数列分奇偶、公共项、重新排序、插入项等十一大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题27数列分奇偶、公共项、重新排序、插入项等十一大题

型汇总

题型1数列分奇偶之隔项型........................................................1

题型2数列分奇偶之cm+an+1=/(几)型..........................................2

题型3数列分奇偶之cman+1=/(几)型..............................................4

题型4数列分奇偶之含有(-1)n...........................................................................................................5

题型5数列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n—1｝型.........................................6

题型6数列分奇偶之分段数列型...................................................6

题型7数列公共项问题............................................................8

题型8重新排序问题.............................................................10

题型9插入项问题...............................................................13

题型10与概率统计结合的数列问题...............................................16

题型11新定义数列..............................................................21

题型1数列分奇偶之隔项型

【例题1】(2023•湖南・铅山县第一中学校联考三模)在数列伊口｝中，a】=18,a2=24,

(1)求｛aj的通项公式；

(2)记数列｛aj的前11项和为S”,求S”的最大值.

【变式1-1】1.(2023•天津・统考一模)已知数列｛aj中,a】=1,a?=2,an+2-an=4(neN*),

数列｛aj的前11项和为Sn.

⑴求数列凤｝的通项公式:

1

(2)若\=中T,求数列｛bj的前n项和T”；

bn+3v-nnn+4

(3)在(2)的条件下，设％=西七，求证：6—尹＜2『］仄＜8—尹.

【变式1-1】2.(2023・四川南充・四川省南充高级中学校考模拟预测)已知数列｛a。｝满足:

aaa311aa91311

i=ln+2-n^-n+6-n^-,则22023=()

g20233320233

A.—5—+2B.—^—+2

3202332023

C___D___

j8,2

【变式1-1】3.(2020・全国•高三校联考阶段练习)已知数歹I｛」七｝中，al=1(a2n=a2n-l

nnrn

+(-l)(neyV*),a2n=a2n_2+2-+(-l)(n>2,且MN*),则｛斯｝的前20项的和

为

【变式1-1】4.(2023秋・湖南•高三校联考阶段练习)已知数列｛而满足%=2皿=1，斯+2

=(1+sir)2詈)+2cos2^nGN*.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足金=念，求证:Ci+C2+…+%V3.

【变式1-115.(2021秋•浙江杭州•高三学军中学校考期中)已知数列5｝的各项均为正数,

前n项和为Sn,ai=2„a2=4,若对任意的正整数n,有4+2=｛款々记箕怂工

⑴求｛斯｝的通项公式;

⑵设数列也｝满足好==,求证：b1+b2+-bn<l.

【变式1-1】6.(2022秋・江苏盐城•高三统考阶段练习)已知数列满足臼=。2=|,

an+2=即+2X3noeN*),且勾=即+a„+i(neN*).则数列｛%｝的通项公式

为—.若“品=泰篝56%*),则数列｛%｝的前几项和为.

题型2数列分奇偶之时+an+1=f(n)型

【例题2】(2023春・山东淄博•高三沂源县第一中学校考期中)已知数列｛a。｝的前n项和为

Sn,且a1=4%+an+1=4n+2(neN*),则使得S”<2023成立的n的最大值为()

A.32B.33C.44D.45

【变式2-1]1.(2023春•辽宁鞍山•高三鞍山一中校考期中)已知数列｛a&neN*)的前n

项和为Sn，若Sn+i+Sn=3n2+6n+3,a1=2.

（1）记\=211+211+1判断｛以｝是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.

（2）记％=（一1）3、晶+1，｛CJ的前n项和为T”,求T-

【变式2-1]2.（2023・全国•高三专题练习）已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足a1=0,

a3-aa

2=n+l,n=区_1+2）（a-2+2）

⑴求a3；

出证明211=211_2+2产=3,4,5,...；

（3）求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn.

a=

【变式2-1】3.（2022•全国•高三专题练习）已知在数列｛斯｝中，i3,Gtn+i+an=3-

2nT,nEN*.

⑴求数列5｝的前几项和Sn；

（2）若l<r<s且r,SEN*,是否存在直线使得当由,ar,成等差数列时，点列（2「,

2S）在1上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由.

【变式2-1】4.（2023•全国•高三专题练习）已知片是数列｛布的前n项和，臼=1,.

