四川省自贡市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

四川省自贡市2024-2025学年九年级上学期期末考试

数学试题（解析版）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分.考试时间

为120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘

贴考试用条形码.答卷时，须将答案答在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无

效，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，本试题卷由学生自己保留，只将答题卡

交回.

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（本题有12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）

1.生活中存在丰富的对称图形，我们可以从中抽象并设计出漂亮的数学图案.图案中，既是中心对称图形

也是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解

答本题的关键.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可.在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图

形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的

另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意；

B.不是轴对称图形，但是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C选项符合题意；

D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意，

故选：C.

2.二次函数y=-必+6x+c的图象如图所示，当％=—2时，函数值y为（）

第1页共28页

-3/O1\x

A.y<0B,y>0C,y=0D.-3<J<1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象求出函数解析式，进而求出，当％=-2时的)值，判

断即可.

【详解】解：由图象可知，函数图象过点(—3,0)和(1,0),

y=—(x-l)(x+3),

...当x=-2时，y——(x—l)(x+3)=—(―3)xl=3>0；

故选B.

3.下列事件中，是必然事件的是()

A,将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形

B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为6

C.过弦中点的直径垂直于弦

D.圆心到圆上各点的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查事件的分类，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆的概念辨析，根据一定条件下，一定会发

生的事件为必然事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件，一定不发生的事件为不可能事件，进行判断

即可.

【详解】解：A、将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形，是不可能事件，不符合题意；

B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为6,是随机事件，不符合题意；

C、过弦中点的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意；

D、圆心到圆上各点的距离相等，是必然事件，符合题意；

故选D.

4.方程好-岳+8=0根的情况是()

第2页共28页

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无实数根

【答案】D

【解析】

［分析］本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a+0)根的判别式A=Z?2-4ac与根的关系.当A〉0时，

一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元

二次方程没有实数根.求出根的判别式即可判断.

【详解】解：缶+8=0，

，△=4x1x8=-30<0,

；•方程无实数根.

故选D.

5.如图，直线与相切于点C,且C为A3的中点，ZACM=20°,则/5OC的度数为

A45°B.40°C.35°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，等弧对等角，根据切线的性质，得到NOO0=9O°,进而求

出NOC4的度数，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出NAOC的度数，等弧对等角，得到

=即可.

【详解】解：：直线肱V与50相切于点C,

OCLMN,

：.ZOCM=90°,

,：ZACM=20°,

AOCA=Z.OCM-ZACM=70°,

第3页共28页

vOA=OC,

Z.OAC=Z.OCA=1Q°,

ZAOC=180°-2x70°=40°,

：C为AB的中点，

AC=BC，

，ZBOC=ZAOC=40°；

故选B.

6.一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸

出一个球，则下列事件发生的概率为1的是（）

3

A.摸出白球B.摸出红球C.摸出绿球D.摸出黑球

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键.分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答

案.

【详解】A.摸出白球的概率为：——-——=-,不符合题意;

1+1+3+49

11

B.摸出红球的概率为:不符合题意;

1+1+3+4

331

C.摸出绿球的概率为:-=符合题意;

1+1+3+493

44

D.摸出黑球的概率为:一,不符合题意;

1+1+3+49

故选：C

7.将抛物线y=（x-2）2-2向左平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（）

A.（2,0）B,（4,2）C.（0,-2）D,（4,-2）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查抛物线的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，求出新的抛物线，再根据顶点式的

顶点坐标公式，求解即可.

第4页共28页

【详解】解：由题意，平移后的解析式为：y=（x-2+2）2-2=x2-2,

.••平移后抛物线的顶点坐标为（0,-2）；

故选C.

8.如图，某隧道横截面为弓形，测得隧道高6m,水平路面AB宽6m,则该弓形所在圆的半径为（）

15299

A.—mB.4mC.—mD.-m

472

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设半径为广，利用勾股定理构建方程求解.

【详解】解：设该弓形所在圆的圆心为。，半径为『，如图，连接04,03,0。，OCLAfi于。

:.AD=BD=-AB=-x6=3

22

在RfQ4Z）中，OA=r,OD=6-r,AD=3

由勾股定理得：OA2=OD2+AD2

即产=（6—「）2+3?

