四川省自贡市某中学2024-2025学年高二年级上册12月检测数学试卷（含答案解析）

四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线/经过点和（i,o）,则直线/的倾斜角为（）

27r3万_n

A.—B.—C.一

343

2.已知空间向量值=（一1,2,1）,b=（3,x,-3）,且,//B，则x=（)

A.-3B.3C.-6D.6

3.在数列｛〃〃｝中q=1,a.=%+〃+L则4o=（）

A.36B.15C.55D.66

4.四棱柱的底面NBC。是边长为1的菱形，侧棱长为2,且

ZCiCB=ZCiCD=ZBCD=6（P,则线段4。的长度是（）

A.V6B.叵C.3D.VTT

2

fv2

5.设双曲线C：--2L=1（Q>0,b>0）的左、右焦点分别为B,F2,离心率为右.尸是

ab

C上一点，且尸/尸，尸2尸.若的面积为4,则a=（）

A.1B.2C.4D.8

6.已知抛物线/=2加（/?>（））上一点/（加/）到其焦点的距离为0,。为坐标原点，则

=（）

A.2B.VsC.4D.5

7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周

22

率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆二+4=1（。>6>0）的右焦点为

a2b2

厂（3,0）,过F作直线/交椭圆于42两点，若弦4B中点坐标为⑵T）,则椭圆的面积为（）

A.366TlB.18071C.9亚兀D.6岛

8.在长方体力3。。-44£。1中，AB=AD=2,AAX=\,。是/C的中点，点P在线段4G

试卷第1页，共4页

上，若直线OP与平面/CA所成的角为e,贝hose的取值范围是（）

V2邪V2V6百万

A.B.C.T'T

二、多选题

9.已知S”是等比数列｛%｝的前〃项和,邑，W，S6成等差数列，则下列结论正确的是（）

A.。2+。5=2。8B.。3+。6=2。9

C.=〃2,%D.=〃3,%

22

10.已知双曲线C:-^+工=1（0〈人＜1）,则（）

9-kk-1

A.双曲线。的焦点在x轴上

B.双曲线C的焦距等于4夜

C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于“二1

D.双曲线C的离心率的取值范围为1,

11.已知正方体N28-44GA的棱长为4,E尸是棱上的一条线段，且跖=1,点。是

棱4。的中点，点尸是棱G2上的动点，则下面结论中正确的是（）

A.尸。与EF一定不垂直B.当尸跖的面积是2拒

C.点P到平面。£尸的距离是定值述D.二面角尸-£尸-。的正弦值是巫

510

三、填空题

12.已知空间向量£=（-3,1,5））=（1,羽-1）,且£与石垂直，则x等于.

13.设椭圆C:旦+广=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为片，F],尸是C上的点，PF

«2b22

NPKB=30。，则椭圆C的离心率等于

14.已知数列｛4｝,满足不等式2%44_1+%+]（其中〃eN*,〃N2）,对于数列｛4｝给出以

下四个结论：

试卷第2页，共4页

(T)%—%—^3—。2；

②数列｛%｝一定是递增数列；

③数列｛%｝的通项公式可以是。“=2”；

④数列｛%｝的通项公式可以是。"="2-6”.

所有正确结论的序号是.

四、解答题

15.已知圆。：％2+丁=8内有一点尸(T2),直线过点尸且和圆C交于4,8两点，直线/

的倾斜角为a.

(1)当a=135。时，.求4B的长;

(2)当弦42被点尸平分时，求直线/的方程.

16.设等差数列｛.｝的前"项和为已知g=12,且S/2>0,Si3<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)问前几项的和最大，并说明理由.

17.已知点尸(1,加)在抛物线C:y2=28(p>0)上,1为焦点,且附=3.

(1)求抛物线C的方程；

⑵过点？(4,0)的直线/交抛物线C于48两点，O为坐标原点，求次•砺的值.

18.如图1,在A48C中，D,E分别为,NC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25

BC=4.将△4DE沿DE折起到△&£>£的位置，使得平面4DE，平面3CED,如图2.

(2)求直线AiE和平面AiOC所成角的正弦值;

试卷第3页，共4页

(3)线段4c上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为由？若存在，求出芟

34c

的值；若不存在，说明理由.

丫225

19.如图，已知椭圆二+方v=1(°>6>0)的离心率为苧，以该椭圆上的点和椭圆的左、右

焦点耳耳为顶点的三角形的周长为4(行+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设尸为

该双曲线上异于顶点的任一点，直线小和坐与椭圆的交点分别为4B和C、D.

