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文档简介
第一章全等三角形(题型突破)
题型一全等图形的识别
【例1】1.下列各项中,两个图形属于全等图形的是()
A.
C.
【例2】对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;
③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个
图形全等的结论共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
巩固训练:
1.下列各组图形中,属于全等图形的是()
2.对于“全等图形”的描述,下列说法正确的是()
A.边长相等的图形B.面积相等的图形
C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形
题型二全等三角形的概念
【例3】下列说法正确的是()
A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等
C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等
【例4】下列说法正确的是()
A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形
B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形
D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形
巩固训练:
3.下列说法正确的是(
A.周长相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等所有的等边三角形全等
4.下列说法正确的是()
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.全等三角形的周长和面积分别相等D.所有的等边三角形是全等三角形
题型三全等三角形的性质
【例5】如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则N1的度数是()
A.76°B.62°
C.42°D.76。、62。或42。都可以
b
【例6】如图,已知AABC咨ZXDEF,CD平分NBCA,若NA=30。,ZCGF=88°,则NE的
度数是(C)
A.50°B.44°
C.34°D.30°
D
【例7】(1)已知^ABC段aDEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于
(2)已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.
【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,
x+2y,若这两个三角形全等,则x+y的值是.
巩固训练:
5.如图,AABC〜△AEC,其中4?=3,A'C'=7,B'C=5,则AABC的周长为.
AA'
6.如图,AABD'EBC,AB=3cm,BC=4cm,则=cm
题型四“SAS”判定方法
【例9]已知A、D、C、F在一条直线上,BC与DE交于点G,AD=CF,BC〃EF且BC=EF,
求证:△ABC^ADEF.
【例10]如图,在△ABC中,点E,F分别在AB,AC边匕点D是BC边的中点,且DF〃AB,
BE=DF.求证:△BED^ADFC.
BDC
【例11]已知:如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:
AC〃DF.
【例12]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且AC=DB,过点D作DE〃AC,
并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧,连接BE.求证:BC=EB.
巩固训练:
7.如图,已知在AABC和ABAD中,BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC%3Ao的依据
C.ASAD.SAS
8.如图,A8与8相交于点0,且。是AB,CD的中点,则AAOC与ABOD全等的理由是.
D
9.如图,已知点8,E,C,尸在一条直线上,AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证:△ABC丝△£)£尸
题型五“ASA”判定方法
【例13】已知:如图,AB=AE,AB〃DE,ZECB+ZD=180°.求证:△ABC2^EAD.
【例14]如图,已知N1=N2,Z3=Z4,求证:BD=BE.
【例15]如图所示,ZE=ZF,Z1=Z2,AE=AF,求证:△ACN名AABM.
巩固训练:
10、如图,已知AE=CF,DF/7BE,AD/7BC,求证:△ADF2ACBE.
11.如图,七1班同学要测量河两岸相对的两点A、2的距离,用合适的方法使3c=CD,
ZABC=Z£E>C=90°,因此测得DE的长就是AB的长,在这里判定A4BC丝AEDC,最恰当的理
由是()
C.SSSD.ASA
12.如图,点3是AC的中点,ZA=ZC,Z1=Z2,试说明:^ABE^ACBF.
F、E
题型六“AAS”判定方法
【例16]如图,ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上,Z1=Z2,AE和BD相交于点O,
求证:△AEC^ABED.
【例17]如图,已知N1=N2,Z3=Z4,EC=AD,求证:AB=BE.
【例18]如图,在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADLMN,BELMN,
垂足分别为点D,E.求证:DE=AD+BE.
题型七“SSS”判定方法
【例19]如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.
求证:(1)ZD=ZB;(2)0E=0F.
【例20]如图,已知点B,C,D,E在同一条直线上,AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:
△ABD^AFCE.
BCD
【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,ZAOB是一个任意角,在边
OA、0B上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺
顶点P的射线0P便是NAOB的平分线,请说明理由.
巩固训练:
13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点。,E分别是AB,AC的中
点,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,且=已知弹簧〃在向上滑动的过程中,
总有AADM这AAEM,其判定依据是()
14.一个三角形的三边长为5,q14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”
可以判定两个三角形全等,则x+y的值为()
A.15B.19C.24D.25
题型八“HL”判定方法
【例22】如图,点C在BE上,AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.
(1)求证:△ABC咨ABED;
(2)求NBFC的度数.
