解得，t=l(s),贝!J尤=2(cm/s)；

②若"C尸丝△BQP,

贝UAC=BQ,AP=BP,

则2f=1x9,

90?8

解得，t=~(s)，则=F(cm/5),

449

928

故当/=ls,x=2cm/s或E=]S,x=gcm/s时，AAC尸与△BPQ全等.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵

活运用是解题的关键.

4.（2021•北京・东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,

直线/经过顶点C,过A、B两点分别作/的垂线AE、BF,E、歹为垂足.

（1）当直线/不与底边相交时，

①求证：/EAC=/BCF.

②猜想EGAE.8P的数量关系并证明.

（2）将直线/绕点C顺时针旋转，使/与底边AB交于点不与点重合），请你探究直线/,EGAE、

3尸之间的关系.（直接写出）

【答案】（1）①证明见解析，②EF=AE+BF；证明见解析；（2）AE=BF+EF或BF=AE+EF.

【解析】

【分析】

（1）①根据/AEC=/BFC=90。，利用同角的余角相等证明/E4C=/FC8即可；②根据A4s证AE4c也

△FCB,推出CE=B尸，A£=CF即可；

（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可.

【详解】

（1）证明：®-：AE±EF,BFLEF,ZACB=90°,

ZAEC=/BFC=/AC8=90°,

：.ZEAC+ZECA=90°,ZECA+ZFCB=90°,

：.ZEAC=ZFCB,

②EF=AE+BF；

证明：在AEAC和△■FCB中，

ZAEC=ZCFB

，ZEAC=ZFCB,

AC=BC

:.△EAgXFCB(A4S),

：.CE=BF,AE=CF,

：.EF=CE+CF=AE+BF,

即EF=AE+BF；

(2)①当时，如图①，

VZACB=90°,AE_U直线，

同理可证(同为NACQ的余角)，

又•；AC=BC,直线

即/8EC=NAEC=90°,

AAACE^ACBF(A4S),

ACF=AE,CE=BF,

'：CF=CE+EF=BF+EF,

；.AE=BF+EF；

②当时，如图②，

VZACB=90°,直线，

同理可证/CBP=NACE(同为/BCD的余角)，

XVAC=BC,BE_U直线，即/AEC=/BFC=90°.

AAAC£^ACBF(A4S),

CF=AE,BF=CE,

VCE=CF+EF=AE+EF,

：.BF=AE+EF.

【点睛】

本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明

利用全等三角形的性质得出线段之间的关系.

模型构建四倍长中线模型

例题：（2022•全国•八年级课时练习）在AABC中，AB=5,BC边上的中线A£>=4,则AC的长机的取值范围

是.

【答案】3<m<13

【解析】

【分析】

延长AD至E,使OE=AD=4,连接CE,利用SAS证明△ABD0AECZ）,可得CE=AB,再根据三角形的三边

的关系即可解决问题.

【详解】

解：如图，延长4。至E,使DE=AO=4,连接CE,

是8c边上的中线，

：.BD=CD,

在及4£>2和△€：£)£1中，

AD=ED

<NADB=ZEDC,

BD=CD

：.AABD^/XECD(SAS),

：.CE=AB,

在"CE中，AE-CE<AC<AE+CE,

'：CE=AB=5,AE=8,

.\8-5<AC<8+5,

.\3<AC<13,

.,.3<m<13.

故答案为：3<m<13.

【点睛】

此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，

然后利用三角形的三边的关系解决问题.

【变式训练】

1.(2021.江苏・徐州市第二十六中学八年级阶段练习)如图，AD是AABC中BC边上的中线，若AB=6,AC

【解析】

【分析】

延长4。到E,使OE=AD,然后利用“边角边”证明AAB。和AECD全等，根据全等三角形对应边相等可得

CE=AB,然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得

解.

【详解】

解：如图，延长到E,使DE=AD,

是2C边上的中线，

：.BD=CD,

在AABD和中，

BD=CD

<NADB=NEDC,

AD=ED

：.四△ECD(SAS),

：.CE=AB,

'：AB=6,AC=8,

/.8-6<AE<8+6,即2<2AD<14,

：.1<AD<7,

故答案为：1<AD<7.

