数列求和（含不等式恒（能）成立问题）（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

重难点05数列求和（含不等式恒（能）成立问题）

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

数列求和是天津高考数学的必考内容，一般利用等差

2022年，第18题，考察数列分组求和，错位相减法（比）数列的通项来构建考查裂项求和，错位相减法

求和求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往

2023年，第19题，考察等比数列求和

是第1问，数列求和则是第2问。

2024年，第19题，考察裂项相消法求和

重难点题型解读

题型1错位相减法

错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个；

数列的前〃项和即可用此法来求.4倍错位相减法：若数列｛g｝的通项公式C“=。/包，其中｛七｝、h｝中

一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的

：公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫“倍错位相减法.

ii

;温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

II

ii

1.(2024.天津河西港拟预测)已知与比薪列彳后的前〃项和为%IaB+1=2SB+2(ne^j.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)在a,与。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列.

(i)求数列｛4｝的通项公式及产；

k=\ak

(ii)在数列｛4｝中是否存在3项4“，4，。(其中机，k,0成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的

3项；若不存在，请说明理由.

2.(2024・天津•模拟预测)数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为S,，数列也,｝是等比数列，邑-邑=3,

%+%=3,bn>0,b｝'b2=b392b｝+b2=b3.

⑴求数列｛〃“｝、色｝的通项公式；

⑵会的前〃项和小求证：1<7；<2.

3.（2024.天津.二模）已知｛«„｝为等差数列，抄，,｝是公比为2的等比数列.q=1,且%-4=1，a4-bt=b3-a6.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵若Q=

a2n+\-k+b…，上为偶数•

①当左为奇数，求；

②求Z&.

4.（2023•天津河北•一模）设等比数列｛4｝的前〃项和为S”，”eN*,若q=-2,且鼠2、S八S用成等差

数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设2=号■，〃eN*,其中［月表示不超过x的最大整数，求数列｛。出,｝的前10项的和；

⑶设—“wN*,求数列｛1｝的前〃项和

5.（21-22高二上.天津北辰.阶段练习）己知正项等比数列｛4｝满足4=2,2%=%-。3,数歹式2｝满足

优=l+21og2a..

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

⑵令cn=an-用求数列｛c„｝的前n项和Sn.

（3）设也｝的前w项和为T,,求4

题型2裂项相消法（等差型）

111

①-)

〃(几+左)knn+k

111111

特别注意左=1,；k——1,

n(n+1)nn+1n(n—1)n—ln

111

②=-()

(kn—l)(kn+l)2kn—1kn+1

11）（尤其要注意不能丢前边的!）

如：一7-I(2«-l2nl

4"-1+2

1.《2024,天津滨海新•三模）已知数列｛&„｝,已知对于任意〃eN*,都有%=百”，数列｛"｝是等

差数列，4=1,且a+5,"+1,3成等比数列.

⑴求数列®｝和也｝的通项公式;

an,n=2k-l

(2)记g=<eN*

bn,n=2k

2

22n

ii;(ii)求£

(i)求£CkCk+\•

Z=110g3，2i—1.1。83C2i+lk=l

2.(2024.天津南开•模拟预测)已知等差数列｛4“｝的前〃项和为S“，且'=4$2,/“=2凡+1(〃€川).数列

｛2｝为等比数列，且4-。2=1，%-4=1.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵求

A=1Dk

⑶求证：£上="±0

k=Takak+l，4i+l

3.(2024•天津河北・二模)设数列｛4“｝为等差数列，其前〃项和为S"("eN*),数列｛2｝为等比数列.已知

6Z1—Z?j—1,。5=3b2jS4-4s2.

(1)求数列｛g｝和他,｝的通项公式；

(2)求数列也,也｝的前〃项和；

川

(3)若。“=------,n&N*,求数列｛，“｝的前〃项和.

aa

n-n+l

4.(2024•天津河西•一模)设｛%｝是等比数列，公比不为；.已知4=；,且4，2%,3a3成等差数列.

(I)求｛可｝的通项公式；

(II)设数列的前〃项和为1,求小

(III)设C“=10g1%I,匕为数列上一的前〃项和，求不超过的最大整数.

GS+J

5.（24-25高二上•天津蓟州•阶段练习）己知等差数列｛%｝中，3%+4=20,且前9项和为品=81.

（1）求数列｛《,｝的通项公式与数列｛«„｝的前及项之和S..

