苏科版八年级数学上册 第一章 全等三角形（单元重点综合测试）

第一章全等三角形（单元重点综合测试）

一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。

1.如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图是（）

D.只有丙

2.如图，在^A3C中，ZPAQ=ZAPQ,PR=PS,PR±ABR,PSLACS,则三个结

论①AS=AR；②Q尸〃AR；BP哙△QSP中（）

A.全部正确B.仅①和②正确

C.仅①正确D.仅①和③正确

3.如图，AC±AB,\CVCD,要使得若以“HL”为依据，需添加的条件是

（）

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=NBD.ZACB=ZCAD

4.在ABC和ABC中，®AB=AB,®BC=B'C,③4c=A'C',④ZA=ZA\⑤NB=NB',

@ZC=ZC\在下列条件中，不能保证ZiABC2△AEC的一组条件是（）

A.①③⑤B.①②⑤C.②④⑤D.①②③

5.如图，ZACB=90°,AC=BC,BELCE,ADLCE于。，AD=2cm,BE=0.5cm,贝UDE

的长为（）

B

E

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

6.如图，△ABgADEC,点A和点。是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AP_L8,

垂足为点B，若ZBCE=65。,则NC4F的度数为（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

7.根据下列条件能画出唯一AABC的是（）

A.AB=1,BC=2,C4=3B.AB=7,BC=5,ZA=3O°

C.ZA=5O°,ZB=60°,NC=70°D.AC=3.5,8C=4.8,ZC=70°

8.AD是：ASC的中线，AB=5,AC=7,则AD的取值可能是（）

A.3B.6C.8D.12

二、填空题：每题3分，共10题，共计30分

9、如图，在AABC和AADC中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,则NO'

10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你

认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带第

_______块.

2

3

41

1k如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+N2+N3=.

12、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的，若Nl：Z2：

Z3=28：5：3,则Na的度数为度.

13、如图，4ABC,ZkCDE均为等边三角形，连接AD,BE交于点O,AC与BE交与点P,

14.如图：已知AC=AD,BC=BD,CE=DE,则全等三角形共有对，并说明全等的理由.

15.如图，在△ACD与ABCE中，AD与3E相交于点P,若AC=3C,AD=BE,CD=CE,

ZDCE=55°,则NAP3的度数为.

16.在^ABC中，A3=AC,点D是^ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE,作EFLAE,

若点R在3。的垂直平分线上，ZBAC=a,则.(用a含的式子表示)

17.如图，在四边形ABC。中，AB=BC,/ABC=/CZM=90°,BELAZ)于瓦/边形钻⑺=10,则物的

长为__________

18.如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,ZE=ZF=90°,ZB=ZC,

AE=AF,给出下列结论：其中正确的结论有个.

①N1=N2；②BE=CF；③4ACN咨AABM；④CD=DN；⑤4AFN之AAEM.

三、解答题：共9题，共计86分。

19、已知：如图，AB〃CD,AB=CD,AD、BC相交于点O,BE〃CF,BE,CF分别交AD

于点E、F.

(1)求证：ZkABO之△DCO；

(2)求证：BE=CF.

20、如图，AB=AC,ABLAC,AD±AE,且N£>=NAEC,求证：AD=AE.

21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB〃DF,ED=AB,ZE=ZCPD.求证:

△ABC^ADEF.

22、已知：如图，在AABC、△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、

E三点在同一直线上，连接BD.

(1)求证：ABAD之ACAE；

(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.

E

23、如图(1)在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADLMN于点D,

BEXMN于点E.

(1)求证：(DAADC^ACEB；②DE=AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明.

24、如图，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且

AE=CF.

(1)求证：4ABE咨ACBF；

(2)若NCAE=20。，求NACF的度数.

25、如图(1),AB=4cm,AC±AB,BD±AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以Icm/s

的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间

为t(s).

