数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题-2025年新高考数学二轮复习

微专题04数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插

项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题

【秒杀总结】

1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.

2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：

（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视

的问题；

（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转

化.

3、证明数列｛4｝单调性的方法：根据。用-%与。的关系判断出数列的单调性（当｛a,J恒为正或者负

时，可以考虑利用驮与1的大小关系判断数列单调性）.

an

4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似

这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.

比如求邑021，可以令2021=〃，将选项中的所有数字用”来表示，然后通过Sp邑来验证哪个选项正确•如

果题目问的是§2020、$2018之类的偶数年份，最好是通过§2、S,这样的偶数项来验证.

【典型例题】

例1.（2024•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考期中）已知数列｛%｝满足am=e%"+l（〃eN*,e为

自然对数的底数），且对任意的”>0都存在〃wN*,使得|%-2|<加成立，则数列｛。“｝的首项内须满足

（）

A.«）<1B.l<a!<2C.^<2D.flj>2

【答案】C

【解析】设=令r（x）=e*-l=0,得到x=0.

当xe（-oo,0）时，/（九）单调递减；

当了£（0,+oo）时，f\x）>0,/（九）单调递增.

故/（%）之/（0）=。，即/之九+1（当且仅当时％=0取等号）.

故%+1=尸2+12％—2+1+1（当且仅当时4=2取等号）.

即an+i>an.要使对任意的〃>0都存在〃£N*,使得L-21VM成立，

显然4=2时，。〃=2,一定能满足题意;

当%>2时，%>2,如图此时不满足题意;

当为<2时，a“<2,如图此时满足题意;

综上，442.

故选：C

例2.（2024・全国•模拟预测）定义：满足—=^7（^为常数，〃eN*）的数列｛。“｝称为二阶等比数

an+\an

列，4为二阶公比.已知二阶等比数列I%｝的二阶公比为忘9=1,见=及，则使得4>2024成立的最小

正整数〃为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由题意知二阶等比数列I4｝的二阶公比为忘,％=1,/=啦，贝血,

故4=（可，也=（近厂,…牛=血，

an-\an-2a\

（〃一）〃1（n-1

将以上各式累乘得：+网一.四一••…V2=（V2）—=2-

故6=2誓，令2号>2024，由于2Kl=1°24,2"=2°48，

故土尸>10,即（〃—1），>40,

又（〃一1）〃的值随”的增大而增大，且（7-l）x7=42,（8-l）x8=56,

、/r-jQ_L(〃T)〃21

当〃=7日寸，24=22=2i°x0<2i°x2=2O24'

当〃=8时，2'^=2“>2024,

故n的最小值为8,

故选：B

例3.（2024•湖北武汉・统考模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透

过"层薄膜，记光波的初始功率为《，记《为光波经过第左层薄膜后的功率，假设在经过第左层薄膜时光

波的透过率£=今=（,其中％=1,2,为使得123,贝产的最大值为（）

底—1/。

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

11

P1P.1P,1_11_9-2024

［解析］由题意昔=三=行，…，”=孑，所以万一3*尸乂…y*5=七而>22,

P

„-12匕22Po2/2~

所以1）82024,即“（“+1）44048,

显然〃"）="（"+1）关于"单调递增，其中“eN*,

又/（63）=4032<4048<f（64）=4160，所以〃的最大值为63.

故选：C.

例4.（2024・陕西咸阳•统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以

下猜想：月=22"+1（〃=0,1,2,…）是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出

^=641x6700417,不是质数.现设为=1（^（月-1）,数列｛%｝的前〃项和为S“，则使不等式

2024

〈初成立的正整数"的最大值为)

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】依题意，a-log(/^—1)=log22=2",S=-----------=2(2"-1),

n22n1—2

—11

贝I-------------------------7n,,+1

snsn+l4(2"-1)(2"+1-1)22-l2-l'

2223T2n+1111111111、

贝nlIj------1---------HLH---------=—(z-----------------1—；-----；---1—;--------2------Tl-LH---------------：---)

22334K+1

S,S2S2S3S„Sn+122-12-12-l2-l2-l2-l2"-12-1

112024

=5（1一不口）〈茄均，即2向<4050,而〃eN*,解得〃<10,

所以满足条件的正整数〃的最大值为10.