①VneN*,an+an+1=4n;②数列为等差数列，且｛。｝的前3项和为6.从以上两个条件

中任选一个补充在横线处，并求解：

⑴求斯；

（2）设bn=米弗，求数列｛与｝的前几项和

【变式2-1】5.（2023秋・广东珠海•高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列｛an｝满足

=1,。九+册+1=a,2Tl（?16N*）（，是常数）•

⑴若2=0,证明｛册｝是等比数列；

（2）若壮0,且5｝是等比数列，求屈勺值以及数列｛（-blog2a的前疝页和

【变式2-1】6.(2023秋・广东广州•高三广州市第一中学校考阶段练习)在数列｛an｝中，已

=n

知斯+1+nn3,2,cii=1.

⑴求证：5—24是等比数歹」.

(2)求数列｛an｝的前n项和%.

题型3数列分奇偶之aa=/O)型

nn+1

【例题3】(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,%=2,"0,

®n®n+l-4Sn-

⑴求面

(2)设勾=(-1)"-(3"-1),数列也｝的前n项和为〃，若VkeN*,都有&J<A<T2k成

立，求实数加勺范围.

【变式3-1]1.(2022秋・湖南衡阳•高三衡阳市一中校考阶段练习)已知数列｛即｝满足即斯+1

=2n—1,且a】=1.

⑴求数列｛an｝的通项公式;

(2)设%=,Sn=〉bt，求证：1WSa<6.

a2n乙女=i

【变式3-1]2.(2023秋・山东德州•高三德州市第一中学校考阶段练习)数列｛即｝满足即斯+1

=16n,%=2(neN*).

⑴求｛an｝的通项公式;

(2)设勾=｛勾寸跳数，求数列｛g｝的前2n项和S2小

【变式3-1】3.(2023秋・江苏•高三校联考阶段练习)记又是数列｛an｝的前几项和，已知

=l,anw0,且。九%+1=4szi+1,几eN*.

⑴记勾=a2n,求数列也｝的通项公式；

(2)求2S0.

n

题型4数列分奇偶之含有(-1)

【例题4】(2023•江西鹰潭二模)已知等差数列凤｝满足：a1=1,a3=5,数列0｝的前n

项和Sn满足Sn=2bn-\nGN*),则数列｛(—1)%/。｝的前n项和Tn=.

【变式4-1]1.(2023春・浙江杭州•高三杭州市长河高级中学校考期中)已知数列｛aQ的前

n+1

n项和S”=(-l)■白若存在正整数n,使得(p_an)(p_anl)<。成立，则实数p的

取值范围是.

【变式4-1]2.(2023春・河南南阳•高三校联考期中)在数列网,｝中，a1=3,an+1=4a“-

6

(1)求｛aj的通项公式.

(2)设\=4n+(—l)ntan，若｛以｝是递增数列，求t的取值范围.

【变式4-1]3.(2023春・山东日照・高三统考期中)在数列｛a“｝中，a】=o,a0=2al+

2n+2(neN*,n>2).

⑴求数列｛aQ的通项公式;

(2)已知数列｛bj的前n项和为S”，且数列｛bj满足\=an+2,若不等式(—l)n入<Sn+2^2

对一切neN*恒成立，求人的取值范围.

1

【变式4-1】4.(2023•湖南永州•统考三模)记正项数列｛aj的前11项积为T”，且王=1—

4

T

⑴证明：数列｛1；｝是等差数列；

8n+6

(2)记bn=(-l)n-求数歹11｛以｝的前2n项和S2n.

【变式4-1]5.(2023春•浙江杭州•高三杭州四中校考期中)数列凤｝满足a】=1,a2=2,

an+2=[l+^#]an+[l-^#](neN>

(1)求23、a4,并求数列｛a。｝的通项公式；

(2)求数歹Kaj的前2023项的和S2023；

⑶设\=＜，Tn=b1+b2+-+bn,证明：当n?6时，仁_2|＜五.

题型5数列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n-1｝型

【例题5】(2023•河南•校联考模拟预测)已知函数丛｝满足a1=1,a2k=a2k_1+l,

a=a—;

2k+l^2k—N,贝晅2023=()

A2】。12B21012_lc.22022D_2^22_i

【变式5-1]1.(2023秋•河北邯郸•高二统考期末)在数列隹m中，a3=64,且=

24n+2

⑴证明：｛a2"，但2»1｝都是等比数列；

(2)求国工的通项公式；

(3)若bn=%ty,求数列｛bj的前n项和Sn，并比较左与高的大小；

【变式5-112.(2022•全国•模拟预测)已知数列代"满足a1=3,且a.L

(2a/n是偶数

Ln是奇数.

