苏科版八年级数学上册 第一章 全等三角形(9类题型突破)_第1页
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文档简介

第一章全等三角形(题型突破)

题型一全等图形的识别

【例1】1.下列各项中,两个图形属于全等图形的是()

A.

C.

【例2】对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;

③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练:

1.下列各组图形中,属于全等图形的是()

2.对于“全等图形”的描述,下列说法正确的是()

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是()

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【例4】下列说法正确的是()

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形

巩固训练:

3.下列说法正确的是(

A.周长相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等所有的等边三角形全等

4.下列说法正确的是()

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等D.所有的等边三角形是全等三角形

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则N1的度数是()

A.76°B.62°

C.42°D.76。、62。或42。都可以

b

【例6】如图,已知AABC咨ZXDEF,CD平分NBCA,若NA=30。,ZCGF=88°,则NE的

度数是(C)

A.50°B.44°

C.34°D.30°

D

【例7】(1)已知^ABC段aDEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

(2)已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,

x+2y,若这两个三角形全等,则x+y的值是.

巩固训练:

5.如图,AABC〜△AEC,其中4?=3,A'C'=7,B'C=5,则AABC的周长为.

AA'

6.如图,AABD'EBC,AB=3cm,BC=4cm,则=cm

题型四“SAS”判定方法

【例9]已知A、D、C、F在一条直线上,BC与DE交于点G,AD=CF,BC〃EF且BC=EF,

求证:△ABC^ADEF.

【例10]如图,在△ABC中,点E,F分别在AB,AC边匕点D是BC边的中点,且DF〃AB,

BE=DF.求证:△BED^ADFC.

BDC

【例11]已知:如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:

AC〃DF.

【例12]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且AC=DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧,连接BE.求证:BC=EB.

巩固训练:

7.如图,已知在AABC和ABAD中,BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC%3Ao的依据

C.ASAD.SAS

8.如图,A8与8相交于点0,且。是AB,CD的中点,则AAOC与ABOD全等的理由是.

D

9.如图,已知点8,E,C,尸在一条直线上,AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证:△ABC丝△£)£尸

题型五“ASA”判定方法

【例13】已知:如图,AB=AE,AB〃DE,ZECB+ZD=180°.求证:△ABC2^EAD.

【例14]如图,已知N1=N2,Z3=Z4,求证:BD=BE.

【例15]如图所示,ZE=ZF,Z1=Z2,AE=AF,求证:△ACN名AABM.

巩固训练:

10、如图,已知AE=CF,DF/7BE,AD/7BC,求证:△ADF2ACBE.

11.如图,七1班同学要测量河两岸相对的两点A、2的距离,用合适的方法使3c=CD,

ZABC=Z£E>C=90°,因此测得DE的长就是AB的长,在这里判定A4BC丝AEDC,最恰当的理

由是()

C.SSSD.ASA

12.如图,点3是AC的中点,ZA=ZC,Z1=Z2,试说明:^ABE^ACBF.

F、E

题型六“AAS”判定方法

【例16]如图,ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上,Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证:△AEC^ABED.

【例17]如图,已知N1=N2,Z3=Z4,EC=AD,求证:AB=BE.

【例18]如图,在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADLMN,BELMN,

垂足分别为点D,E.求证:DE=AD+BE.

题型七“SSS”判定方法

【例19]如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.

求证:(1)ZD=ZB;(2)0E=0F.

【例20]如图,已知点B,C,D,E在同一条直线上,AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

BCD

【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,ZAOB是一个任意角,在边

OA、0B上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺

顶点P的射线0P便是NAOB的平分线,请说明理由.

巩固训练:

13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点。,E分别是AB,AC的中

点,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,且=已知弹簧〃在向上滑动的过程中,

总有AADM这AAEM,其判定依据是()

14.一个三角形的三边长为5,q14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等,则x+y的值为()

A.15B.19C.24D.25

题型八“HL”判定方法

【例22】如图,点C在BE上,AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.

(1)求证:△ABC咨ABED;

(2)求NBFC的度数.

A

【例23]如图,已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:(1)BC=AD;

(2)OA=OB.

【例24]如图,AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证:Z1=Z2.

