数列求通项（9类题型归纳）-2025年北京高考数学复习热点题型专练（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题06数列求通项

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型oiS“法...................................................................................1

n

题型02类S“法已知等式中左侧含有：£咕...................................................2

«=1

题型03累加法.................................................................................3

题型04累乘法..................................................................................4

题型05用“待定系数法”构造等比数列..........................................................5

题型06用“同除法”构造数列...................................................................6

题型07用“倒数变换法”构造等差数列..........................................................6

题型08形如an+1=pan+4"+（〃w1）型.......................................................7

题型09形如an+l=pan+qan_x(p^O)型.........................................................7

o------------题型探析,明规律-----------♦>

题型01S“法

【解题规律•提分快招】

①S"=%+。2+“3+an-l+a”；

②S“T=q+4+。3+・a吁I（n>2）

①-②：S“-=a,（〃22）

a

【典例14】（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）已知递增数列｛%｝的前a项和为4，若q=l,S向+2%+「3=：S”，

则上的取值范围为（）

A.（0,4）B,（4,+oo）C.（0,3）D.（3,+oo）

【典例1-2】（2023•北京东城•一模）已知数列｛%｝各项均为正数，%=3%,S”为其前〃项和.若｛疯｝是公

差为I•的等差数列，则％=，«„=.

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，2%+l=3S,，若0<2”对任意的〃wN*

恒成立，则实数f的取值范围为（）

A.(-3,2)B.[-3,2)C.[-3,2]D.(-3,2]

【变式1-2］（2023•北京•模拟预测）己知数列｛%｝的前〃项和S〃="2+3”+2SeN*）,则数列｛%｝的通项

公式为.

【变式1-3］（2023•北京•模拟预测）设数列料,｝的前〃项和S“=4"T-1,则a“=；使得命题

">乂,"eN*,都有an+1-an>100"为真命题的一个No的值为.

题型02类S”法已知等式中左侧含有：£咕

i=l

【解题规律•提分快招】

已知等式中左侧含有：£。,伪作差法（类似例：已知4+2%+3%+…+吗,=2"求4,

（典例1-11（2024•江苏盐城,模拟预测）若数列｛。"｝满足2%+T-'a2+■••+2%=4",｛%｝的前〃项和为5„,

则（）

2,n=l

【典例1-2】（2024,广东广州•模拟预测）已知数列｛%｝满足4+30+9/+…+3"一&=（，设数列｛%｝的

前n项和为S,，则满足S,、<k的实数k的最小值为.

【变式1-1］（2024•天津北辰•模拟预测）设数列｛4｝满足％+2g+3%+…+"4=2"+l（〃eN*）,则数列

【变式1-2］（23-24高二下•吉林长春•期中）已知数列｛%｝是正项数列，且

枢T---\-yfa~-n2+3n｛neN*）,则^■+与+…+,=（）

A.216B.260C.290D.316

【变式1-3](24-25高三上•甘肃兰州•阶段练习)已知数列｛%｝满足4+2%+3/++次?”=〃("+2),则

题型03累加法

【解题规律•提分快招】

若数列｛%｝满足册+「%=/(〃)(〃eN*),则称数列｛许｝为“变差数列"，求变差数列｛。“｝的通项时，利

用恒等式4=%+Q-％)+(。3-。2)+…+(4-4-1)=%+用1)+用恒+/⑶+…+/(九一1)(〃22)求

通项公式的方法称为累加法。

具体步骤：

/一=/(I)

%-4=/(2)

。4一%=/◎)

=/("T)

将上述1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：

(“2-4)+(“3—”2)+(。4-%)+「+("”一凡-1)=/(1)+/(2)+/(3)++/(«—1)

整理得：«„-a1=/(l)+/(2)+/(3)++/(n-l)

【典例1-1】(2023•北京大兴•三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，

后人称为"三角垛三角垛"的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，

设各层球数构成一个数列｛%｝9=1,%=3,%=6,«4=10,则a=()

〃9

【典例1-2】(2024•北京西城•一模)在数列｛%｝中，%=2,4=-3.数列也｝满足6“=4+「%(女河9.

若也｝是公差为1的等差数列，则｛b„｝的通项公式为2=,an的最小值为.