解得：一”

4

故选：A

9.若关于九的一元二次方程入2—4x+2=0有两个相等的实数根，则上的值为（）

第5页共28页

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程

苏+6x+c=0（a40）,若」=/-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若_=/-4ac=0，则方程

有两个相等的实数根，若一.=方2一4ac<o,则方程没有实数根，据此求解即可；

【详解】•••一元二次方程Ax?_4%+2=0有两个相等的实数根

%工0

.二=（T）2_8左=0

k=2

故选：C

10.圆锥底面半径为1cm,母线长4cm,其侧面展开图的圆心角度数为（）

A.60°B.90°C.120°D,150°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，熟练掌握弧长公式/=——x»r是解题关键.设圆锥

180

的侧面展开图的圆心角度数为〃，根据弧长计算公式列出方程，解方程即可.

【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为〃，

n

根据题意有：——x»x4=2»xl,

180

解得：〃=90。，

故选：B.

11.如图，A3为、。的直径，ZA=ZCBD.若A3=6,BD=2,则3c的长为（）

第6页共28页

A8啦R4CF)D1°也

33

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接OC,OD,0D交BC于点E,易得

OB=OC=OD=3,圆周角定理，推出N6OD=NCOD,三线合一，得到。DL5C,

BC=2BE,设OE=x,贝hDE=OD-OE=3-x,勾股定理求出x得值，进而求出3E得长，即

可.

【详解】解：连接OC。。，0D交BC于点E，

为C。的直径，AB=6,

OB=OC=OD=3,

ZA=NCBD,NBOD=2ZA,ZCOD=2ZCBD,

：.ZBOD^ZCOD,

：.ODLBC,BC=2BE,

设OE=x,贝U：DE=OD-OE=3-x,

在RtZkOEfi中，由勾股定理，得：BE1OB2-OE2，

在Rt,BED中，由勾股定理，得：BE?=DB?-DE?，

,7

•1•0B--OE2=DB2-DE~，即：32-x2=22-（3-%）,解得：%=-,

BE=yJOB--OE2=拽^,

3

BC=2BE=—

3

第7页共28页

故选A.

12.已知二次函数丁=改2+区+c(〃。0),当y<根时，％的取值范围是〃一2V九<4一几，且该二次函

数的图象经过P(—l,4—2f),Q(s,产+6)两点，有以下结论：①。>0；②若ax；+姐=谒+她,且

下彳%2，则占+4=2；③"时，(n-l)(a〃+a+Z?)>0；④s<—l或s>3.其中，正确的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象的和性质，根据当><加时，x的取值范围是〃—2<x<4—〃，得到抛

n—2+4—n

物线的开口方向向上，对称轴为兀=-------------=1,判断①，根据二次函数的对称性和增减性，判断

2

②③和④即可.

【详解】解：：二次函数丁=加+次+。(。。0),当丁<加时，X的取值范围是2〈为<4—〃，

n—2+4—77

抛物线的开口向上，对称轴为直线X=----------------=1,

2

：.a>0,故①正确；

axf+bxx=ax；+bx2,且石Wx2时，贝!|：ax^+bxl+c=ax^+bx2+c,

：.X=X］和X=%的函数值相同，

/.Xj+x2=2；故②正确；

:抛物线的开口向上，对称轴为直线x=l,

，当尤=1时，函数有最小值为a+b+c,

•••当x=时，an2+bn+c>a+b+c>

an2+bn+c—a—b—c>0

a--1)>0,

A(zz-l)(arz+a+Z>)>0；故③正确；

:抛物线的开口向上，

...抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大；

•.•产+6—4+2,=r+2,+2=。+1)?+1>0,且二次函数的图象经过P(-l,4—2。，。［，/+6),

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...点p到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离,

b>|—1—1|,

.,.卜->2,

..•5>3或5<—1;故④正确；

故选D.

第n卷非选择题（共102分）

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，满分24分）

13.一元二次方程：f=X的解为：.

【答案】占=0,%2=1

【解析】

【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，用因式分解法解方

程即可解得答案.

【详解】解:x2-x=0,

即x（D=0,

解得玉=0,刀2=1-

故答案为：西=0,x2=1.

14.如图，。是VA3C的外接圆，已知ODLAB于点。，ZBOD=70°,则NC的度数为.

【答案】70。##70度

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，连接Q4,得到Q4=OB,三线合一结合圆周角定理，得到

ZC=ZDOB,即可.

