苏科版八年级数学上册 第一章 全等三角形（9类题型突破）

第一章全等三角形（题型突破）

题型一全等图形的识别

【例1】1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）

A.

C.

【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；

③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练：

1.下列各组图形中，属于全等图形的是（）

2.对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（）

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【例4】下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形

巩固训练：

3.下列说法正确的是（

A.周长相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等所有的等边三角形全等

4.下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等D.所有的等边三角形是全等三角形

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则N1的度数是（）

A.76°B.62°

C.42°D.76。、62。或42。都可以

b

【例6】如图，已知AABC咨ZXDEF,CD平分NBCA,若NA=30。，ZCGF=88°,则NE的

度数是（C）

A.50°B.44°

C.34°D.30°

D

【例7】（1）已知^ABC段aDEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

（2）已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,

x+2y,若这两个三角形全等，则x+y的值是.

巩固训练：

5.如图，AABC〜△AEC,其中4?=3,A'C'=7,B'C=5,则AABC的周长为.

AA'

6.如图，AABD'EBC,AB=3cm,BC=4cm,则=cm

题型四“SAS”判定方法

【例9］已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G,AD=CF,BC〃EF且BC=EF,

求证：△ABC^ADEF.

【例10］如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC边匕点D是BC边的中点，且DF〃AB,

BE=DF.求证：△BED^ADFC.

BDC

【例11］已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:

AC〃DF.

【例12］如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且AC=DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧，连接BE.求证：BC=EB.

巩固训练:

7.如图，已知在AABC和ABAD中，BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC%3Ao的依据

C.ASAD.SAS

8.如图，A8与8相交于点0,且。是AB,CD的中点，则AAOC与ABOD全等的理由是.

D

9.如图，已知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证：△ABC丝△£)£尸

题型五“ASA”判定方法

【例13】已知：如图，AB=AE,AB〃DE,ZECB+ZD=180°.求证：△ABC2^EAD.

【例14］如图，已知N1=N2,Z3=Z4,求证：BD=BE.

【例15］如图所示，ZE=ZF,Z1=Z2,AE=AF,求证：△ACN名AABM.

巩固训练：

10、如图，已知AE=CF,DF/7BE,AD/7BC,求证：△ADF2ACBE.

11.如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、2的距离，用合适的方法使3c=CD,

ZABC=Z£E>C=90°,因此测得DE的长就是AB的长，在这里判定A4BC丝AEDC,最恰当的理

由是（）

C.SSSD.ASA

12.如图，点3是AC的中点，ZA=ZC,Z1=Z2,试说明：^ABE^ACBF.

F、E

题型六“AAS”判定方法

【例16］如图，ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上，Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证：△AEC^ABED.

【例17］如图，已知N1=N2,Z3=Z4,EC=AD,求证：AB=BE.

【例18］如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADLMN,BELMN,

垂足分别为点D,E.求证：DE=AD+BE.

题型七“SSS”判定方法

【例19］如图，AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.

求证：(1)ZD=ZB；(2)0E=0F.

【例20］如图，已知点B,C,D,E在同一条直线上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

BCD

【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，ZAOB是一个任意角，在边

OA、0B上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺

顶点P的射线0P便是NAOB的平分线，请说明理由.

巩固训练:

13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点。，E分别是AB,AC的中

点，DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架，且=已知弹簧〃在向上滑动的过程中，

总有AADM这AAEM,其判定依据是()

14.一个三角形的三边长为5,q14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等，则x+y的值为()

A.15B.19C.24D.25

题型八“HL”判定方法

【例22】如图，点C在BE上，AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.

(1)求证：△ABC咨ABED；

(2)求NBFC的度数.

A

【例23］如图，已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证：(1)BC=AD；

(2)OA=OB.

【例24］如图，AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证：Z1=Z2.

巩固训练：

15.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

16.如图，AC±AB,ACLCD,要使得△ABCgZiaM.若以“HL”为依据，需添加的条件是

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=NBD.ZACB=ZCAD

17.如图，在RtZVLBC中，ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,p、。两点分别在AC和过点A

且垂直于AC的射线△上运动，要使AABC和△QPA全等，则AP=.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例25］如图，A,B,C三点在同一条直线上，ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件，

不能判定^EAB^ABCD的是（）

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

E

ALRC.

【例26］如图，NABC=NABD,要使△ABCmAABD,还需添加一个条件，那么在①AC=AD；

②BC=BD；③NC=ND；④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.