⑵若勿=」一，若数列也,｝的前“项和4满足S“-6"N27；恒成立，求负整数2的最大值.

anan+l

题型3裂项相消法（指数型）

C__J______1__

(an+i+k\an+k)~an+k~an+]+k

工2"11

uH•------------------------=------------------------

,(2-1+4)(2"+左)T+k2,,+1+k

1.(23-24高三工.美泽泰丽.血手)寝"]是等羲列，⑷是谬比薪列.已知为=1,彳:7：工工2+2,

b3-2%+2

2»+1

⑴求｛见｝和也,｝的通项公式以及£火

i=2"+l

(2)设%数列｛%｝的前〃项和为证明：S“<1；

anan+\^n

(3)设dn=(-1)%也,求数列｛4｝的前n项和Tn

2.（2024・河南•模拟预测）己知正项等比数列｛助｝,满足42。4=1,。5是12幻与5a3的等差中项.

⑴求数列｛""｝的通项公式;

⑵设=7-----S7——7T+（T）".n，求数列｛加｝的前"项和Sn.

（%+4-训4,+4TJ

3.（2024•天津河东•二模）已知等比数列｛%｝的前w项和为S“，4”>0且44=36,/=9（%+%）.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若J+1=3”,求数列｛r｝及数列｛4〃｝的前〃项和Tn.

⑶设『见+1）；%+1），求匕｝的前方项和马•

4.（2024・天津宝诋・模拟预测）已知等差数列｛4｝满足%=$2+1，53=%+2,其中S”为｛%｝的前九项和，递

增的等比数列也｝满足：4=1,且仿，b2,4成等差数列.

（1）求数列｛%｝、出｝的通项公式；

（2）设｛4。｝的前〃项和为北，求7.

⑶设C“=，｛C“｝的前〃项和为4,若A2工恒成立，求实数4的最大值.

\^n+n）'^n+\n+1

5.(23-24高三下•四川•阶段练习)已知数列｛q｝是等差数列，｛2｝是递增的等比数列，且4=1,4=2,

b2=2a2，4=3a3~1.

(1)求数列的｝和也｝的通项公式;

（2）若％=求数列｛&｝的前〃项和S..

（2

题型4裂项相消法(通项裂项为“+”型)

]

如：①(T)"・

+1JH+1

②(T)/r(f

本类模型典型标志在通项中含有(-1)"乘以一个分式.

1.(2024.天津和平.二模)已知S,,为等差数列｛〃“｝的前”项和，S4=-8,a=48.

(1)若T”为数列｝(〃eN*)的前〃项和，求7；(〃eN*)；

⑵等差数列低｝满足%=2+6用eN*),数列匕｝满足ca='噌nGN”

色+1。)

(i)求数列色｝eN*)与数列£｝(〃eN*)的通项公式;

2〃k（无+2）2汨5

（ii）求£ck+（-1）（九£N*）.

k=lCkCk+l

2.(2024.天津和平.一模)已知数列｛g｝为首项4=1的等比数列，且4,3〃田,9%+2成等差数列；数列圾｝为

首项4=1的单调递增的等差数列，数列也,｝的前〃项和为S“，且工,62,64+3成等比数列.

⑴求数列｛%｝,凡｝的通项公式；

⑵或电炉，…)

i=l

⑶数列｛%｝满足C"号,记G"和7”分别为｛%｝和匕｝的前〃项和，证明：北吟.

3.(2024.天津武清.二模)已知｛叫是等差数列，也｝是等比数列，且q=1,4=2,〃也=2%也=4+%.

(1)求数列｛。“｝,｛々｝的通项公式；

⑵记也｝的前〃项和为S,,证明：S“＜久也,(〃eN*)；

⑶记1=(-1)"4/卜eN*),求数列｛c„｝的前2”项和.

an,an+l

4.(2024•天津•三模)已知数列｛。“｝的前〃项和为%,S„=tz„+1+2n-8,ne2V*,弓=8,设b“=a“一2.

(1)证明：也｝是等比数列；

(2)设。“=(-1)”好^^77司，求｛g｝的前〃项和I,若对于任意〃eN*,"北恒成立，求九的取值范

围.

5.（23-24高一下•四川成都）已知数歹式%｝满足q=2,a“M=2q+2"L

（1）设2=黑，求数列也｝的通项公式；

（2）求数列｛%｝的前〃项和S“；

（3）记c.=（-1）（“+4"+2）2,求数列｛%｝的前,项和T,.

a,a“+i

题型5分组求和法

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r

00©百

1如果一个数列可写成q=an±b„的形式，而数列｛%｝,｛仇｝是等差数列或等比数列或可转化为能够求

和的数列，那么可用分组求和法.

i

an"为奇数

2如果一个数列可写成c,="生佃格的形式，在求和时可以使用分组求和法.

bn〃为偶数

i

i

1.（24-25高二上.天津南开.期亲）已知RJj薪歹Raj西露〃质和，wi,s„=2a„-l,neN\数列也J是4

差数列，且4=一4，b2+b^=-10.

