四川省眉山某中学2025届高三一诊模拟考试数学试题（解析版）

数学试卷

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合人={*2<"2},3={-1,0,1,2,3,4,5},则AnB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的基本运算即可得出结果.

详解】由集合A=何一2<xV2},3={-1,0,1,2,3,4,5}即可得Ac5={-1,0,1,2）.

故选：B

2.已知复数z满足（1—i）z=4i,则复数z虚部是（）

A.-2B.-2iC.2D.21

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简可得z,进而可得复数z的虚部.

【详解】由已知（1—i）z=4i,

则z——包用)-4+4i

=-2+2i,

川1-i(l-i)(l+i)2

即复数z的虚部为2,

故选：c.

3.已知{4}是正项等比数列，若6%,%，为成等差数列，则{4}的公比为（）

A.-B.：C.2D.3

32

【答案】C

【解析】

【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为心由数列｛4｝为正项数列，则4>0,

由6%,。4，%为等差数列，贝!12a4=6。2+。3，即2%/=6。闷+。应2,

3

所以2d=6+q,整理得（2q+3）（q—2）=0,解得"=2或（舍去）.

故选：C.

4.函数“X）是R上的偶函数，且/'（X+1）=—/（X）,若/（尤）在［T0］上单调递减，则函数"九）在

[3,5]上是

A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，先由/（尤+1）=-于3确定函数的周期为2,结合函数的奇偶性与在［-1,0］上单调

递减，分析可得答案.

【详解】根据题意，•••/（x+1）=-f⑺,

'.f（x+2）=-/（x+1）=/（x）,.,.函数的周期是2；

又了（无）在定义域R上是偶函数，在［-1,0］上是减函数，

函数尤）在［0,1］上是增函数，

•••函数/（x）在［1,2］上是减函数，在［2,3］上是增函数，在［3,4］上是减函数，在［4,5］上是增函数，

.V（%）在［3,5］上是先减后增的函数；

故选D

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期.

5.己知函数/（x）=cos°x（O>0）,若/上+外为偶函数；且“X）在区间（0,兀）内仅有两个零点，则

①的值是（）

A.2B.3C.5D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的性质，以及根据余弦函数的零点，列式求。的值.

【详解】I2jI2),为偶函数,

兀

所以。一二E,ksZ,①=2k,keZ,

2

当久6（0,冗），coxe（0,am）,因为/（九）在区间（0位）内仅有两个零点,

所以—<con<—,得一<w?—,则<9=2.

2222

故选：A

t

6.放射性物质的衰变规律为：〃=〃0义］；：，其中加0指初始质量，/为衰变时间，T为半衰期，M

为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（，与（单位：天），若两种物质的初始

11

质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则肃-了=（

3113

A.----B.---C.----D.

10245121024512

【答案】A

【解析】

10241024

详解】由题意可得8Mox,计算即可得解.

1024

【分析】由题意可得“

8Af0x

10241024c113

即~3,gp---

1024,

故选：A.

7.若函数〃X）=2；+］在x=2时取得极小值,则/（%）的极大值为（）

1e3

A.-B.1C.—D.e

e8

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表,

可得答案.

%ex

【详解】由函数〃%）=1——，求导可得「（"=一

x+bx+1

由题意可得/'(2)=0,则4+2(A—2)+1—6=0,解得b=—1,

x

e+：＞0,

所以=-------，贝1冗2一1+1=

e*(x"—3x+2)eA(x-l)(x-2)

八力=222

x~-X+1x-x+1)

令/'(x)=0,解得X=1或2,

可得下表:

X（-8」）1（L2）2（2,+8）

正0负0正

/(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

e1

则函数的极大值为f（1）==e•

故选：D.

8.在等边三角形ABC的三边上各取一点。，E,F,满足DE=3,DF=26，ZDEF=90°,则三

角形A5C的面积的最大值是（）

713[T

A.773B.13石C.一D.—

33

【答案】A

【解析】

八27r

【分析】首先求出所，设./BEDS0,—，在NBDE、分别利用正弦定理表示出

BE、CE,由5c=5E+CE,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出5c的最大值，即可求出三角

形面积最大值.

