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文档简介
四川省自贡市2024-2025学年九年级上学期期末考试
数学试题(解析版)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共6页,满分150分.考试时间
为120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘
贴考试用条形码.答卷时,须将答案答在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无
效,在本试题卷、草稿纸上答题无效,考试结束后,本试题卷由学生自己保留,只将答题卡
交回.
第I卷选择题(共48分)
一、选择题(本题有12个小题,每小题4分,满分48分,每小题只有一个选项符合题意)
1.生活中存在丰富的对称图形,我们可以从中抽象并设计出漂亮的数学图案.图案中,既是中心对称图形
也是轴对称图形的是()
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可.在平面内,一个图形绕某个点旋转180度能与原图
形重合,这个图形叫做中心对称图形;一个图形的一部分,以某条直线为对称轴,经过轴对称能与图形的
另一部分重合,这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】解:A.既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故A选项不符合题意;
B.不是轴对称图形,但是中心对称图形,故B选项不符合题意;
C.既是中心对称图形,也是轴对称图形,故C选项符合题意;
D.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故D选项不符合题意,
故选:C.
2.二次函数y=-必+6x+c的图象如图所示,当%=—2时,函数值y为()
第1页共28页
-3/O1\x
A.y<0B,y>0C,y=0D.-3<J<1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,根据图象求出函数解析式,进而求出,当%=-2时的)值,判
断即可.
【详解】解:由图象可知,函数图象过点(—3,0)和(1,0),
y=—(x-l)(x+3),
...当x=-2时,y——(x—l)(x+3)=—(―3)xl=3>0;
故选B.
3.下列事件中,是必然事件的是()
A,将圆锥的侧面沿母线剪开并展平,得到一个矩形
B.投掷一枚正六面体骰子,朝上一面的点数为6
C.过弦中点的直径垂直于弦
D.圆心到圆上各点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查事件的分类,垂径定理,圆锥的侧面展开图,圆的概念辨析,根据一定条件下,一定会发
生的事件为必然事件,可能发生可能不发生的事件为随机事件,一定不发生的事件为不可能事件,进行判断
即可.
【详解】解:A、将圆锥的侧面沿母线剪开并展平,得到一个矩形,是不可能事件,不符合题意;
B、投掷一枚正六面体骰子,朝上一面的点数为6,是随机事件,不符合题意;
C、过弦中点的直径垂直于弦,是随机事件,不符合题意;
D、圆心到圆上各点的距离相等,是必然事件,符合题意;
故选D.
4.方程好-岳+8=0根的情况是()
第2页共28页
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无实数根
【答案】D
【解析】
[分析]本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a+0)根的判别式A=Z?2-4ac与根的关系.当A〉0时,
一元二次方程有两个不相等的实数根;当A=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当A<0时,一元
二次方程没有实数根.求出根的判别式即可判断.
【详解】解:缶+8=0,
,△=4x1x8=-30<0,
;•方程无实数根.
故选D.
5.如图,直线与相切于点C,且C为A3的中点,ZACM=20°,则/5OC的度数为
A45°B.40°C.35°D.30°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质,等边对等角,等弧对等角,根据切线的性质,得到NOO0=9O°,进而求
出NOC4的度数,等边对等角结合三角形的内角和定理,求出NAOC的度数,等弧对等角,得到
=即可.
【详解】解::直线肱V与50相切于点C,
OCLMN,
:.ZOCM=90°,
,:ZACM=20°,
AOCA=Z.OCM-ZACM=70°,
第3页共28页
vOA=OC,
Z.OAC=Z.OCA=1Q°,
ZAOC=180°-2x70°=40°,
:C为AB的中点,
AC=BC,
,ZBOC=ZAOC=40°;
故选B.
6.一个不透明袋子中装有1个白球,1个红球,3个绿球,4个黑球,每个球除颜色外都相同.从中随机摸
出一个球,则下列事件发生的概率为1的是()
3
A.摸出白球B.摸出红球C.摸出绿球D.摸出黑球
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题关键.分别求出摸出四种颜色球的概率,即可得到答
案.