⑴设bn=a2n+a2n」，证明：｛二—3｝是等比数列；

⑵设数列&｝的前n项和为Sn，求使得不等式Sn＞2022成立的n的最小值.

【变式5-1】3.(2023•云南・校联考模拟预测)已知等差数列｛即｝的公差不为零，其前出页

和为sn,且是ai和的等比中项，目a2n=2aH+l(neN*).

⑴求数列5｝的通项公式;

n+1

(2)若数列｛"J满足由比+a2b2+…+anbn=(2n-3)-2+6,求和:Tn=axbn+a2bAi

+…+0n_i%2+a"i.

题型6数列分奇偶之分段数列型

【例题6】（2023•浙江宁波•统考二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上

1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环

圈”1-4T2-1".这就是数学史上著名的“冰雹猜想"（又称"角谷猜想”等）.如取正整

数m=6,根据上述运算法则得出6—3-10-5-16-8-4-27,共需经过8个步骤变

成1（简称为8步"雹程）猜想的递推关系如下：已知数列国口满足a1=m（m为正整

（等，当an为偶数，。

a

数），n+i=3*1I/大物若26=2,则m所有可能取值的集合为.

【变式6-1]1.（天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考（二）数学试题）

已知数列｛a。｝满足：2an+]=a。+an+2（VneN*）,正项数列｛b"满足：b]]=bn-bn+2

（Vn£N*）,且2@]=b]=2,—b2,=4b3.

⑴求｛aj｛、｝的通项公式；

f%为奇数『211+1

（2）已知（3a「2）B「2n求：>Ck；

M+i）（bQi），n为偶数4=]

_11115

（3）求证:及+耳+.+…

【变式6-1】2.（山东省济宁市2023届高三二模拟数学试题）已知数列侵工的前11项和为

S，aa2an2nN

nn-1+n+l=n（>^G*）,且a1=10=15.

⑴求数列凡｝的通项公式;

ron为奇

（2）若二=已二n为偶数，求数列｛*的前2n项和T2n•

【变式6-1】3.（天津市部分区2023届高三二模数学试题）已知｛a"为等差数列，数列｛、｝

满足1\+1=2bn（neN*）,且aj+耳=4,b2=4,a3=5.

⑴求G｝和｛'｝的通项公式；

（a411为奇数、

（2）若％=为偶数，求数列｛J｝的前2n项和；

n

ini17

⑶设｛a｝的前11项和为Sn，证明：）—=<24（neN*）.

DfJ'i

【变式6-1]4.（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）已知数列｛a"

（3a+3,n为奇数，

满足''%+1=匕+2,11为偶数

⑴证明：数列付2n一1｝为等差数列；

（2）若将数列｛a。｝中满足％=%的项aji/）称为数列代工中的相同项，将数列｛aj的前

40项中所有的相同项都剔除，求数列｛aj的前40项中余下项的和.

【变式6-1】5.（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）已知数列国工满足，an+1=

（a+2,n=2k—Lk^N*

&1=2,

（3a—2,n=2k,keN*'令、=a21r

n

（1）写出b「b2,并求出数列｛b"的通项公式；

（2）记j=log3bn,求｛%｝的前10项和.

【变式6-1】6.（2023•山东荷泽•统考二模）已知各项为正数的等比数列隹工满足an•a3】

=16。eN*.

⑴求数列&｝的通项公式；

,fa“，n为奇数

（2）设耳=1，为偶数，求数列｛加的前2n项和S2n.

题型7数列公共项问题

【方;去总结】数列中的公共项问题是对两个数列合成一个新数列进行研究,而数列中的奇、

偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行研究，都是要充分利用新数列的特征(等差、等

比或其他特征)求解原数列问题

【例题7】(2023春•河北石家庄•高三石家庄市第十五中学校考阶段练习)数列｛an｝，｛bn｝的

通项公式分别为an=3n-1和，=4n_3(n£N*)；设这两个数列的公共项构成集合A,

则集合An｛n[n<2023,neN*｝中元素的个数为()

A.167B.168C.169D.170

【变式7-1】1.(2021春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)已知等差数列画"的

前n项和为Sn，且$4=S5=-20

(1)求数列付工的通项公式；

(2)已知数列｛、｝是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列外｝与｛、｝的公共项为

am,记m由小到大构成数列｛5｝,求｛5｝的前n项和丁门

4

【变式7-112.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列付上中，a产1且a「a2,a7-

成等比数列、数列四｝的前n项和为Sn，满足3b「2Sn=l.