A
【例23]如图,已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:(1)BC=AD;
(2)OA=OB.
【例24]如图,AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证:Z1=Z2.
巩固训练:
15.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()
A.两个锐角对应相等
B.斜边和一直角边分别对应相等
C.两条直角边分别对应相等
D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
16.如图,AC±AB,ACLCD,要使得△ABCgZiaM.若以“HL”为依据,需添加的条件是
A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=NBD.ZACB=ZCAD
17.如图,在RtZVLBC中,ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,p、。两点分别在AC和过点A
且垂直于AC的射线△上运动,要使AABC和△QPA全等,则AP=.
题型九全等三角形判定与性质综合
【例25]如图,A,B,C三点在同一条直线上,ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,
不能判定^EAB^ABCD的是()
A.EB=BDB.ZE+ZD=90°C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°
E
ALRC.
【例26]如图,NABC=NABD,要使△ABCmAABD,还需添加一个条件,那么在①AC=AD;
②BC=BD;③NC=ND;④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.
一
【例27]如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB〃DE,AC〃DF,下列条件中,能判断
△ABC^ADEF的是()
A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF
【例28]如图所示,已知点D为AABC的边BC的中点,DE,AC,DF±AB,垂足分别为
点E,F.且BF=CE.求证:ZB=ZC.
【例29】如图,CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,B0=C0.
求证:A0平分NBAC.
巩固训练:
18.如图所示的2x2正方形网格中,4+N2等于()
B.90°C.95°D.85°
19.如图在AABC,ACDE中,ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE.连接B£),交于点F.以
下四个结论:①BD=AE;②BDLAE;③ZAEC+ZDBC=45。;④FC平分ZBFE,其中结论正
确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
20.如图,边长为6的等边AABC,R是边AC的中点,点。是线段8尸上的动点,连接AD,
在AD的右侧作等边AADE,连接C。、CE、EF,则以下结论:@BF±AC;②NDEC=NDCE;
③AE=CD;④△及汨的周长最小值为9;⑤当△但周长最小时,ZAFE=60°.其中正确的结
论有____________(填序号).
E
D
BC
第一章全等三角形(题型突破)
答案全解全析
题型一全等图形的识别
【例1】1.下列各项中,两个图形属于全等图形的是()
【答案】c
【解析】解:A、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;
B、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;
C、两个图形能够完全重合,是全等图形,符合题意;
D、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;
故选:C.
【例2】对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;
③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个
图形全等的结论共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
解:①周长相等的两个图形不一定重合,所以不一定全等;
②如果面积相同而形状不同也不全等;
③如果周长相同面积相同而形状不同,则不全等,
④两个图形的形状相同,大小也相等,则二者一定重合,正确.
所以只有1个正确,
故选A.
巩固训练:
1.下列各组图形中,属于全等图形的是()
【答案】c
【解析】解:A、两个图形的大小不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合
题意;
B、两个图形的大小不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合题意;
C、两个图形能够完全重合,是全等图形,则此项符合题意;
D、两个图形的形状不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合题意;
故选:C.
2.对于“全等图形”的描述,下列说法正确的是()
A.边长相等的图形B.面积相等的图形
C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形
【答案】D
【解析】
解:A.边长相等的两个图形不一定是全等图形,故本选项不符合题意;
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同,所以,不是全等图形,故本选项不符合题
思;
C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同,所以,不是全等图形,故本选项不符合题
忌;
D.能够完全重合的两个图形是全等图形,该说法正确,故本选项符合题意.
故选:D.
题型二全等三角形的概念
【例3】下列说法正确的是()
A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等
C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】
解:A、两个直角三角形不一定全等,故错误,不符合题意;
B、形状相同的两个三角形不一定全等,故错误,不符合题意;
C、全等三角形的面积一定相等,故正确,符合题意;
D、面积相等的两个三角形不一定全等,故错误,不符合题意;
故选:C.
【例4】下列说法正确的是()
A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形
B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形
D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形
【答案】D
【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形,原说法错误,不符合题
思;
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形,原说法错误,不符合题意;
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形,原说法错误,不符合题意;
D、边长为5cm的等边三角形都是全等三角形,原说法正确,符合题意;
故选:D.
巩固训练:
3.下列说法正确的是()
A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等
【答案】C
【解析】
解:A.全等三角形的周长相等,但周长相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;
B.全等三角形的面积相等,但面积相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;
C.正确,符合全等三角形的定义;
D.边长不相等的等边三角形不全等,故本选项错误.