【详解】A.摸出白球的概率为:——-——=-,不符合题意;
1+1+3+49
11
B.摸出红球的概率为:不符合题意;
1+1+3+4
331
C.摸出绿球的概率为:-=符合题意;
1+1+3+493
44
D.摸出黑球的概率为:一,不符合题意;
1+1+3+49
故选:C
7.将抛物线y=(x-2)2-2向左平移2个单位,则平移后抛物线的顶点坐标为()
A.(2,0)B,(4,2)C.(0,-2)D,(4,-2)
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查抛物线的平移,根据平移规则,左加右减,上加下减,求出新的抛物线,再根据顶点式的
顶点坐标公式,求解即可.
第4页共28页
【详解】解:由题意,平移后的解析式为:y=(x-2+2)2-2=x2-2,
.••平移后抛物线的顶点坐标为(0,-2);
故选C.
8.如图,某隧道横截面为弓形,测得隧道高6m,水平路面AB宽6m,则该弓形所在圆的半径为()
15299
A.—mB.4mC.—mD.-m
472
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂径定理,勾股定理等知识,设半径为广,利用勾股定理构建方程求解.
【详解】解:设该弓形所在圆的圆心为。,半径为『,如图,连接04,03,0。,OCLAfi于。
:.AD=BD=-AB=-x6=3
22
在RfQ4Z)中,OA=r,OD=6-r,AD=3
由勾股定理得:OA2=OD2+AD2
即产=(6—「)2+3?
解得:一”
4
故选:A
9.若关于九的一元二次方程入2—4x+2=0有两个相等的实数根,则上的值为()
第5页共28页
A.1B.-1C.2D.-2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程
苏+6x+c=0(a40),若」=/-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根,若_=/-4ac=0,则方程
有两个相等的实数根,若一.=方2一4ac<o,则方程没有实数根,据此求解即可;
【详解】•••一元二次方程Ax?_4%+2=0有两个相等的实数根
%工0
.二=(T)2_8左=0
k=2
故选:C
10.圆锥底面半径为1cm,母线长4cm,其侧面展开图的圆心角度数为()
A.60°B.90°C.120°D,150°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角,熟练掌握弧长公式/=——x»r是解题关键.设圆锥
180
的侧面展开图的圆心角度数为〃,根据弧长计算公式列出方程,解方程即可.
【详解】解:设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为〃,
n
根据题意有:——x»x4=2»xl,
180
解得:〃=90。,
故选:B.
11.如图,A3为、。的直径,ZA=ZCBD.若A3=6,BD=2,则3c的长为()
第6页共28页
A8啦R4CF)D1°也
33
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理,勾股定理,连接OC,OD,0D交BC于点E,易得
OB=OC=OD=3,圆周角定理,推出N6OD=NCOD,三线合一,得到。DL5C,
BC=2BE,设OE=x,贝hDE=OD-OE=3-x,勾股定理求出x得值,进而求出3E得长,即
可.
【详解】解:连接OC。。,0D交BC于点E,
为C。的直径,AB=6,
OB=OC=OD=3,
ZA=NCBD,NBOD=2ZA,ZCOD=2ZCBD,
:.ZBOD^ZCOD,
:.ODLBC,BC=2BE,
设OE=x,贝U:DE=OD-OE=3-x,
在RtZkOEfi中,由勾股定理,得:BE1OB2-OE2,
在Rt,BED中,由勾股定理,得:BE?=DB?-DE?,
,7
•1•0B--OE2=DB2-DE~,即:32-x2=22-(3-%),解得:%=-,
BE=yJOB--OE2=拽^,
3
BC=2BE=—
3
第7页共28页
故选A.