(1)求数列/工，｛bj的通项公式;

(2)将数列&｝,｛、｝的公共项a/a/，…，a5按原来的顺序组成新的数列，试求数列｛币｝

的通项公式，并求该数列的前n项和T。.

【变式7-1】3.(2023•全国•高三专题练习)记Sn为公比不为1的等比数列5｝的前n项和,

a5-a4=-8a2+8ai-S6=21-

(1)求｛a"的通项公式;

11

(2)设二=log2a^,若由国工与｛4｝的公共项从小到大组成数列｛5｝,求数列｛5｝的前项和

Tn-

【变式7-1】4.（2022秋・安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数

列依｝的前11项和为Sn，且S5=2a4+1165=a1+a?+3.

⑴求数列｛a。｝的通项公式；

⑵若数列｛>｝由｛Sn｝与&｝的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列｛、｝落在区间

（0,2022）内的项的个数.

【变式7-1】5.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛a0的前11项的和为Sn且满足Sn=2

n

an-2,数列｛b"是两个等差数列1，4,7，10，--与4,9,14,19,...的公共项组成的新数列.求

出数列｛aj,｛4｝的通项公式；

11

【变式7-1】6.（2022•全国•高三专题练习）已知Sn为数列依｝的前项和,fian>0,

an+2an=4Sn+3-bn=a2n-l-Cn=

⑴求&｝的通项公式;

（2）将数列｛b"与｛5｝的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列｛dn｝,求国工的前10项的

和.

【变式7-1】7.（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S4=

S5=-20.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）已知数列｛bn｝是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列｛an｝与｛bn｝的公共项为am,

记m由小到大构成数列｛cn｝,求｛cn｝的前n项和Tn.

【变式7-1】8.（2022•全国•高三专题练习）已知数列是公比为4的等比数列，且满足

11

a2,a4,a7成等比数列，为数列｛、｝的前项和，且二是1和的等差中项，若数列｛%｝

是由数列4｝中的项依次剔除与｛、｝的公共项剩下的部分组成，求数列｛5｝的前100项和.

题型8重新排序问题

【例题8】(2023・湖南・铅山县第一中学校联考二模)设正项数列｛%｝的前11项和为Sn，且4s「

=a2+2a—8.

nn

⑴求数列&｝的通项公式；

(2)能否从｛a"中选出以a1为首项，以原次序组成的等比数列ak/a/，…，ak;…，(&=1).若

能，请找出使得公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式，并求出数列｛kj的前11项和丁丁

若不能，请说明理由.

11

【变式8-1】1.(2023•江西高三校联考期中)设正项数列&｝的前项和为Sn，且4sli=a；+2

8

an-,从国工中选出以a1为首项，以原次序组成等比数列a/,，…，a^,

(勺=1).记｛a、｝是其中公比最小的原次序组成等比数列，贝以m=()

mm

A.2m_2B.2m+2C_2_lD,2+l

【变式8-1】2.(2022春•广东韶关•高三乐昌一中校考阶段练习)已知a1,a2，…，a是

由n(nwN*)个整数1,2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列｛b｝满足b=n+1-a

(k=1,2,n).

⑴当n=3时，写出数列同和｛b｝,使得a2=3b2;

(2)证明：当n为正偶数时,不存在满足a=b(k=1,2，…，n)的数列｛a｝;

(3)若c1,c2，…，c是1,2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c(k=1,

2,n),并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc.

(参考:12+22+...+n2=^n(n+1)(2n+1))

【变式8-1】3.(2019春•浙江•高三校联考阶段练习)已知数列国｝满足：an+1-an=

i*i

ne

(n+l)(n+2)，N*g.ai=-7.