巩固训练:

15.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

16.如图,AC±AB,ACLCD,要使得△ABCgZiaM.若以“HL”为依据,需添加的条件是

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=NBD.ZACB=ZCAD

17.如图,在RtZVLBC中,ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,p、。两点分别在AC和过点A

且垂直于AC的射线△上运动,要使AABC和△QPA全等,则AP=.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例25]如图,A,B,C三点在同一条直线上,ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,

不能判定^EAB^ABCD的是()

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

E

ALRC.

【例26]如图,NABC=NABD,要使△ABCmAABD,还需添加一个条件,那么在①AC=AD;

②BC=BD;③NC=ND;④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.

【例27]如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB〃DE,AC〃DF,下列条件中,能判断

△ABC^ADEF的是()

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

【例28]如图所示,已知点D为AABC的边BC的中点,DE,AC,DF±AB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证:ZB=ZC.

【例29】如图,CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,B0=C0.

求证:A0平分NBAC.

巩固训练:

18.如图所示的2x2正方形网格中,4+N2等于()

B.90°C.95°D.85°

19.如图在AABC,ACDE中,ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE.连接B£),交于点F.以

下四个结论:①BD=AE;②BDLAE;③ZAEC+ZDBC=45。;④FC平分ZBFE,其中结论正

确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

20.如图,边长为6的等边AABC,R是边AC的中点,点。是线段8尸上的动点,连接AD,

在AD的右侧作等边AADE,连接C。、CE、EF,则以下结论:@BF±AC;②NDEC=NDCE;

③AE=CD;④△及汨的周长最小值为9;⑤当△但周长最小时,ZAFE=60°.其中正确的结

论有____________(填序号).

E

D

BC

第一章全等三角形(题型突破)

答案全解全析

题型一全等图形的识别

【例1】1.下列各项中,两个图形属于全等图形的是()

【答案】c

【解析】解:A、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;

B、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;

C、两个图形能够完全重合,是全等图形,符合题意;

D、两个图形不能完全重合,不是全等图形,不符合题意;

故选:C.

【例2】对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;

③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

解:①周长相等的两个图形不一定重合,所以不一定全等;

②如果面积相同而形状不同也不全等;

③如果周长相同面积相同而形状不同,则不全等,

④两个图形的形状相同,大小也相等,则二者一定重合,正确.

所以只有1个正确,

故选A.

巩固训练:

1.下列各组图形中,属于全等图形的是()

【答案】c

【解析】解:A、两个图形的大小不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合

题意;

B、两个图形的大小不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合题意;

C、两个图形能够完全重合,是全等图形,则此项符合题意;

D、两个图形的形状不相同,不能够完全重合,不是全等图形,则此项不符合题意;

故选:C.

2.对于“全等图形”的描述,下列说法正确的是()

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

【答案】D

【解析】

解:A.边长相等的两个图形不一定是全等图形,故本选项不符合题意;

B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同,所以,不是全等图形,故本选项不符合题

思;

C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同,所以,不是全等图形,故本选项不符合题

忌;

D.能够完全重合的两个图形是全等图形,该说法正确,故本选项符合题意.

故选:D.

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是()

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【答案】C

【解析】

解:A、两个直角三角形不一定全等,故错误,不符合题意;

B、形状相同的两个三角形不一定全等,故错误,不符合题意;

C、全等三角形的面积一定相等,故正确,符合题意;

D、面积相等的两个三角形不一定全等,故错误,不符合题意;

故选:C.

【例4】下列说法正确的是()

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形

【答案】D

【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形,原说法错误,不符合题

思;

B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形,原说法错误,不符合题意;

C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形,原说法错误,不符合题意;

D、边长为5cm的等边三角形都是全等三角形,原说法正确,符合题意;

故选:D.

巩固训练:

3.下列说法正确的是()

A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等

【答案】C

【解析】

解:A.全等三角形的周长相等,但周长相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;

B.全等三角形的面积相等,但面积相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;

C.正确,符合全等三角形的定义;

D.边长不相等的等边三角形不全等,故本选项错误.

故选:C.