【详解】解：连接。4,则：OA=OB,

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OD1AB,

：.ZAOB=2ZBOD,

；ZAOB=2NC,

:.NC=NDOB=70。；

故答案为：70。

15.若关于x的方程炉+如-2=0有一个根为1，则机的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解，把x=l代入方程，进行求解即可.

【详解】解：由题意，把x=l代入尤2+如—2=0,得：1+加一2=0,

解得：m=1；

故答案为：1.

16.如图，正六边形桌面A5CDEF上有一内切圆O,若向这个桌面上随意抛一粒豆子，则豆子的落点

在：.O内的概率是.

【解析】

【分析】本题考查正多边形和圆，几何概率，圆的面积与正六边形的面积之比，进行求解即可.

【详解】解：连接。AO3,设A3与。。相切于点"，。的半径为广，连接

第10页共28页

360°

则：OA=OB,OM=rOM.LAB.ZAOB=——=60。，

f6

NAOB等边三角形，AM=-AB=-OA,

22

OM=6AM=r，

・・AM=---,

3

•••AB=OA=^-r，

3

Sl

•1-M^ABCDEF=6xgx与rxr=26r,

.p；S圆_H_岛.

S正六边形ABCDEF2A/3F6

故答案为：垦

6

17.如图，线段A3上的点G，C2，G…，分别满足关系式AC；=C］3-A3,AC^QQAQ,

2

AC3=C3C2-AC2-.若AB=2,则线段c2025G的长为.

LIII|

AqGGB

［答案］非i（二T）

7022024

【解析】

【分析】本题考查黄金分割，根据题意易得。1，。2，。3…均为黄金分割点，根据黄金分割点的定义进行求解

即可.

【详解】解：•••AG2=G3-A3,

第11页共28页

.AC,QB

...q是线段A3的黄金分割点,

.AC,V5-1

••----------,

AB2

，AC1

12

J5-12025

；•G。25a=AC「4。2。25=1AB—AB=45-1-

22024

故答案为：75-1-

22024

18.如图，在矩形ABC。中，AB=5,。与边对角线AC分别相切于点G,E,F，点P是

边AD上的一个动点，PH切。于点H.若PH的最小值为厉，则3C=

Q

【答案】-

3

【解析】

【分析】连接OG,OE,O",OP,延长EO交AD于点p,证明四边形OGBE为正方形，四边形ABEP

为矩形，设半径为厂，得到O尸'=5-r,根据垂线段最短，得到当P与P点重合时，OP最短，此时PH

最小，勾股定理求出厂，设CE=B=x,得到5C=x+l,AC=x+4,利用勾股定理求出x的值即可.

第12页共28页

【详解】解：连接OG,OE,O£O〃,OP,延长£0交AZ）于点p,

V0与边AB,BC,对角线AC分别相切于点G,E,F,叨切（。于点”,

OG±AB,OE±BC,OH±PH,AG=AF,BG^BE,CE^CF,OG=OE=OH,

•..矩形ABC。，

ZABC=NBAD=90°,

四边形ABEP,四边形BEOG均为矩形，

：.OP工AD,EP'=AB=5,

•1,0G=0E,

...四边形BEOG为正方形，

:.BG=BE=OE=OG,

设:。的半径为r,贝U：BG=BE=OE=OG=OH=r,OP'=5-r,

:点尸是边AD上的一个动点，

...当尸与尸'重合时，OP最小，此时最小，

由勾股定理，得：OP?=OH?+PH?,

：.(5—r区=/+15,

解得：r=1>

:.BG=BE=OE=OG=OH=1,

：.AG=AF=AB-BG=4,

设CE=CF=x,贝!1：BC=x+1,AC=x+4,

在RtZXABC中，由勾股定理，得：AC~=AB~+BC2>

22

.-.(%+4)=(X+1)+25,

解得：x=(,

3

BC=-+1=-

33

第13页共28页

Q

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相

关知识点，确定点P的位置，是解题的关键.

三、解答题(本题有8个小题，满分78分)

19.解方程：x~+4x—5—0-

【答案】芯=一5,x2=1

【解析】

【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.

【详解】解：原方程变形为(x—1)(%+5)=0

..&=-5,X,—1.

【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.

20.从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的花色分别是两张红桃，一张黑桃.