故选：B

例5.（2024.全国.模拟预测）已知“eN*,匕，或=十£/数列｛4｝与数列也,｝的公共项按

从大到小的顺序排列组成一个新数列｛%｝,则数列｛5｝的前99项和为（）

19619899

A.——cd

197199199

【答案】D

【解析】因为数列｛2〃-1｝是正奇数数列，对于数列｛（〃+1）2-1｝,当〃为奇数时，设"=2左则

（〃+1）2-1=4/-1,为奇数；当”为偶数时，设〃=2左（丘N*）,贝|（〃+1）2-1=（2k+1）2-1=4左（左+1）,为

]

偶数,所以g=

4n2-l

]_]_j_1______1_

4«2-1-(21)(2〃+1)-2,2〃-1.2n+l

*,、，1,11111,1,199

\以Ci+Q+•••+CQQ=-X（1--1------F••--------）=-X（1----）=---,

129923351971992199199

故选：D.

例6.（2024・广东广州•华南师大附中校考一模）在数列｛4｝中的相邻两项。,与%之间插入一个首

项为%-工1公差为-上1的等差数列的前〃项，记构成的新数列为也,｝,若%=37,则也｝前65项的和

nnn+1

为（）

2527

A.——B.-13C.——D.-14

22

【答案】A

]121

【解析】数列｛2｝为：4，4-1,々2，。2一个。2一1，。3，。3一不。3一不。3一1，…，1〃，。〃,

233n

设。”及其后面〃项的和为s“，贝”,,=5+1”“-山土9x^=2-四=工（3-冷,

2n22

所以数列｛、｝是以1为首项，公差为的等差数列.

所以也｝前65项的和为00°25,

3]++,,•+3]0=--------=----

故选：A.

例7.（2024.河南.河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲

后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一

个正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意

正整数4,按照上述规则实施第“次运算的结果为为（〃©N）,若。5=1,且a,[=1,2,3,4）均不为1,则

%=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

3%+1,4,为奇数

【解析】由题知4M因为“5=1，则有:

率,见为偶数

若〃4为奇数，贝Ij%=3。4+1=1，得。4=。，不合题意，所以〃4为偶数，则。4=2%=2;

若。3为奇数，则。4=3%+1=2,得。3=g，不合题意，所以〃3为偶数，%=2〃4=4;

若。2为奇数，则。3=3g+1=4,得。2=1,不合题意，所以的为偶数，且。2=2%=8；

7

若％为奇数，贝1]%=3%+1=8,得％=1,不合题意，所以％为偶数，且4=2%=16；

若。o为奇数，贝!J%=34+1=16,可得佝=5；若%为偶数，则/=2〃]=32.

综上所述：。（）=5或32.

故选：B

例8.（2024.陕西安康.陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列｛见｝的首项为1,

+师，〃为奇数,则数列｛%.2“，｝的前2023项和为（）

an+cos师,〃为偶数

A.2022-22024+2B.2022-22023+2

C.2022-22024+1D.2022-22024-2

【答案】A

【解析】当"为奇数时，n=2k-\,左eN*,cosnn=cos（2Z:-1）n=cos（-71）=-1,ZeN*,

当〃为偶数时，n=2k,左eN*,COS/OT=COS2历i=cos0=l,ZeN*,

.----an-i,n=2k-l*

••4+|=Jn,左eN，

an+l,n=2k

当〃=2左，女£N*时，

(2左—1)+22Z+1*

a2k+\="2女+1=〃(22-1)+1+1=~]~~--a2k-l-1+1=^2k-lf左£N，

—iZK—1

.•.鲁^二粤十，%eN*,即"为奇数时，数列是常数列，&=?=1,

2左+12k-1In)”1

.•.当”为奇数时，an=n.

又：当“为偶数时，"+1为奇数，an+i=an+\,：.an=all+l-l=n+l-l=n,

综上所述，数列｛%｝的通项公式为4=".