4.下列说法正确的是()

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等

D.所有的等边三角形是全等三角形

【答案】C

【解析】

解:A、全等三角形的形状相同,但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项

错误;

B、全等三角形面积相等,但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误;

C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,则全等三角形的周长和面积一定相等,故

该选项正确;

D、两个等边三角形,形状相同,但不一定能完全重合,不一定全等.故该选项错误.

故选:C.

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则N1的度数是()

B.62°

D.76。、62。或42。都可以

【答案】B

【解析】•••两个三角形全等,

r.Zl=62°.

【例6】如图,已知AABC4^DEF,CD平分NBCA,若NA=30。,ZCGF=88°,则NE的

度数是()

C.34°D.30°

【答案】C

【解析】平分NBCA,

/.ZACD=ZBCD=-ZBCA,

2

1・AABCgADEF,

:.NO=NA=30。,

•?ZCGF=/D+/BCD,

:.ZBCD=ZCGF-ZD=58°,

:.4G4=116。,

,ZB=180°-30o-116o=34°,

AABC%&DEF,

.・.ZE=ZB=34°t

【例7】(1)已知△ABC04DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

(2)已知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【答案】7cm、5cm或7cm或10cm

【解析】(1)VAABC^ADEF,

DF=AC=7cm.

(2)①当△ABC丝Z\DEF时,DF=AC=7cm,

②当△ABC^AFDE时,DF=AB=10cm,

③当△ABC法△EFD时,DF=BC=5cm,

DF=5cm或7cm或10cm.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,

x+2y,若这两个三角形全等,则x+y的值是

【答案】5或4

【解析】由题意得巴2:5,或k2厂5

e/nfx=3fx=3

解得:。或[,

[y=2[y=l

x+y=5或x+y=4,

故答案为5或4.

巩固训练:

5.如图,2△A9C,其中4?=3,A!C=1,B'C=5,则AABC的周长为

AA'

cc,

【答案】15

【解析】

解:△ABC^AA,B,C,,AB=3,A'C=7,B'C'=5,

AC=AC'=7,BC=B'C'=5,

:.AABC的周长为AS+BC+AC=3+5+7=15,

故答案为:15.

6.如图,AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,则DE=cm.

【解析】

【详解】•:AABD^AEBC,AB=3cm,BC=4cm,

BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,

DE=BD-BE=4-3=1(cm).

故答案为:1.

题型四“SAS”判定方法

[例9]已知A、D、C、F在一条直线上,BC与DE交于点G,AD=CF,BC/7EF且BC=EF,

求证:△ABC^ADEF.

【答案】见解析

【解析】•••AD=CF,

.,.AD+DC=CF+DC,

.♦.AC=DF,

VBC//EF,

ZACB=ZDFE,

在^ACB和^DFE中,

AC=DF

<ZACB=ZDFE,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS).

【例10]如图,在^ABC中,点E,F分别在AB,AC边上,点D是BC边的中点,且DF〃AB,

BE=DF.求证:△BED^ADFC.

【答案】见解析

【解析】•.•点D是BC边的中点,

.♦.BD=CD,

VDF/7AB,

.\ZB=ZFDC,

在^BED和^DFC中,

BD=DC

-NB=ZFDC,

BE=DF

AABED^ADFC(SAS).

【例11]已知:如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:

AC〃DF.

【答案】见解析

【解析】VBF=EC,

.,.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在^ABC和^DEF中,

AB=DE

=NB=NE,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS),

ZACF=ZDFE,

,AC〃DF.

【例12]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且AC=DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧,连接BE.求证:BC=EB.

【答案】见解析

【解析】:DE〃AC,

/.ZEDB=ZA.

在^DEB与AABC中,

AC=DB

<ABAC=ZEDB,

AB=DE

.'.△DEB空△ABC(SAS),

.\EB=BC.

巩固训练:

7.如图,已知在AABC和△BAD中,BC=AD,ZABC=ZBAD,能直接判定AABC丝ABAD的依据

是()

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【答案】D

【解析】

BC=AD

解:在AABC和ZvlB。中,<ZABC=ZBAD,

AB=BA

/.^ABC^BAD(SAS).

故选:D.

8.如图,AB与8相交于点。,且。是AB8的中点,则AAOC与"CD全等的理由是

【答案】SAS

【解析】

解:•.,。是A5,CD的中点,

OA=OB,OC=OD,

在AAOC和A£)O8中,

OA=OB

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

:.AAOC均DOB(SAS),

故答案为:SAS.

