苏科版八年级上册数学难点探究：全等三角形中的动态问题（解析版）（重点突围）

专题04难点探究专题：全等三角形中的动态问题

聚焦考点

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

类型三全等三角形中的动点综合问题

:典型例题:

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

例题：（2021•山东临沂•八年级期中）如图，C4_LAB,垂足为点A,射线垂足为点B,AB=12cm,

AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点。在射线8M上，随着£点运动而运

动，始终保持£E>=CB.若点E的运动时间为①>0）,则当t=个秒时，ADEB与V8C4全等.

【解析】

【分析】

分两种情况：①当E在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况AC=BE,AB=BE进行计算即

可.

【详解】

解：①当E在线段A2上，AC=BE5i,AACB*BED

•••AC=6,

BE=6,

AE=12-6=6,

.・•点E的运动时间为6+3=2（秒）.

②当E在BN上，AC=2E时，AACB="BED

AC=6,

BE=6,

/.AE=12+6=18.

•••点E的运动时间为18+3=6（秒）.

③当E在BN上，A3=8E时，AACB*BDE

：.AE=12+12=24.

，点E的运动时间为24+3=8（秒）

④当E在线段上，时，AACB三ABDE这时E在A点未动，因此时间为0秒不符合题意.

故答案为：2或6或8.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA.44S、HL.注意:

AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，

角必须是两边的夹角.

【变式训练】（2021•全国•七年级专题练习）已知：如图，在长方形A8CO中，48=6,40=10延长BC到点

E,使CE=4,连接DE,动点厂从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿3C-CO-D4向终点A运动，

设点厂的运动时间为，秒，当，的值为时，入钻产和AOCE全等.

【答案】2或11

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2/=4即可求得答案.

【详解】

解：•••ADCE为直角三角形，

且AB=DC,

...当AAB厂乌AOCE时，

有BF=2t=CE=4,

解得：t=2；

当△应!/四AOCE时,

有AF=CE=4,

止匕时诙=BC、CD+DA—2t=10+6+10-2t=26-2t=4,

解得：t=ll,

故答案为：2或11.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，注意到AOCE为直角三角形，S.AB=DC,故只有BF=2u4和AP=26-2/=4两

种情况.

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

例题：（2019•江苏•宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，ZB=90°AB//DF,AB^cm,BD=8cm,

点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC±CE,若AC=CE，则DE的长为.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据全等得出对应边相等，即可得出答案.

【详解】

解:VZB=90°,AB//DF,

：.ZD=ZB=90°,

'：AC±CE,

：.ZACE=90°,

：.ZECD+ZCED=90°,ZACB+ZECD=90°,

NACB=/CED；

.•.在△ABC和△COE中

/ACB=/CED

<NB=ND

AC=CE

：.AABC^ACDE(A4S),

:.AB=CD=3cm,

DE=BC=8cm-3cm=5cm

故答案为5.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

【变式训练】

1.(2020•江苏・泰州中学附属初中八年级阶段练习)如图，"BC中，点。在边BC上，DELABE,DH

_LAC于H,且满足/为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG=OF,若AE=4cm,贝UAG=

【解析】

【详解】

•：DE±AB,DHLAC,

：.ZAED=ZAHE=90°.

在△AOE和ZiADH■中，

,/AD=AD,DE=DH,：.△ADEZAADH(H£),

.'.AH=AE-^cm.

•.•/为AE的中点，；.AF=EF=2cm.

在和△GO"中，

DF=DG,DE=DH,：.4FDE出△GDH(HL),

：.GH=EF=2cm.

当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=^-2=2cm;

当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm-

故AG的长为2或6.

2.(2021.重庆八中八年级开学考试)如图，在必aABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=1Q,A。平分/

CAB交BC于。点，E,尸分别是A。，AC上的动点，则CE+EF的最小值为.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

在A8上取点巴使A尸=A凡过点C作SLAB,垂足为H.因为EF+CE=EF+EC,推出当C、E、尸共线,

且点F与H重合时，FE+EC的值最小.

【详解】

解：如图所示：在上取点/，^AF'=AF,过点C作CHLA2,垂足为"

平分NC4B,

NCAD=/BAD,

又AE=AE,

.".△AEF^AAEF(SAS),

：.FE=EF',

SABC=-AB-CH=~AC-BC,

A22

AC・BC24

・•・CH=

AB5

•:EF+CE=EF'+EC,

・••当C、E、9共线，且点尸与“重合时，/E+EC的值最小，最小值为彳，

24

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、

尸共线，且点尸与点”重合时，CE+EB的值最小.