故选:C.
4.下列说法正确的是()
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.全等三角形的周长和面积分别相等
D.所有的等边三角形是全等三角形
【答案】C
【解析】
解:A、全等三角形的形状相同,但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项
错误;
B、全等三角形面积相等,但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误;
C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,则全等三角形的周长和面积一定相等,故
该选项正确;
D、两个等边三角形,形状相同,但不一定能完全重合,不一定全等.故该选项错误.
故选:C.
题型三全等三角形的性质
【例5】如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则N1的度数是()
B.62°
D.76。、62。或42。都可以
【答案】B
【解析】•••两个三角形全等,
r.Zl=62°.
【例6】如图,已知AABC4^DEF,CD平分NBCA,若NA=30。,ZCGF=88°,则NE的
度数是()
C.34°D.30°
【答案】C
【解析】平分NBCA,
/.ZACD=ZBCD=-ZBCA,
2
1・AABCgADEF,
:.NO=NA=30。,
•?ZCGF=/D+/BCD,
:.ZBCD=ZCGF-ZD=58°,
:.4G4=116。,
,ZB=180°-30o-116o=34°,
AABC%&DEF,
.・.ZE=ZB=34°t
【例7】(1)已知△ABC04DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于
(2)已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.
【答案】7cm、5cm或7cm或10cm
【解析】(1)VAABC^ADEF,
DF=AC=7cm.
(2)①当△ABC丝Z\DEF时,DF=AC=7cm,
②当△ABC^AFDE时,DF=AB=10cm,
③当△ABC法△EFD时,DF=BC=5cm,
DF=5cm或7cm或10cm.
【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,
x+2y,若这两个三角形全等,则x+y的值是
【答案】5或4
【解析】由题意得巴2:5,或k2厂5
e/nfx=3fx=3
解得:。或[,
[y=2[y=l
x+y=5或x+y=4,
故答案为5或4.
巩固训练:
5.如图,2△A9C,其中4?=3,A!C=1,B'C=5,则AABC的周长为
AA'
cc,
【答案】15
【解析】
解:△ABC^AA,B,C,,AB=3,A'C=7,B'C'=5,
AC=AC'=7,BC=B'C'=5,
:.AABC的周长为AS+BC+AC=3+5+7=15,
故答案为:15.
6.如图,AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,则DE=cm.
【解析】
【详解】•:AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,
BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,
DE=BD-BE=4-3=1(cm).
故答案为:1.
题型四“SAS”判定方法
[例9]已知A、D、C、F在一条直线上,BC与DE交于点G,AD=CF,BC/7EF且BC=EF,
求证:△ABC^ADEF.
【答案】见解析
【解析】•••AD=CF,
.,.AD+DC=CF+DC,
.♦.AC=DF,
VBC//EF,
ZACB=ZDFE,
在^ACB和^DFE中,
AC=DF
<ZACB=ZDFE,
BC=EF
AAABC^ADEF(SAS).
【例10]如图,在^ABC中,点E,F分别在AB,AC边上,点D是BC边的中点,且DF〃AB,
BE=DF.求证:△BED^ADFC.
【答案】见解析
【解析】•.•点D是BC边的中点,
.♦.BD=CD,
VDF/7AB,
.\ZB=ZFDC,
在^BED和^DFC中,
BD=DC
-NB=ZFDC,
BE=DF
AABED^ADFC(SAS).
【例11]已知:如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:
AC〃DF.
【答案】见解析
【解析】VBF=EC,
.,.BF+CF=EC+CF,
即BC=EF,
在^ABC和^DEF中,
AB=DE
=NB=NE,
BC=EF
AAABC^ADEF(SAS),
ZACF=ZDFE,
,AC〃DF.
【例12]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且AC=DB,过点D作DE〃AC,
并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧,连接BE.求证:BC=EB.
【答案】见解析
【解析】:DE〃AC,
/.ZEDB=ZA.
在^DEB与AABC中,
AC=DB
<ABAC=ZEDB,
AB=DE
.'.△DEB空△ABC(SAS),
.\EB=BC.
巩固训练:
7.如图,已知在AABC和△BAD中,BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC丝ABAD的依据
是()
A.SSSB.AASC.ASAD.SAS
【答案】D
【解析】
BC=AD
解:在AABC和ZvlB。中,<ZABC=ZBAD,
AB=BA
/.^ABC^BAD(SAS).