9.如图,已知点8,E,C,尸在一条直线上,AB=DE,BF=CE,ZB=ZE.求证:八ABC名人DEF

BE

D

【答案】见解析

【解析】解:•••M=CE

BF+FC=CE+FC

即:BC=EF

在△ABC和ADEF中

AB=DE

<ZB=ZE

BC=EF

:.AABC^ADEF(SAS).

题型五“ASA”判定方法

【例13】已知:如图,AB=AE,AB//DE,ZECB+ZD=180°.求证:△ABC2^EAD.

【答案】见解析

【解析】VAB//DE,

.•.NCAB=NE,

VZECB+ZD=180°,ZECB+ZACB=180°,

.\ZD=ZACB,

在^ABC与^EAD中,

ZCAB=NE

<AC=DE

/ACB=ZD

.,.△ABC^AEAD(ASA).

【例14]如图,已知N1=N2,N3=N4,求证:BD=BE.

D

【答案】见解析

【解析】在^ADC和^AEC中,

21=Z2

"AC=AC,

Z3=Z4

.,.△ADC/△AEC(ASA),

,AD=AE,

在^ADB和^AEB中,

AD=AE

<Z1=Z2,

AB^AB

.'.△ADB等△AEB(SAS),

.*.BD=BE.

【例15]如图所示,NE=NF,Z1=Z2,AE=AF,求证:△ACN/△ABM.

【答案】见解析

【解析】VZ1=Z2,

.*.ZCAF=ZBAE

在^ABE和^ACF中,

'/BAE=ZCAF

<AE^AF,

ZE=ZF

/.△ABE^AACF(ASA),

...AB=AC,ZB=ZC,

在^ACN和^ABM中,

/CAN=ZBAM

<ACAB,

ZC=ZB

AAACN^AABM(ASA).

巩固训练:

10、如图,已知AE=CF,DF〃BE,AD〃:BC,求证:△ADF/ACBE.

【答案】见解析

【解析】VAE=CF,

.*.AF=CE;

VAD/7BC,

ZA=ZC;

VDF/7BE,

ZAFD=ZCEB;

在^ADF-WACBE中,

ZA=ZC

<AF=CE

ZAFD=ZCEB

/.△ADF^ACBE(ASA).

11.如图,七1班同学要测量河两岸相对的两点A、3的距离,用合适的方法使3c=CD,

ZABC=ZEDC=90°,因此测得OE的长就是AB的长,在这里判定A4SC丝AEDC,最恰当的理

由是()

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】D

【解析】解::若要证明△AJSCaEDC,用到的条件是:

BC=CD,ZABC=ZEDC=90°,ZACB=ZECD,

,用到的是两角及两角的夹边对应相等,即ASA这一方法,

故选:D.

12.如图,点3是AC的中点,ZA=ZC,Zl=/2,试说明:AABE^ACBF.

【答案】见解析

【解析】解:因为点3是AC的中点,

所以AB=CB,

因为Nl=/2,

所以N1+NEB尸=N2+N£BF,BPZABE^ZCBF.

在ATWE和VCB/中,

因为ZA=NC,AB=CB,ZABE=NCBF,

所以△ABE丝△CM(ASA)

题型六“AAS”判定方法

【例16]如图,ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上,Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证:△AEC^ABED.

【答案】见解析

【解析】•••阿和BD相交于点相

ZAOD=ZBOE.

在^AOD和^BOE中,

NA=NB,.*.ZBEO=Z2.

又2,

.*.Z1=ZBEO,

.*.ZAEC=ZBED.

在^AEC和^BED中,

'/A=ZB

<NAEC=/BED,

AC=BD

:.AAEC^ABED(AAS).

【例17]如图,已知N1=N2,N3=N4,EC=AD,求证:AB=BE.

【答案】见解析

【解析】VZ1=Z2,

.*.ZABD=ZEBC,

在^ABD和^EBC中,

Z3=Z4

</ABD=NEBC,

AD=EC

.,.△ABD^AEBC,

.\AB=BE.

