苏科版八年级数学上册 第一章 全等三角形（3类压轴题专练）

第一章全等三角形(压轴题专练)

一.倍长中线压轴

1.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流.小

明得到了如下的解决方法：延长到点E,使DE=AD

请根据小明的方法思考：

E

(1)求得AD的取值范围是；

【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列三个问题

(3)如图2,若A,C,。不共线，求证：AP±DP；

(4)如图3,若点C在班上，记锐角NBAC=x,且===则NPDC的度数是

(用含x的代数式表示).

2.如图，在ABC中，AD为3c边上的中线.

A

(1)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD；连接BE.

(2)求证：△ACD丝△£■&).

(3)求证：AB+AC>2AD.

(4)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.

3.(1)方法呈现：如图1,14..ABC中，若AS=10,AC=6,。为BC边的中点，求8C边上

的中线AD的取值范围.

E

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E,使。E=AD,再连接BE,可证△ACD丝△£■%>,从而把ABAC,2AD集中在_ABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线A。的取值范围是_(直接写出范围即可).这种解决

问题的方法我们称为“倍长中线法”.

(2)知识运用：如图2,在二ABC中，。为8C的中点，AB=2,AC=6,且线段AD的长度为

整数.求AD的长度.

A

二、全等性质与判定的综合证明

4.如图，ABC中，ZS4c=90。，AB^AC.8M是AC边的中线，垂足为点E交

3c于点D且AH平分/BAC交2M于N.交BC于H.连接DM.则下列结论：

①ZAMB=NCMD；②HN=HD；③BN=AD；@ZBNH=ZMDC-错误的有()个.

A.0B.1C.3D.4

5.(1)已知等腰..ABE和△AOC,/BAE=/D4C=10()o,4B=AE,AO=AC,连接3D、CE,若直线

BD、CE交于点。，贝ljN3OC=；

(2)如图所示，^BAE=ADAC=90°,AB=AE,AD=AC,连接2C和DE,过点A作AF1DE交BC

于点G,垂足为E若AG=ll,GP=10,求一MC的面积.

6.如图，在ABC与AAEF中，AB=AE,BC=EF,ZABC^ZAEF,Zfi4B=40°,AB交界于

点D,连接£B.下列结论：①44C=4O。；②AF=AC；③/厮8=40。；(4)Z£BC=110°,其中正

确的是（）

B.②③④C.①②③D.①②③④

7.如图，已知AB=AC,AF=AE,NEAF=NBAC点C,D,E,尸在同一条直线上，下列结

A.AFB^AECB.BF=CE

C.ZBFC=ZEAFD.AB=BC

8.如图，旗交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,NE=NF=90°,ZB=ZC,AE=AF,给

出下列结论：①N1=N2;②BE=CF；③=ACN-ABM；@CD=DN.其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

三、动点全等三角形问题

9.现有一块如图所示的绿草地，经测量，NB=NC,AB=10m,BC=8m,CD=12m,点E是

AB边的中点，小狗汪汪从点3出发沿8C以2m/s的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发

沿CD向点。跑.要使与全等，则妞妞的运动速度为（）

D

A

EkyQ

BPC

A.2m/sB.|-ni/sC.2m/s或D.无法确定

10.如图，已知ABC中，AC=CB=20cm,ZA=/RAB=16cm,点。为AC的中点.

(1)如果点尸在线段A3上以6cm/s的速度由A点向3点运动，同时，点。在线段上由点3

向C点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后，乙APD与-8QP是否全等？说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间/为何值时，AAPD与一BQP全等?求

出此时点Q的运动速度

(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时

针沿一ABC三边运动，请直接写出：

①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？

②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？

11.如图，在ABC中，BC=5,AD是BC边上的高，3E是AC边上的高，AD,仍相交于点。,

BD=：CD,^AE=BE.

(菁用图I)(条用图2)

(1)线段8的长度等于.

(2)求证：AAOE^ABCE.