'F.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是

解题的关键.

2.(2022•全国•八年级课时练习)已知：多项式N+4x+5可以写成(x-1)2+a(x-1)+6的形式.

(2)反48。的两边BC,AC的长分别是a,b,求第三边A2上的中线CO的取值范围.

【答案】(l)a=6,b=w

(2)2<C£><8

【解析】

【分析】

(1)把(尤-1)2展开，然后根据多项式尤2+4x+5可以写成(x-1)2+a(x-1)+6的形式，可得

"2=4

即可求解;

1—a+b—5

(2)延长CZ)至点"，使CD=£>8,连接AH,可得△CDBgAHAD,从而得至ljBC=A"=a=6,再根据三角形

的三边关系，即可求解.

⑴

解：：(x-l)2+a(x-l)+6

=x~-2x+l+ax—a+b

=x~+(a—2)x+1—,

根据题意得：x2+4x+5=(x-1)2+a(x-1)+b

<7—2=4a=6

j+6=5'解得:

Z?=10；

⑵

解：如图，延长C。至点H,使CD=DH,连接AH,

是AB边上的中线,

：.BD=AD,

在ACOB和AHOA中,

CD=DH,ZCDB=ZADH,BD=DA,

:.ACDB四AHDA(SAS),

BC=AH=a=6,

在AACH中，AC-AH<CH<AC+AH,

：.10-6<2CD<10+6,

2<C£><8.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练

掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键.

3.（2022•全国•八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在AABC中,

AB=6,AC=8,。是8c的中点，求BC边上的中线4。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使。请补充完整证明“及42。丝

△ECZT的推理过程.

(1)求证："BD%£ECD

证明：延长到点E,使。E=A。

在及43£)和△ECD中

,：AD=ED(已作)

ZADB=ZEDC()

CD=(中点定义)

.♦.△ABD名AECD()

(2)由(1)的结论，根据与AE之间的关系，探究得出的取值范围是；

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

如下图，AABC中，/3=90。，AB=2,是AABC的中线，CE1BC,CE=4,且NADE=90。，求AE

的长.

【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS

(2)1<AZ)<7

⑶6

【解析】

【分析】

(1)延长A。到点E,使DE=AD,根据SAS定理证明母48£)也△EC。；

(2)根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；

(3)延长AD交EC的延长线于尸，证明△ABDgZX/CD,AADE/△FDE,根据全等三角形的性质解答.

(1)

延长AD到点E,DE=AD

在“8。和△EC。中

;AD=ED(已作)

ZADB=ZEDC(对顶角相等)

CD=BD(中点定义)

:.AABD*LECD(SAS)

故答案为：对顶角相等；BD；SAS

(2)

■:△ABD/XECD,AB=6,AC=8,

/.CE=AB=6,

8—6<AE<8+6,

.,.1<AD<7,

故答案为1<AD<7；

(3)

延长AD交EC的延长线于F,

:.ZABD=ZFCD,

在△AftD和△人»中，

NABD=NFCD

<BD=CD,

ZADB=ZFDC

..△ABD咨AFCD,

.\CF=AB=2,AD=DF,

又ZFDE=ZADE=90°

ED=ED

Z.AADE咨AFDE

:.AE=EF,

•;EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.

4.（2022•全国•八年级）如图1,在AABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线2。的取值范围.

（1）小聪同学是这样思考的：延长3。至E,使DE=BD,连接CE,可证得也△ABO.

①请证明ACEOgAABD；

②中线BD的取值范围是.

（2）问题拓展：如图2,在AABC中，点。是AC的中点，分别以AB,8C为直角边向AABC外作等腰直角

三角形4BM■和等腰直角三角形BCN,其中，AB=BM,BC=BN,ZABM=ZNBC=Z90°,连接MN.请

写出BD与MN的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）①见解析；②1<BD<9；（3）MN=2BD,理由见解析

【解析】

【分析】

（1）①只需要利用SAS证明ACEO四即可；

②根据△CED汜△ABD可得AB=CE,由三角形三边的关系可得CE-3C<BE<CE+BC即

AB—BCvBEvAB+3c贝|2<2e<18,再由=可得

（2）,延长2。到E使得同