【例18]如图,在△ABC中,NACB=9(r,AC=BC,直线MN经过点C,且AD,MN,BE,MN,

垂足分别为点D,E.求证:DE=AD+BE.

【答案】见解析

【解析】VZACB=90°,AD_LMN,BE±MN,

ZBEC=ZACB=ZADC=90°,

/.ZACE+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

,ZACD=ZCBE,

在^ADC和^CEB中

/ADC=/BEC

"ZACD=ZCBE,

AC=BC

:.AADC^ACEB(AAS),

,BE=CD,AD=CE,

VCD+CE=DE,

,DE=AD+BE.

题型七“sss”判定方法

【例19】如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.

求证:(1)ZD=ZB;(2)OE=OF.

【答案】见解析

【解析】(1)在AADE和ACBF中,

AE=CF

<AD=BC,

DE=BF

AAADE^ACBF(SSS),

AZD=ZB.

(2)在△ADO和ACBO中,

ZD=ZB

<ZAOD=ZCOB,

AD=BC

.,.△ADO^ACBO(AAS),

.*.DO=BO,

.•.DO—DE=BO—BF,

.*.EO=FO.

【例20]如图,已知点B,C,D,E在同一条直线上,AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

【解析】VBC=DE,

.•.BC+CD=DE+CD,

即BD=CE,

在^ABD和^FCE中,

AB=FC

<AD=FE,

BD=CE

.'.△ABD^AFCE(SSS).

【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,ZAOB是一个任意角,在边

OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺

顶点P的射线OP便是NAOB的平分线,请说明理由.

【答案】见解析

【解析】射线OP是NAOB的平分线,理由如下:

在^OMP和^ONP中

OM=ON

<MP=NP

OP=OP

AAOMP^AONP(SSS),

ZMOP=ZNOP,

...OP平分NAOB.

巩固训练:

13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中

点,DM,E"是连接弹簧和伞骨的支架,且。欣=9,已知弹簧M在向上滑动的过程中,

总有AADM这AAEM,其判定依据是()

【答案】C

【解析】

解:':AB^AC,点。,E分别是AB,AC的中点,

/•AD=AE,

在AADM和AAEM中,

AD=AE

<AMAM,

DM=EM

:.AADM^AAEM(SSS),

故选:c.

14.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等,则尤+》的值为()

A.15B.19C.24D.25

【答案】C

【解析】

解:•••由“SSS”可以判定两个三角形全等,

.,.x=10,y=i4,

「.%+y=10+14=24,

故选:c.

题型八“HL”判定方法

【例22】如图,点C在BE上,AB±BE,DE±BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.

(1)求证:ZkABCmZkBED;

(2)求NBFC的度数.

【答案】见解析

【解析】(1)VABXBE,DE1BE,

/.ZABC=ZBED=90°,

在^ABC和^BED中,

AB=BE

</ABC=/BED

BC=ED

AAABCABED(SAS);

(2)VAABCABED,

,ZDBE=ZCAB,

VZABC=90°,

.,.ZCAB+ZACB=90°.

.*.ZDBE+ZACB=90°.

.,.在ABFC中,ZBFC=90°.

【例23]如图,已知ACLBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:(1)BC=AD;

(2)OA=OB.

【答案】见解析

【解析】(1)VAC±BC,BD±AD,

ZADB=ZACB=90°,

在RtAABC和RtABAD中,

AB=AB

AC^BD

.*.RtAABC^RtABAD(HL),

.♦.BC=AD,

(2)VRtAABC^RtABAD,

,NCAB=NDBA,

.*.OA=OB.

【例24]如图,AB=AC,AE=AF,AELEC于E,AFLFB于F,求证:Z1=Z2.

【答案】见解析

【解析】VAEXEC,AF±BF,

ZAEC=ZAFB=90°,

在RtAAEC与RtAAFB中,

AC=AB

AE^AF

.'.RtAAEC^RtAAFB(HL),

NEAC=NFAB,

ZEAC-ZBAC=ZFAB-ZBAC,

即N1=N2.

巩固训练:

15.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

【答案】A

【解析】

解:A.两锐角对应相等的两个直角三角形,不能判定全等,故此选项符合题意;

B.斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形,根据HL能判定全等,故此选项不符合

题意;

C.两条直角边对应相等的两个直角三角形,根据SAS能判定全等,故此选项不符合题意;

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等,先根据HL,再用SAS可判定全等,

故此选项不符合题意.