(3)动点P从点。出发，沿线段0A以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点。从点8出

发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，尸、。两点同时出发，当点尸到达A点时，P、

。两点同时停止运动.设点尸的运动时间为，秒，点P是直线AC上的一点且CF=3O.是否存

在f值，使以点2、。、尸为顶点的三角形与以点尸、C、。为顶点的三角形全等？若存在，

请求出符合条件的f值；若不存在，请说明理由.

12.如图，ASC中，ZACB=90。，AC=6,BC=8.点p从A点出发沿AfCf5路径向终点

运动，终点为3点；点。从3点出发沿3-CfA路径向终点运动，终点为A点.点P和Q

分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某

时刻，分别过P和。作尸于E、作Q产，/于R当点P运动秒时，以尸、E、C为

顶点的三角形和以Q、RC为顶点的三角形全等.

第一章全等三角形（压轴题专练）

答案全解全析

一.倍长中线压轴

1.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，ABC中，AB=8,AC=6,求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流.小

明得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使。E=AD

请根据小明的方法思考：

E

（1）求得AD的取值范围是;

【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题

（3）如图2,若A,C,。不共线，求证：APYDP-,

（4）如图3,若点C在fiE上，记锐角4AC=x,且钻=4。=。£>=D氏则4DC的度数是

（用含x的代数式表示）.

【答案】（1）1<AD<7；（2）见解析；（3）见解析；（4）45°

【解析】（1）AD为BC边上的中线，

BD=CD9

在AADC和4EDB中

BD=CD

<ZADC=ZEDB

AD=ED

ADC^EDB(SAS),

,\BE=AC=6,

AB=8,

/.8-6<AE<8+6,

即2cAE<14,

DE=AD,

AD=-AE,

2

.*.1<AD<7,

故答案为：\<AD<1

(2)如下图，DP交45延长线于点F

:.AF//DE(同旁内角互补，两直线平行),

Z.PFB=NPDE,ZPBF=APED,

P为BE的中点

:.BP=PE,

BPF^,EPD(AAS),

:.BF=DE=DC,PD=PF,

又'AB=AC,

:.AB+BF=AC+DC,即AF=AD,

在-APR和△APD中

PF=PD

AP=AP

AF=AD

APF^APD(SSS),

.-.ZPAF=ZPAD(全等三角形的对应角相等)，即AP平分ZBAC

(3)延长至点/，4更得PF=PD,连接BF、AF.AD

由(1)同理易知.DPEq.FBP(SAS),

：.BF=DE=CD9ZE=ZFBP9

1BAC+/CD石=180。，且/胡C+/C4P+/ADC+/CD石+々=360。，

ZC4D+ZC+ZAZ)C=180°,

:.ZABF=ZACD,AB=AC,

:,.ABF^ACD(SAS),

:.AF=AD9

.APF^APD(SSS),

/.ZAPD=ZAPF=180。+2=90。，

:.AP±DP

(4)过点。作QW，5c交AP于点M,由(3)可得ZAPD=90。，ZBAC=x,ZSAC+ZCDE=180°,

AB=AC=CD=DE,

心CE=9。。-==9。。-二十

.•.NACB和/DC石互余，ZACD=ZMCP=ZAPD=90°,

x

ZACM=ZDCP=-,ZCAM=ZCDP

2

:.AACM^DCP(ASA),

:.MC=PC,

:.ZBPA=45°,

x

又ZACB=90°——,

2

Y

ZPDC=ZPAC=ZACB-ZAPB=45°一一,

2

故答案为：45°-1

2.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线.

(1)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD；连接8E.

(2)求证：△ACD四△EBD.

(3)求证：AB+AO2AD.

(4)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.

【答案】6.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)1<AD<4

【解析】(1)解：如图所示，

E

(2)证明:如图,

A

E

;AD为5C边上的中线，

BD=CD,

在△BDE和一CZM中，

BD=CD

<N1=N2,

ED=AD

；.BOE与CZM(SAS).

(3)证明：如图，

,/ABDE/ACDA,

：.BE=AC,

"：DE=AD,

AE^2AD,

在,.ABE中，AB+BE>AE,

：.AB+AC>2AD.

(4)在..ABE中，

AB-BE<AE<AB+BE,

由⑶得AE=2AD,BE=AC,

VAC=3,AB=5,

/.5-3<AE<5+3,

/.2<2AD<8,

.\1<AD<4.