(I)求椭圆和双曲线的标准方程；

(II)设直线PF、、PF2的斜率分别为《、k2,证明尢尢=1；

(III)是否存在常数2,使得|/同+|。|=川/郎|。必恒成立？若存在，求2的值；若不存在,

请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCDABCDABACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角.

-1-0

【详解】设直线的斜率为左，且倾斜角为。，则左=丁一=1,

0—1

冗

根据tana=1,而故。=^,故选D.

【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.

2.C

【分析】利用向量平行列方程直接求得.

【详解】因为空间向量之=（-1,2,1）,b=（3^,-3）,且Q//B，

3r-3

所以一;=：;=7,解得：x=-6.

-121

故选：C

3.C

【分析】利用递推公式，代入。10=（%o-。9）+（。9-%）"1------%计算即可.

【详解】由题意得知+1-4=〃+1,

e/、/、/、(1+10)x10

贝！JQ]0—(%()-%)+(。9—)+°，,+@2-升4=]N畀…+2i-1=------------=55.

故选：C.

4.D

【分析】根据空间向量运算法则得到直=丽+屈+西，再利用模长公式进行求解.

【详解】因为NGCS=NGCD=ZBCD=60°,|c5|=|c5|=1,|CQ|=2,

所以丽.丽=|丽卜cos60°=g,CDCC=\,CBCC=\,

H^jC4=c3+cc\=CD+CB+CC1,

所以C4=[CD+CB+CCl)

答案第1页，共13页

I---»|2I---►|2I-----Q--------►-------------►

=\CD\+p|+/11+2CDC5+2CDCG+KBCG

=l+l+4+2x-+2xl+2xl=ll,

2

所以|瓦卜而，即线段4c的长度是而.

故选：D.

5.A

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

【详解】•：?=出，”=岛，根据双曲线的定义可得||咫|-忸工||=2°,

SAPFFz=；|平H%|=4,即|小卜|尸用=8,

•.•片尸上巴？「闾2=（2城，

.­.(|P^|-|P^|)2+2|P^|-|FF,|=4C2,即/_5/+4=0,解得4=1,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式

的应用，属于中档题.

6.B

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】

1+勺P，解得:P=2,抛物线X?=4了，则/（2,1）或/（一2,1）,则

10^1=75,

故选：B.

7.C

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程与，再结合C=77万

xx-x2必+y2Q

即可求解出a、b,进而求出面积.

答案第2页，共13页

22

X

1M

-+

一

2铲22

Qy^

11

【详解】设小,必),B(x,y),则有＜22,两式作差得:

22X

2%

-+

一2F

Q

即左=4，

x,-x2y1+y2a

弦45中点坐标为Q,T),则左二一否+”义乌=—/冬,

%十为QTQ

又•.•斤=^^=1,—x-^,：,a2=2b2,

3-2-1a2

又■:c=y/a2-b2=3，；♦可解得a=3A/2»b=3,

故椭圆的面积为abn=9A/2TI.

故选：C

8.D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sin。的取值范围，由此求得sin。，即可得

解.

【详解】以。为原点，分别以所在直线为xj,z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示

则。(0,0,0),/(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),口(0,0,1),

ULUL1ULILUUli

设尸(a,2-a,l)(O4aW2),则。尸=(a-1,1-0,1),4。产(-2,0,1=12,2,0),

设平面NC2的法向量为J=(x,y,z)

万.4〃=—2x+z=0人一/…八

则万•就=-2x+2y=0'j=1，倚D

ruur

n-OPQ—1+1—CL+21

所以sin。=Ti-tttfatfrfr-----------/

22

mmV6j(«-1)+(1-«)+f1

由于

21227

/.sin3-=Gsin2Oe.,/.1-sin20e

l2+2953?9

答案第3页，共13页

--i___________\n6

由于Oe0,—,所以cos0=V1-sin20e—

9.AB

【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解.

【详解】若公比4=1有$3=3%,$6=6%,5=9%,

此时羽/邑+"，故公比六1,

由题意2sg=星+An2%（＞"=%（＞"+%（,"I

\-q\-q\-q

化简有4+/=2/，两边同时乘以％,可得：a2+a5=2as.

两边同时乘以。闻，可得：a3+a6=2a9

故有+%=2/或+&=2as，

选选：AB.