一

【例27］如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB〃DE,AC〃DF,下列条件中，能判断

△ABC^ADEF的是（）

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

【例28］如图所示，已知点D为AABC的边BC的中点，DE，AC,DF±AB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证：ZB=ZC.

【例29】如图，CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,B0=C0.

求证：A0平分NBAC.

巩固训练:

18.如图所示的2x2正方形网格中，4+N2等于（）

B.90°C.95°D.85°

19.如图在AABC,ACDE中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE.连接B£),交于点F.以

下四个结论：①BD=AE;②BDLAE；③ZAEC+ZDBC=45。；④FC平分ZBFE,其中结论正

确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

20.如图，边长为6的等边AABC,R是边AC的中点，点。是线段8尸上的动点，连接AD,

在AD的右侧作等边AADE,连接C。、CE、EF,则以下结论：@BF±AC；②NDEC=NDCE；

③AE=CD；④△及汨的周长最小值为9；⑤当△但周长最小时，ZAFE=60°.其中正确的结

论有____________（填序号）.

E

D

BC

第一章全等三角形（题型突破）

答案全解全析

题型一全等图形的识别

【例1】1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）

【答案】c

【解析】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；

D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

故选：C.

【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；

③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；

②如果面积相同而形状不同也不全等；

③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，

④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确.

所以只有1个正确，

故选A.

巩固训练：

1.下列各组图形中，属于全等图形的是（）

【答案】c

【解析】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合

题意；

B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；

D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

故选：C.

2.对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（）

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

【答案】D

【解析】

解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；

B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题

思；

C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题

忌；

D.能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意.

故选：D.

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【答案】C

【解析】

解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意;

B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；

C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；

D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；

故选：C.

【例4】下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形

【答案】D

【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题

思；

B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；

C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；

D、边长为5cm的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；

故选：D.

巩固训练：

3.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等

【答案】C

【解析】

解：A.全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

B.全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

C.正确，符合全等三角形的定义；

D.边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误.

故选：C.

4.下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等

D.所有的等边三角形是全等三角形

【答案】C

【解析】

解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项

错误；

B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误；

C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故

该选项正确；

D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等.故该选项错误.

故选：C.

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则N1的度数是（）

B.62°

D.76。、62。或42。都可以

【答案】B

【解析】•••两个三角形全等,

r.Zl=62°.

【例6】如图，已知AABC4^DEF,CD平分NBCA,若NA=30。，ZCGF=88°,则NE的

度数是（）

C.34°D.30°

【答案】C

【解析】平分NBCA,

/.ZACD=ZBCD=-ZBCA,

2

1・AABCgADEF,

：.NO=NA=30。，

•?ZCGF=/D+/BCD,

：.ZBCD=ZCGF-ZD=58°,

：.4G4=116。，

，ZB=180°-30o-116o=34°,

AABC%&DEF,

.・.ZE=ZB=34°t

【例7】(1)已知△ABC04DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

(2)已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【答案】7cm、5cm或7cm或10cm

【解析】(1)VAABC^ADEF,

DF=AC=7cm.

(2)①当△ABC丝Z\DEF时，DF=AC=7cm,

②当△ABC^AFDE时，DF=AB=10cm,

③当△ABC法△EFD时，DF=BC=5cm,

DF=5cm或7cm或10cm.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,

x+2y,若这两个三角形全等，则x+y的值是

【答案】5或4

【解析】由题意得巴2:5,或k2厂5

e/nfx=3fx=3

解得：。或[,

[y=2[y=l

x+y=5或x+y=4,

故答案为5或4.

巩固训练：

5.如图，2△A9C,其中4?=3,A!C=1,B'C=5,则AABC的周长为

AA'

cc,

【答案】15

【解析】

解：△ABC^AA,B,C,,AB=3,A'C=7,B'C'=5,

AC=AC'=7,BC=B'C'=5,

：.AABC的周长为AS+BC+AC=3+5+7=15,

故答案为：15.

6.如图，AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,则DE=cm.

【解析】

【详解】•:AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,

BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,

DE=BD-BE=4-3=1(cm).

故答案为：1.

题型四“SAS”判定方法

［例9］已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G,AD=CF,BC/7EF且BC=EF,

求证：△ABC^ADEF.

【答案】见解析

【解析】•••AD=CF,

.,.AD+DC=CF+DC,

.♦.AC=DF,

VBC//EF,

ZACB=ZDFE,

在^ACB和^DFE中，

AC=DF

<ZACB=ZDFE,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS).

