山西省太原市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

2024～2025学年第一学期高一年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00-10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】因为，根据诱导公式得：，故选：D.2.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系，即可判断得出结论.【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立；而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：B3.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数单调性计算限定出的取值范围，可得结论.【详解】易知，即；，即，而，即；所以可得.故选：A4.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数零点存在性定理判断可得答案【详解】，，且在单调递增，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为.故选：B.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据的值求出和的值，再代入两角和公式求解.【详解】因为，所以.又因为，将代入可得：，即，，.因为且，所以，.所以，.根据两角和公式.将，代入可得：.故选：D.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】可由奇偶性，特殊值等排除，判断找到答案.【详解】，故为奇函数，排除D，排除A时，，，故有，故选：B【点睛】本题用到了一个结论：证明如下：为增函数故7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使在1,+∞上单调递增，需要在1,+∞上也单调递增且在1,+∞上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围.【详解】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在1,+∞上单调递减，不满足在1,+∞上单调递增的条件，所以.当时，对于二次函数，其对称轴为.要使在1,+∞上单调递增，则对称轴，即.同时，要使在1,+∞上恒成立，即当时，，解不等式，得到，即.综合起来，.当时，二次函数的图象开口向下，在1,+∞上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求.综上，实数的取值范围是.故选；C.8.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象变换得到，再根据函数在上没有零点，由或求解.【详解】解：把函数的图象向左平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到，因为函数在上没有零点，所以或，解得或，当时，或，故选：B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.，的最小正周期都是B.，都是奇函数C.，在上都是单调递增D.，的对称中心相同【答案】BC【解析】【分析】利用周期公式计算可得A错误，根据函数奇偶性定义卡判断B正确，由正弦函数和正切函数单调性可判断C正确，分别求得它们对称中心表达式可判断D错误.【详解】对于A，易知的最小正周期是，即A错误；对于B，易知，，且，的定义域都为R，满足奇函数定义，因此它们都是奇函数，可得B正确；对于C，当时，，再由正弦函数和正切函数单调性可得C正确；对于D，令，可得，即；可得的对称中心为；而对于其对称中心的横坐标满足，可得，即的对称中心为，因此，的对称中心不完全相同.故选：BC10.已知函数，，，则下列结论正确的是（）A.的图象过定点 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用对数函数的性质判断A，C，举反例判断B，D即可.【详解】对于A，当时，，所以图象过定点，故A正确，对于B，令，，，此时，而，，，不满足，故B错误，对于C，，而，因为，所以，故C正确，对于D，令，，，此时，此时，，故，而，故，得到，即，故，而,,此时不满足，故D错误.故选：AC11.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.的周期C.在上递增D.若在0,m上恰有4个零点，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确.【详解】对于A，由图可知，且，即，又，可得或；因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误；对于B，由选项A可知，，所以，所以，解得；由图可知，可得，又，可得；所以的周期，即B正确；对于C，由B可知，当，可得；由在上单调递增，可得在上递增，即C正确；对于D，当，可得；若在上恰有4个零点，可得，解得；即实数的取值范围是，可得D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积公式可得结果.【详解】由已知可得，该扇形的面积为.故答案为：.13.已知，且，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】由同角三角函数基本关系以及二倍角公式即可运算求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数，以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：令，因为恰有7个零点，所以有个不同的根，令，不妨设，当时，，则，此时无解；当时，，则或解得或，综上，．故答案为：．【点睛】方法点睛：求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象，将问题转化为图象交点个数即可求解.四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）求的值；（2）已知，，请用，表示.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质求解；（2）易得，，再利用换底公式求解.【详解】解：（1）；（2）∵，，∴，，∴.16.已知（1）化简；（2）若，求下列各式的值：①；②.【答案】（1）（2）①5；②3【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求解；（2）由，求得，再利用齐次式计算.【小问1详解】解：【小问2详解】由（1）得，∴，①；②.17.已知.（1）求的单调递减区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）（）；（2）【解析】【分析】（1）由，再利用正弦函数的性质求解；（2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解.【小问1详解】解：，由（）得，∴的单调减区间为（）；【小问2详解】由题意得，∵，∴，∴，∴在上的值域为.18.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果；（2）由函数单调性定义证明即可得出结论；（3）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得.【小问1详解】设的定义域为，由题意得对于任意，都有恒成立，即恒成立，∴，∴，当时，无意义；当时，是定义域为的奇函数.【小问2详解】在上单调递增.证明：设，则，∵，∴，∴，∴，∴在上单调递增.【小问3详解】原不等式等价于，令，，由在上单调递增，∴，∴实数的取值范围为.19.人脸识别技术在社会各行各业中应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度.（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）已知，，，且，.①求，之间的余弦距离；②求，之间的曼哈顿距离.【答案】（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为（2）①；②【解析】【分析】（1