类型三全等三角形中的动点综合问题

例题：(2022.辽宁葫芦岛.八年级期末)如图，在AABC中，ZBAC=90。,A3=AC.点。是直线上一动

(1)如图1,当点。在线段8C上时，直接写出8C8与CE之间的数量关系；

(2)如图2,当点。在边BC的延长线上时，请探究线段CD与CE之间存在怎样的数量关系？并说明理由；

(3)如图3,若点。在边CB的延长线上，且点A,E分别在直线的两侧，其他条件不变，若CD=10,3C=6,

直接写出CE的长度.

【答案】(1)CE+CZ)=BC,证明见解析

⑵CE=BC+CD,证明见解析

(3)CE=4

【解析】

【分析】

(1)根据条件AB=AC,ZBAC=90°,AD=AE,ND4E=90。，判定(SAS),即可得出8。和

CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；

(2)根据已知条件，判定△ABDgZ\ACE(SAS),得出BD=CE,再根据80=8。+。，即可得到CE=BC+CD；

(3)根据条件判定AAB。0△ACE(SAS),得出BD=CE,即可解决问题.

(1)

解：如图1,

图1

"?ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在“BD和ZkACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

二.△ABD咨AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

(2)

线段BC,CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD.

理由：如图2中，由(1)同理可得，

图2

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.在"2。和AACE中，＜/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BD=BC+CD,即CE=BC+CD.

(3)

如图3,

图3

由（1）同理可得，"：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ABAC-ABAE=ZDAE-ZBAE,即/BAD=NEAC,

同理，bABD"XACE（SAS）,

：.BD=CE,

•：CD=10,BC=6,

：.DB=DC-BC=4,

：.CE=4.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质.解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三

角形全等.解题时注意：全等三角形的对应边相等.

【变式训练】（2022•辽宁葫芦岛•八年级期末）如图①，点C在线段A8上（点C不与A,8重合），分别以

AC,8c为边在AB同侧作等边及4。和等边ABCE,连接AE,80交于点P.

(1)观察猜想：

1.AE与BD的数量关系为；

2./APD的度数为；

(2)数学思考：

如图②，当点C在线段外时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

你写出正确结论再给予证明.

【答案】⑴①AE=BD；②60。

(2)上述结论成立.ZAPD=60°,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件只要证明ADCB且ZWCE,即可证明出AE于的数量关系，以及NAPD的角度；

(2)根据△AC。，ABCE均为等边三角形，可知=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE=60°,进而可知/OCA

+ZACB=ZACB+ZBCE,即NDCB=NACE,从而可证ADCB丝ZVICE(S4S),贝UNCDB=

/CAE,根据NDCA=NOB4=60°可证NAP£)=60°.

(1)

解：,..△AC。和ACBE都是等边三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZACD=ZECB=60°,

'：ZACE=ZACD+ZDCE,ZDCB=ZDCE+ZECB,

：.ZDCB=ZACE,

：.ADCB^AACE,

：.AE=BD,ZBDC=ZCAE,

ZDOP=ZCOA,

：.ZAPD=ZACD=60°,

故答案是：AE=BD,60°；

E

⑵

上述结论成立，

VAACD,ABCE均为等边三角形，

：.DC=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE^60°,

：.ZDCA+ZACB=ZACB+ZBCE,即ZDCB=ZACE,

DC^AC

在AOCB和AACE中，＜NDCB=NACE,

CB=CE

：.ADCB^AACE（SAS）,

：.DB=AE,

ZCDB=ZCAE,

如图，设8。与AC交于点0,易知/。（^7=/4。尸（对顶角相等）,

ZCDB+ZDCA=ZCAE+ZDPA,

：.ZDCA^ZDIU^60°,即NAPD=60°.

图2

【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本

题的关键.

i课后训练j

一、填空题

1.（2022・江苏・景山中学七年级期末）如图，CA±BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线

垂足为8,动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线上一动点，满足尸N=AB,

随着尸点运动而运动，当点尸运动秒时，ABG4与APBN全等.

【答案】。或2或4或6

【解析】

【分析】

根据题意可分点尸在点8的左侧和右侧进行分类求解即可.

【详解】

解：设点尸的运动时间为f秒，由题意得：CP=2tcm,

①当U0时，即点C与点P重合，满足AACB咨ANBP,

②当点P在点8的左侧时，且满足AC=8P=2t7",

<•,PN=AB,

:.AACB'PBN（HL）,

CP=2tcm,

BP=（6-2f）cm,即6-2/=2,

解得：f=2；

③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm,贝隈ACB丝APBN,

BP=（2f-6）cm,gp2t-6=2,

解得：r=4；

④当点尸在点B的右侧时，且满足BC=2P=6cm,贝IJAACB也AA®P,

/.BP—（2t—6）cm,即2f—6=6,

解得：f=6；

综上所述：当f=2或。或4或6秒时，ABG4与APBN全等.