12.已知二次函数丁=改2+区+c(〃。0),当y<根时,%的取值范围是〃一2V九<4一几,且该二次函
数的图象经过P(—l,4—2f),Q(s,产+6)两点,有以下结论:①。>0;②若ax;+姐=谒+她,且
下彳%2,则占+4=2;③"时,(n-l)(a〃+a+Z?)>0;④s<—l或s>3.其中,正确的个数是
()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象的和性质,根据当><加时,x的取值范围是〃—2<x<4—〃,得到抛
n—2+4—n
物线的开口方向向上,对称轴为兀=-------------=1,判断①,根据二次函数的对称性和增减性,判断
2
②③和④即可.
【详解】解::二次函数丁=加+次+。(。。0),当丁<加时,X的取值范围是2〈为<4—〃,
n—2+4—77
抛物线的开口向上,对称轴为直线X=----------------=1,
2
:.a>0,故①正确;
axf+bxx=ax;+bx2,且石Wx2时,贝!|:ax^+bxl+c=ax^+bx2+c,
:.X=X]和X=%的函数值相同,
/.Xj+x2=2;故②正确;
:抛物线的开口向上,对称轴为直线x=l,
,当尤=1时,函数有最小值为a+b+c,
•••当x=时,an2+bn+c>a+b+c>
an2+bn+c—a—b—c>0
a--1)>0,
A(zz-l)(arz+a+Z>)>0;故③正确;
:抛物线的开口向上,
...抛物线上的点距离对称轴越远,函数值越大;
•.•产+6—4+2,=r+2,+2=。+1)?+1>0,且二次函数的图象经过P(-l,4—2。,。[,/+6),
第8页共28页
...点p到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离,
b>|—1—1|,
.,.卜->2,
..•5>3或5<—1;故④正确;
故选D.
第n卷非选择题(共102分)
二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,满分24分)
13.一元二次方程:f=X的解为:.
【答案】占=0,%2=1
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键,用因式分解法解方
程即可解得答案.
【详解】解:x2-x=0,
即x(D=0,
解得玉=0,刀2=1-
故答案为:西=0,x2=1.
14.如图,。是VA3C的外接圆,已知ODLAB于点。,ZBOD=70°,则NC的度数为.
【答案】70。##70度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理,三线合一,连接Q4,得到Q4=OB,三线合一结合圆周角定理,得到
ZC=ZDOB,即可.
【详解】解:连接。4,则:OA=OB,
第9页共28页
OD1AB,
:.ZAOB=2ZBOD,
;ZAOB=2NC,
:.NC=NDOB=70。;
故答案为:70。
15.若关于x的方程炉+如-2=0有一个根为1,则机的值为.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解,把x=l代入方程,进行求解即可.
【详解】解:由题意,把x=l代入尤2+如—2=0,得:1+加一2=0,
解得:m=1;
故答案为:1.
16.如图,正六边形桌面A5CDEF上有一内切圆O,若向这个桌面上随意抛一粒豆子,则豆子的落点
在:.O内的概率是.
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆,几何概率,圆的面积与正六边形的面积之比,进行求解即可.
【详解】解:连接。AO3,设A3与。。相切于点",。的半径为广,连接
第10页共28页
360°
则:OA=OB,OM=rOM.LAB.ZAOB=——=60。,
f6
NAOB等边三角形,AM=-AB=-OA,
22
OM=6AM=r,
・・AM=---,
3
•••AB=OA=^-r,
3
Sl
•1-M^ABCDEF=6xgx与rxr=26r,
.p;S圆_H_岛.
S正六边形ABCDEF2A/3F6
故答案为:垦
6
17.如图,线段A3上的点G,C2,G…,分别满足关系式AC;=C]3-A3,AC^QQAQ,
2
AC3=C3C2-AC2-.若AB=2,则线段c2025G的长为.
LIII|
AqGGB
[答案]非i(二T)
7022024
【解析】
【分析】本题考查黄金分割,根据题意易得。1,。2,。3…均为黄金分割点,根据黄金分割点的定义进行求解
即可.