⑴求数列｛叫和也｝的通项公式；

（2）求数歹U｛%+“｝的前〃项和.

2.(24-25高二上•天津滨海新•阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S”且满足S“=2%-l(〃eN*)；等差

数列也｝满足4=1，且伪也+1也+6成等比数列.

⑴求数列｛4｝与伊“｝的通项公式；

⑵记数列｛。“+或｝的前〃项和为十，求4.

3.(24-25高二上•天津东丽•阶段练习)已知数列｛叫，4=2,a„=2--(n>2),S“为数列出｝的前〃项

an-\

和，且r=22-1(〃^*).

⑴令力

un1

(i)求证：数列｛，｝为等差数列，并求数列｛。“｝的通项公式；

(ii)求数歹!1也,<,｝的前〃项和4;

(2)设数列｛〃%+2｝的前〃项和小对V〃eN*,(2+1)-2"27；+1恒成立，求实数4的取值范围.

4.(23-24高二上.天津宁河.期末)已知数列｛%｝是等差数列，满足为+%+%=21,/=11，数列也｝是

首项为1的等比数列，且9伉，3bA打成等差数列.

⑴求｛%｝,也｝的通项公式；

⑵设c.=an+bn,求数列｛6｝的前〃项和S"("eN*).

5.(2024高二上.天津南开.专题练习)已知数列｛%｝满足4=2,a“M=24+l(〃eN)

⑴证明｛%+1｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

⑵求数列&+〃+1｝的前«项和S".

题型6数列求和(奇偶项讨论求和)

类型一:

an〃为奇数

通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：c

nb„〃为偶数

角度1：求g

角度2：求％

类型二：

通项含有(-1)"的类型；例如：g=(-DZ

；「一石石I森三器金厂巨射薮赢7而哥W运茄£'濡冠飞;二器；，二5匚工匚

(1)求数列｛g｝的前3项《,外，%；

(2)求证：数列上“+g•(-D"1是等比数列；

(3)求数列｛(6〃-3)-4｝的前〃项和T“.

2.(2024・河南.模拟预测)已知数列｛q｝的各项均为正数，前〃项和为S“，若4s“=(a“+l)2(〃eN*).

⑴求｛%｝的通项公式；

T-1

⑵设'=所1百包，数列也，｝的前〃项和为匕，求证：匕<§；

(3)设％=(-!)"S向，数列匕｝的前〃项和为，，求满足1>200的最小正整数鼠的值.

3.(24-25高三上•天津南开•期末)己知等差数列｛4｝和等比数列也｝满足弓=2也=4,见=21ogz2,〃eN*.

⑴求数列｛%｝，也｝的通项公式；

⑵若数列匕｝满足6=6,且£但=2.设S"为数列｛c.｝的前〃项和，集合A=｛s“|S“eN*｝,求A(用列举

Cnan+2

法表示)；

⑶求£(-1)她一1.

«=1

改个

4.(23-24高三上.天津南开.阶段练习)已知数列｛%｝:1,-2,-2,3,3,3T,-4,T-4,F

即当左eN*)时,«„k,记S“=q+%+L+a”(〃eN*).

⑴求S2024的值;

(2)求当1(；+1)<〃w(1+1?4+2),eN*),试用〃、上的代数式表示5"(〃©N*)；

⑶对于teN*,定义集合金=｛〃|5.是.”的整数倍，neN*,且1V〃"｝,求集合蜃24中元素的个数.

5.(2024•天津.一模)已知数列｛%｝满足%-4=2,其前8项的和为64；数列出｝是公比大于0的等比

数列，雀=3,63a=18.

(1)求数列｛4｝和他,｝的通项公式；

a—1

(2)记％=*^,〃eN*,求数列｛%｝的前〃项和4；

(-1)2-an,n-2k-l,keN*

2n

%+1

(3)记dn=<,求邑"=.

k=l

题型7数列不等式

1.（2024.天泽.二寇）｛«„）是琴至藏列，赢n族口，山j是*正彝歹［且4=£=孑，a4=^S^\5.