【变式1-1](23-24高二下•北京大兴•期中)已知数歹式。“｝满足％且4=10,则。“的最小

值是()

A.-15-14

C.-110

【变式1-2](2024・河北唐山•二模)已知数列｛4｝满足。用=。,+%+2",即)=130,则4=()

【变式1-3](2023•云南红河•一模)已知数列｛q｝满足：ai=9,an+l-an=2n,贝!]/=()

题型04累乘法

【解题规律•提分快招】

若数列｛许｝满足&"=/(〃)(〃eN*),则称数列｛%｝为“变比数列"，求变比数列｛%｝的通项时，利用

a

n--------4-=q./⑴"(2)"(3)•…("22)求通项公式的方法称为累乘法。

。2。3an-\

具体步骤：

■⑴

ax

%=八2)

。2

幺=/(3)

2=/5-1)

将上述1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得：

"•&="1)./⑵/⑶."("—1)

a]CI3〃1

整理得：^=/(1)-/(2)/(3)-

【典例1-11(22-23高二下•河南南阳•阶段练习)已知数列｛4｝的项满足“用=号％,而q=1,则册=()

2211

（〃+l）n（n+l）2"-I2n-l

【典例1-2］（23-24高二上•江苏盐城•期末）数列｛%｝满足％=2,%+尸亚口氏（”eN*）,则

n

。2024__

+^^4+•••I^^2023

【变式1-1］（23-24高二下•山西晋城•阶段练习）已知数列｛4｝满足，4=1,nan+l=（2n+2）an,则

"100/、

二（）

I^^3+^^4++Cl-yQ0

50515051

A.----B.----C.—D.—

1011019999

【变式1-2］（2022•山西太原•二模）己知数列｛4｝的首项为1,前力项和为S“，且“S角=（”+2）S“，则数

列｛4｝的通项公式%=.

【变式1-3］（2023•陕西咸阳•模拟预测）数列｛风｝满足4=2,且当=普、（〃eN*且〃>1）,若｛q｝

3〃+13n—2

的前〃项和为S",贝IJ满足S,>R217的最小正整数〃的值为.

题型05用“待定系数法”构造等比数列

【解题规律•提分快招】

形如40+1=而〃+"（左Q为常数，切片0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为

许+1+〃?=%（%+咽（其中：m=-^―）,由此构造出新的等比数列｛册+，科，先求出｛。“+利｝的通项，从而

K-1

求出数列｛见｝的通项公式.

标准模型：«„+1=kan+p（匕P为常数，3#0）或％=总〜］+。（匕2为常数，kp^O）

2

【典例1-1］已知数列｛%｝满足。用=§%+4,且4=1,则｛%｝的通项公式为（）

…3t「C—］「D.…+（|「

【典例1-2］若数列｛《,｝满足，%=2,a„+1=3o„+2（«>l,«eN）,则数列｛《,｝的前〃项和S“=.

【变式1-1］已知数列｛q｝满足%+i=24+2,4=1,则。“=.

【变式1-2］已知数列｛4｝满足%M=2%+g,且｛叫前8项和为761,则％=.

【变式1-3］已知数列｛%｝满足%=-2,且a“+i=3a,+6,贝！|。"=.

题型06用“同除法”构造数列

【解题规律•提分快招】

(1)形如%+i=4%+pq"+i("eN*),可通过两边同除将它转化为寝■=2+",从而构造数列?

qq［qJ

为等差数列，先求出I3］的通项，便可求得｛《,｝的通项公式.

n+in+l

(2)形如4用=kan+q(〃eN*),可通过两边同除q,将它转化为索=+1，换元令：仇=之,

qqqq

k

则原式化为：bn+l=-bn+l,先利用构造法类型1求出4，再求出｛凡｝的通项公式.

q

(3)形如许-%+1=3"+1即(左工。)的数列，可通过两边同除以即+1%,变形为」--2=-左的形式，从而

。〃+1册

构造出新的等差数列先求出］，1的通项，便可求得｛aJ的通项公式.

【典例1-1］已知数列｛q｝满足。角=34+3"(〃wN*),且弓=1,则数列｛叫的通项公式为.

【典例1-2】数列｛。“｝满足卬=2,〃用=2%+2用，则数列｛q｝的通项公式为%=.

【变式1-11数歹！］｛%｝满足％=2,。同=3%+2M,则数列｛%｝的通项公式为%=.

【变式1-2］记数列｛4｝的前〃项和为3若为=2,2.用-3%=2",则十晨=.

【变式1-3］已知数列｛q｝的首项为4=1,且满足。用+%=3x2",则a“=.