【详解】解:•••AG2=G3-A3,
第11页共28页
.AC,QB
...q是线段A3的黄金分割点,
.AC,V5-1
••----------,
AB2
,AC1
12
J5-12025
;•G。25a=AC「4。2。25=1AB—AB=45-1-
22024
故答案为:75-1-
22024
18.如图,在矩形ABC。中,AB=5,。与边对角线AC分别相切于点G,E,F,点P是
边AD上的一个动点,PH切。于点H.若PH的最小值为厉,则3C=
Q
【答案】-
3
【解析】
【分析】连接OG,OE,O",OP,延长EO交AD于点p,证明四边形OGBE为正方形,四边形ABEP
为矩形,设半径为厂,得到O尸'=5-r,根据垂线段最短,得到当P与P点重合时,OP最短,此时PH
最小,勾股定理求出厂,设CE=B=x,得到5C=x+l,AC=x+4,利用勾股定理求出x的值即可.
第12页共28页
【详解】解:连接OG,OE,O£O〃,OP,延长£0交AZ)于点p,
V0与边AB,BC,对角线AC分别相切于点G,E,F,叨切(。于点”,
OG±AB,OE±BC,OH±PH,AG=AF,BG^BE,CE^CF,OG=OE=OH,
•..矩形ABC。,
ZABC=NBAD=90°,
四边形ABEP,四边形BEOG均为矩形,
:.OP工AD,EP'=AB=5,
•1,0G=0E,
...四边形BEOG为正方形,
:.BG=BE=OE=OG,
设:。的半径为r,贝U:BG=BE=OE=OG=OH=r,OP'=5-r,
:点尸是边AD上的一个动点,
...当尸与尸'重合时,OP最小,此时最小,
由勾股定理,得:OP?=OH?+PH?,
:.(5—r区=/+15,
解得:r=1>
:.BG=BE=OE=OG=OH=1,
:.AG=AF=AB-BG=4,
设CE=CF=x,贝!1:BC=x+1,AC=x+4,
在RtZXABC中,由勾股定理,得:AC~=AB~+BC2>
22
.-.(%+4)=(X+1)+25,
解得:x=(,
3
BC=-+1=-
33
第13页共28页
Q
故答案为:—.
3
【点睛】本题考查三角形的内切圆,切线长定理,正方形的判定和性质,矩形的判定和性质,熟练掌握相
关知识点,确定点P的位置,是解题的关键.
三、解答题(本题有8个小题,满分78分)
19.解方程:x~+4x—5—0-
【答案】芯=一5,x2=1
【解析】
【分析】通过观察方程形式,利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.
【详解】解:原方程变形为(x—1)(%+5)=0
..&=-5,X,—1.
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程,解题关键在于掌握运算法则.
20.从一副普通的扑克牌中取出三张牌,它们的花色分别是两张红桃,一张黑桃.
(1)将这三张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽到的概率更大;(填“红桃”或
“黑桃”);
(2)将这三张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取第二张.请用列表
或画树状图的方法,求抽取的这两张牌一张为红桃一张为黑桃的概率.
【答案】(1)红桃(2)-
3
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率,熟练掌握概率的意义,列表法求概率,是解题的关键:
(1)根据概率的意义,进行判断即可;
(2)列出表格,利用概率公式进行计算即可.
【小问1详解】
解:♦..三张牌中,有两张红桃,一张黑桃,红桃的数量比黑桃多,
...抽到红桃的概率更大;
故答案为:红桃;
【小问2详解】
如图,列表如下:
红桃红桃黑桃
第14页共28页
红桃红桃,红桃红桃,黑桃
红桃红桃,红桃红桃,黑桃
黑桃黑桃,红桃黑桃,红桃
共6种等可能的结果,其中两张牌一张为红桃一张为黑桃的结果有4种,
21.某文具店购入一批进价为10元/盒的卡片进行销售,在某段时间内若以每盒X元出售,可卖出
(60-2力盒.
(1)若文具店在让利消费者的前提下获利150元,则每盒卡片的售价是多少元?
(2)文具店如何定价才能使利润最大?
【答案】(1)每盒卡片的售价是15元;
(2)每盒卡片的售价是每盒20元时,文具店利润最大.
【解析】
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用.