【详解】因为DE=3,DF=26,ZDEF=90°,所以EF=《DF?—DE。=6,

八2万

设NBED-0。£0,—^―

A

D

则=夸一氏/b八会一「一）廿氏

BE

BEDE2=20

在Va）£中由正弦定理,n即n.(171

sinZBDEsinBsin——6

I32

2乃

所以BE=2JJsine，

3

CEA

CEEF

在△口广中由正弦定理------,即

sinZCFEsinCsin《+e

2

所以CE=2sin£+6,

2&sin一“+2sin[]+d]

所以BC=BE+CE—

2V3^sincos0-cossin4+21n£cos0+cos£sin0

=2^3sin+4cos6=2\/7sin（8+0）（其中tanq）=^^~）,

所以区°皿=2近，

则\ABC=|BC2sin（=¥BC?<¥X（2近『=7g'

即三角形ABC的面积的最大值是76.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含6的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等变换公式及辅助角公式

求出3c的最大值，进而求出三角形面积最大值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

jr

9.已知函数/(x)的图象是由函数y=2sinxcosx的图象向右平移一个单位得到，则(

6

兀兀

A./(X)的最小正周期为TTB./(x)在区间—二,彳上单调递增

63

D./(%)的图象关于点［三,。］对称

C./(x)的图象关于直线x对称

【答案】AD

【解析】

【分析】用二倍角公式化简y=2sinxcosx,向右平移后得/(x)=sin2x-三，代入正弦函数的单调

区间、对称轴、对称中心分别对四个选项判断即可.

【详解】对于A,因为y=2sinxcosx=sin2x,

向右平移:个单位得=sin2可2"一方‘

6

则最小正周期为7=0=兀，故A选项正确;

2

»丁〜717T.2兀,c71,兀

对于B,当时，----<2x--<—,

63333

27rjr(IT।IE7E

由于y=sinx在一--不单调，故/(x)=sin|2%-彳|在上不单调,

33\3/63363

故B选项错误;

7T.兀垂)

对于C,X=G时，fsin—=——,即/(%)的图象不关于直线x=g对称，C选项错误;

3J32

■jrTT

对于D,令2x——=kn,解得x=—■\-kn,发eZ

36

所以函数/(x)的对称中心为［：+也,0卜

上eZ,

左=0时，即为£,0,故D选项正确.

故选：AD.

10.如图，VABC是边长为1的等边三角形，丽=1而，点尸在以。为直径的半圆上(含端点)，设

3

AP=xAB+yAC,贝。()

A

--1--2--

A.y的值不可能大于iB.AD=-AC+-AB

33

C.Q.4的最小值为§D.衣.通的最大值为1

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B,根据等边三

角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D,利用平面向量的线性运算，整理所

求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.

【详解】对于A选项，过点尸作PCJ/AB交AC延长线于G，

过点p作PBJ/AC交AB于用，作图如下：

在平行四边形中，AP=ABl+AQ=xAB+yAC，由|狗|>|正|,则y>l,故A选项错

误；

_____kki____________________________,_____ki_____1________________________k9_____►

对于B选项，AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AC+-AB,故B正确；

3333

对于C、D选项，取线段中点E,连接AE,PE,作图如下：

A

P

APAB=AB(AE+EP)=AB(AC+CE+EP)=ABAC+ABCE+ABEP,

—.1—,___.►1

在等边三角形ABC中，易知CE=—CB,所以AB-AC=lxlxcos60°=—,

32

——►—►11——►——»11——►——►2——►-►

ABCE=lx-xcos60°=-,则AP-AB=—+—+EP=—+,

36263

27r—►—►1J_1

设福与丽的夹角为6，易知共0,—,贝qA3-EP=lx§.cos，e

6,3

―■―►1

所以-,1,故C选项错误，D选项正确.

故选：BD.