3.(1)方法呈现：如图1,在ABC中，若AB=10,AC=6,。为BC边的中点，求BC边上

的中线AD的取值范围.

A

E

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E,使。E=AD,再连接8E,可证△ACD丝△£»£),从而把A8,AC,2AD集中在_钻石

中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_(直接写出范围即可).这种解决

问题的方法我们称为“倍长中线法”.

(2)知识运用：如图2,在一MC中，。为BC的中点，AB=2,AC=6,且线段AD的长度为

整数.求AD的长度.

【答案】(1)2<AD<8；(2)AD=3

【解析】解：(1)由题意，AD=DE,BD=CD,AADC=ZEDB,

：.AACDQAEBD,

：.BE=AC=6,

：.AB-AC<2AD=AE<AB+AC,

即：4<2AD<16,

/.2<AD<8.

故答案为：2<AD<8.

(2)如图，延长AD至点E,使DE=4),连接CE.

因为。为2C的中点,

所以30=0

在,ECD和中，

DE=AD

<NEDC=NADB,

CD=BD

所以,.EC»乌钻。(SAS),

所以£C=钻=2.

因为AC-EC<AE<AC+EC,且AC=6,AE=2AD,

所以6-2<2AD<6+2,

所以2<AD<4.

因为线段AD的长度为整数，

所以A£>=3.

二、全等性质与判定的综合证明

4.如图，ABC中，ZR4c=90。，AB=AC、8M是AC边的中线，^AD±BM；垂足为点后交

BC于点D且平分/BAC交2M于N.交BC于H.连接DM.则下列结论：

①ZAMB=NCMD；②HN=HD；③BN=AD；®ABNH=ZMDC■错误的有()个.

【答案】A

【解析】如图，过点。作KCLC4交AD的延长线于K,首先根据等腰直角三角形的性质证明

BHN会AHD,得至"HN=HD,BN=AD,NBNH=ZADH=/CDK,可判断②③正确，然后利

用同角的余角相等得到445河=/。国，进而证明一田，得至UZAMB=NK,

AM=CK=CM,然后证明CDM会CDK,得至U/CDK=NCDM,NK=NCMD,等量代换可得

ZAMB=ZCMD,ZBNH=ZMDC,可判断①④正确.

如图，过点C作KCJLC4交AD的延长线于K.

K

AB=AC,ABAC=90°,AH平分ZBAC,

AH±BC9BH=CH9

:.AH=BH=CH,

ADLBM,

ZBHN=ZAEN=ZAHD=90°,

/BNH=ZANE,

:"HBN=/DAH,

/.BHN"AHD(ASA),

:.HN=DH,BN=AD,ZBNH=ZADH=ZCDK,故②③正确，

ZBAM=ZACK=90°9

:.ZBAE+ZCAK=90°,

:.ZJ3AE+ZABM=90°,

:.ZABM=ZCAK

AB=AC,

:.^ABM^CAK(ASA),

.\ZAMB=ZK9AM=CK=CM,

ZDCM=ZDCK=45°,CD=CD,

CDM.CDK(SAS),

.\ZCDK=ZCDM,/K=/CMD,

:.ZAMB=ZCMD9ZBNH=ZMDC,故①④正确.

故选：A.

5.(1)已知等腰母和△AOC/BAE=/D4C=10()o,AB=AE,AO=AC,连接式)、CE,若直线

BD、CE交于点0,贝UN区oc=_；

(2)如图所示，ZBAE=ZDAC=90°,AB=AE,AD=AC,连接5c和过点A作AF1DE交5c

于点G,垂足为R若AG=ll,Gb=10,求ABC的面积.

A

【答案】(1)80。或100。.(2)231

【解析】解：如图：=ADAC=100°,AB=AE,AD=AC9

：.ZBAD=ZEAC,

：.BAD^EAC,

：.ZDBA=/CEA,

Z1=Z2,

・•・ZBOC=ZBAE=100°；

如图：/BAE=ZDAC=100°,AB=AE,AD=AC,

：.ZBAD=ZEAC,

：.ABAD^AEAC,

：.ZDBA=ZCEA,

ZAEO+ZCE4=180°,

ZAEO^ZABD=1SQ°

：.ZBOC+Z£L4E=180°,

/.ZBOC=8Q°；

故答案为：80。或100。.