故选:D.
8.如图,AB与8相交于点。,且。是AB8的中点,则AAOC与"CD全等的理由是
【答案】SAS
【解析】
解:•.,。是A5,CD的中点,
OA=OB,OC=OD,
在AAOC和A£)O8中,
OA=OB
<ZAOC=ZBOD
OC=OD
:.AAOC均DOB(SAS),
故答案为:SAS.
9.如图,已知点8,E,C,尸在一条直线上,AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证:八ABC名人DEF
BE
D
【答案】见解析
【解析】解:•••M=CE
BF+FC=CE+FC
即:BC=EF
在△ABC和ADEF中
AB=DE
<ZB=ZE
BC=EF
:.AABC^ADEF(SAS).
题型五“ASA”判定方法
【例13】已知:如图,AB=AE,AB//DE,ZECB+ZD=180°.求证:△ABC2^EAD.
【答案】见解析
【解析】VAB//DE,
.•.NCAB=NE,
VZECB+ZD=180°,ZECB+ZACB=180°,
.\ZD=ZACB,
在^ABC与^EAD中,
ZCAB=NE
<AC=DE
/ACB=ZD
.,.△ABC^AEAD(ASA).
【例14]如图,已知N1=N2,N3=N4,求证:BD=BE.
D
【答案】见解析
【解析】在^ADC和^AEC中,
21=Z2
"AC=AC,
Z3=Z4
.,.△ADC/△AEC(ASA),
,AD=AE,
在^ADB和^AEB中,
AD=AE
<Z1=Z2,
AB^AB
.'.△ADB等△AEB(SAS),
.*.BD=BE.
【例15]如图所示,NE=NF,Z1=Z2,AE=AF,求证:△ACN/△ABM.
【答案】见解析
【解析】VZ1=Z2,
.*.ZCAF=ZBAE
在^ABE和^ACF中,
'/BAE=ZCAF
<AE^AF,
ZE=ZF
/.△ABE^AACF(ASA),
...AB=AC,ZB=ZC,
在^ACN和^ABM中,
/CAN=ZBAM
<ACAB,
ZC=ZB
AAACN^AABM(ASA).
巩固训练:
10、如图,已知AE=CF,DF〃BE,AD〃:BC,求证:△ADF/ACBE.
【答案】见解析
【解析】VAE=CF,
.*.AF=CE;
VAD/7BC,
ZA=ZC;
VDF/7BE,
ZAFD=ZCEB;
在^ADF-WACBE中,
ZA=ZC
<AF=CE
ZAFD=ZCEB
/.△ADF^ACBE(ASA).
11.如图,七1班同学要测量河两岸相对的两点A、3的距离,用合适的方法使3c=CD,
ZABC=ZEDC=90°,因此测得OE的长就是AB的长,在这里判定A4SC丝AEDC,最恰当的理
由是()
A.SASB.AASC.SSSD.ASA
【答案】D
【解析】解::若要证明△AJSCaEDC,用到的条件是:
BC=CD,ZABC=ZEDC=90°,ZACB=ZECD,
,用到的是两角及两角的夹边对应相等,即ASA这一方法,
故选:D.
12.如图,点3是AC的中点,ZA=ZC,Zl=/2,试说明:AABE^ACBF.
【答案】见解析
【解析】解:因为点3是AC的中点,
所以AB=CB,
因为Nl=/2,
所以N1+NEB尸=N2+N£BF,BPZABE^ZCBF.
在ATWE和VCB/中,
因为ZA=NC,AB=CB,ZABE=NCBF,
所以△ABE丝△CM(ASA)
题型六“AAS”判定方法
【例16]如图,ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上,Z1=Z2,AE和BD相交于点O,
求证:△AEC^ABED.
【答案】见解析
【解析】•••阿和BD相交于点相
ZAOD=ZBOE.
在^AOD和^BOE中,
NA=NB,.*.ZBEO=Z2.
又2,
.*.Z1=ZBEO,
.*.ZAEC=ZBED.
在^AEC和^BED中,
'/A=ZB
<NAEC=/BED,
AC=BD
:.AAEC^ABED(AAS).
【例17]如图,已知N1=N2,N3=N4,EC=AD,求证:AB=BE.