题型07用“倒数变换法”构造等差数列

【解题规律•提分快招】

类型1:形如册+1=上」(。应为常数，。行。)的数列，通过两边取“倒”，变形为，=工+'，

pan+qan+lanq

即：从而构造出新的等差数列先求出的通项，即可求得册.

ka

类型2：形如4+i=——n(PM为常数，〃w0,乡。0,左。0)的数列，通过两边取“倒”，变

PM+q

qIpap

形为——1=£—+：，可通过换元：〃7=一1，化简为：优+i=/d+f(此类型符构造法类型1：用“待

%+ikankankk

定系数法''构造等比数列：形如。“+1=肌”+。(匕。为常数，kp片0)的数列，可用“待定系数法”将原

等式变形为即+1+机=左（即+〃，）（其中：“7=4），由此构造出新的等比数列｛%+m｝,先求出｛许+相｝的

k-1

通项，从而求出数列｛凡｝的通项公式.）

【典例1-1］己知数列｛4｝的首项4="且a用=J］，,+,+L+'<2025,则满足条件的最大整数

n=.

「、1

【典例1-2】数列｛。“｝中，若4=1,凡包=式尸，则—=-

【变式1-1］己知数列｛4｝满足4=1,a向=肃力，（〃eN*）,则氏=.

【变式1-2］已知数列｛%｝满足％=l,2an+1-an+a„an+l=0（neN*）,则数列｛%｝的通项公式为.

【变式1-3］已知数列｛”“｝满足％=；,且““+L/R，则数列｛%｝的通项公式为%=.

题型08形如4+1=夕%+W+77?（。/1）型

【解题规律•提分快招】

满足%+i=P%,+w（2。1）的数列｛%｝的通项公式的求法：

设a„+1++1）+5=p［an+An+B］,通过待定系数法确定A,5的值，转化成以4+A+8为首项，

以P为公比的等比数列｛4+An+B｝,再利用等比数列的通项公式求出｛an+A”+5｝的通项整理可得an

【典例1-1］在数列｛叫中，已知弓=2,且〃向=4见-3〃+l（“eN*）,则该数列的通项公式为.

【典例1-2］在数列｛《,｝中，%=3,且％=3a“+4〃-6（/eN*）,则｛4｝的通项公式为.

【变式1-1］设数列｛4｝满足q=4,%=3%+2K“22）,则数列｛%｝的通项公式为.

【变式1-2］若4=1，%+i=2a,-3"，wwN*,则。“=;

【变式1-3］在数列｛%｝中，已知q=3,且q用=3q,+4〃-6（〃eN*）,若7004a047000,则九取值的集合

为.（用列举法表示）

题型09形如«„+i=Pa“+qa“_［（pX0）型

【解题规律•提分快招】

满足a.=P%+qa.i（。w0）的数列｛%｝的通项公式的求法：

可以将递推式化为。用一当%=%（4-芯/_1）,其中再，马是方程/一小―4=0的两个根，若1

是方程的根，则直接构造数列｛氏-a—J;若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求

数列｛4｝.

【典例1-1］已知数列｛%｝满足。“+2+3凡=4乙+1,且。2=5,%=17,对VwwN*,（-iy'2（a„+l）<a„,则

数列｛%｝的通项公式是;实数％的取值范围是.

【典例1-2］已知数列｛4｝中％=1,a2=-,且满足4a4+i=4a“-a“_i（neN,心2）,则。“=.

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

1.（2024•广东河源•模拟预测）记S,为非零数列何｝的前〃项和，若S,M=2S“，”WN*,则?=（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2024・河南•模拟预测）已知数列｛4｝,｛"｝中，fl］=2,b1=6,an+x=2an,bn+l=2bn-an,若册=粼，则机=

（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2024洞北・模拟预测）已知函数〃》）满足〃》+1）-〃力=2》-1,且〃0）=1,设数列｛风｝满足％,=〃“）,

则数列｛4｝的前“项和的表达式为（）

A./—2〃+2B.n2—n+1

9-1)(21)n(n+I).

cD.———--n+l

•62

4.（23-24高二下•山西晋城•阶段练习）已知数列｛4｝满足，%=1,〃。用=（2"+2）%，则

“100-zX

一()

CL?।^^3+^^4++QQ

50515051

A.B.---C.—D.—

1011019999

5.(2024・山东济宁•三模)已知数列｛%｝中，4=2,%=1,a„+1=a„-a„_1(«>2,〃wN*),则%024=()

A.-2B.-1C.1D.2

6.（2024•河南•模拟预测）已知数列｛%｝满足」一=:,且%=：,则％ou=（）

an+l5%$4

口丫。“31011031010rriY010

bJi+31011i+31010bJ

7.（2024•湖南永州•三模）已知非零数列｛%｝满足2%用-2"+2a,=0,贝|］咏=（）