【例10］如图,在^ABC中，点E,F分别在AB,AC边上，点D是BC边的中点，且DF〃AB,

BE=DF.求证：△BED^ADFC.

【答案】见解析

【解析】•.•点D是BC边的中点，

.♦.BD=CD,

VDF/7AB,

.\ZB=ZFDC,

在^BED和^DFC中，

BD=DC

-NB=ZFDC,

BE=DF

AABED^ADFC(SAS).

【例11］已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:

AC〃DF.

【答案】见解析

【解析】VBF=EC,

.,.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在^ABC和^DEF中，

AB=DE

=NB=NE,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS),

ZACF=ZDFE,

，AC〃DF.

【例12］如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且AC=DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧，连接BE.求证：BC=EB.

【答案】见解析

【解析】：DE〃AC,

/.ZEDB=ZA.

在^DEB与AABC中，

AC=DB

<ABAC=ZEDB,

AB=DE

.'.△DEB空△ABC(SAS),

.\EB=BC.

巩固训练：

7.如图，已知在AABC和△BAD中，BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC丝ABAD的依据

是()

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【答案】D

【解析】

BC=AD

解：在AABC和ZvlB。中，<ZABC=ZBAD,

AB=BA

/.^ABC^BAD(SAS).

故选：D.

8.如图，AB与8相交于点。，且。是AB8的中点，则AAOC与"CD全等的理由是

【答案】SAS

【解析】

解：•.,。是A5,CD的中点,

OA=OB,OC=OD,

在AAOC和A£)O8中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

：.AAOC均DOB(SAS),

故答案为：SAS.

9.如图，已知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证：八ABC名人DEF

BE

D

【答案】见解析

【解析】解：•••M=CE

BF+FC=CE+FC

即：BC=EF

在△ABC和ADEF中

AB=DE

<ZB=ZE

BC=EF

：.AABC^ADEF(SAS).

题型五“ASA”判定方法

【例13】已知：如图，AB=AE,AB//DE,ZECB+ZD=180°.求证：△ABC2^EAD.

【答案】见解析

【解析】VAB//DE,

.•.NCAB=NE,

VZECB+ZD=180°,ZECB+ZACB=180°,

.\ZD=ZACB,

在^ABC与^EAD中,

ZCAB=NE

<AC=DE

/ACB=ZD

.,.△ABC^AEAD(ASA).

【例14］如图，已知N1=N2,N3=N4,求证：BD=BE.

D

【答案】见解析

【解析】在^ADC和^AEC中，

21=Z2

"AC=AC,

Z3=Z4

.,.△ADC/△AEC(ASA),

，AD=AE,

在^ADB和^AEB中，

AD=AE

<Z1=Z2,

AB^AB

.'.△ADB等△AEB(SAS),

.*.BD=BE.

【例15］如图所示，NE=NF,Z1=Z2,AE=AF,求证:△ACN/△ABM.

【答案】见解析

【解析】VZ1=Z2,

.*.ZCAF=ZBAE

在^ABE和^ACF中，

'/BAE=ZCAF

<AE^AF,

ZE=ZF

/.△ABE^AACF(ASA),

...AB=AC,ZB=ZC,

在^ACN和^ABM中，

/CAN=ZBAM

<ACAB,

ZC=ZB

AAACN^AABM(ASA).

巩固训练：

10、如图，已知AE=CF,DF〃BE,AD〃:BC,求证：△ADF/ACBE.

【答案】见解析

【解析】VAE=CF,

.*.AF=CE；

VAD/7BC,

ZA=ZC；

VDF/7BE,

ZAFD=ZCEB；

在^ADF-WACBE中,

ZA=ZC

<AF=CE

ZAFD=ZCEB

/.△ADF^ACBE(ASA).

11.如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、3的距离，用合适的方法使3c=CD,

ZABC=ZEDC=90°,因此测得OE的长就是AB的长，在这里判定A4SC丝AEDC,最恰当的理

由是()

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】D

【解析】解：：若要证明△AJSCaEDC,用到的条件是:

BC=CD,ZABC=ZEDC=90°,ZACB=ZECD,

，用到的是两角及两角的夹边对应相等，即ASA这一方法，

故选：D.

12.如图，点3是AC的中点，ZA=ZC,Zl=/2,试说明：AABE^ACBF.

【答案】见解析

【解析】解：因为点3是AC的中点，

所以AB=CB,

因为Nl=/2,

所以N1+NEB尸=N2+N£BF,BPZABE^ZCBF.