(I)求数列代工的通项公式a1

5n-l

(n)设bn=(t—丁)3--(t为正整数)，是否存在正整数k,使bk，bk+1,bk+2按某种

11nKK十±K十/

次序排列后成等比数列，若存在k,t的值；若不存在，说明理由.

n

【变式8-1】4.(2021・上海黄浦•统考一模)已知a2,是由n(eN*)个整数

1,2,11按任意次序排列而成的数列，数列缶/满足bk=n+l—(k=l,2,…,巧，

C「C2,…，％是1,2,…，11按从大到小的顺序排列而成的数列，记S「Ci+2c2+…+

(1)证明：当11为正偶数时，不存在满足ak=bk往=12…,0的数列匕).

(2)写出Ck(k=L2/一，n),并用含n的式子表示s

(3)利用(1—bp2+(2—b2)2+…+(n—,)220,证明：4+2b2+.“+nbnW6n(

-1

n+l)(2n+D及a]+2a2+-“+nan2Sn.(参考：I2+22+-+n2=sn(n+l)(2n

+D.)

n

【变式8-1】5.(2021•全国•高三专题练习)已知a2,是由n(eN*)个整数

1,2,…，n按任意次序排列而成的数列，数列]｛bj满足bk=n+l—(k=l,2,「n)

(1)当n=3时，写出数列和使得a2=3b2.

(2)证明：当11为正偶数时，不存在满足ak=bk往=12…,0的数列匕).

(3)若c「C2,…，％是1,2,…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出©卜(k=1,2,

11n

…，为，并用含的式子表示C]+2C2+…+cn.

222nn

(参考：1+2+-+n=6(+D(2n+1).)

【变式8-1】6.(2020•全国•高三专题练习)数列a｝的前11项和为Sn且满足a1=1,2an+i

=2an+P(P为常数，n=1,2,3,...).

(1)求Sn；

(2)若数列｛a3是等比数列，求实数P的值；

(3)是否存在实数P,使得数列｛1｝满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成

一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由.

4

【变式8-1】7.（2023•江西•高三统考期中）设正项数列&｝的前n项和为fiSn=

+2a「8.

（1）求数列华工的通项公式；

（2）能否从国工中选出以a1为首项，以原次序组成等比数列2勺底2,…，ak;…，（勺=1）.若能，

请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由.

【变式8-1】8.（2023・全国•高三专题练习）若数列GJ中存在三项，按一定次序排列构成

等比数列，则称1/为"等比源数列

（1）已知数列｛a/为4,3,1,2,数列｛bj为1,2,6,24,分别判断匕/，缶/是否为

"等比源数列"，并说明理由；

（2）已知数列｛c/的通项公式为J=211」+1,判断缶/是否为"等比源数列”，并说明理由；

Zn

⑶已知数列｛dj为单调递增的等差数列，且力力0,dnG（GN*）,求证：｛dj为"等比

源数列”.

题型9插入项问题

【例题9】（2023•全国•学军中学校联考二模）设数列&｝满足an+i=3a「2a」（n22）

㈤]=162=2.

⑴求数列画口｝的通项公式;

（2）在数列伊"的任意ak与ak+i项之间渚B插入k（keN*）个相同的数（—1出,组成数列｛\｝,

记数列｛加的前11项的和为T。,求T27的值.

【变式9-1]1.（天津市和平区2023届高三三模数学试题）已知等比数列代工的前11项和

为Sn'an+i=Sn+2（neN*）.

⑴求数列&｝的通项公式;

(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和

为Tn，若不等式(—1尸入<2—名对一切nGN*恒成立，求实数人的取值范围；

nn

1bfb?'bn-L+1

⑶记'=还序求证：下+下+…<0(neN*>

【变式9-1】2.(福建省2022-2023学年高三下学期质优生"筑梦”联考数学试题)数列

1111

代工的前项和为Sn，ai=2出2=4且当n>2时，3Sn_f2S/Sn+i+2成等差数列.

⑴计算as%,猜想数列｛a"的通项公式并加以证明；

(2)在a0和a^i之间插入11个数，使这n+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛dj

中是否存在3项dm,d/dp(其中m，k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3

项；若不存在，请说明理由.

【变式9-1】3.(2023春辽宁锦州•高三校考期中)记Sn为各项均为正数的等比数列4｝

的前n项和,$3=14,且23,3a2,成等差数列.

⑴求画工的通项公式;

(2)在an和a.i之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为4的等差数列，求数

列｛£｝的前n项和丁拼

【变式9-1】4.(2023春•山东荷泽•高三统考期末)已知等比数列付口的前n项和为

San+1=2Sn+2(nGN*).