(1)文具店在让利消费者的前提下获利150元,据此列方程,解方程后根据题意选取合适的答案即可;
(2)设利润为w元,列出w函数解析式,根据二次函数的性质进行解答即可.
【小问1详解】
解:由题意可得,(60—2x)(x—10)=150,
解得%=25,%=15,
..•文具店在让利消费者的前提下获利150元,
%=15;
答:每盒卡片的售价是15元;
【小问2详解】
解:设利润为川元,
贝I」w=(60-2x)(x-10)=—2尤2+80%—600=—2(x—20)2+200,
V-2<0,
...当x=20时,w有最大值,最大值为200,
答:每盒卡片的售价是每盒20元时,文具店利润最大.
第15页共28页
22.如图,VA3C顶点坐标分别为A(—2,1),B(-4,4),C(-5,2).
(1)若△4片£与VA3C关于x轴对称,则4的坐标是;
(2)若△人与C?与VA3C关于坐标原点。中心对称,则外的坐标是;
(3)请在下图中画出将NABC绕点(-1,0)沿顺时针方向旋转90°得到的A&B3c3,并写出G的坐标.
【答案】(1)(-2,-1)
(2)(4,-4)
(3)C3(l,4)
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换等知识,解题的关键是掌握旋转变换的性质,也考查了轴对称的性质.
(1)根据关于无轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数即可求解;
(2)根据关于原点。对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数即可求解;
(3)分别作出A,B,C的对应点人,53,。3,即可写出的坐标.
【小问1详解】
根据关于x轴对称的点的坐标特征可知:点4(—2,1)关于x轴对称的点A的坐标是(-2,-1)
故答案为:(―2,—1)
【小问2详解】
根据关于原点0对称的点的坐标特征可知:点8(-4,4)关于坐标原点。对称的点B2的坐标是(4,-4)
故答案为:(4T)
【小问3详解】
第16页共28页
如图所示,AAB3c3即为所求作的三角形,
由图可知:C3(l,4)
23.如图,A6是匚。的直径,VA3C内接于Q。,点E是VA3C的内心,CE的延长线与、。交于点
。,尸是BC上任意一点,连接ARBRBF,".
(1)若/F=no。,求/ABC的度数:
(2)若AC=CT,?BCFa,/尸=力,请直接写出e与夕数量关系;
(3)找出图中所有与DE相等的线段,并证明.
【答案】(1)20°
(2)a+2/3=210°
(3)AD=BD=DE,证明见解析
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理,圆内接四边形,三角形的内心,等角对等边等知识点,熟练掌握相关定理,
性质,是解题的关键.
(1)圆内接四边形的性质,得到NC43的度数,圆周角定理,得至】JNACB=90°,再利用三角形的内角和
定理,求出NA3C的度数即可;
(2)同法(1)求出NA5C的度数,等弧所对的圆周角相等,得到NC卯=/4BC,根据三角形的内角和
第17页共28页
定理,得到a与夕的数量关系;
(3)连接AE,根据三角形的内心是角平分线的交点,结合三角形的外角和圆周角定理,得到
ZDAE=ZAED,等角对等边,得到ZM=DE,圆周角定理得到NZMB=NDBA,进而得到40=5。,
得到*=
【小问1详解】
解:•••VA3C内接于。0,E是上任意一点,
四边形ABFC为圆内接四边形,
ZCAB=180°-ZF=70°,
,/AB是。,。的直径,
ZACB=9Q°,
:.ZABC=90°-ZCAB=20°;
【小问2详解】
同(1)法可得:ZABC=90。—NC4B=90。—(180。—力)=力—90°,
•••AC=CF,
ZCBF=ZABC=)3-90°,
在VBCT中,ZF+ZFCB+ZFBC=180°,
.•.分+a+分—90。=180。,
。+2/=270。;
【小问3详解】
AD=BD=DE,证明如下:
连接AE,
:点E是VA3C的内心,
•••AE平分/C4B,CE平分/ACB,
第18页共28页
ZEAC=ZEAB,ZACD=ZBCD,
ZDAE=ZBAD+NBAE,ZDEA=ZACD+ZEAC,ZDAB=ZDCB=ZACD,
:.ZDAE=ZDEA,
:.AD=DE,
•:ZABD=ZACD=ZDAB,
•••AD=BD,
AD=BD=DE.