11.已知数列｛4｝满足q=:,0<an<^,且(2〃+l)sin(a,+]-a“)=sin(a“+]+a“)，则()

A.sina『哈B.tana“=2"T

+1

C.当〃22时，an>lD.a<--^

"2ir+1

【答案】ACD

【解析】

tana.巴。，再利用累乘法求得数列｛4｝的通项公式为tana“=n

【详解】根据三角恒等变换计算得英

判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.

【分析】对于B,由(2〃+1)sing,.-a.)=sin(tz,,+1+an),

得(2n+1)sinan+1cosan-(2n+1)cosan+lsinan=sinan+1cosan+cosan+1sinan,

即2nsinan+icosan=(2n+2)cosan+isinan,整理得------=——

tanann

tan4tan-tanenn-12]

当时,tanan=---------------•tan%=...........................--1=n,

tan%tan。人?tanq------------n-1n-2........1

tan4=1满足上式，因此tanan=n,B错误;

1222\f5

对于A,tana2=2,gpcostz2=—sina2,又sina2+cosa2=l,解得sin%=-^—,A正确;

25

对于C,当〃之2时，tan。〃=〃22>,又因此耳，即。C正确；

22

对于D,由tanq〃=〃，得sin%=〃cos〃〃，Xsinan+cosan=lfcosan>0,

因此sin(巴—〃“)=cos%=，：+1，令函数了(Mux—sin羽。<元，求导得八元)=1一cos%>0,

2nnn+12

7T

函数/(x)在(0,5)上单调递增，/(x)>/(0)=0,即x>sinx,

因此9一4〉5抽。-4)=丝1，即见(^一丝^D正确.

22n+12n+1

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列｛%｝满足tan%,=〃，再根

据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.

第n卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.求值sin430°cos320°+cos110°sin40°=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.

【详解】sin430°cos320°+cos110Osin40°=sin70°cos(-40°)-cos70°sin40°

=sin700cos40°-cos70°sin40°=sin(70°-40°)=sin30°=1.

故答案为：:

13.己知函数/(x)=^+x+l,若关于无的不等式/(公—1)+/(一灯11%)>2的解集中有且仅有2个整数，

则实数。的最大值为.

【答案】ln3+-

3

【解析】

【分析】根据函数的对称性和单调性可得a>lnx+，的解集中有且仅有2个整数，设/z(x)=lnx+±x>0,

利用导数讨论其单调性后可得实数。的最大值.

【详解】设==

因为y=x3,y=x均为R上的增函数，故g（x）为R上的奇函数,

又g(-x)=-x3-x=-g(x),

由不等式可化为/(«x-l)-l+/(-xlnx)-l>0,

即g(ar-l)+g(-%lnx)>0,故g(ox-l)>g(xlnx),

故㈤;-1>xlnx的解集中有且仅有2个整数，

故a>lnx+^的解集中有且仅有2个整数，设7z（x）=lnx+—,x>0,

XX

则/z'（x）=Zj,x>0,

X

则当0<兄<1时，〃（%）<0；当%>1时,»（%）>o,

故以%）在（0,1）上为减函数，在（1,+8）上为增函数，

故g+ln2=/z（2）<a</z（3）=g+ln3,

故。的最大值为工+ln3,

3

故答案为：—nln3

3

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的单调性以及奇偶性将问题转化为不等式a>lnx+^的

x

解集中的整数个数问题.

14.己知函数/(x)=(x-4)e*-xlnx,若”,/e(0,+8)且%w%,有：——>a恒成

X]一%2

立，则实数。的取值范围是.

【答案】卜啊;

【解析】

【详解】将条件转化为g（x）=/（X）-62在（0,+8）上单调递增,再转化为1—生汽-工22a在（0,+8）上

XX

Inx|

恒成立，利用导数求函数/z（x）=e"--------的最小值，可得结论.