故答案为。或2或4或6.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

2.（2021・贵州・北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B,C都是直线上的点，点A是直线上

方的一个动点，连接河,4。得到^45。，D,E分别为ACAB上的点，且仞=5E>,AE=3C,OE=£）C.当

线段AC与BC具有的位置关系时满足DELAB.

【答案】AC1BC

【解析】

【分析】

利用“SSS”证明4AED和&BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得ZAED=ZC,再根据垂直的定义证明

即可.

【详解】

当AC_L8C时，DE_LAB；

•：AC.LBC,

AZC=90°,

AD=BD

•：在AAED和△BCD中他=BC,

DE=DC

：./\AED^/\BCD（SSS）,

：.ZAED=ZC=90°,

：.DE±AB.

故答案为：ACLBC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

3.（2022・全国•八年级课时练习）如图，在AASC中，=为线段上一动点（不与点3、C重合）,

连接AO,作=且AO=AE,连接CE,当CE〃AB,N54D=36。时，NDEC=______度.

【答案】24

【解析】

【分析】

由“&4S”可证A4SD名△ACE,可得NB=NACE,可证AABC是等边三角形，可得NBAC=ND4E=NAC3=N

ACE=60°,即可求解.

【详解】

解：VZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NAW=/C4E,

AB=AC

在"BD和AACE中，/BAD=ZCAE,

AD=AE

；.AABD咨AACE(SAS),

：.ZB=ZACE,

•：CE//AB,

：.ZBAC=ZACE,

：./BAC=NB,

:.AC=BC,

：.△ABC是等边三角形，

ZBAC=ZDAE=ZACB=ZACE=60°,

：.△以£是等边三角形,

，ZA£D=60°,

ZDEC=180°-36o-60o-60o=24°,

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键.

4.（2020•广西・桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，E、下分别为AD、

3c的中点，尸为对角线50上的一个动点，则AP+EP的最小值的是.

【答案】26

【解析】

【分析】

连接CP,当点E,P,C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可.

【详解】

解：如图，连接CP,

由AD=C£）,ZADP=ZCDP=45°,DP=DP,可得母位》尸等（SAS）,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

...当点E,P,C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，

•••四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,

是AD的中点，

:.ED=2,

由勾股定理得：CE=y/cD2+DE2=742+22=275-

故答案为：2君.

AED

【点睛】

本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键.

二、解答题

5.（2020・全国•八年级课时练习）如图，在MAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、。是边AC、BC上的

两个动点，P£>_LA8于点。，QELA8于点E.设点P、。运动的时间是f秒G>0）.若点尸从C点出发沿

CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点

Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当/为何值时，AAPD

和△QBE全等.

【答案】2s或4s

【解析】

【分析】

QQ

分两种情况：①oq<§时，点P从C到A运动，则AP=AC-CP=8-36BQ=t,求得t=2,②仑］时，点P

从A到C运动，贝i1AP=3f-8,BQ=t,求得U4.

【详解】

Q

解：①时，点尸从C到A运动，则AP=AC-CP=8-3r,BQ=t,

当AAOP丝△QBE时，

则AP=BQ,

HP8-3t=t,解得：t=2,

Q

②仑］时，点P从A到C运动，贝1］4尸=3-8,BQ=t,

当"OPgZkQBE时，

贝UAP=BQ,

即3t-8=3

解得：仁4,

综上所述：当r=2s或4s时，4ADP沿LQBE.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定，正确进行分类讨论，不要漏解以及找到全等三角形对应边相等列出方

程是解题的关键.

6.(2020・山东济南•七年级期末)如图，在AABC中，/AC8=90。，AC=8C=2,点。是射线8c上一动点，

(1)如图(1),若点。在BC的延长线上，且点E在线段上，试猜想AP,CD,8C之间的数最关系，

并说明理由；

(2)如图(2),若点。在线段3c上，试猜想AP,CD,BC之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)BC=AP+CD,理由见解析；(2)AP=BC+CD,理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得根据“ASA”可证△ACD四△BCP,可得CD=CP,即可求出AP,CD,BC

之间的数量关系；

(2)由题意可得/以根据“ASA”可证△ACZ^ABCP,可得C£»=CP,即可求出AP,CD,BC

之间的数量关系.