24.如图,在RtAABC中,ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,点。由点A出发,沿AC方向向点C
匀速运动,速度为1cm/s,点P由点C出发,沿C-8fA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s.如
果动点Q,P同时从AC两点出发,一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为f(s).
(1)当0</W3时,CQ=cm,CP=cm(用含/的代数式表示);
(2)当0<3时,求四边形AQP3的面积S关于f的函数关系式;
(3)当△PCQ面积最大时,求才的值.
【答案】(1)(8—f),2t
(2)S=/—8/+24
(3)t=3
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用,解直角三角形,解题的关键是正确的求出函数解析式:
(1)根据路程等于速度乘以时间结合线段的和差关系,列出代数式即可;
(2)用VA3C的面积减去的面积即可;
(3)分别表示出点尸在5c上和点尸在上两种情况求出函数解析式,利用二次函数求最值即可.
【小问1详解】
解:*/Z.C=90°,BC=6cm,AC=8cm,
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'AB=76rz8r=10cm,
由题意,点。运动到点C时间为:8+l=8s,点P运动到点8的时间为:6+2=3s,从点8运动到点A的
时间为:10+2=5s;
.,.当0</W3时,AQ=Zcm,BP=Item,
:.C2=AC-A2=(8-r)cm;
故答案为:(8-Z),2t;
【小问2详解】
当0</<3时,
V-V-Q
°一0AABC0△PC。
=^ACBC-^PCCQ
=1x6x8-1-2r(8-Z)
=t~—St+24;
【小问3详解】
ii,
2
当0<Y3时,SPCQ=-PC-CQ=--2t\S-t)=-t+St=-(t-4y+16,
•••抛物线的开口向下,当/<4时,Spc。随/的增大而增大,
.•.当t=3时,Spco最大为:—(3—4y+16=15;
当3</<8时,如图,贝U:AP=6+10-2r=(16-2r)cm,过点p作PDJ.AC,
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oA
PD=—AP=j(8-^)cm,
l2
SpCQ=^PD-C2=^-1(8-r)-(8-z)=|(8-?),
...当/<8时,S,pc°随/的增大而减小,
3,
当f=3时,PCG=-(8-3)=15,
...当3<f<8时,StPCQ<15;
综上:Spco的最大值为15,止匕时f=3.
25.VABC中,AB=AC.
(1)如图①,Af是3C边上任意一点,以点A为旋转中心,将,ABM逆时针旋转到△ACN位置,连接
MN.若/BAC=100。,则NMQV的度数为;
(2)如图②,DE是BC边上两点,点D在点E左边,ZDAE=-ZBAC.
2
①若Z£L4C=90°,BC=6,EC=2BD,则3D=;
②若44c=120。,请写出线段5。,OE,EC之间的数量关系,并进行证明.
【答案】(1)80°
⑵①BD=9-3布;②DE?=CE°-CEBD+BD?,证明见解析
2
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,等腰三角形的性质和三角形内
角和定理:
(1)先由等边对等角和三角形内角和定理求出NBNAC3的度数,再由旋转的性质求出NACN的度数
即可得到答案;
(2)①以点A为旋转中心,将△A3。逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,仿照(1)可求出
/MCN=90°,再证明△ADE也八47芯,得到FE=DE,设BD=CF=x,则C£=2x,
DE=FE=6-3x,在Rt^C即中,由勾股定理得(6-3叶=V+(2x『,解方程即可得到答案;②以点
A为旋转中心,将逆时针旋转到△ACF位置,连接CE,EF,过点尸作直线3c的垂线,垂足
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为G,
同理可得NECb=60。,同理证明FE=QE;在Rt^CRG中,求出NCRG=30°,得到
1131
CG=-CF=-BD,再求出FG?=。/2—CG?EG=ICE-CG|=CE——BD在
224112
Rt_GEE中,由勾股定理得所2=GE2+G/2,据此可得结论.
