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文档简介
2024~2025学年第一学期高一年级期末学业诊断数学试卷(考试时间:上午8:00-10:00)说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间120分钟,满分150分.一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算:()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】因为,根据诱导公式得:,故选:D.2.“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系,即可判断得出结论.【详解】易知“”可以推出“”,即充分性成立;而当时,,此时推不出“”,即必要性不成立,因此“”是“”的充分不必要条件.故选:B3.已知,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数单调性计算限定出的取值范围,可得结论.【详解】易知,即;,即,而,即;所以可得.故选:A4.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数零点存在性定理判断可得答案【详解】,,且在单调递增,由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为.故选:B.5.已知,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据的值求出和的值,再代入两角和公式求解.【详解】因为,所以.又因为,将代入可得:,即,,.因为且,所以,.所以,.根据两角和公式.将,代入可得:.故选:D.6.函数的部分图象大致为()A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】可由奇偶性,特殊值等排除,判断找到答案.【详解】,故为奇函数,排除D,排除A时,,,故有,故选:B【点睛】本题用到了一个结论:证明如下:为增函数故7.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使在1,+∞上单调递增,需要在1,+∞上也单调递增且在1,+∞上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围.【详解】当时,此时,这是一个一次函数,其斜率,函数在1,+∞上单调递减,不满足在1,+∞上单调递增的条件,所以.当时,对于二次函数,其对称轴为.要使在1,+∞上单调递增,则对称轴,即.同时,要使在1,+∞上恒成立,即当时,,解不等式,得到,即.综合起来,.当时,二次函数的图象开口向下,在1,+∞上不可能单调递增,所以这种情况不符合要求.综上,实数的取值范围是.故选;C.8.把函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的()倍,纵坐标不变得到的图象,若函数在上没有零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象变换得到,再根据函数在上没有零点,由或求解.【详解】解:把函数的图象向左平移个单位长度得到,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的()倍,纵坐标不变得到,因为函数在上没有零点,所以或,解得或,当时,或,故选:B二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知函数,,则下列结论正确的是()A.,的最小正周期都是B.,都是奇函数C.,在上都是单调递增D.,的对称中心相同【答案】BC【解析】【分析】利用周期公式计算可得A错误,根据函数奇偶性定义卡判断B正确,由正弦函数和正切函数单调性可判断C正确,分别求得它们对称中心表达式可判断D错误.【详解】对于A,易知的最小正周期是,即A错误;对于B,易知,,且,的定义域都为R,满足奇函数定义,因此它们都是奇函数,可得B正确;对于C,当时,,再由正弦函数和正切函数单调性可得C正确;对于D,令,可得,即;可得的对称中心为;而对于其对称中心的横坐标满足,可得,即的对称中心为,因此,的对称中心不完全相同.故选:BC10.已知函数,,,则下列结论正确的是()A.的图象过定点 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用对数函数的性质判断A,C,举反例判断B,D即可.【详解】对于A,当时,,所以图象过定点,故A正确,对于B,令,,,此时,而,,,不满足,故B错误,对于C,,而,因为,所以,故C正确,对于D,令,,,此时,此时,,故,而,故,得到,即,故,而,,此时不满足,故D错误.故选:AC11.函数(,,)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.B.的周期C.在上递增D.若在0,m上恰有4个零点,则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误,求得函数解析式可判断,即B正确,再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确,由得出,利用图象可得,可判断D正确.【详解】对于A,由图可知,且,即,又,可得或;因为在点附近的图象呈下降趋势,可得,即A错误;对于B,由选项A可知,,所以,所以,解得;由图可知,可得,又,可得;所以的周期,即B正确;对于C,由B可知,当,可得;由在上单调递增,可得在上递增,即C正确;对于D,当,可得;若在上恰有4个零点,可得,解得;即实数的取值范围是,可得D正确.故选:BCD【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式,即可得出参数的取值范围.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知扇形的半径为,圆心角为,则扇形的面积为________【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积公式可得结果.【详解】由已知可得,该扇形的面积为.故答案为:.13.已知,且,则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】由同角三角函数基本关系以及二倍角公式即可运算求解.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.14.已知函数,若函数恰有7个零点,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数,以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示:令,因为恰有7个零点,所以有个不同的根,令,不妨设,当时,,则,此时无解;当时,,则或解得或,综上,.故答案为:.【点睛】方法点睛:求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象,将问题转化为图象交点个数即可求解.四、解答题(本题共5小题,共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)求的值;(2)已知,,请用,表示.【答案】(1)1;(2)【解析】【分析】(1)利用对数的运算性质求解;(2)易得,,再利用换底公式求解.【详解】解:(1);(2)∵,,∴,,∴.16.已知(1)化简;(2)若,求下列各式的值:①;②.【答案】(1)(2)①5;②3【解析】【分析】(1)利用诱导公式化简求解;(2)由,求得,再利用齐次式计算.【小问1详解】解:【小问2详解】由(1)得,∴,①;②.17.已知.(1)求的单调递减区间;(2)将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求在上的值域.【答案】(1)();(2)【解析】【分析】(1)由,再利用正弦函数的性质求解;(2)先由平移变换得到,再利用余弦函数的性质求解.【小问1详解】解:,由()得,∴的单调减区间为();【小问2详解】由题意得,∵,∴,∴,∴在上的值域为.18.已知函数是奇函数.(1)求实数的值;(2)判断在上的单调性,并用定义证明;(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)单调递增,证明见解析(3)【解析】分析】(1)根据奇函数定义以及函数解析式可得结果;(2)由函数单调性定义证明即可得出结论;(3)分离参数可得在上恒成立,再由单调性求得最值可得.【小问1详解】设的定义域为,由题意得对于任意,都有恒成立,即恒成立,∴,∴,当时,无意义;当时,是定义域为的奇函数.【小问2详解】在上单调递增.证明:设,则,∵,∴,∴,∴,∴在上单调递增.【小问3详解】原不等式等价于,令,,由在上单调递增,∴,∴实数的取值范围为.19.人脸识别技术在社会各行各业中应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试,经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点,,则,之间的曼哈顿距离为:.,之间的余弦距离为,其中为,之间的余弦相似度.(1)若,,求,之间的曼哈顿距离和余弦距离;(2)已知,,,且,.①求,之间的余弦距离;②求,之间的曼哈顿距离.【答案】(1)曼哈顿距离为2,其余弦距离为(2)①;②【解析】【分析】(1
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