【详解】

解：⑴BC=AP+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZD+ZDAC=90°,ZD+ZDBE=90°,

AZDAC=ZDBE,S.ZACB=ZACD,AC=BC,

：.AACD^ABCP(ASA),

：.CD=CP,

"：BC=AC=CP+AP,

：.BC=AP+CD,

(2)AP=BC+CD,

理由如下：；NACB=90。，BE±AD,

：.ZP+ZPAE=90°,ZP+ZPBC=90°,

：.ZPAE=ZPBC,KZACB=ZBCP,AC=BC,

:.AACgABCP(ASA),

：.CD=CP,

'：AP=AC+CP,

：.AP^BC+CD.

【点睛】

本题考查了直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定与性质解决

问题是本题的关键.

7.(2022•江苏•八年级课时练习)AWC中，A8=AC,点。是射线C8上的一动点(不与点8、C重合)，

以AD为一边在4。的右侧作AAOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段上，且N8AC=90。时，那么NOCE=度；

(2)设/R4C=a,ZDCE=P.①如图2,当点。在线段CB上，N8ACR90。时，请你探究。与用之间的数

量关系，并证明你的结论；②如图3,当点。在线段的延长线上，NBACW90。时，请将图3补充完整，

写出此时a与夕之间的数量关系并证明.

【答案］⑴90

(2)①a+夕=180。，证明见解析；②a=B,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)易证/A4£)=/。1区即可证明△BADgZkCAE,可得/ACE=/B,即可解题；(2)易证/54。=/

CAE,即可证明△BAOgZkCAE,可得NACE=NB,根据N8+/ACB=180。-a即可解题；

(3)易证N&ir>=NCAE,即可证明ABAD之△C4E,可得NACE=/8,根据NADE+NAED+a=180°,

NCZ)E+/CEr>+/?=180。即可解题.

(1)-：ZBAD+ZDAC^9Q0,/DAC+NCAE=90°,J.ZBAD^ZCAE,在ABA。和ACAE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,；.△BAZ汪△CAE(SAS),ZACE=ZB,'：ZB+ZACB=90°,：.ZDCE=ZACE+

AD=AE

NACB=90。；故答案为90.

(2)①：/BAZ)+/ZMC=a,ZDAC+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在△BAD和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,.♦.△BA。也△C4E(SAS),:./ACE=/B,VZB+ZACB=180°-«,/.ZDCE=Z

AD=AE

ACE+ZACB=180°-«=/?,a+夕=180。；

AB=AC

,：ZBAD+ZBAE=a,ZBAE+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在ABA。和ACAE中，|/2AD=/CAE,

AD=AE

：.^XBAD^/\CAECSAS\：.ZAEC=ZADB,VZADE+ZAED+a=180°,ZCDE+ZCED+/?=180°,

ZCED=ZAEC+ZAED,:.a=fj.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证A2A。0△C4E是解题的

关键.

8.(2022・云南・景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末)如图1,点P,。分别是等边AABC边

AB,8c上的动点，点P从顶点A向点B运动，点。从顶点8向点C运动，两点同时出发，且它们的速度

都相同.

(1)连接A。，CP交于点M则在尸、。运动的过程中，NCMQ的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若

不变，则求出它的度数；

(2)如图2,若点P、。在运动到终点后继续在射线AB,上运动，直线A。、CP交点、为M,则NCM2的大

小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

【答案】(1)不变；60°

⑵不变；120°

【解析】

【分析】

(1)通过证明丝4P(&4S)得到NBAQ=NACP,再利用三角形外角的性质即可求解；

(2)同样通过证明△AB。丝4P(&1S)得到ZBAQ=ZAW,再利用三角形外角的性质和三角形内角和

的性质进行求解即可.

(1)

解：⑴点尸、。在运动的过程中，NCM2不变.

,/AASC是等边三角形，

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB^CA,

又丁点P、Q运动速度相同，

AP=BQ,且NABQ=NOLP,AB^AC,

：.Z\ABQ^Z\CAP(SAS),

NBAQ=ZACP.

,/AQMC=AACP+ZMAC,

：.ZQMC=ZBAQ+ZMAC=ABAC=60°

⑵

点、P、。在运动的过程中，NCMQ不变.

由（1）可知：AABQ^CAP,

；.ZBAQ=ZACP,

,/ZQMC=ZBAQ+ZAPM,

ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,

...点尸、。在运动的过程中，NCW不变.

【点睛】

本题考查了动点问题，涉及到了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质和三角形的内角和是180。等

知识，解题关键是正确找到全等三角形.