⑴求｛%｝与也｝的通项公式；

a“b”，及为奇数

⑵设c„=­（3-4岫"为偶数，求数列匕｝的前2n项和T2n；

、矶巴+1'

⑶若对于任意的〃eN*不等式〃&+1）-1）（〃+2）-12<0恒成立，求实数彳的取值范围.

2.（2024•江苏苏州•模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C:y=V上的点

片（4%）作曲线C的切线4与曲线c交于心（%,%），过点£作曲线C的切线乙与曲线C交于点月（王，％），

依此类推，可得到点列：耳（再,％）,乙（%,%），△（尤3,%），…，匕（七，%），…，已知西=L

⑴求数列｛%｝、｛%｝的通项公式；

⑵记点匕到直线射（即直线尺+凡2）的距离为4,

1114

（I）求证：7+7+…+7>3；

4〃2d1t9

1118（1、/*、111

（II）求证：了+7+…+7>31一右，若〃值（几>0,〃wN）与（I）相同，则求此时7+7+…+7的

4d2Z912J'74d24

最小值.

3.（2023・天津和平•二模）己知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,«,=1,邑=10,数列也｝满足：伉=3,

%=2〃T（neN*）.

⑴证明：色-1｝是等比数列；

⑵证明：$2“+|也,>2Sj%；

苧齐,w为奇数

*+2（「

（3）设数列｛%｝满足：c.=<.证明：

%，〃为偶数I"

b

4.（2023・天津和平•三模）已知等比数列｛%｝的前力项和为S”,a.M=S”+2（〃eN）

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）在。“与。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个等差数列，记插入的这〃个数之和为7.，若不等式

3〃

（_1）"2<2--对一切neN*恒成立，求实数2的取值范围；

1n

⑶记“百，求证：

nc

5.（23-24高三上.上海浦东新•期中）已知数列｛”“｝的前〃项和为S",满足：二％=%+i（〃eN*）.

（1）求证：数列｛q｝为等差数列；

⑵若出=3,数歹!）｛2｝满足4=%也=%T」g6.+lg6"+2=21g〃+i（〃eN*）,记4为｛2｝的前〃项和，求证：

TTT

n'n+2<n+l；

伍"7泡〃为奇数

（3）在（2）的前提下，记％=anan+1'，数列上｝的前方项和为K.,若不等式（_1）,%+广；<

4〃+1

Jog2一+””为偶数

对一切”eN*恒成立，求4的取值范围.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2023•天津和平三模）已知数列｛4｝满足%=1,%+]=2%+l（“eN*）,S,是数列｛4｝的前〃项和，则

$9=（）

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

2.（2024•天津北辰•模拟预测）设数列｛。”｝满足4+2%+3%-----+=2〃+l(〃eN*),则数列的前

5项和为（）

A.9B.日13

C.—D.

3576

二、填空题

3.（2022.天津河西•模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，公比q>0,邑=2g-2,S3=a4-2,

数列色｝满足26.=%+%（力eN*）且出=殁，a3=仇.

（I）贝！1玛=；bn=；

（2）将｛4｝和也｝中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列匕,｝,则数列｛g｝的前50项和

n=2m-12n

（3）设数列｛4｝的通项公式为:meN*,则Z4=■

i=l

=2m

三、解答题

4.（2021,天津南开•二模）设｛4｝是等差数列，｛"｝是等比数歹U，公比大于0,已知2=1,4=d+2力4=〃3+%，

么=g+2〃6.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

⑵设数列［（T）""｝的前〃项和记。〃=丹乜氏7+号组氏，求g；

⑶求

i=lCn+\-i

5.（2023・天津滨海新•三模）设｛%｝是等差数列，也｝是各项都为正数的等比数列.且

ax=bx=1,a3+b2=7,2a?—b3=2,

⑴求｛4｝,也｝的通项公式；

⑵记T“为也｝的前〃项和，求证：也+2<%；

\an+1）炳"为奇数

，"为偶数,求数列｛%｝的前2〃项和S*.

6.(2024•天津河西•二模)已知数列｛4｝的首项q=；,且满足.角=西希＞1)("已m)，｛q｝的前〃项

和为S”.

(1)证明数列［方］是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵当“22时，16%+二一2a'恒成立，求实数％的取值范围；

an-l

2n.b

⑶在数列也｝中，伉=2,b„bn+i=4",求数列｛bn｝的通项公式及£(-1)'eN*).

i=\ai

7.(2024.天津南开•二模)已知函数〃x)=sinx,g(x)=l--.

⑴求曲线y=/(x)在无=0处的切线方程；

(2)证明