【答案】见解析
【解析】VZ1=Z2,
.*.ZABD=ZEBC,
在^ABD和^EBC中,
Z3=Z4
</ABD=NEBC,
AD=EC
.,.△ABD^AEBC,
.\AB=BE.
【例18]如图,在△ABC中,NACB=9(r,AC=BC,直线MN经过点C,且AD,MN,BE,MN,
垂足分别为点D,E.求证:DE=AD+BE.
【答案】见解析
【解析】VZACB=90°,AD_LMN,BE±MN,
ZBEC=ZACB=ZADC=90°,
/.ZACE+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,
,ZACD=ZCBE,
在^ADC和^CEB中
/ADC=/BEC
"ZACD=ZCBE,
AC=BC
:.AADC^ACEB(AAS),
,BE=CD,AD=CE,
VCD+CE=DE,
,DE=AD+BE.
题型七“sss”判定方法
【例19】如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.
求证:(1)ZD=ZB;(2)OE=OF.
【答案】见解析
【解析】(1)在AADE和ACBF中,
AE=CF
<AD=BC,
DE=BF
AAADE^ACBF(SSS),
AZD=ZB.
(2)在△ADO和ACBO中,
ZD=ZB
<ZAOD=ZCOB,
AD=BC
.,.△ADO^ACBO(AAS),
.*.DO=BO,
.•.DO—DE=BO—BF,
.*.EO=FO.
【例20]如图,已知点B,C,D,E在同一条直线上,AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:
△ABD^AFCE.
【解析】VBC=DE,
.•.BC+CD=DE+CD,
即BD=CE,
在^ABD和^FCE中,
AB=FC
<AD=FE,
BD=CE
.'.△ABD^AFCE(SSS).
【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,ZAOB是一个任意角,在边
OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺
顶点P的射线OP便是NAOB的平分线,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】射线OP是NAOB的平分线,理由如下:
在^OMP和^ONP中
OM=ON
<MP=NP
OP=OP
AAOMP^AONP(SSS),
ZMOP=ZNOP,
...OP平分NAOB.
巩固训练:
13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中
点,DM,E"是连接弹簧和伞骨的支架,且。欣=9,已知弹簧M在向上滑动的过程中,
总有AADM这AAEM,其判定依据是()
【答案】C
【解析】
解:':AB^AC,点。,E分别是AB,AC的中点,
/•AD=AE,
在AADM和AAEM中,
AD=AE
<AMAM,
DM=EM
:.AADM^AAEM(SSS),
故选:c.
14.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”
可以判定两个三角形全等,则尤+》的值为()
A.15B.19C.24D.25
【答案】C
【解析】
解:•••由“SSS”可以判定两个三角形全等,
.,.x=10,y=i4,
「.%+y=10+14=24,
故选:c.
题型八“HL”判定方法
【例22】如图,点C在BE上,AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.
(1)求证:ZkABCmZkBED;
(2)求NBFC的度数.
【答案】见解析
【解析】(1)VABXBE,DE1BE,
/.ZABC=ZBED=90°,
在^ABC和^BED中,
AB=BE
</ABC=/BED
BC=ED
AAABCABED(SAS);
(2)VAABCABED,
,ZDBE=ZCAB,
VZABC=90°,
.,.ZCAB+ZACB=90°.
.*.ZDBE+ZACB=90°.
.,.在ABFC中,ZBFC=90°.
【例23]如图,已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:(1)BC=AD;
(2)OA=OB.
【答案】见解析
【解析】(1)VAC±BC,BD±AD,
ZADB=ZACB=90°,
在RtAABC和RtABAD中,
AB=AB
AC^BD
.*.RtAABC^RtABAD(HL),
.♦.BC=AD,
(2)VRtAABC^RtABAD,
,NCAB=NDBA,
.*.OA=OB.
【例24]如图,AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证:Z1=Z2.
【答案】见解析
【解析】VAEXEC,AF±BF,
ZAEC=ZAFB=90°,
在RtAAEC与RtAAFB中,
AC=AB
AE^AF
.'.RtAAEC^RtAAFB(HL),
NEAC=NFAB,
ZEAC-ZBAC=ZFAB-ZBAC,
即N1=N2.