XX

【分析】不妨设为>X,〉0,则不等式/（石）—/,（.）>a可化为/（石）_/（/）>。（1_止）,

石一马

所以/（七）一端>/（X2）-dX2，

设g(%)=/(%)-加，由已知可得g(%)=/(%)-加在(0,+8)上单调递增,

所以/'(X)-2女之。在(0,+00)上恒成立,

所以xex-lnx-1-2ax20在(。,+00)上恒成立，

所以e"-------->2a在(0,+°o)上恒成立，

XX

设/z(x)=eX-电L则厅⑺=e“_1_?%+e=e*4

xx%%

2x2x

设夕(九)=xe+lnx,则“(%)=(%+2%)e+*>0,

所以函数(p(x)=x2ex+In%在(0,+s)上单调递增，

£

又夕⑴=e>0,夕(g)=?—in2<1—In血=0'

所以存在玉)"3』］,满足0(%)=0,

111In—

即x：e与+k1%=0,所以/6而=一In一=ln-e〜，

*0*05

设〃(x)=XQX(x>0),贝!I〃'(x)=xev+ev>0,

所以〃(x)=xel在(0,+S)上单调递增，又%>0,In工>0,

所以玉)=ln—=-lnx0,

%

所以当x>/时，夕(%)>0,”(x)>0,函数/1(%)=6'—』二—工在(九0，+8)上单调递增,

XX

当0<x</时，9(x)<。，〃(x)<。，函数/z(x)=eX—工3—工在(0,~)上单调递减,

XX

所以/2(%)2万(%0)=1。一^^—工，又看］。+lnx0=0,

X。xo

所以/z(x)2e*。+xoe'^=1,

所以2aWl,所以

2

所以实数。的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为g(x)=/(x)-ax2在(0,+8)上单调递增，进一步

转化为g'(x)20在(0,+8)上恒成立.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量M=(1,2),5=(X,4),C=(4,-X),且向量1与B共线.

(1)证明：aJ.C；

(2)求乙与乙—B夹角的余弦值；

(3)若|3+n|=,求f的值.

【答案】(1)证明见解析

⑵—受

2

(3)/=±-

2

【解析】

【分析】(1)根据向量共线得d=列方程组解出x,再利用向量垂直的坐标表示证明即可;

(2)利用cos〈方忑-。-〉=3—•(c一—二/?)及向量数量积和模长的坐标表示求解即可;

\a\\c-b\

(3)利用向量数量积运算律求解即可

【小问1详解】

因为向量方与5共线，所以五=Xb(XwO),

1=Ax2=-

则c解得《2,

2二42

x=2

所以5=(2,4),1=(4,—2),

因为1=lx4+2x(—2)=0,

所以万工不

【小问2详解】

由(1)得E—方=(2,—6)，

lx2+2x(-6)_

所以cos〈瓦

=；；一，：222

同|一|#+2X72+(-6)2

即口与C—B夹角的余弦值为-Y2.

2

【小问3详解】

因为万2=|万『=]2+2?=5,52=|即2=42+(_2)2=20,fl-C=0,

所以|商+先|2=方+2夜Y+=5+20/=10,解得/=±；

16.在VABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,已知且

116a

I—,

tanBtanC2bsinBsinC

(1)求5；

(2)若VA3C的外接圆半径为R,周长为(、行+卡)尺，且a>6,求A.

【答案】(1)三TT

3

/、7兀

(2)—

12

【解析】

【分析】(1)根据弦切互化以及和差角公式可得sinA=鱼=正当2，即可结合正弦定理求解;

2b2sin5

(2)根据正弦定理边角互化可得sinA+sinC=即可利用三角恒等变换求解.

2

【小问1详解】

11sinCcosB+sinBcosC

因为-----+-----=-----------------------,

tanBtanCsinBsinC

土斤11_sin(B+C)_sinA_y/3a

tanBtanCsinBsinCsinBsinC2bsinBsinC

匚匚2.A6aA/3sinA

所以sinA=-----=-----------

2b2sinB

因为sinAwO,所以sin5=@，

2

又Be[。,]],所以3

【小问2详解】

由正弦定理可知a=2RsinA,b=2RsmB,c=27?sinC,

因为a+Z?+c=(J5+&)R,所以sinA+sin3+sinC=，

所以sinA+sinC=-

2

...c.../2兀八3..百.®.(A71、娓

sinA+sinC=sinA+sin----A=-sinAd----cosA=v3sinA+—=——

L3J226J2

所以sin(A+6]=孝.