9.（2020・全国•八年级专题练习）如图，在AABC中，。为的中点，AB=AC=10cm,BC=8cm.动点

尸从点B出发，沿2c方向以3cm/s的速度向点C运动；同时动点。从点C出发，沿C4方向以3cm/s的速

度向点A运动，运动时间是ts.

（1）在运动过程中，当点C位于线段尸。的垂直平分线上时，求出『的值；

（2）在运动过程中，当VBPD也VCQP时，求出,的值;

（3）是否存在某一时刻，，使ABPD当ACPQ?若存在，求出♦的值；若不存在，请说明理由.

4

【答案】（1）t==时，点C位于线段尸。的垂直平分线上；（2）-1；（3）不存在，理由见解析.

3

【解析】

【分析】

（1）根据题意求出BP,CQ,结合图形用含f的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分线的性质得到

CP=CQ,列式计算即可；

(2)根据全等三角形的对应边相等列式计算；

(3)根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可.

【详解】

解：(1)由题意得BP=CQ=3r,

贝UC48-3f,

当点C位于线段P。的垂直平分线上时，CP=CQ,

8—3/—3t,

解得，/=:4，

3

则当/二I4时，点。位于线段尸。的垂直平分线上；

3

(2)・・・。为45的中点，AB=AC=10,

：.BD=5,

・.・NBPD^/CQP,

.・.BD=CP,

**•8—3%=5,

解得，r=l,

则当VBPDACQ尸时，f=i；

(3)不存在，:4BPD组丛CPQ,

；.BD^CQ,B—CP,

贝U3尸=5,3-8-31

解得，5t=14,

不存在某一时刻f,使LBPD也△CP。.

【点睛】

本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握

全等三角形的对应边相等是解题的关键.

10.(2019•内蒙古・赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习)已知：如图，4=90。，AB//DF,AB=3cm,

3D=8aw,点C是线段3。上一动点，点E是直线。尸上一动点，且始终保持ACLCE.

(1)证明：ZACB=NCED；

(2)若点C在线段8。上满足AC=CE时，求DE的长？

(3)在线段8。的延长线上，是否存在点C,使得AC=CE,若存在，请求出8C的长度；若不存在，请说

明理由.

【答案】(1)见解析；(2)5cm；(3)存在，

【解析】

【分析】

(1)由题意易得NO=N3=90。，进而可证NECD+/CEO=90。，ZACB+ZECD^90°,然后问题得证；

(2)由题意可证AABC/ACDE,则有AB=CD=3cm,然后根据线段的和差关系可求解；

(3)由题意易得NCDE=ZB=90。，进而可证NECD=/BAC,当CD=AS=3cm时，AC^CE,则有

MBC^CDE,最后根据线段的关系可求解.

【详解】

解：(1)VZB=90°,AB//DF,：.ZD=ZB=90°,

VACLCE,...ZACE=90。，

/ECD+ZCED=90°,ZACB+ZECD=90°,

ZACB^ZCED

ZACB=ZCED

(2):在AABC和ACDE中=

AC=CE

\ABC之ACDE(AAS),:.AB=CD=3cm,

DE=BC=8cm-3cm=5cm

(3)存在，理由如下:

VZB=90°,AB//DF,：.ZCDE=ZB=90°,

VACA.CE,.•.NACE=90。，

AZECD+ZACB^90°,ZACB+ABAC=90°,;.NECD=NBAC；

ZB=ZCDE

•：在MBC和ACDE中，NBAC=ZECD

AC=CE

：.AABC^ACDE(AAS),

AC=CE,

AB-3cm,BD=8cm

BC=BD+CD=BD+AB=8cm+3cm=11cm.

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的

性质与判定是解题的关键.

11.(2022.安徽・九年级期末)如图，RfAACB中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连结

AE,^AF±AES.AF=AE.

(1)如图1,过尸点作FDLAC交AC于。点，求证：FD=BC；

(2)如图2,连结交AC于G点，若AG=3,CG=1,求证：E点为BC中点.

4G

(3)当E点在射线CB上，连结2尸与直线AC交子G点，若BC=4,BE=3,则=7=.(直接写

出结果)

cc

4图］BA图28

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，或g

【解析】

【分析】

(1)证明△A/Dg/kEAC,根据全等三角形的性质得到AC,等量代换证明结论；

(2)作尸OLAC于£),证明△FOGgZkBCG,得到。G=CG,求出CE,CB的长，得到答案；

(3)过产作FDLAG的延长线交于点。，根据全等三角形的性质得到CG=GD,AD=CE=7,代入计算即可.

【详解】

(1)证明：\-FD_LAC,

：.ZFDA=90°,

：.Z£>M+Z£>AF=90