(2)作于CN工AF于N,

丁AFLDE,

：.ZBMA=ZAFE=9Q09

ZBAE=90°,AB=AE,

：.ZBAM+ZFAE=90°,ZE+ZFAE=90°

：.ZBAF=ZE,

：..BAM^AEF,

：.BM=AF,

AG=11,GF=1O,

：.BM=AF=219

1231

S=-AGBM=——，

,AAB8GC22

同理，ACN&DAF,

：.CN=AF,

AG=11,GF=1O,

：.CN=AF=21,

SACC=-AGCN=-9

、ACG22

SAoRCr=SAftr+SACrCr7=231•.

6.如图，在ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,ZABC^ZAEF,ZEAB^AO',AB交EF于

点。，连接下列结论：①”4C=4O。；②AF=AC；③NEFB=40°；(4)ZEBC=110°,其中正

确的是()

B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【解析】解：在U1BC和△曲中,

AB=AE

</ABC=/AEF,

BC=EF

:NABC^VAEF(SAS),

/.AF=AC9ZEAF=ZBAC9ZAFE=/C,故②正确，

:.ZBAE=ZFAC=40°,故①正确，

ZAFB=NC+NFAC=ZAFE+NEFB,

:.ZEFB=ZFAC=40°,故③正确，

若N£BC=110。，则ZABC=40°=ZEAB,

:.ZEAB=ZABC9

：.AE//BC,显然与题目条件不符故④错误，

故选：C.

7.如图，已知AB=AC,AF=AE,/EAF=NBAC,点、C,D,E,尸在同一条直线上，下列结

论不一定成立的是()

A.AFB^AECB.BF=CE

C.ZBFC=ZEAFD.AB=BC

【答案】D

【解析】解：・・・/E4F=/&!C,

：・NBAF=/CAE,

•?AF=AE,AB=AC,

：.VFAB^VEACCSAS^,

BF=CE9

：.ZABF^ZACE,

VZBDF^ZADC,

:■ZBFC=ZDAC,

VZDAC^ZEAF,

AZBFC=ZEAF,

无法判断四=笈,故D错误，

故选：D.

8.如图，四交AC于交FC于。，AB交FC于N,ZE=ZF=90°,ZB=NC,AE=AF,给

出下列结论：①Nl=/2;②BE=CF；③3ACNMABM；④CD=DN.其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】解：VZE=ZF=90°,NB=NC,AE=AF,

：.VABE^VACF,

：.BE=CF-ZBAE=ZCAF,故②符合题意；

ZBAE-NBAC=NCAF—NBAC,

：.Z1=Z2；故①符合题意；

•/VABE^VACF

：.ZB=AC,AB=AC,

XVZBAC=ZCAB

ACN-ABM,故③符合题意；

：.AM=AN,

：.MC=BN,

'：ZB=ZC,NMDC=ZBDN,

：.MDC吟NDB,

：.CD=DB,

.♦.CZ）=DV不能证明成立，故④不符合题意.

故选：B.

三、动点全等三角形问题

9.现有一块如图所示的绿草地，经测量，NB=NC,AB=10m,BC=8m,CD=12m,点E是

AB边的中点，小狗汪汪从点3出发沿8c以2m/s的速度向点。跑，同时小狗妞妞从点。出发

沿c。向点。跑.要使ABEP与一CP。全等，则妞妞的运动速度为()

D

A.2m/sB.|-m/sC.2m/s或:m/sD.无法确定

【答案】C

【解析】解：•••点E是AB边的中点，

/.BE=-AB=5m,

2

设它们运动时间为抬，妞妞的运动速度为vm/s,则成=2/，PC=8—2t,CQ=vt,

当VBEP/VCPQ时，BE=CP=5,BP=CQ,

/.2t=vt9

解得：v=2；

当VBEPgVCQP时，BE=CQ=5,BP=CP,

.?=5

9[2t=S-2t'

7=2

解得：,5;

I2

综上分析可知，妞妞的运动速度为2m/s或gm/s.