在ATWE和VCB/中，

因为ZA=NC,AB=CB,ZABE=NCBF,

所以△ABE丝△CM(ASA)

题型六“AAS”判定方法

【例16］如图，ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上，Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证：△AEC^ABED.

【答案】见解析

【解析】•••阿和BD相交于点相

ZAOD=ZBOE.

在^AOD和^BOE中，

NA=NB,.*.ZBEO=Z2.

又2,

.*.Z1=ZBEO,

.*.ZAEC=ZBED.

在^AEC和^BED中，

'/A=ZB

<NAEC=/BED,

AC=BD

：.AAEC^ABED(AAS).

【例17］如图，已知N1=N2,N3=N4,EC=AD,求证：AB=BE.

【答案】见解析

【解析】VZ1=Z2,

.*.ZABD=ZEBC,

在^ABD和^EBC中，

Z3=Z4

</ABD=NEBC,

AD=EC

.,.△ABD^AEBC,

.\AB=BE.

【例18］如图，在△ABC中，NACB=9(r,AC=BC,直线MN经过点C,且AD，MN,BE，MN,

垂足分别为点D,E.求证：DE=AD+BE.

【答案】见解析

【解析】VZACB=90°,AD_LMN,BE±MN,

ZBEC=ZACB=ZADC=90°,

/.ZACE+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

，ZACD=ZCBE,

在^ADC和^CEB中

/ADC=/BEC

"ZACD=ZCBE,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS),

，BE=CD,AD=CE,

VCD+CE=DE,

，DE=AD+BE.

题型七“sss”判定方法

【例19】如图，AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.

求证：(1)ZD=ZB；(2)OE=OF.

【答案】见解析

【解析】(1)在AADE和ACBF中,

AE=CF

<AD=BC,

DE=BF

AAADE^ACBF(SSS),

AZD=ZB.

(2)在△ADO和ACBO中，

ZD=ZB

<ZAOD=ZCOB,

AD=BC

.,.△ADO^ACBO(AAS),

.*.DO=BO,

.•.DO—DE=BO—BF,

.*.EO=FO.

【例20］如图，已知点B,C,D,E在同一条直线上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

【解析】VBC=DE,

.•.BC+CD=DE+CD,

即BD=CE,

在^ABD和^FCE中，

AB=FC

<AD=FE,

BD=CE

.'.△ABD^AFCE(SSS).

【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，ZAOB是一个任意角，在边

OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺

顶点P的射线OP便是NAOB的平分线，请说明理由.

【答案】见解析

【解析】射线OP是NAOB的平分线，理由如下:

在^OMP和^ONP中

OM=ON

<MP=NP

OP=OP

AAOMP^AONP(SSS),

ZMOP=ZNOP,

...OP平分NAOB.

巩固训练：

13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中

点，DM,E"是连接弹簧和伞骨的支架，且。欣=9,已知弹簧M在向上滑动的过程中，

总有AADM这AAEM,其判定依据是（）

【答案】C

【解析】

解：'：AB^AC,点。，E分别是AB,AC的中点，

/•AD=AE,

在AADM和AAEM中，

AD=AE

<AMAM,

DM=EM

：.AADM^AAEM（SSS）,

故选：c.

14.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等，则尤+》的值为（）

A.15B.19C.24D.25

【答案】C

【解析】

解：•••由“SSS”可以判定两个三角形全等，

.,.x=10,y=i4,

「.％+y=10+14=24,

故选：c.

题型八“HL”判定方法

【例22】如图，点C在BE上，AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.

(1)求证：ZkABCmZkBED；

(2)求NBFC的度数.

【答案】见解析

【解析】(1)VABXBE,DE1BE,

/.ZABC=ZBED=90°,

在^ABC和^BED中，

AB=BE

</ABC=/BED

BC=ED

AAABCABED(SAS)；

(2)VAABCABED,

，ZDBE=ZCAB,

VZABC=90°,

.,.ZCAB+ZACB=90°.

.*.ZDBE+ZACB=90°.

.,.在ABFC中，ZBFC=90°.

【例23］如图，已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证：(1)BC=AD；

(2)OA=OB.

【答案】见解析

【解析】(1)VAC±BC,BD±AD,

ZADB=ZACB=90°,

在RtAABC和RtABAD中，

AB=AB

AC^BD

.*.RtAABC^RtABAD(HL),

.♦.BC=AD,

(2)VRtAABC^RtABAD,

，NCAB=NDBA,

.*.OA=OB.

【例24］如图，AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证：Z1=Z2.