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=l时，△ACP与ABPQ是否全等，并

判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)如图(2),将图(1)中的“ACLAB,8口，八：6”为改“/©人：8=/口8人=60。”，其他条

件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与4BPQ全等？若存在，

求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.

26.在,ABC中，ZABC=90°,AB=BC,。为直线AB上一点，连接。，过点8作成上⑦交8

于点E,交AC于点尸，在直线A3上截取=连接尸

(1)当点。，M都在线段A3上时，如图①，求证：BF+MF=CD-

(2)当点。在线段A3的延长线上，点M在线段胡的延长线上时，如图②；当点3在线段

的延长线上，点M在线段A3的延长线上时，如图③，直接写出线段所，MF,。之间的数

量关系，不需要证明.

27.(1)如图1,图2,图3,在△ABC中，分别以AB,AC为边，向△ABC外作正三角形,

正四边形，正五边形，BE,CD相交于点。.

①如图1,求证：/XABE等△AOC；

②探究：如图1,ZBOC=；

如图2,ZBOC=；

如图3,ZBOC=；

(2)如图4,已知：AB,AD是以A3为边向△ABC外所作正“边形的一组邻边；AC,AE

是以AC为边向△ABC外所作正“边形的一组邻边，BE,CD的延长相交于点。

①猜想：如图4,ZBOC=(用含〃的式子表示)；

②根据图4证明你的猜想.

第一章全等三角形（单元重点综合测试）

答案全解全析

一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。

1.如图，已知「ASC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和ASC全等的图是（

A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

【答案】B

【解析】解：甲、边。、。夹角不是50。，...甲错误；

乙、两角为58。、50。，夹边是a,符合A&4,...乙正确；

丙、两角是5。。、72。,72。角对的边是处符合A4S,.,.丙正确.

故选：B.

2.如图，在△ABC中，ZFAQ=ZAPQ,PR=PS,PRLABR,PSLAC于S,则三个结

论①AS=AR；②。尸〃题；③、BPR^△QSP中（）

A.全部正确B.仅①和②正确

C.仅①正确D.仅①和③正确

【答案】B

【解析】•:PR=PS,PRLA3于R,PSLAC于S

AP平分/A4C,ZARP=ZASP=9O°

:.ZRAP=ZPAQ

在/WR和"PS中

ZPAR=ZPAS

<ZARP=ZASP

AP=AP

.•.△AP跆AAPS

:.AR^AS

故①对

,ZZFAQ=ZAPQ

：.ZPAR=ZAPQ

：.QP//AR

故②对

在43刊?和4QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的

故③错

故选：B

3.如图，AC^AB,AC，CD,要使得△ABC/ZXCZM.若以“HL”为依据，需添加的条件是（）

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=ZBD.ZACB=ZCAD

【答案】A

【解析】解：VAC±AB,ACLCD,

：.ABAC=ZACD=90°,

：.ABC和QM是直角三角形，

,/ABC和.CDA有公共直角边AC,

...以“HL”为依据判断△ABC0z^CD4,需要使3c=ZM,故A正确.

故选：A.

4.在-ABC和AbC中，①A8=AE,®BC=B'C,®AC=AC,④ZA=ZA',⑤NB=/B',

@ZC=ZC.在下列条件中，不能保证A4BC四△ABC的一组条件是（）

A.①③⑤B.①②⑤C.②④⑤D.①②③

【答案】A

【解析】解：A、①③⑤符合S&4,不能判定△ABC咨△4EC；

B、①②⑤符合SAS,能判定△ABCm△AEC；

C、②④⑤符合44S,能判定AABC您△AEC；

D、①②③符合SSS,能判定AABCg△AEC.

故选：A.