⑴求数列｛aj的通项公式;

(2)如图，

ajb]/a?

//_L//O

an'%'%'…小皿出但］

数阵的第n(nGN*)行是an与a^i之间插入n个数bn/b^，…，bnn,由这n+2个数所组成，

且这n+2个数成等差数列，记Tn=bll+2b21+3b31+…+nbn：l+bll+2b22+3b33

+nb

-+nn，求11r

【变式9-115.(2023春•浙江杭州•高三浙江大学附属中学期中)已知数列｛aQ的前n项和

1

为Sn，2Sn+l=a1r

⑴求数列巴｝的通项公式;

(2)在a0和a^i之间插入n个数，使得这缶+2)数依次组成公差为4的等差数列，求数列｛^｝

的前n项和Tk

【变式9-1】6.(2023春•云南玉溪•高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习)已知正项数列

凡｝满足，a1=2,且a3—an+1an+=2a：+2an.

⑴求数列｛aj的通项公式;

1

(2)在an与a4］之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为4的等差数列，若T。=4+

111c

毛+…求证：<Tn<3.

【变式9-1J7.(2023・全国•高三专题练习)Sn为数列回｝的前n项和，已知Sn=3-an-

n2.

(1)证明：a「3—2n；

(2)保持数列｛a"中各项先后顺序不变，在ak与ak+i之间插入数列｛(n+1).2。的前k项，

113213

使它们和原数列的项构成一个新的数列：a1(2.2,a2,2.2,.2,a3,2.2,.

243

2,-2,a4,求这个新数列的前50项和.

【变式9-1】8.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)在一个有穷数列的每相邻两项之间插

入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次"和扩充”.如数列1,

2第1次"和扩充"后得到数列1,3,2,第2次"和扩充"后得到数列1,4,3,5,2.

设数歹i」a,b,c经过第n次"和扩充"后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为S/

⑴若a=1R=2,c=3,求p2,S2;

(2)设满足Pn>2023的n的最小值为%,求/及S用(其中冈是指不超过x的最大整数,

如[1.2]=1,[-2.6]=-3)；

(3)是否存在实数a,b,c,使得数列母/为等比数列？若存在，求a，b,c满足的条件；若

不存在，请说明理由.

【变式9-1】9.(2023•全国•高三专题练习)已知正项数列凡｝的前n项和为，且a1=1,

S2-S2=8nn*

n+1n(eN

⑴求S]

⑵在数列隹工的每相邻两项2卜+1之间依次插入a1，a2,ak,得到数列｛、｝：

,,a2,a】，a2za3,a2za3,a4,......,求｛4｝的刖1。0项和.

【变式9-1】10.(2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习)已知数列国口｝是等差

n

数歹D,其前n和为Sn，a2=2,Sg=45,数列｛、｝满足a[b]+a2b2+…a/n=8—D♦2

+1

(1)求数列｛a",｛b。｝的通项公式；

⑵若对数列｛aj,｛bj在ak与ak+i之间插入bk个2(keN*),组成一个新数列｛4｝,

求数列｛4｝的前2023项的和12。23・

题型10与概率统计结合的数列问题

【例题10](河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)某校高三年级有n(

n>2,n6N*)个班,每个班均有⑦+30)人，第k(k=1,2,3,…,力个班中有(k+10)个

女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出

的人恰为男生的概率是目，则n=.

【变式10-1】1.（2023春•上海黄浦•高二上海市大同中学校考阶段练习）已知正三角形ABC,

某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角

形的一个顶点移动到另一个顶点.②棋子移动的方向由掷骰子（点数为1-6）决定，若掷出

骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移

动.设掷骰子n次时，棋子移动到A，B,C处的概率分别为p/A）,Pn（B）,P/C）.例如：掷骰

子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为pJA）=0,P］（B）=PJC）=3当掷骰子7

次时，棋子移动到A处的概率P7（A）值为.

【变式10-1】2.（多选）（浙江省91高中联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）

已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完

全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱

子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第卜+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内

取出一球，然后放回去.记第n次取出的球是红球的概率为Pn，数列｛Pn｝前n项和记为Sn，则

下列说法正确的是（）

174

A-P2-32B.Pn+2+Pn=5Pn+1

c.当n无限增大，Pn将趋近于:D.Sn=；［3n+1—G）n］

【变式10-1】3.（2023春•山东滨州•高二校联考期中）某中学以学生为主体，以学生的兴

趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爰好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动

为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比

赛.第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛.第一轮给每个小组提供5个实验操作

的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0

分.