【答案】见解析

【解析】VAEXEC,AF±BF,

ZAEC=ZAFB=90°,

在RtAAEC与RtAAFB中,

AC=AB

AE^AF

.'.RtAAEC^RtAAFB(HL),

NEAC=NFAB,

ZEAC-ZBAC=ZFAB-ZBAC,

即N1=N2.

巩固训练：

15.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

【答案】A

【解析】

解：A.两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；

B.斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据HL能判定全等，故此选项不符合

题意；

C.两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据SAS能判定全等，故此选项不符合题意；

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据HL,再用SAS可判定全等，

故此选项不符合题意.

故选：A.

16.如图，AC±AB,ACLCD,要使得△ABC/ZXC/M.若以“HL”为依据，需添加的条件是

【答案】A

【解析】

【详解】解：VACVAB,ACLCD,

，ABAC=ZACD=90°,

：.AABC和AQM是直角三角形，

；AABC和有公共直角边AC,

...以“HL”为依据判断△ABC丝△CD4,需要使3C=ZM,故A正确.

故选：A.

17.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,尸、Q两点分别在AC和过点A

且垂直于AC的射线△上运动，要使和△。以全等，则AP=.

【答案】6或12

【解析】

解：①当AP=CB时，

ZC=ZQAP=90°,

在RtAABC与RtA2^4中，

jAP=CB

\AB=QP

：.RtAAB8RtZ\%（HL）,

AP=BC=6；

②当尸运动到与C点重合时，AP=AC,

在RtAgPA与RtA/lBC中，

[AP=AC

[QP=AB

：.RtA0PA^RtAa4C（HL）,

AP=AC=12,

当点P与点C重合时，RtAABC才能和全等，

综上所述，AP=6或12,

故答案为：6或12.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例25]如图，A,B,C三点在同一条直线上，ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,

不能判定△EAB04BCD的是（）

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°

C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

【答案】D

【解析】VZA=ZC=90°,AB=CD,

当添加EB=BD时，则可根据“HL”判定△EAB^ABCD；

当添加AE=BC,即AC=AE+CD,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD；

当添加NABE=ND时,止匕时ND+NE=90。，NEBD=90。,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD.

【例26］如图，NABC=NABD,要使△ABC咨4ABD,还需添加一个条件，那么在①AC=AD；

②BC=BD；③NC=ND；④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.

【答案】②③④

【解析】①：AD=AC,ZABC=ZABD,AB=AB,

根据SSA不能推出△ABCgAABD,故错误；

②根据BD=BC,AB=AB,NABC=NABD能推出△ABCgAABD(SAS),故正确；

(3)VZD=ZC,ZABC=ZABD,AB=AB,

根据AAS能推出△ABC也ZkABD,故正确；

@VZDAB=ZCAB,AB=AB,ZABC=ZABD,

根据ASA能推出△ABCABD,故正确.

【例27］如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB〃DE,AC〃DF,下列条件中，能判断

△ABC^ADEF的是()

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

【答案】D

【解析】：AB〃DE,AC〃DF,

.,.ZB=ZDEF,NF=NACB,

A、添力口BE=CE,不能判定△ABC四ZVDEF,故此选项不合题意；

B、添加NA=ND,不能判定△ABC丝ADEF,故此选项不合题意；

C、添力口EC=CF,不能判定△ABC咨ADEF,故此选项不合题意；

D、添力口BE=CF,可利用ASA定理判定△ABCm/VDEF,故此选项符合题意.

【例28］如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DELAC,DF±AB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证：ZB=ZC.

【答案】见解析

【解析】,点D是△ABC的边BC的中点，

，BD=CD,

VDE±AC,DF±AB,

.,.ZBFD=ZCED=90°,

在RtABDF和RtACDE中，

[BD=CD

[BF=CE'

.'.RtABDF^RtACDE(HL),

.\ZB=ZC.

【例29】如图，CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,BO=CO.

求证：AO平分NBAC.

【答案】见解析

【解析】：CD，AB于D,BELAC于E,

.,.ZODB=ZDEC=90°.

在^DBO和^CEO中

AODB=/DEC=90°

-NDOB=ZEOC,

OB=OC

/.△DBO^ACEO(AAS).

.*.OD=OE.

在RtAAOD和RtAAOE中，

AO=AO

OD=OE

.*.RtAAOD^RtAAOE(HL),

.\ZDAO=ZEAO,

，AO平分NBAC.

巩固训练：

18.如图所示的2x2正方形网