数列(«„-2°"｝的通项公式为%2”=〃.2”，其前2023项和T2023为，

1232023

T1sm=1X2+2X2+3X2+.--+2023X2,①

①x2,得

25023=1x2?+2x23+3x24+...+2023x22024,②

①-②，得

Yo23Tx2】+（2-l）x22+（3-2）x23+…+（2023-2022）x22®3-2023x2284,

12320232024

/.-7；023=2+2+2+---+2-2023x2,

2（l-22023）

一1023=—------------2023x22024>

20231-2

20242024

-7；023=2-2-2023x2,

-^023=-2-2022x22024;

2024

7；023=2022X2+2.

故选：A.

例9.（2024.江西・金溪一中校联考模拟预测）如图，有一列曲线外，A，8，…已知外所围成的图形是面

积为1的等边三角形，匕旬是对《进行如下操作得到：将4的每条边三等分，以每边中间部分的线段为

边,向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（左=0,1,2,…）。记S”为曲线与所围成图形的面

积。则数列⑸｝的通项公式

【答案】*-1通

【解析】设《图形的边长为“，由题意可知，旦2=1,边数是3；

4

根据图形规律，A图形边长为边数为B每一条边都扩大4倍，即3x4；

8图形边长为差，边数为3x4%

以此类推，匕」图形边长为号，边数为3x4"、

《图形边长为右,边数为3x4"；

而根据图形规律可知曲线乙所围成图形的面积S,等于曲线A-所围成的面积加上每一条边增加的小等边三

角形的面积，

每一个边增加的小等边三角形面积为乎X(/)2,

则S,=%+(3x4"T)x4x(三)2,整理后得S“=S,T+：X

45Jy

又占图形的面积5=1+3、¥*0|)2=(

由累加法可知，S2=d+gx(gy,s3=s2+1x(J，……，S“=S,i+；x(#,

得如耳

1

"3]_i55⑺

9

故答案为：S„=---xW

【过关测试】

一、单选题

1.(2024.全国.校联考模拟预测)已知等差数列{a„}满足3%=8aI?＞。，记数列

{2}：2=凡见+9川心右河^的前n项和为Sn,则当S"有最大值()

A.%B.九C.,醺D.S7

【答案】A

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,由3%+8%2>0,得3%=8（%+7d）,解得/=—三/>0,

则d<0,4=-gd，数列｛4｝是首项为正数的递减数列，

、八--d+（n-l）d>0

r>0511

由"，即"，解得15£<“<16£,

a„<07655

i〃+1i---------a+na<0

[5

即。16>0，%7<0，于是4>%>。3>•••>66>0>%7>。18>•••而％=44+4+2,

（），

因止匕4>b2>b3"•>%>>%>bl8>•••,且九二q5%6%7<0瓦6=«16«17018>0，

则S[4>S[3>…>S],Sl4>S]5,Sl5<S]6，S]6>S[7>S]8>L，

693

又S]6-S14—b、5+bl6=Q]6%7（%5+〃18）=%6%（—+=工d%6c%>0，

所以s〃中九最大，即当〃=16时，s〃取得最大值.

故选：A

2.（2024•陕西咸阳•统考模拟预测）等差数列｛%｝中的。2，«2024是函数〃力=/-6炉+仆2024的极值

点，则1。88/3=（）

A.-B.—3C.3D.—

33

【答案】A

【解析】由/（力=d-6/+4%—2024求导得：尸（X）=3/-12X+4,

WA=122-4X3X4>0,即广（》）=。有两个不等实根玉，三，

显然为，三是/（X）的变号零点，即函数的两个极值点，

2

依题意，a2+a2024=xl+x2=4,在等差数列｛q｝中，0=%+；*2,

所以logs-3=1%2=；.