故选：C.

10.如图，已知ABC中，AC=CB=20cm,ZA=NB,AB=16cm,点。为AC的中点.

(1)如果点尸在线段48上以6cm/s的速度由A点向3点运动，同时，点Q在线段3c上由点3

向c点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1S后，与那QP是否全等？说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，AAPD与一BQP全等?求

出此时点Q的运动速度

（2）若点。以②中的运动速度从点3出发，点尸以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时

针沿ABC三边运动,请直接写出：

①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？

②点P与点。第2023次相遇在哪条边上？

【答案】（1）①全等，见解析；②7.5厘米/秒

⑵①三秒；②点P与点。第2023次在AC边上相遇

【解析】（1）①全等，

因为f=l（秒），

所以=6（厘米），

AC=20（厘米），。为AC中点，

.-.AD=10（厘米），

PB=AB-AP=16-6=W（厘米），

:.PB=AD,

ZA=NB,

在△APD与3。尸中，

AP=BQ

<NA=NB,

AD=BP

APD^BQP（SAS）；

②因为,

所以APwBQ,

因为ZA=NB,

要使与全等，只能心=取=8,

即APD^BPQ,

故8Q=A£）=10,

所以点尸、。的运动时间：y"=）=9（秒），

663

此时%=华=7.5(厘米/秒)；

(2)①因为%〉/，只能是点。追上点尸，即点。比点P多走AC+BC的路程，

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得£X=6X+2?20,

解得x=*(秒)，

QA

此时尸运动了不？6160(厘米)，

又因为AABC的周长为56厘米，160=56x2+48,

所以点尸、。在AC边上相遇，即经过了5秒，点尸与点。第一次在AC边上相遇;

②设第一次相遇经过。秒之后，第2023次相遇，

6a+2022(20+20+16)=。a,

解得：a=75488(s),

2

6/+?=75514—(s)9

215

SQ=75514-x—=566360(cm),

20<32<40,

二。点在AC边上.

11.如图，在ASC中，BC=5,AD是8C边上的高，BE是AC边上的高，AD.仍相交于点0,

2

BD=-CD,且AE=BE.

(缶用图I)(答用图2)

(1)线段。的长度等于__________..

(2)求证：LAOEdBCE.

⑶动点尸从点。出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出

发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，尸、。两点同时出发，当点P到达A点时，P、

。两点同时停止运动.设点尸的运动时间为，秒，点F是直线AC上的一点且C~=B。.是否存

在，值，使以点3、。、尸为顶点的三角形与以点尸、C、。为顶点的三角形全等？若存在,

请求出符合条件的，值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴3

(2)见解析

(3)f=g或r=l时，使以点8、。、P为顶点的三角形与以点尸、C、。为顶点的三角形全等

【解析】(1)解：BC=59BD=-CD,

2

:.BD+CD=BC=5,§.\]-CD+CD=5,

CD=3,

故答案为：3；

(2)证明：AD是5C边上的高，HE是AC边上的高，

/.ZBEC=ZAEO=ZODB=90°,

NOAE+ZAOE=90。,ZOBD+ZBOD=9Q0,ZBOD=ZAOE,

.\ZCBE=ZOAE,

在A4OE和达CE中，

ZCBE=ZOAE

<AE=BE,

/BEC=/AEO

:.AOE^BCE(ASA)；

(3)解:存在，

如图2,当OP=CQ时，

AO是边上的高，旗是AC边上的高,

,\ZBEC=ZODB=90°

.ZEOD+ZODC+ZOEC-^-ZECD=360°,

NDOE+ZDCE=180°,

ZZ)CE+ZeCF=180o,

/.ZQCF=ZDOE,

/DOE=/BOP,

:.ZBOP=ZQCF,

在△BQP和一/CQ中，

BO=FC

<ZBOP=ZFCQ9

OP=CQ

50%一厂CQ(SAS),

CQ=5—4，，OP=t,

5—4%=t,

.