广西壮族自治区百色市2024-2025学年高一上学期1月期末考试 数学 含解析

2024年秋季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试高一数学（本试卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题知：命题“”的否定为.故选：A.2.已知集合是8的约数，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得集合，利用交集的意义求解即可.【详解】集合是8的约数，由，可得，解得，所以.故选：B.3.已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设幂函数，代入点运算求解即可.【详解】设幂函数，代入点，可得，则，所以该函数的解析式为.故选：C.4.顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由象限角的定义对进行判定.【详解】∵，∴的角的终边落在第二象限.故选：B.5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理即可得到答案.【详解】因为，则，且函数在上单调递增，并且函数图象连续不间断，由零点存在性定理可知函数的零点在区间内．故选：B．6.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合充分不必要条件，可得答案.【详解】当时，二次函数的对称轴为直线，易知此时二次函数在上单调递增；由二次函数的对称轴为直线，易知当，即时，二次函数在上单调递增.所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7.已知角的终边过点，则（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.故选：D.8.已知函数和，设，则函数（）A.有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值0C.无最大值，无最小值 D.无最大值，有最小值1【答案】D【解析】【分析】作出分段函数图象，由图即可得到答案.【详解】如图，由函数的图像可知函数无最大值，当，即或2时，函数有最小值．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为假命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式的基本性质，判断A，B，C选项，由基本不等式判断D选项.【详解】A选项，当时，若，则，A选项为假命题，A选项正确；B选项，当时，，B选项为假命题，B选项正确；C选项，若且，则，所以，所以，C选项为真命题，C选项错误；D选项，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，D选项为真命题，D选项错误.故选：AB.10.把曲线向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为 B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数图象关于点对称 D.函数在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】利用平移变换求得，可求得最小正周期判断A；进而利用整体法可求对称轴与对称中心判断BC；利用整体法可判断的单调性判断D.【详解】因为曲线向右平移个单位得到函数的图象，所以，所以函数的最小正周期为，故A正确；由，解得，故直线不是函数图象的一条对称轴，故B错误；由，解得，当时，，所以函数图象关于点对称，故C正确；由，可得，由可知，函数在区间上单调递增，故D正确.故选：ACD.11.设定义域为的函数满足，若是奇函数，且在区间上单调递减，则（）A.函数在定义域内为减函数B.函数的图象关于点对称C.若函数为偶函数，则函数为奇函数D.设时，，则对，总有【答案】BCD【解析】【分析】取，可判断A；由图象的平移变可判断B；由已知可得，进而可得，可判断C；由奇函数的性质与指数函数的性质可判断D.【详解】对于A，若是奇函数，且在区间上单调递减，但在定义域上不是单调递减函数，故A错误；对于B，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，又因为向左平移1个单位得的图象，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为函数为偶函数，所以，又是奇函数，所以，又，所以，所以函数为奇函数，故C正确；对于D，当时，，又是奇函数，所以，所以，当时，，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：利用指数函数的性质可求得时，，进而利用奇函数的对称性可求解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】应用分段函数结合指数运算及对数运算计算函数值即可.【详解】因为函数，则．故答案为：.13.若扇形周长为32，当这个扇形面积为64时，扇形圆心角为______弧度．【答案】【解析】【分析】设扇形的半径为，弧长为，由题意可得，求解即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意可得，解得，所以扇形圆心角为.故答案为：.14.设为方程的解，设为方程的解，则______．【答案】0【解析】【分析】整理可得，，可知、与直线的交点关于直线对称，即可得结果.【详解】由，，可得，，因为与互为反函数，其图象关于直线对称，且直线也关于直线对称，可知、与直线的交点关于直线对称，由图象可知：、与直线的交点均存在且唯一，又因为与的交点为，所以.故答案为：0.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可；（2）直接利用对数的运算法则求解即可.【小问1详解】.【小问2详解】.16.已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的判断方法即可得到答案；（2）化简得，再解出即可.【小问1详解】令，解得，则的定义域为关于原点对称，又因为所以为奇函数．小问2详解】因为，所以不等式化为，即，解得又定义域为，所以不等式的解集为．17.（1）已知角为第二象限角，且，求值；（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值．【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据同角三角关系可得，利用两角和差公式运算求解；（2）整理可得，结合正弦函数有界性分析求解.【详解】（1）因为角为第二象限角，且，则，所以；（2）由题意可得：，因为，则，可知当，即时，取到最大值，可得，即.18.某糕点连锁店现有五家分店，出售，两款糕点，为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售．已知用16000元购进糕点与用22000元购进糕点的重量相同，且糕点每斤的进价比糕点每斤的进价多6元．（1）求，两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售．则糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为斤．今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产糕点．已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值．【答案】（1）糕点每斤的进价为元，糕点每斤的进价为元.（2）当糕点每斤定价为元时，糕点店通过卖糕点获得的月利润最大，最大利润为元（3）【解析】【分析】（1）设出，两种糕点每斤的进价，根据条件列出方程组即可求解出结果；（2）设糕点每斤定价为元，列出利润的解析式，利用二次函数分析出最值，由此可求结果；（3）先表示出前个月的总利润，然后表示出平均利润，结合基本不等式求解出的最大值.【小问1详解】设，两种糕点每斤的进价分别为元，元，根据题意可知，解得，故糕点每斤的进价为元，糕点每斤的进价为元.【小问2详解】设糕点每斤定价为元时糕点店通过卖糕点获得的月利润最大，记利润为，所以，且，解得，所以，，由二次函数性质可知，当时，元，所以当糕点每斤定价为元时，糕点店通过卖糕点获得的月利润最大，最大利润为元.【小问3详解】由条件可知，前个月的总利润为，所以，，又，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.19.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并证明的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）函数在上单调递减，证明见详解.（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质建立等式，求得实数的值.（2）由（1）写出函数解析式，由解析式得到函数单调性