故选：A

「、[a+2,n=2k-l

3.（2024•广东深圳•统考一模）已知数列｛4｝满足4=%=1，%+2=_9,（左eN*）,若S“为数列

｛为｝的前"项和，则/=（）

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

,、&+2,〃=2%-1*

【解析】数列｛%｝中，4=%=1,风+2=（壮N*）,

[_,TI_z/c

当"=2"l/wN*时，an+2-an=Z,即数列｛叫的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差为2,

n,cl125x24c_

贝U4+/+%+,,•+Q49=25xIH---——x2=625,

当〃=2k«eN*时，—=-1,即数列｛。”｝的偶数项构成等比数列，其首项为1,公比为T,

an

1X”（―1产］

则%+%+。6+,,,+050二二1

1-（-1）

所以S5Q=（q+%+%+049）++。4+46+,,,~。5。）=626.

故选：C

4.（2024・湖南岳阳•统考一模）已知两个等差数列2,6,10,…及2,8,14,....200,将这两个等差数

列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列｛%｝,则数列｛%｝的各项之和为（）

A.1666B.1654C.1472D.1460

【答案】A

【解析】有两个等差数列2,6,10,…及2,8,14,200,

由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：

194-2

2,14,26,38,50,182,194,共有一^—+1=17项，是公差为12的等差数列,

2+194

故新数列前17项的和为二「xl7=1666,

即数列｛4｝的各项之和为1666.

故选：A.

5.（2024.海南•校联考模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于

解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,•••,据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

【答案】C

【解析】观察此数列，偶数项为2,8,18,32,50,…，可得此时满足%,=2/,

奇数项为0,4,12,24,40,…,可得%«=-2",

所以％6=2x8?=128,Ogg=2x302=1800,则。监=“2x8-1=—2x8=112,

所以％5+。60=112+1800=1912.

故选：C.

6.（2024•江西宜春•校联考模拟预测）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如

图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中==­=44=1，如果把图2中的直角三角

形继续作下去，记。4，。4,L,。4的长度构成的数列为｛4｝,则%5=（）

ICME-7

图1

A.25B.24D.4

【答案】C

【解析】由题意知，04=44=44=…=44=1,

△。44，△。44，L,AOA74,L都是直角三角形,

，4=1,且d=4.+1(〃22),故片一4_1,

二数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

「.a；=l+(n-l)xl=n.

又%>°，，

，数列｛%｝的通项公式为%=册，

%5==5,

故选：C.

7.(2024•浙江温州・温州中学模拟预测)已知数列｛。“｝满足4=。(。>0),向冠=a.+l,给出下列三个结

论：①不存在。，使得数列｛4｝单调递减；②对任意的。，不等式凡+2+凡<2。前对所有的“eN*恒成立；

③当。=1时，存在常数C,使得。“<2〃+C对所有的〃eN*都成立.其中正确的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

aa

【解析】由小4+1。“=%+1,q=a(a>0)可得>0,贝I]。用=包土D-=a,+1+2,„+\-„=—+2>0,

anan%

则Va>0,都有数列｛%｝单调递增，故①正确；

aa

由„+i~„=-+2可得(a„+2-a,+i)-(4+i-。“)==~但,又数列｛%｝单调递增，贝U

anan+lan

4_4+i<0，

则(凡+2一凡+1)一(%+1一％)<°，即4+2+%<2%+i,②正确；

由〃〃+i=%+—+2可得〃”+]-2(〃+l)=a〃_2〃+—,贝=+---,L,

ananan-l

“3-2x3=%-2x2+—,%-2x2=q-2xlH,将以上等式相加得

ci?

cc11111

。〃一2〃=q—2H-----1------1-----1-------=------1-----1-------,

〃21。21

又册>0,｛%｝单调递增，则又由为+1=4,+,+2可得

an

a〃+i—3(〃+1)=-3〃H-------1V〃〃一3〃,

%

11111/11、

又q-3<0,则a“一3w<0,即——>丁，贝!]——+—+--->-X(-+T+--+-7),设

an3na2an_x323n-1

£/、1111

f(n)=—+-+—+­•­+-----,

234n-1

zx1<11W111C111〜口「/、,、,,/、

g(n)=-+-+-++++易得/(〃)2g(〃)，当〃一”时，g(〃)f+oo,

2<44)\ooooy2Z2

则〃〃)f+8,-+•••+-―->+”,故不存在常数C,使得4<2〃+C对所有的“eN*都成立，故③错误.

a、

故选：A.