(1)将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽到的概率更大；(填“红桃”或

“黑桃”)；

(2)将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取第二张.请用列表

或画树状图的方法，求抽取的这两张牌一张为红桃一张为黑桃的概率.

【答案】(1)红桃(2)-

3

【解析】

【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握概率的意义，列表法求概率，是解题的关键：

(1)根据概率的意义，进行判断即可；

(2)列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【小问1详解】

解：♦..三张牌中，有两张红桃，一张黑桃，红桃的数量比黑桃多，

...抽到红桃的概率更大；

故答案为：红桃；

【小问2详解】

如图，列表如下：

红桃红桃黑桃

第14页共28页

红桃红桃，红桃红桃，黑桃

红桃红桃，红桃红桃，黑桃

黑桃黑桃，红桃黑桃，红桃

共6种等可能的结果，其中两张牌一张为红桃一张为黑桃的结果有4种,

21.某文具店购入一批进价为10元/盒的卡片进行销售，在某段时间内若以每盒X元出售，可卖出

(60-2力盒.

(1)若文具店在让利消费者的前提下获利150元，则每盒卡片的售价是多少元？

(2)文具店如何定价才能使利润最大？

【答案】(1)每盒卡片的售价是15元；

(2)每盒卡片的售价是每盒20元时，文具店利润最大.

【解析】

【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用.

(1)文具店在让利消费者的前提下获利150元，据此列方程，解方程后根据题意选取合适的答案即可;

(2)设利润为w元，列出w函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可.

【小问1详解】

解：由题意可得，(60—2x)(x—10)=150,

解得％=25,%=15,

..•文具店在让利消费者的前提下获利150元，

%=15；

答：每盒卡片的售价是15元；

【小问2详解】

解：设利润为川元，

贝I」w=(60-2x)(x-10)=—2尤2+80%—600=—2(x—20)2+200,

V-2<0,

...当x=20时，w有最大值，最大值为200,

答：每盒卡片的售价是每盒20元时，文具店利润最大.

第15页共28页

22.如图，VA3C顶点坐标分别为A(—2,1),B(-4,4),C(-5,2).

(1)若△4片£与VA3C关于x轴对称，则4的坐标是；

(2)若△人与C?与VA3C关于坐标原点。中心对称，则外的坐标是；

(3)请在下图中画出将NABC绕点(-1,0)沿顺时针方向旋转90°得到的A&B3c3,并写出G的坐标.

【答案】(1)(-2,-1)

(2)(4,-4)

(3)C3(l,4)

【解析】

【分析】本题考查作图-旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，也考查了轴对称的性质.

(1)根据关于无轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解；

(2)根据关于原点。对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解；

(3)分别作出A,B,C的对应点人,53，。3，即可写出的坐标.

【小问1详解】

根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：点4(—2,1)关于x轴对称的点A的坐标是(-2,-1)

故答案为：(―2,—1)

【小问2详解】

根据关于原点0对称的点的坐标特征可知：点8(-4,4)关于坐标原点。对称的点B2的坐标是(4,-4)

故答案为：(4T)

【小问3详解】

第16页共28页

如图所示，AAB3c3即为所求作的三角形,

由图可知：C3(l,4)

23.如图，A6是匚。的直径，VA3C内接于Q。，点E是VA3C的内心，CE的延长线与、。交于点

。，尸是BC上任意一点，连接ARBRBF,".

(1)若/F=no。，求/ABC的度数：

(2)若AC=CT，?BCFa,/尸=力，请直接写出e与夕数量关系;

(3)找出图中所有与DE相等的线段，并证明.

【答案】(1)20°

(2)a+2/3=210°

(3)AD=BD=DE,证明见解析

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，

性质，是解题的关键.