10.ACD

【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：对A：因为0〈左＜1,所以9一左＞0,左一1＜0,

22

所以双曲线C:———J=l（0〈左〈1）表示焦点在X轴上的双曲线，故选项A正确；

9-k\-k

对B：由A知。2=9—左,/＞2=1—左，所以。2=〃2+62=10—2^,所以J10-2k,

所以双曲线。的焦距等于2c=2J10-2左（0＜左＜1）,故选项B错误；

22

对C：设焦点在X轴上的双曲线C的方程为--4=l（a＞0,6＞0）,焦点坐标为（土c,0）,则

ab

渐近线方程为y=±2x,即土砂=0,

a

答案第4页，共13页

\bc\

所以焦点到渐近线的距离4=/「，=b

y]a2+b2

22______

所以双曲线c：H-六=1(。<左<1)的焦点到其渐近线的距离等于vr^,故选项c正

确；

对D：双曲线C的离心率6=

Q1A

因为0〈左<1，所以1<2-----<一，所以e=故选项D正确.

9-k9

故选：ACD.

11.BCD

【分析】对于A,利用特殊位置法，当点P与点2重合时即可判断；对于B,利用正方体

性质找点到直线的距离，计算三角形面积；对于C,利用线面垂直的性质定理可得是的高，

再利用三角形的面积公式求解即可；对于D,建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量,

利用向量法可求得二面角的余弦值的绝对值，从而即可求得.

【详解】对于A,当点尸与点R重合时，由正方体的性质易得尸。1面而昉u面

ABBXAX,所以尸0，瓦"故A错误；

对于B,点尸到跖的距离"="^=4收，所以邑团=白4亚xl=20.故B正确;

对于C,由于平面PEF就是平面ABC}D},

所以点。到平面PEF的距离为14。=后，所以即=}20x0=g,

又因为点Q到AB的距离为QA="+22=23'，所以S.婀=；xlx2指=6.

设点P到平面。跖的距离为〃，则;•邑2EK“=g,所以〃=?，故C正确；

对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，

如图所示，0(2,0,4),设E(4,f,0),尸(4,/+1,0)«>0),尸(0,",4),

所以市=(0,1,0),近=(4,f一一4),QE=(2J,-4),

-仿屈=0b=0

设平面PEF的法向量为〃=(七,弘，4),贝一,即|...n,

n-PE=0[4X]+«-〃)％-4Z]=0

答案第5页，共13页

令3=1,得必=0,4=1,则〃=(1,0,1),

m-EF=0%=0

设平面。射的法向量为加=(工2/2/2),贝卜一，即

m•QE=02X2+ty2-4Z2=0'

令々=2,得％=0,s2=1，则蔡=(2,0,1),设二面角尸-跖-。的平面角为。，

则cosa=k0s(〃,%)=」=所以sina=-；==----，故D正确;

I\'n'|mlV1010

【分析】利用向量垂直充要条件列出关于X的方程，解之即可求得X的值

【详解】空间向量2=(-3,1,5)I=(1,X,T),且Z与g垂直，

则-3xl+x+5x(-l)=0,解之得x=8

故答案为：8

13.2^/173

33

【分析】由已知可得P点坐标，在Rt△冏鸟中，由/尸片工=30。，可得2c=g»,结合椭

圆的性质即可求解.

【详解】如图所示,L(c,0),

答案第6页，共13页

在中，ZPF,F2=30°,

2c=V3x—,得2ac=g（〃2一。?），

a

整理得02+宜3-1=0,ee（0,l）,

3

解得e=".

3

故答案为：皂.

3

14.①③④

【分析】求得知-%与%-电的大小关系判断①；举反例否定②；利用题给条件证明数列

｛%｝的通项公式可以是%=2"肯定③；利用题给条件证明数列｛4｝的通项公式可以是

a„=n2-6n肯定④.

【详解】数列｛%｝满足不等式2为4％+4用（其中〃eN*,〃22）,

则有a„-4T<an+l-an（其中〃eN*,〃W2）,

①由a3-a2<aA-a3,可得。4-%2%-%.判断正确；

②当%=6时，满足2an<a,i+an+l,数列｛%｝为常数列.

则数列｛%｝不一定是递增数列.判断错误；

③当%=2"时，由2"T>0,可得2X2"42"T+2"*I,

即不等式2g+an+l成立，则数列｛%｝的通项公式可以是%=2".判断正确；

④当an="2-6〃时，

答案第7页，共13页

2a“+?,+])=2("2—6")—[1-1)—6®-1%(?+l)—6,+1%—2<0

2

则不等式2a“<a,i+an+l成立，则数列｛aJ的通项公式可以是a„=n-6n.判断正确；

故答案为：①③④

15.(1))730

⑵x-2y+5=0

【分析】(1)写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长；

(2)求出圆心与尸点连线斜率，从而得直线/斜率，得直线方程；

【详解】(1)由题意直线的斜率为左=tanl35o=-l,直线方程为y-2=-(尤+1),即

x+y—1—0,

圆心为C(0,0),圆半径为厂=2行，

C到直线AB距离为d=,

Vl2+122

所以|A8|=2产彳=2,(2物2_(,2=顾.