5.如图，ZACB=90°,AC=BC,BELCE,AD，CE于。，AD=2cm,BE=Q.5cm,则DE

的长为()

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

【答案】C

【解析】解：'：BE±CE,AD±CE,

：.ZADC=ZCEB,

VZACB=90°,即NACD+NBCE=90°,

ZACD+ZCAD=90°,

:.NCAD=NBCE,

在△4。和^CBE中，

ZADC=ZCEB

<ZCAD=ZBCE,

AC=CB

：.AACD^ACBE(AAS),

:.AD=CE=2,CD=BE=0.5,

^.DE=CE-CD=2-0.5=1.5(cm).

故选：C.

6.如图，AABC0SEC,点A和点。是对应顶点，点3和点石是对应顶点，过点A作A/,CD,

垂足为点八若/BCE=65。,则NG4厂的度数为()

A.30°B.25°C.35°D.65°

【答案】B

【解析】解：：△ABCWADEC,

ZACB=NDCE,

：.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,BPZACF=NBCE,

,?ZBCE=65。,

ZACF=ZBCE=65°,

"：AFLCD,

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF=90°-ZACF=25°；

故选B.

7.根据下列条件能画出唯一AABC的是（）

A.AB^l,BC=2,C4=3B.AB=7,BC=5,ZA=30°

C.ZA=50°,ZB=60°,NC=70°D.AC=3.5,8c=4.8,ZC=70°

【答案】D

【解析】解：A.当AB=1,BC=2,C4=3时，1+2=3,则线段48、BC、G4不能构成三角形,

故选项A不符合题意；

B.边边角三角形不能唯一确定，如图1,故选项B不符合题意；

C.角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项C不符合题意；

D.边角边可以画出唯一的三角形ABC,故选项。符合题意；

故选：D.

8.AD是.ABC的中线，AB=5,AC=J,则AD的取值可能是（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】A

【解析】解：如图，延长至点E,使得DE=AD,连接CE,则A£=2AD,

E

仞是ABC的中线,

CD=BD,

DE=DA

在COE和△9M中，-ZCDE=ZBDA,

CD=BD

1CDEW.BZM(SAS),

:.CE=AB=5,

在"砥中，AC-CE<AE<AC+CE,即7-5<2M><7+5,

:A<AD<6,

观察四个选项可知，只有A符合，

故选：A.

二、填空题：每题3分，共10题，共计30分

9、如图，在AABC和AADC中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,则N£>'

【答案】130

AB=AD

【解析】解：在△ABC和△ADC中95C=OC

AC=AC

.".△ABC^AADC,.\ZD=ZB=130°,故答案为：130.

10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你

认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带第

【答案】2

【解析】结合ASA判定三角形全等，选择2

11、如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+N2+N3=.

【答案】135。

【解析】

「△ABC和^DBE中,

AB=BD

<ZA=ZD

AC=ED

AAABC^ADBE(SAS)

Z3=ZACB

ZACB+Zl=90°

AZI+Z3=90°

，N1+N2+Z3=90°+45°=135°

12、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的，若Nl：Z2：

Z3=28：5：3,则Na的度数为度.

山

/必

c

【答案】80

【解析】

解析：由题意得，Z1=140°,Z2=25°,Z3=15°

：AABE和^ADC是八ABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的

ZEBC=2Z2=50°,ZDCB=2Z3=30°

二Za=ZEBC+ZDCB=50°+30°=80°

13、如图，4ABC,ZkCDE均为等边三角形，连接AD,BE交于点O,AC与BE交与点P,

贝ljZAOB

【解析】

解析：：AABC和△CDE是等边三角形

.*.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°

ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE

即NACE=NBCD

在^ACE和^BCD中

AC=BC

ZACE=ZBCD

CE=CD

.,.△ACE^ABCD(SAS)

ZCAE=ZCBD

VZAPC=ZBPO

.*.ZBOP=ZACP=60°

即ZAOB=60°

14.如图：已知AC=AD,BC=BD,CE=DE,则全等三角形共有对，并说明全等的理由.