故选:A.

16.如图,AC±AB,ACLCD,要使得△ABC/ZXC/M.若以“HL”为依据,需添加的条件是

【答案】A

【解析】

【详解】解:VACVAB,ACLCD,

,ABAC=ZACD=90°,

:.AABC和AQM是直角三角形,

;AABC和有公共直角边AC,

...以“HL”为依据判断△ABC丝△CD4,需要使3C=ZM,故A正确.

故选:A.

17.如图,在RtZXABC中,ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,尸、Q两点分别在AC和过点A

且垂直于AC的射线△上运动,要使和△。以全等,则AP=.

【答案】6或12

【解析】

解:①当AP=CB时,

ZC=ZQAP=90°,

在RtAABC与RtA2^4中,

jAP=CB

\AB=QP

:.RtAAB8RtZ\%(HL),

AP=BC=6;

②当尸运动到与C点重合时,AP=AC,

在RtAgPA与RtA/lBC中,

[AP=AC

[QP=AB

:.RtA0PA^RtAa4C(HL),

AP=AC=12,

当点P与点C重合时,RtAABC才能和全等,

综上所述,AP=6或12,

故答案为:6或12.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例25]如图,A,B,C三点在同一条直线上,ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,

不能判定△EAB04BCD的是()

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°

C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

【答案】D

【解析】VZA=ZC=90°,AB=CD,

当添加EB=BD时,则可根据“HL”判定△EAB^ABCD;

当添加AE=BC,即AC=AE+CD,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD;

当添加NABE=ND时,止匕时ND+NE=90。,NEBD=90。,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD.

【例26]如图,NABC=NABD,要使△ABC咨4ABD,还需添加一个条件,那么在①AC=AD;

②BC=BD;③NC=ND;④NCAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.

【答案】②③④

【解析】①:AD=AC,ZABC=ZABD,AB=AB,

根据SSA不能推出△ABCgAABD,故错误;

②根据BD=BC,AB=AB,NABC=NABD能推出△ABCgAABD(SAS),故正确;

(3)VZD=ZC,ZABC=ZABD,AB=AB,

根据AAS能推出△ABC也ZkABD,故正确;

@VZDAB=ZCAB,AB=AB,ZABC=ZABD,

根据ASA能推出△ABCABD,故正确.

【例27]如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB〃DE,AC〃DF,下列条件中,能判断

△ABC^ADEF的是()

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

【答案】D

【解析】:AB〃DE,AC〃DF,

.,.ZB=ZDEF,NF=NACB,

A、添力口BE=CE,不能判定△ABC四ZVDEF,故此选项不合题意;

B、添加NA=ND,不能判定△ABC丝ADEF,故此选项不合题意;

C、添力口EC=CF,不能判定△ABC咨ADEF,故此选项不合题意;

D、添力口BE=CF,可利用ASA定理判定△ABCm/VDEF,故此选项符合题意.

【例28]如图所示,已知点D为△ABC的边BC的中点,DELAC,DF±AB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证:ZB=ZC.

【答案】见解析

【解析】,点D是△ABC的边BC的中点,

,BD=CD,

VDE±AC,DF±AB,

.,.ZBFD=ZCED=90°,

在RtABDF和RtACDE中,

[BD=CD

[BF=CE'

.'.RtABDF^RtACDE(HL),

.\ZB=ZC.

【例29】如图,CDLAB于D,BELAC于E,BE与CD相交于点O,BO=CO.

求证:AO平分NBAC.

【答案】见解析

【解析】:CD,AB于D,BELAC于E,

.,.ZODB=ZDEC=90°.

在^DBO和^CEO中

AODB=/DEC=90°

-NDOB=ZEOC,

OB=OC

/.△DBO^ACEO(AAS).

.*.OD=OE.

在RtAAOD和RtAAOE中,

AO=AO

OD=OE

.*.RtAAOD^RtAAOE(HL),

.\ZDAO=ZEAO,

,AO平分NBAC.

巩固训练:

18.如图所示的2x2正方形网

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