8.(2024•浙江绍兴.浙江省新昌中学校考模拟预测)设等差数列｛%｝的前”项和为S,,首项％>0,公差

d<0,若对任意的总存在上eN*,使邑1=(2左一1电.贝必―9〃的最小值为()

A.-74B.-64C.-53D.-43

【答案】C

【解析】由题意得(21)(3+*)=Qk-1)5,,

则得电,即%=S,,

令〃=2得以=邑，即q+(4一l)d=2q+d①，即得左_2=幺.

d

因为首项4>0，公差d<0,则得左一2=幺<。，即左<2.

a

又因为上eN*,所以％=1,代入①得1=-％.

当d=一1时，由％=S“得%-(k-1)0,=nax-―

,(n-l)(n-2)„,1221上。

即0nk=-----------------1-1,所以左一9九=—〃---n+2

222

即蓑

NIZJo

因此当”=10或11时，左-9〃的最小值为-53.

故选：C

9.(2024•浙江•统考二模)已知｛4｝为非常数数列且4片。，4=〃，

aa

n+i=n+sin(2an)+2(/z,AGR,nGN*),下列命题正确的是()

A.对任意的％,〃，数列｛%｝为单调递增数列

B.对任意的正数£,存在2,〃，%(附wN*),当〃>%时，

C.存在4,〃，使得数列｛%｝的周期为2

D,存在2,〃，使得％+an+2-2%+J>2

【答案】B

［解析］当2<-1时：%=sin(24)+2<0恒成立.此时数列也｝为单调递减数列.A错误.

令2=—sin2,记g(%)=%+sin2元一sin2,h(x)=x,则g(l)=l,令1)=1.

g'(x)=1+2cos2x,令g'(x)=1+2cos2］=0ncos2x=——,取1二—

则g(x)在。1］上单调递增.

JI

令g(尤)=h(x)=>%=5—1或％=1.

如图所示：在区间内总能找到一个外,使得%的极限为1.B正确.

假设存在4，〃，使得数列｛4｝的周期为2,即乙+2=%.

则14+i=a“+sin(2%)+2①

'1%+2=%+sin(24+J+4②

②-①：4+2-。用=%+i-%+sin(23,+J—sin(2%),又%+2=。“.

化简得：2%+sin(2an)=2an+1+sin(2an+1).

记f(x)=x+sinx,/'(x)=1+cosXN0恒成立.

故/(%)=x+sinx在A上单调递增.

要使2an+sin(2%)=2an+1+sin(2«„+1),

则需2an+1=24.与｛«„｝为非常数数列矛盾.C错误.

因为4+1=a„+sin(2a„)+2

所以4+2=%+i+sin(2%+])+2

则寓+an+2-2a„+1|=|(an+2-a„+1)-(a„+1-a„)|=|sin(2a„+1)-sin(2a„)|<2.

不存在4,〃，使得|q+。“+2-2%」>2。错误.

10.(2024・浙江绍兴•高三校考阶段练习)己知数列｛%｝,“eN*,an+1=a；-2an+m,meR,下列说法正确

的是()

A.对任意的根e(0,1),存在q使数列｛%｝是递增数列；

95一

B.对任意的，”e(存在使数列｛4｝不单调；

C.对任意的me(0,D,存在％使数列｛%｝具有周期性；

D.对任意的〃ze(0,l),当qe[l,2]时,存在%>3.