【答案】3

【解析】全等三角形共有3对，△ACE^^ADE,△ACB^AADB,△ECB^AEDB,

理由：在4ECB和AEDB中

EB=EB

EC=ED,

BC=BD

：.AECB^AEDB(SSS),

在^ACE和^ADE中

AC=AD

<AE=AE,

EC=ED

.♦.△ACE若△ADE(SSS),

在^ACB和^ADB中

AB=AB

<AC=AD,

BC=BD

AAACB^AADB(SSS).

15.如图，在△ACD与ABCE中，AD与BE相交于点P,若AC=3C,AD=BE,CD=CE,

/DCE=55。,则NAP3的度数为

【答案】55°

【解析】解：如图:

在△AC。和△BCE中，

AC=BC

<AD=BE,

CD=CE

:.AACD/LBCE(SSS),

ND=NE,

ZDPE+Z1+ZE=ZDCE+Z2+ZD,

而N1=N2,

/DPE=NDCE=55。,

：./APB=NDPE=55°.

故答案为：55°.

16.在^ABC中，AB=AC,点D是^ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE,作EFLAE,

若点口在3。的垂直平分线上，ZBAC=a,则即=.(用a含的式子表示)

【答案】180。-a.

【解析】解：延长AE至使EM=AE,

连接ARFM,DM,

,••点E是CD的中点,

:.DE=CE,

在△AEC与△MED中，

"AE=EM

<NAEC=ADEM,

CE=DE

:.△AEC经AMED(SAS),

AZEAC=ZEMD,AC=DM,

"：EF±AE,

：.AF^FM,

•；点F在BD的垂直平分线上,

：.FB=FD,

在^ML甲与△ABE中，

AB=DM

<BF=DF,

AF=FM

：.AMDF^AABF(SSS),

ZAFB=ZMFD,ZDMF=ZBAF,

：.ZBFD+ZDFA=ZDFA+ZAFM,

：.ZBFD=ZAFM

=180。-2(NDMF+/EMD)

=180。-(ZFAM+ZBAF+ZEAC)

=180°-ABAC

=180°-a,

故答案为：180。-a.

17.如图，在四边形ABC。中，43=8。,乙钻。=/。04=90°,8£，4£»于瓦5四边形.8=1°,贝UBE的

长为__________

【答案】5

【解析】解：过点B作3PLCD交DC的延长线交于点F,如右图所示,

,/BF1CD,BELAD

/FC=/EA=90

/ABC=』ADC=90

.•./ABE+4BC=90,"BC+NCBF=90

.•./ABE=ZCBF

AB=CB

_AEB0CFB(AAS)

,BE=BF,S=SBFC

一S四边形ABCD=S正方形BEDF=10,

.-.BExBF=10,

即BE2-10,

BE=Vio,

故答案为

18.如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,NE=NF=90。，ZB=ZC,

AE=AF,给出下列结论：其中正确的结论有个.

①N1=N2；②BE=CF；③4ACNmaABM；④CD=DN；⑤4AFN之AAEM.

【答案】4

【解析】VZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,

.'.△ABE^AACF(AAS),

AZBAE=ZCAF,BE=CF,AF=AE,故②正确，

AZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,即N1=N2,故①正确，

VAABE^AACF,

.\AB=AC,

XVZBAC=ZCAB,ZB=ZC

.'.△CAN法△ABM(ASA),故③正确，

CD=DN不能证明成立，故④错误

VZ1=Z2,ZF=ZE,AF=AE,

AAAFN^AAEM(ASA),故⑤正确.

三、解答题：共9题，共计86分。

19、已知：如图，AB〃CD,AB=CD,AD、BC相交于点O,BE〃CF,BE,CF分别交AD

于点E、F.

(1)求证：AABO附△DCO；

(2)求证：BE=CF.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)证明：QAB//CDZA=ZD,ZABO=ZDCO,

AB=CD,；qABgDCO(ASA).