(1)圆内接四边形的性质，得到NC43的度数，圆周角定理，得至】JNACB=90°,再利用三角形的内角和

定理，求出NA3C的度数即可；

(2)同法(1)求出NA5C的度数，等弧所对的圆周角相等，得到NC卯=/4BC,根据三角形的内角和

第17页共28页

定理，得到a与夕的数量关系；

（3）连接AE，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到

ZDAE=ZAED，等角对等边，得到ZM=DE,圆周角定理得到NZMB=NDBA，进而得到40=5。，

得到*=

【小问1详解】

解：•••VA3C内接于。0,E是上任意一点，

四边形ABFC为圆内接四边形，

ZCAB=180°-ZF=70°,

,/AB是。，。的直径，

ZACB=9Q°,

：.ZABC=90°-ZCAB=20°；

【小问2详解】

同（1）法可得：ZABC=90。—NC4B=90。—（180。—力）=力—90°,

•••AC=CF，

ZCBF=ZABC=）3-90°,

在VBCT中，ZF+ZFCB+ZFBC=180°,

.•.分+a+分—90。=180。，

。+2/=270。；

【小问3详解】

AD=BD=DE，证明如下：

连接AE,

:点E是VA3C的内心，

•••AE平分/C4B,CE平分/ACB,

第18页共28页

ZEAC=ZEAB,ZACD=ZBCD,

ZDAE=ZBAD+NBAE,ZDEA=ZACD+ZEAC,ZDAB=ZDCB=ZACD,

:.ZDAE=ZDEA,

：.AD=DE,

•：ZABD=ZACD=ZDAB,

•••AD=BD,

AD=BD=DE.

24.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,点。由点A出发，沿AC方向向点C

匀速运动，速度为1cm/s,点P由点C出发，沿C-8fA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s.如

果动点Q,P同时从AC两点出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为f(s).

(1)当0</W3时，CQ=cm,CP=cm(用含/的代数式表示)；

(2)当0<3时，求四边形AQP3的面积S关于f的函数关系式；

(3)当△PCQ面积最大时，求才的值.

【答案】(1)(8—f),2t

(2)S=/—8/+24

(3)t=3

【解析】

【分析】本题考查二次函数的实际应用，解直角三角形，解题的关键是正确的求出函数解析式：

(1)根据路程等于速度乘以时间结合线段的和差关系，列出代数式即可；

(2)用VA3C的面积减去的面积即可；

(3)分别表示出点尸在5c上和点尸在上两种情况求出函数解析式，利用二次函数求最值即可.

【小问1详解】

解：*/Z.C=90°,BC=6cm,AC=8cm,

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'AB=76rz8r=10cm，

由题意，点。运动到点C时间为：8+l=8s,点P运动到点8的时间为：6+2=3s,从点8运动到点A的

时间为：10+2=5s；

.,.当0</W3时，AQ=Zcm,BP=Item,

：.C2=AC-A2=(8-r)cm；

故答案为：(8-Z),2t；

【小问2详解】

当0</<3时，

V-V-Q

°一0AABC0△PC。

=^ACBC-^PCCQ

=1x6x8-1-2r（8-Z）

=t~—St+24；

【小问3详解】

ii,

2

当0<Y3时，SPCQ=-PC-CQ=--2t\S-t)=-t+St=-(t-4y+16,

•••抛物线的开口向下，当/<4时，Spc。随/的增大而增大，

.•.当t=3时，Spco最大为：—(3—4y+16=15；

当3</<8时，如图，贝U：AP=6+10-2r=(16-2r)cm,过点p作PDJ.AC,

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oA

PD=—AP=j（8-^）cm,

l2

SpCQ=^PD-C2=^-1（8-r）-（8-z）=|（8-?）,

...当/<8时，S,pc°随/的增大而减小,

3,

当f=3时，PCG=-（8-3）=15,

...当3<f<8时，StPCQ<15；

综上：Spco的最大值为15,止匕时f=3.

25.VABC中，AB=AC.

(1)如图①，Af是3C边上任意一点，以点A为旋转中心，将，ABM逆时针旋转到△ACN位置，连接

MN.若/BAC=100。，则NMQV的度数为；

（2）如图②，DE是BC边上两点，点D在点E左边,ZDAE=-ZBAC.

2

①若Z£L4C=90°,BC=6,EC=2BD,则3D=；

②若44c=120。，请写出线段5。,OE,EC之间的数量关系，并进行证明.

【答案】(1)80°

⑵①BD=9-3布;②DE?=CE°-CEBD+BD?,证明见解析

2

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形内

角和定理：

(1)先由等边对等角和三角形内角和定理求出NBNAC3的度数，再由旋转的性质求出NACN的度数

即可得到答案；

(2)①以点A为旋转中心，将△A3。逆时针旋转到△ACF位置，连接CREF,仿照(1)可求出

/MCN=90°,再证明△ADE也八47芯，得到FE=DE,设BD=CF=x,则C£=2x,

DE=FE=6-3x,在Rt^C即中，由勾股定理得(6-3叶=V+(2x『，解方程即可得到答案；②以点

A为旋转中心，将逆时针旋转到△ACF位置，连接CE,EF,过点尸作直线3c的垂线，垂足

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为G,

同理可得NECb=60。，同理证明FE=QE；在Rt^CRG中，求出NCRG=30°,得到

1131

CG=-CF=-BD,再求出FG?=。/2—CG?EG=ICE-CG|=CE——BD在

224112

Rt_GEE中，由勾股定理得所2=GE2+G/2,据此可得结论.