21

(2)弦45被点尸平分，则CP_L,又后CP=-7=—2，所以左25=彳，

直线4B方程为>-2=夫+1),即x-2y+5=0；

24

16.(1)<t/<-3；(2)数列前6项和最大，理由见解析.

【分析】(1)利用等差数列前〃项和公式，由S2>0,S/3<0可求出结果；

(2)利用等差数列前〃项和公式，由S/2>0，S/3Vo推出&〉0，。7<0后可得结果.

【详解】(1)Vti3=12,：.ai=n-2d,

112a+66d>024+7d〉0

V5；2>0,Si3<0,/.j,所以

13%+78d<03+d<0

.24

所以---<d<-3.

12(4+。12)二0

I”2,所以%+〃i2〉0

(2)VS72>0,Si3<0,所以<

13(%+%)：0+/3<0'

2-

答案第8页，共13页

[外+为>0

所以r二，所以。6>0，%<0，

[2%<0

又d<0,所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.

，数列前6项和最大.

17.(l)y2=8x

⑵次匈=-16

【分析】(1)首先根据焦半径公式|P^=Xp+],求解P,得到抛物线方程；

(2)设/(三,%),8包,％),设直线x=7+4,与抛物线方程联立，求得必％,再利用点在

抛物线上得到再马，从而求得04-0B的值.

【详解】⑴抛物线C：V=2px(p>0),焦点厂已0),由附=1+勺3得。=4.

抛物线C得方程为/=8兀

(2)依题意，可设过点7(4,0)的直线/的方程为x="+4,

y2=8x,

由得y-88—32=0,

x=ty+4

设4(再,M),8(%2，%)，贝！1%％=—32,

XX

•**22=反于X§%2=16,OAOB=xxx2+yxy2=-16.

18.(1)见解析

巫

10

-4歹1

⑶存在；1^=3

【分析】(1)根据等腰三角形的特征，可以得出4。，。石，再结合面面垂直的性质定理,

可以得出4。，平面3CE。，再根据线面垂直的性质，可以得出4。，80；

(2)根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；

(3)关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.

【详解】(1)因为在A4BC中，D,E分别为48,/C的中点，

所以DE//BC,AD=AE,

答案第9页，共13页

所以4。=4£,又。为DE■的中点,

所以

因为平面4DE_L平面BCED,且4。u平面AXDE,

所以4。_L平面BCED,

BDu平面BCED,

所以4。，50.

(2)取8c的中点G,连接OG,所以0EL0G,

由(1)得Afl1OG.

如图建立空间直角坐标系。-盯z.

由题意得：4(0,0,2),£(0,1,0),0(0,0,0),C(2,2,0)

所以章=(0,1,-2),西=(0,0,2),云=(2,2,0),

设平面AXOC的法向量为〃=(x,y,z),

n-OA=0[2z=0

则:，即cqn，

n-OC=0[2x+27=0

令x=l,则y=-l,z-0,所以7=(1,-1,0).

设直线4E与平面AXOC所成的角为。，

则而,=向(章用卜*=1*=*•

(3)假设线段4c上存在点尸适合题意，

答案第10页，共13页

设乖=2诟，其中4e[0,l].

设/(再,％,zj,则有(占,%Z]-2)=(22,22,-22),

所以无I=22，M=2A,Z[=2-22,从而产(22,22,2-22),

所以方=（24,22+1,2-22）,又就=（0,4,0）,

।______,~DF~BC4|22+1|

所以cos(DF,BC)\=一|一

11DF\\BC4^(22)2+(22+1)2+(2-22/

__________|2.+1|__________力

V^（2A）2+（22+l）2+（2-22）23'

整理得3储_7几+2=0,

解得力=；,舍去2=2.

AF1

所以线段4c上存在点尸适合题意，且差=不

【点睛】该题属于典型的立体几何问题，第一问证明线线垂直，需要将空间关系都理清，把

握住线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，即可得出结果；第二问求的是线面角的正弦值,

正好是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值;第三问属于是否存在类问

题，在解题的过程中，需要我们先假设其存在，按照题的条件进行求解，如果推出矛盾，就

是不存在.

22

19.（I）椭圆的标准方程为土+匕=1；双曲线的标准方程为

84

^-£=1（IDkl-k2=^—=\.（Ill）存在常数加3在使得|/回+|。|=川/创恒

44%-48

成立，

【详解】试题分析：（1）设椭圆的半焦距为C,由题意知：£=巫,