(1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率;

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中

的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，目其他小组有相

同的机会抢答下一问题.记第11次回答的是甲的概率是Pn，若Pi=l.

①求P3和P4；

②写出Pn与Pn」之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性

的大小.

【变式10-1】4.(2023春•江西景德镇•高三景德镇一中校考期中)马尔科夫链是概率统计

中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领

域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，

xt_2,XJI，xt,xt+1,那么Xt+］时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xf,即P

=

(\+11^(\+11\),

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可

以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，

直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是

赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A(AeN*,A<B),赌博过程如下图

的数轴所示.

0.50.5

当赌徒手中有n元(0<n<B,neN)0yt,最终输光的概率为P(n),请回答下列问题:

⑴请直接写出P(0)与P(B)的数值.

⑵证明｛P(n)｝是一个等差数列，并写出公差d.

⑶当A=100时,分别计算B=200,B=1000时，P(A)的数值，并结合实际,解释当B-8

时，P(A)的统计含义.

【变式10-1】5.(2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习)某辖区组织居民接种

新冠疫苗，现有A,B,C,D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产

生的号码对应的疫苗，号码机有A,B,C,D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一

次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们

接种，记第n位居民(不包含张医生)接种A,B,C,D四种疫苗的概率分别为PjA'Pn

(B),(C),p(D)

Pnn•

(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

(2)证明：Pn(B)=Pn(C)=Pn(D)；

(3)张医生认为，一段时间后接种A,B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计

算第10位居民接种A,B,C,D四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据：@9〜5.1X〜L7X]0一54)9X2.0X]0-3,©10〜9.8x10-4-

【变式10-1】6.(2023春・广东汕头•高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)第22届世

界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战

胜法国队获得冠军.

FIFAWORLDCUP

GWR

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个

方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方

向判断正确也有:的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三

次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，

球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机

传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前

球在甲脚下的概率为pn,易知Pi=l-p2=0.

1

①试证明：｛Pn—J为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p10与q10的大小.

【变式10-1】7.(2023・全国•高三专题练习)某游戏中的角色"突击者”的攻击有一段冷

却时间(即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击).其拥有两个技能，技能一

是每次发动攻击后有;的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连

续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有;的概

率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可

叠加(相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成).每次攻击发动时

先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带

来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设"突击者”单次攻击

的伤害为1,技能一和技能二的各次触发均彼此独立：

(1)当"突击者"发动一轮攻击时，记事件A为"技能一和技能二的触发次数之和为2”,事

件B为"技能一和技能二各触发1次”，求条件概率P(B|A)

(2)设n是正整数，"突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为「十求P工

题型11新定义数列

上I

邪堂重点

解新定义题型的步骤：（1）理解"新定义"——明确"新定义"的条件、原理、方法、步骤

和结论.（2）重视"举例"，利用"举例"检验是否理解和正确运用“新定义"；归纳"举例"施

供的解题方法.归纳"举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题

中需要解决的问题.

【例题11】（2023•陕西商洛・陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知数列｛“｝满足回=-l,n

（an+i—册）=系，记〈说为不小于厮的最小整数，刈=（%,贝媵攵列也｝的前2023项和为

（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【变式11-111.（2023秋•北京海淀•高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）斐波那契

数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列｛斯｝满足的=

=11。九=。九―1+。九―2（n>3,nGN*）.给出下列四个结论：

①存在爪eN*,使得a.,am+1,a仅+2成等差数列；

②存在meN*,使得-，am+1,<W2成等比数列；

③存在常数t,使得对任意几6N*,都有即，tan+2,an+4成等差数列；

④存在正整数%,12，…,im,且<6<•-<im,使得a»i+a；2+…+aim=2023.

其中所有正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式11-1】2.（2023•全国•高三专题练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了

杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中

的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是

从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为

1,3,7,13,则该数列的第13项为（）

A.156B.157C.158D.159

【变式11-D3.（2023秋・河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）在数列｛an｝

中，如果存在非零的常数T,使得与+7=与对于任意正整数n均成立，那么就称数列｛即｝为

周期数列，其中T叫做数列｛an｝的周期.已知数列｛xn｝满足x„+2=\xn+1-xn\（xeN*），若

卬=1,々=。9