(2)证明：ABO^DCO,.-.BO=CO

BE//CF,NOBE=ZOCF,ZOEB=ZOFC

LOBEqOCF[AAS\：,BE=CF.

20、如图，AB=AC,ABVAC,AD±AE,且ND=NAEC,求证：AD=AE.

E

BC

【答案】见解析

【解析】证明：：AB，AC,AD±AE,

.,.ZBAE+ZCAE=90°,NBAE+NBAD=90°,

.,.ZCAE=ZBAD,

又AB=AC,ZD=ZAEC,

：.AABD^AACE(AAS),

/•AD=AE.

21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB〃DF,ED=AB,ZE=ZCPD.求证:

△ABC^ADEF.

【答案】见解析

【解析】

VAB/7DF

.*.ZB=ZCPD,ZA=ZFDE

ZE=ZCPD

ZE=ZB

在^ABC和^DEF中

ZE=ZB

■ED=AB

ZA=ZFDE

AAABC^ADEF(ASA)

22、已知：如图，在AABC、△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、

E三点在同一直线上，连接BD.

(1)求证：ABAD之ACAE；

(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.

【答案】见解析

【解析】答案：(1)证明如下(2)BD±CE

解析：(1)VZBAC=ZDAE=90°

ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD

.*.ZBAD=ZCAR

在^BAD和^CAE中

AB=AC

，ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS)

(2)VABAD^ACAE

.*.ZABD=ZACE

VAB=AC,ZBAC=90°

.,.ZABC=ZACB=45°

ZABD+ZDBC=ZABC=45°

VZABD=ZACE

ZACE+ZDBC=45°

ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°

.*.ZBDC=180°-ZDBC-ZDCB=90°

即BD±CE

23、如图(1)在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD，MN于点D,

BEXMN于点E.

E

c

(1)求证：①△ADCdCEB；②DE=AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)DE=AD-BE,证明见解析.

【解析】解：(1)①证明：：AD，DE,BE±DE,

.*.ZADC=ZBEC=90°,

VZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

.*.ZDAC=ZBCE,

在^ADC和^CEB中，

ZCDA=NBEC

<ZDAC=ZECBAADC^ACEB(AAS).

AC=BC

②证明：由(1)知：△ADC^ACEB,

.\AD=CE,CD=BE,

VDC+CE=DE,

，AD+BE=DE.

(2)成立.

证明：VBE1EC,AD±CE,

ZADC=ZBEC=90°,

ZEBC+ZECB=90°,

ZACB=90°,

ZECB+ZACE=90°,

.,.ZACD=ZEBC,

在^ADC和^CEB中，

ZACD=ZCBE

<ZADC=ZBEC,/.AADC^ACEB(AAS),

AC=BC

.*.AD=CE,CD=BE,.*.DE=EC-CD=AD-BE.

24、如图，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且

AE=CF.

(1)求证：ZkABE咨aCBF；

(2)若NCAE=20。，求NACF的度数.

【答案】答案：(1)证明如下(2)70°

【解析】解析：(1)ZACB=90°

/.ZCBF=ZACB=90°

在RtAABE和RtACBF中

[AE=CE

[AB=BC

.*.RtAABE和RtACBF(HL)

(2)VAB=BC,ZABC=90°,ZCAE=20°

ZBAC=ZACB=45°

；ZBAE=45°-20°=25°

由(1)可得，ZBCF=ZBAE=25°

ZACF=ZBCF+ZACB=45°+25°=70°

25、如图(1),AB=4cm,AC±AB,BD±AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以Icm/s

的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间

为t(s).

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=l时，△ACP与ABPQ是否全等，并

判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2）,将图（1）中的“ACLAB,：8口，人8”为改“/©人：8=/口8人=60。”，其他条

件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，

求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.

t=2

【答案】（1）全等，理由见详解；PC±PQ,理由见解析；（2）存在，3.

x=lx=—

2

【解析】解：(1)当"1时，AP=BQ=1,BP=AC=3,

又ZA=ZB=90°,

在AAC尸和ABPQ中，

AP=BQ

<ZA=ZBAACPsABPQ(SAS).：.ZACP=ZBPQ,

AC=BP

ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°.