【答案】C

【解析】A选项，要想保证数列｛%｝是递增数列，则必有。2>%,其中

%-q=〃；一3〃[+相=[q+加一t,因为q£[l,2],所以当q=l或2时，一十加一\取得最大

值，此时为机-2,故根-2>0,解得：m>2,而根£（0,1）,不合题意，故A错误；因为

aa=aa+m=a

n+l~nn~^n\n~~\+加一[，加《'所以4+1.4=d.3%+机=[4-]J+m-->Q,

数列｛%｝是递增数列，故B错误；

令〃x）=f一2x+机，令Y-2X+M=X,解得：%=三与四，三题，即

.3+V9-4m3+的―4加1」3—49一4m3-^9-4m”小丁二-「、r小

A—七——，—七——，B———，二^——为其不动点，因为血£（0,1）,所以

122JI22）

3-的一4加（3-^^

演=----二----E°，---，

X=3+J：4M£3+^j,令％2_2x+根=1得：4=1+，2——£（2,1+夜）,x4=l-yj2-m<0,且

2I2）

巧<%2，从蛛网模型可以看出，

当弓式1,2]时，随着〃的增大，”“）趋向于不动点4产年4”,3+年4加]或不动点

I22）

3—，9—4M3—J9—4zn

B—————或变为周期数列，且此时数列的值均在A点的左边，故对任意的相£（。,1）,当

11.（2024•浙江•高三专题练习）已知函数/（x）=（d-2x）（d+依+6）+6,且对任意的实数尤，

〃x）=〃4-x）恒成立.若存在实数入巧，…，x„e[0,5]（〃eN*）,使得27（x“）=£/（%）成立，则〃

Z=1

的最大值为（）

A.25B.26C.28D.31

【答案】B

【解析】由题意得〃/4、)=/(O/、),〃/3、)"⑴/、，所以命8(16++泣4G+儿Z?)+66==一6,(1+»)+6解得[a=所-6,以

=(尤2-2尤)(彳2_6彳+8)+6=x(x-4)(x—2)~+6=(工一2)4-4(x—2)2+6

=[(x-2『-2]+2.

令(x-2)2=t,若无e[0,5],则fe[0,9].

令//(。=(7-2)2+2,?e[0,9],故/z(f)e[2,51],即当xe[0,5]时，e[2,51].存在耳，巧，…，

马目0,5](weN*)使得成立，即存在天，巧，…，x„e[0,5](〃―*),使得

;=1

)(4)"(%)+/(%)+…+/(X"-1)，由xe[0,5]时,/(力的最小值为2,最大值为51,得

51>/(x„)=f(Ai)+/(x2)4-..+/(x„.1)>2(77-l),得〃4手，又“eN*，所以可得W的最大值为26.

故选：B.

12.(2024•浙江舟山・舟山中学校考模拟预测)设数列｛%｝满足a.-2区用+4>1对任意的〃eN*恒成立,

则下列说法正确的是()

A.an+2an>a^I+1

B.数列｛4｝单调递增

C.存在正整数当〃>"时，恒成立

一

D.存在正整数M,当〃〉V时，%>土恒成立

"3

【答案】D

【解析】an+2-2%+i+an=(a„+2-an+i)-(an+l-a„)

令2=%+「%，则％

对A：反例：q=T,2=2",bn+l-bn=2

满足“+1-6">1

此时。2=1，%=5,a3ax<al,故A错误；

f—2,n=lf6,n=l

对3：反例：4=1,,bn+l-bn=\

[2n,n>2\2,n>2

满足2+1-2>1,

此时，q=1,a2=-l,%=3,数列｛〃〃｝不是单调递增数列.

对C：反例：b„,+>1满足条件.

但对任意的切有an+l-an=bn<n,

因此不存在正整数当〃〉“时，见+|恒成立.

对。：当“22时，2一伪=（2一口）+（包「*）+…+（a一4）>"一2

因此用>仇+（〃-2）,

an~a\={an~)+(an-l~4-2)+…+(2-°!)

—+b〃_2+...+b]>[(7?—2)+(〃—3)+...+1]+(〃—1)Z?!

(〃一2)(〃一1)/八71

即>------------F(几-l)Z?j+%=-n〃+1+4—仄

4」/」/+仿一3"+l+“i』2

b1—n-11+%-Z?j|n

3612/6

«-6|bx--+11+%-Z?j|n

62

因此存在正整数M>6[4-1+|1+%-可

当”时，应-;〃2>。恒成立，故。正确.