又a>b,所以

匕匚I、lA兀3兀Ir.A7兀

所以AH—=—，故？1=—.

6412

17.己知数列｛4+1—2a“｝是以3为首项，2为公比的等比数列，且％=L

(1)证明：[墨]是等差数列；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S“.

【答案】(1)证明见解析

1

(2)Sn=(3«-4)-2"-+2

【解析】

【分析】(1)由等比数列的定义可得出%+I-2%=3X2"T,在等式两边同时除以2向，结合等差数列的定

义可得结论；

(2)根据(1)中的结论求出数列｛a“｝的通项公式，然后利用错位相减法可求得S”.

【小问1详解】

因为｛%+]—2%｝是以3为首项，2为公比的等比数列，所以。用—2q,=3x2"T,

所以4—斗=』，即餐—2=3,

2向2计142"i2"4

又2=工，所以［答］是首项为:，公差为3的等差数列.

212〔2勺24

【小问2详解】

由(1)知组=1+(1―1)义3=3九—1,

2"244

AH-1

所以4=2^—x2"=(3〃—I)?巴

11/,2

所以，S„=2-2-+5.2°+8-2+...+(377-1)-2-O

则2s“=2・2°+5-2］+…+（3力-4）-2”-2+（3〃-1）•2丁1,

上述两个等式作差可得s“=—1—3•(2°+吸+…+2”一)+(3〃—1)•2"-1

+（3〃—I）?，=（3"—4>2"T+2'

故邑=（3〃-4）X2"T+2.

18.已知函数/(x)=lnx.

(1)求过点？(0,—1)的/(尤)图象的切线方程；

m

(2)若函数g(x)=/(乃-如+—存在两个极值点X],x2,求加的取值范围；

X

(3)当xe1,1时，均有/(x)<x—(x—2)^+。恒成立，求整数。的最小值.

【答案】(1)y=x-l

(2)0<m<—

2

(3)-3

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，结合导数的运算即可得解；

(2)将问题化为方程力x+zn=O有两个不相等的正数根，再利用二次函数根的分布即可得解;

(3)利用参变分离法与构造函数法，将问题转化为G(x)<a的恒成立问题，利用导数与隐零点求得

G(x)的最大值的取值范围，从而得解.

【小问1详解】

由题意得，函数/(%)的定义域为(0,+8),

设切点坐标为(％/n%),则切线方程为y^-x+lnx0-l,

玉)

把点P(0,-D代入切线方程，^-1=—xO+lnxo-l,则lnx0=0,

•••过点P(0,T)的切线方程为＞=*-L

【小问2详解】

,/g(x)=/(%)-mxH——=lnx-mxH——，

XX

'1〃CA-HLX—rrLA一九十〃c

...g(x)=——m—-耳=-----2-----=--------5----'

XXXX

令/z(x)=JWC2-x+m,

要使g(%)存在两个极值点不，12，

则方程如2一工+m=0有两个不相等的正数根均，”,

h(0)=m>0

所以<——〉0,解得0<根v1,

+m<0

所以加的取值范围为0＜根＜3.

【小问3详解】

由于/(九)＜九一(％—2)。'+〃在无£g,l上恒成立，

.,.lnx+(jr-2)e'-尤＜〃在xeg,l上恒成立，

令G(%)=ln%+(九一2)e"-九，则G(x)va在上恒成立,

则G'(x)=-+(%-2)ev+ex-l=(z-l)|ev--1,

xvx)

当一V九<1时，x-lvO,

2

令沈(x)=e'—,贝！J/(%)=e'H—>0,•,・沈(九)在］彳,1］上单调递增,

XX)

又u［万］=-2<0,“(1)—c—1>0,

二.存在天使得〃(%)=0,即e"=J,.•.In%。=一%,

故当工£—,xn时，u(x)<0,此时G'(x)>0,

当时X£(%0』)，u(x)>0,止匕时G'(x)<。,

故函数G(x)在］;,/］上单调递增，在(毛,1)上单调递减，

I2

Al1

从