:.ZCPQ=90°,

即线段PC与线段尸。垂直.

(2)①若AACPMASPC,

则AC=5P,AP=BQ,

ft=l

则,解得：

x=1

②若AACP=ABQP,

贝I]AC=BQ,AP=BP,

t=2

3=xt

则・1,解得：3;

x=—

2

t=1

综上所述,存在e或.3使得施尸与9Q全等•

26.在，ABC中，ZABC=90°,AB=BC,。为直线48上一点，连接。，过点8作3E，CD交8

于点E,交AC于点尸，在直线A3上截取4〃=班），连接五M.

（1）当点。，M都在线段上时，如图①，求证：BF+MF=CD-

（2）当点。在线段AB的延长线上，点M在线段&的延长线上时，如图②；当点。在线段阴

的延长线上，点M在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段所，MF,。之间的数

量关系，不需要证明.

【答案】（1）见解析；（2）图②：BF-MF=CD；图③：FM+BF=CD

【解析】（1）证明：如图，过点A作交BF的延长线于点N.

，ZNAB=90°.

'：ZABC=90°,

AZ/4BF+ZEBC=90°,ZNAB=ZABC.

;CD±BF,

：.ZBCD+ZEBC=90°.

ZABF=ZBCD.

"NAB=ZABC,

在ABN和△BCD中，AB=BC,

ZABF=/BCD,

：.AAB^ABCD(ASA).

/.AN=BD,BN=CD.

VAB=CB9ZABC=90°9

：.ZCAB=45°.

：.ZNAF=ZNAB-ZBAC=45°.

：.ZNAF=ZFAM.

VAN=BD,AM=BD,

：.AN=AM.

^AN=AM,

在-NAF和Z\MAF中,v/NAF=ZMAF,

AF=AF,

：.AAMF^AM4F(SAS).

/.FN=FM.

BN=FN+BF,

：.BF+MF=CD.

(2)图②：BF-MF=CD.

证明：过点A作4V交所于点N.

c

图②

ZNAB=90°.

ZABC=90°,

：.ZABF+ZEBC=90°,ZNAB=ZDBC.

・.•CD±BF,

：./BCD+NEBC=90。.

：.ZABF=ZBCD.

NNAB=ZDBC,

ABN^Z\BCD^p,[AB=BC,

NABF=/BCD,

/.Z\ABNmZ\BCD（AS0.

：.AN=BD,BN=CD.

AB=CB,ZABC=90°,

：.ZG4B=45°.

・•・ZCAB=ZMAF=45°,

ZNAM=90°

：.ZNAF=ZNAM-ZMAF=45°.

ZNAF=ZFAM.

VAN=BD,AM=BD,

：.AN=AM.

^AN=AM,

在一NAF和ZW4F中,</NAF=ZMAF,

AF=AF,

：.AM4F^AM4F（SAS）.

/.FN=FM.

BF-FN=BN,

：.BF-MF=CD.

图③：FM+BF=CD.

证明：如图，过点A作4V交所的延长线于点N.

图③

ZNAB=90°.

ZABC=90°,

AZABF+ZEBC=90°,ZNAB=ZABC.

CD±BF,

：.ZBCD+/EBC=90。.

ZABF=ZBCD.

ZNAB=ZABC,

在，ABN和△BCD中，AB=BC,

/ABF=ZBCD,

AAB^ABCD(ASA).

:・AN=BD,BN=CD.

AB=CB,ZABC=90°,

：.ZCAB=45°.

：.ZNAF=ZNAB-ZBAC=45°.

/.ZNAF=ZFAM.

VAN=BD,AM=BD,

：.AN=AM.

'AN=AM,

在，NAF和AM