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文档简介

四川省自贡市2024-2025学年九年级上学期期末考试

数学试题(解析版)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共6页,满分150分.考试时间

为120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘

贴考试用条形码.答卷时,须将答案答在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无

效,在本试题卷、草稿纸上答题无效,考试结束后,本试题卷由学生自己保留,只将答题卡

交回.

第I卷选择题(共48分)

一、选择题(本题有12个小题,每小题4分,满分48分,每小题只有一个选项符合题意)

1.生活中存在丰富的对称图形,我们可以从中抽象并设计出漂亮的数学图案.图案中,既是中心对称图形

也是轴对称图形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解

答本题的关键.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可.在平面内,一个图形绕某个点旋转180度能与原图

形重合,这个图形叫做中心对称图形;一个图形的一部分,以某条直线为对称轴,经过轴对称能与图形的

另一部分重合,这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】解:A.既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故A选项不符合题意;

B.不是轴对称图形,但是中心对称图形,故B选项不符合题意;

C.既是中心对称图形,也是轴对称图形,故C选项符合题意;

D.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故D选项不符合题意,

故选:C.

2.二次函数y=-必+6x+c的图象如图所示,当%=—2时,函数值y为()

第1页共28页

-3/O1\x

A.y<0B,y>0C,y=0D.-3<J<1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象和性质,根据图象求出函数解析式,进而求出,当%=-2时的)值,判

断即可.

【详解】解:由图象可知,函数图象过点(—3,0)和(1,0),

y=—(x-l)(x+3),

...当x=-2时,y——(x—l)(x+3)=—(―3)xl=3>0;

故选B.

3.下列事件中,是必然事件的是()

A,将圆锥的侧面沿母线剪开并展平,得到一个矩形

B.投掷一枚正六面体骰子,朝上一面的点数为6

C.过弦中点的直径垂直于弦

D.圆心到圆上各点的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查事件的分类,垂径定理,圆锥的侧面展开图,圆的概念辨析,根据一定条件下,一定会发

生的事件为必然事件,可能发生可能不发生的事件为随机事件,一定不发生的事件为不可能事件,进行判断

即可.

【详解】解:A、将圆锥的侧面沿母线剪开并展平,得到一个矩形,是不可能事件,不符合题意;

B、投掷一枚正六面体骰子,朝上一面的点数为6,是随机事件,不符合题意;

C、过弦中点的直径垂直于弦,是随机事件,不符合题意;

D、圆心到圆上各点的距离相等,是必然事件,符合题意;

故选D.

4.方程好-岳+8=0根的情况是()

第2页共28页

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无实数根

【答案】D

【解析】

[分析]本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a+0)根的判别式A=Z?2-4ac与根的关系.当A〉0时,

一元二次方程有两个不相等的实数根;当A=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当A<0时,一元

二次方程没有实数根.求出根的判别式即可判断.

【详解】解:缶+8=0,

,△=4x1x8=-30<0,

;•方程无实数根.

故选D.

5.如图,直线与相切于点C,且C为A3的中点,ZACM=20°,则/5OC的度数为

A45°B.40°C.35°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查切线的性质,等边对等角,等弧对等角,根据切线的性质,得到NOO0=9O°,进而求

出NOC4的度数,等边对等角结合三角形的内角和定理,求出NAOC的度数,等弧对等角,得到

=即可.

【详解】解::直线肱V与50相切于点C,

OCLMN,

:.ZOCM=90°,

,:ZACM=20°,

AOCA=Z.OCM-ZACM=70°,

第3页共28页

vOA=OC,

Z.OAC=Z.OCA=1Q°,

ZAOC=180°-2x70°=40°,

:C为AB的中点,

AC=BC,

,ZBOC=ZAOC=40°;

故选B.

6.一个不透明袋子中装有1个白球,1个红球,3个绿球,4个黑球,每个球除颜色外都相同.从中随机摸

出一个球,则下列事件发生的概率为1的是()

3

A.摸出白球B.摸出红球C.摸出绿球D.摸出黑球

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题关键.分别求出摸出四种颜色球的概率,即可得到答

案.