巩固训练:
15.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()
A.两个锐角对应相等
B.斜边和一直角边分别对应相等
C.两条直角边分别对应相等
D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
【答案】A
【解析】
解:A.两锐角对应相等的两个直角三角形,不能判定全等,故此选项符合题意;
B.斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形,根据HL能判定全等,故此选项不符合
题意;
C.两条直角边对应相等的两个直角三角形,根据SAS能判定全等,故此选项不符合题意;
D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等,先根据HL,再用SAS可判定全等,
故此选项不符合题意.
故选:A.
16.如图,AC±AB,ACLCD,要使得△ABC/ZXC/M.若以“HL”为依据,需添加的条件是
【答案】A
【解析】
【详解】解:VACVAB,ACLCD,
,ABAC=ZACD=90°,
:.AABC和AQM是直角三角形,
;AABC和有公共直角边AC,
...以“HL”为依据判断△ABC丝△CD4,需要使3C=ZM,故A正确.
故选:A.
17.如图,在RtZXABC中,ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,尸、Q两点分别在AC和过点A
且垂直于AC的射线△上运动,要使和△。以全等,则AP=.
【答案】6或12
【解析】
解:①当AP=CB时,
ZC=ZQAP=90°,
在RtAABC与RtA2^4中,
jAP=CB
\AB=QP
:.RtAAB8RtZ\%(HL),
AP=BC=6;
②当尸运动到与C点重合时,AP=AC,
在RtAgPA与RtA/lBC中,
[AP=AC
[QP=AB
:.RtA0PA^RtAa4C(HL),
AP=AC=12,
当点P与点C重合时,RtAABC才能和全等,
综上所述,AP=6或12,
故答案为:6或12.
题型九全等三角形判定与性质综合
【例25]如图,A,B,C三点在同一条直线上,ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,
不能判定△EAB04BCD的是()
A.EB=BDB.ZE+ZD=90°
C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°
【答案】D
【解析】VZA=ZC=90°,AB=CD,
当添加EB=BD时,则可根据“HL”判定△EAB^ABCD;
当添加AE=BC,即AC=AE+CD,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD;
当添加NABE=ND时,止匕时ND+NE=90。,NEBD=90。,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD.
【例26]如图,NABC=NABD,要使△ABC咨4ABD,还需添加一个条件,那么在①AC=AD;
②BC=BD;③NC=ND;④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.
【答案】②③④
【解析】①:AD=AC,ZABC=ZABD,AB=AB,
根据SSA不能推出△ABCgAABD,故错误;
②根据BD=BC,AB=AB,NABC=NABD能推出△ABCgAABD(SAS),故正确;
(3)VZD=ZC,ZABC=ZABD,AB=AB,
根据AAS能推出△ABC也ZkABD,故正确;
@VZDAB=ZCAB,AB=AB,ZABC=ZABD,
根据ASA能推出△ABCABD,故正确.
【例27]如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB〃DE,AC〃DF,下列条件中,能判断
△ABC^ADEF的是()
A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF
【答案】D
【解析】:AB〃DE,AC〃DF,
.,.ZB=ZDEF,NF=NACB,
A、添力口BE=CE,不能判定△ABC四ZVDEF,故此选项不合题意;
B、添加NA=ND,不能判定△ABC丝ADEF,故此选项不合题意;
C、添力口EC=CF,不能判定△ABC咨ADEF,故此选项不合题意;
D、添力口BE=CF,可利用ASA定理判定△ABCm/VDEF,故此选项符合题意.
【例28]如图所示,已知点D为△ABC的边BC的中点,DELAC,DF±AB,垂足分别为
点E,F.且BF=CE.求证:ZB=ZC.
【答案】见解析
【解析】,点D是△ABC的边BC的中点,
,BD=CD,
VDE±AC,DF±AB,
.,.ZBFD=ZCED=90°,
在RtABDF和RtACDE中,
[BD=CD
[BF=CE'
.'.RtABDF^RtACDE(HL),
.\ZB=ZC.
【例29】如图,CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,BO=CO.
求证:AO平分NBAC.
【答案】见解析
【解析】:CD,AB于D,BELAC于E,
.,.ZODB=ZDEC=90°.
在^DBO和^CEO中
AODB=/DEC=90°
-NDOB=ZEOC,
OB=OC
/.△DBO^ACEO(AAS).
.*.OD=OE.
在RtAAOD和RtAAOE中,
AO=AO
OD=OE
.*.RtAAOD^RtAAOE(HL),
.\ZDAO=ZEAO,
,AO平分NBAC.
巩固训练:
18.如图所示的2x2正方形网
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