故选：D

13.（2024•浙江.高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知数列｛4,｝满足

«1=31,——n+1—=—Tr〃/e、N丁*\,若不等式二8+—1+而20对任意的〃eN*都成立，则实数九的取值范围

2nnan+1/n-n

是（）

A.B.[-15,-K»）C.[一4五-9,+oo）D.[—18,

【答案】A

-nEN

【解析】由数列｛%｝满足％=不，---。〃+1=----1（）,

LKiIi

可得。2=乙，易知/。。，

6

n+1

因为---4+i

nan+l

nna+1

所以

〃+1)a

n+l

]

所以—=1

九+1)〃〃+1nan

因为％=;,

所以是首项为2,公差为1的等差数列，

所以——1=—1+(/〃—八1)=〃+1,,

nanax

1

所以。

Q1

因为不等式=+—+丸。〃20恒成立，

nn

所以整理得22_(8+w)(w+1.)恒成立，

n

因为/⑺=_(8+中+1)=_"］+9卜_］2^^+9=-472-9,当且仅当“=：n〃=2夜时取等

号，舍去.

当”=2时，/(2)=-15=-y；当〃=3时,/(3)=-y,

所以丸之一_—,

即实数4的取值范围是［「-T44，+"J、,

故选：A.

14.(2024・浙江绍兴•校考模拟预测)已知正项数列｛%｝满足［彳。，；］,片-l=ln(2〃口+J(〃EN*),则

)

A.对任意的〃EN*,都有。

B.对任意的〃EN*,都有为＞〃“+1＞。

C.存在〃£N*,使得

D.对任意的〃£N*,都有。〃+1N寸

【答案】D

—1=111(24%+]),不妨令4=%,贝彳五[-1=Infz--,即

【解析】因为

a=

^2>0,tz2>1,故AB错误;

ln(2tzA+1)=ln((2«A+1-l)+l),构造“x)=ln(x+l)-x,贝ij尸(%)=々—1=三，^xe(-l,0),

/^x)>0,单增，当xe(O,y)时，/'(“<0，单减，故/(x)<〃0)=0,即ln(x+l)Mx,所

以ln((2aaa用—1)+1)(2为%+1-1,即4一1V24aM-1,因为。，>0,所以4累乘法可得

an,

号宁合！,即等也即％2果.故c错误，D正确.

UnUn-\%44/2

故选：D

15.(2024.江西.江西省丰城中学校联考模拟预测)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的

推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经

历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知数列｛见｝满足：

=cos2--sin2—,记d=(3九一1)%,〃EN*,则数歹U抄〃｝的前60项和是()

A.130B.-845C.90D.-860

【答案】C

2〃兀.2〃兀2〃兀

【解析】•・・〃〃=cos----sin—=cos---,

333

2(几+3)兀(2mi,、2ml

,,an+3=cos-------=cos----F2兀=cos---=a,

33)3

数列｛叫是以3为周期的周期数歹！J,

又q=cosg=

如__J_a=cos2兀=1,

21"一一53

•••｛%｝的前60项和为(4+"+以+…+〃55+々8)+(&+么+4+~+々6+a9)+色+4+4+3+仇7+40)

=(2+ll+20+---+173)xl+(5+14+23+•••+176)x1-1j+(8+17+26+…+179)x1

120x(2+173)120x(5+176)20x(8+179)

=-------XX=—875—905+1870=90.

22222

故选：C.

16.(2024•湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习)已知数列｛4｝满足：。向+(-1)"%=3〃-中7€M).则

｛%｝的前60项的和为()

A.1240B.1830C.2520D.2760

【答案】D

【解析】由。”+1+(—1),=3〃—1,

故4—%=2,%+%=5,4一仆=8,〃5+〃4=11，…

故%+〃3=3,。5+%=3,%+〃9=3,.…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；

%+%=13,&+。8=37,+^10-61,....

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.

[5x"14

故S060n=3x15+13x15+----2----x24=2760.

故选：D.

17.（2024•河南驻马店•高三校联考阶段练习）数列｛4｝满足。用+（-1严%=2〃，则数列｛%｝的前60项和

等于（）

A.1830B.1820C.1810D.1