【小问1详解】

解：•.•在VABC中，AB=AC,ABAC=100°,

180°-ZBAC

NB=/ACB==40°；

2

由旋转的性质可得NAC/V=4,

ZMCN=NACB+ZACN=40°+40°=80°；

【小问2详解】

解：①如图所示，以点A为旋转中心，将△A3。逆时针旋转到△ACF位置，连接CREF,

:在VABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,

180°—N54C

NB=ZACB==45°；

2

由旋转的性质可得NACN=NB,AD=AF,BD=CF,ZDAF=9Q°,

ZMCN=ZACB+ZACN=450+45°=90°；

/DAE=-ABAC=45°,

2

AFAE=ZDAF-ZDAE=45°=ZDAE,

又：A£>=AF,AE=AE,

：.<ADE^AFE（SAS）,

AFE=DE,

设BD=CF=x,则。£=2九，

BC=6,

：.DE=FE=BC—BD—CE=6—3x,

在RtACEF中，由勾股定理得EF2=CE2+CF2，

（6-3x）2=x2+（2x）~,

解得x=¥或x=¥,舍去）;

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.s"；

2

②DE?=CE?-CEBD+BD?,证明如下：

如图所示，以点A为旋转中心，将△ABD逆时针旋转到△ACF位置，连接CREF,过点尸作直线

5C的垂线，垂足为G,

同理可得NECR=60。，

由旋转的性质可得NZMF=120°,AD=AF,BD=CF,

/DAE=-ZBAC=60°,

2

NFAE=NDAF-ZDAE=60°=ZDAE,

又；AD=AF,AE=AE,

.ADE冬AFE(SAS),

•••FE=DE；

在RtACbG中，ZFGC=90°,NGCF=60。,

：.NCFG=30°,

：.CG=-CF=-BD,

22

FG2=CF2-CG2=^BD2,EG=\CE-CG|=CE--BD

2

在Rt_GEE中，由勾股定理得Ei”=GE2+G7/2,

,1-3,

DE2=CE——BD+-BD2,

24

i3

/.DE-=CE2-CEBD+-BD?+-BD2,

44

DE2=CE2-CEBD+BD2.

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26.如图①，经点4(4,0)的直线与经过点A的二次函数y=a%2+"的图像交于点与y轴交于

(1)求二次函数的解析式及点8的坐标；

(2)如图②，点尸是线段AC下方抛物线上的一个动点，过点尸作x轴的垂线，交线段AC于点再

过点尸作)轴的垂线交抛物线于点E.是否存在点尸使！际为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点

P的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)如图③，点。为线段A3上的一个动点(不与重合)，经过ARO三点的圆与经过点A且垂直

于A3的直线交点G,当AODG面积取最小值时，求直线A3上修点的坐标，使得.OGH周长最小.

【答案】(1)y=f—4x,(0,T)

(2)P(3,—3)或尸

(3)H(3,-l)

【解析】

【分析】⑴直接将点A(4,0),C。,—3)代入二次函数丁=办2+法中即可求得得解，同时设直线

AC的解析式为了=履+根，代入4(4,0),C。,—3)得到，"值，即可得点8的坐标；

(2)设-4m)，则尸(〃?,加一4),E^4-m,nr-4m),进而得出

PE=|/n—(4—m)|=|2/n—4|,PF=m—4—^m2=—m2+5m—4,根据=P尸列出方程，解

方程，即可求解;

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（3）先求得直线AG的解析式y=—x+4,设G（s,—s+4）,设。“J—4）,0<r<4,OG的中点为

圆心，设为。，则。手，宁，根据圆的性质，可得。一定在AO的垂直平分线上，得出f+s=4,

进而得出G（4—t/）,用f表示出S°»G，根据二次函数的性质得出，So/取得最小值时，G（2,2）,进

而根据OGH周长最小，设G关于