【小问1详解】
解:•.•在VABC中,AB=AC,ABAC=100°,
180°-ZBAC
NB=/ACB==40°;
2
由旋转的性质可得NAC/V=4,
ZMCN=NACB+ZACN=40°+40°=80°;
【小问2详解】
解:①如图所示,以点A为旋转中心,将△A3。逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,
:在VABC中,AB=AC,ZBAC=9Q°,
180°—N54C
NB=ZACB==45°;
2
由旋转的性质可得NACN=NB,AD=AF,BD=CF,ZDAF=9Q°,
ZMCN=ZACB+ZACN=450+45°=90°;
/DAE=-ABAC=45°,
2
AFAE=ZDAF-ZDAE=45°=ZDAE,
又:A£>=AF,AE=AE,
:.<ADE^AFE(SAS),
AFE=DE,
设BD=CF=x,则。£=2九,
BC=6,
:.DE=FE=BC—BD—CE=6—3x,
在RtACEF中,由勾股定理得EF2=CE2+CF2,
(6-3x)2=x2+(2x)~,
解得x=¥或x=¥,舍去);
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.s";
2
②DE?=CE?-CEBD+BD?,证明如下:
如图所示,以点A为旋转中心,将△ABD逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,过点尸作直线
5C的垂线,垂足为G,
同理可得NECR=60。,
由旋转的性质可得NZMF=120°,AD=AF,BD=CF,
/DAE=-ZBAC=60°,
2
NFAE=NDAF-ZDAE=60°=ZDAE,
又;AD=AF,AE=AE,
.ADE冬AFE(SAS),
•••FE=DE;
在RtACbG中,ZFGC=90°,NGCF=60。,
:.NCFG=30°,
:.CG=-CF=-BD,
22
FG2=CF2-CG2=^BD2,EG=\CE-CG|=CE--BD
2
在Rt_GEE中,由勾股定理得Ei”=GE2+G7/2,
,1-3,
DE2=CE——BD+-BD2,
24
i3
/.DE-=CE2-CEBD+-BD?+-BD2,
44
DE2=CE2-CEBD+BD2.
第23页共28页
26.如图①,经点4(4,0)的直线与经过点A的二次函数y=a%2+"的图像交于点与y轴交于
(1)求二次函数的解析式及点8的坐标;
(2)如图②,点尸是线段AC下方抛物线上的一个动点,过点尸作x轴的垂线,交线段AC于点再
过点尸作)轴的垂线交抛物线于点E.是否存在点尸使!际为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点
P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,点。为线段A3上的一个动点(不与重合),经过ARO三点的圆与经过点A且垂直
于A3的直线交点G,当AODG面积取最小值时,求直线A3上修点的坐标,使得.OGH周长最小.
【答案】(1)y=f—4x,(0,T)
(2)P(3,—3)或尸
(3)H(3,-l)
【解析】
【分析】⑴直接将点A(4,0),C。,—3)代入二次函数丁=办2+法中即可求得得解,同时设直线
AC的解析式为了=履+根,代入4(4,0),C。,—3)得到,"值,即可得点8的坐标;
(2)设-4m),则尸(〃?,加一4),E^4-m,nr-4m),进而得出
PE=|/n—(4—m)|=|2/n—4|,PF=m—4—^m2=—m2+5m—4,根据=P尸列出方程,解
方程,即可求解;
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(3)先求得直线AG的解析式y=—x+4,设G(s,—s+4),设。“J—4),0<r<4,OG的中点为
圆心,设为。,则。手,宁,根据圆的性质,可得。一定在AO的垂直平分线上,得出f+s=4,
进而得出G(4—t/),用f表示出S°»G,根据二次函数的性质得出,So/取得最小值时,G(2,2),进
而根据OGH周长最小,设G关于
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