【详解】A.摸出白球的概率为:——-——=-,不符合题意;

1+1+3+49

11

B.摸出红球的概率为:不符合题意;

1+1+3+4

331

C.摸出绿球的概率为:-=符合题意;

1+1+3+493

44

D.摸出黑球的概率为:一,不符合题意;

1+1+3+49

故选:C

7.将抛物线y=(x-2)2-2向左平移2个单位,则平移后抛物线的顶点坐标为()

A.(2,0)B,(4,2)C.(0,-2)D,(4,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查抛物线的平移,根据平移规则,左加右减,上加下减,求出新的抛物线,再根据顶点式的

顶点坐标公式,求解即可.

第4页共28页

【详解】解:由题意,平移后的解析式为:y=(x-2+2)2-2=x2-2,

.••平移后抛物线的顶点坐标为(0,-2);

故选C.

8.如图,某隧道横截面为弓形,测得隧道高6m,水平路面AB宽6m,则该弓形所在圆的半径为()

15299

A.—mB.4mC.—mD.-m

472

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查垂径定理,勾股定理等知识,设半径为广,利用勾股定理构建方程求解.

【详解】解:设该弓形所在圆的圆心为。,半径为『,如图,连接04,03,0。,OCLAfi于。

:.AD=BD=-AB=-x6=3

22

在RfQ4Z)中,OA=r,OD=6-r,AD=3

由勾股定理得:OA2=OD2+AD2

即产=(6—「)2+3?

解得:一”

4

故选:A

9.若关于九的一元二次方程入2—4x+2=0有两个相等的实数根,则上的值为()

第5页共28页

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程

苏+6x+c=0(a40),若」=/-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根,若_=/-4ac=0,则方程

有两个相等的实数根,若一.=方2一4ac<o,则方程没有实数根,据此求解即可;

【详解】•••一元二次方程Ax?_4%+2=0有两个相等的实数根

%工0

.二=(T)2_8左=0

k=2

故选:C

10.圆锥底面半径为1cm,母线长4cm,其侧面展开图的圆心角度数为()

A.60°B.90°C.120°D,150°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角,熟练掌握弧长公式/=——x»r是解题关键.设圆锥

180

的侧面展开图的圆心角度数为〃,根据弧长计算公式列出方程,解方程即可.

【详解】解:设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为〃,

n

根据题意有:——x»x4=2»xl,

180

解得:〃=90。,

故选:B.

11.如图,A3为、。的直径,ZA=ZCBD.若A3=6,BD=2,则3c的长为()

第6页共28页

A8啦R4CF)D1°也

33

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理,勾股定理,连接OC,OD,0D交BC于点E,易得

OB=OC=OD=3,圆周角定理,推出N6OD=NCOD,三线合一,得到。DL5C,

BC=2BE,设OE=x,贝hDE=OD-OE=3-x,勾股定理求出x得值,进而求出3E得长,即

可.

【详解】解:连接OC。。,0D交BC于点E,

为C。的直径,AB=6,

OB=OC=OD=3,

ZA=NCBD,NBOD=2ZA,ZCOD=2ZCBD,

:.ZBOD^ZCOD,

:.ODLBC,BC=2BE,

设OE=x,贝U:DE=OD-OE=3-x,

在RtZkOEfi中,由勾股定理,得:BE1OB2-OE2,

在Rt,BED中,由勾股定理,得:BE?=DB?-DE?,

,7

•1•0B--OE2=DB2-DE~,即:32-x2=22-(3-%),解得:%=-,

BE=yJOB--OE2=拽^,

3

BC=2BE=—

3

第7页共28页

故选A.

12.已知二次函数丁=改2+区+c(〃。0),当y<根时,%的取值范围是〃一2V九<4一几,且该二次函

数的图象经过P(—l,4—2f),Q(s,产+6)两点,有以下结论:①。>0;②若ax;+姐=谒+她,且

下彳%2,则占+4=2;③"时,(n-l)(a〃+a+Z?)>0;④s<—l或s>3.其中,正确的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象的和性质,根据当><加时,x的取值范围是〃—2<x<4—〃,得到抛

n—2+4—n

物线的开口方向向上,对称轴为兀=-------------=1,判断①,根据二次函数的对称性和增减性,判断

2

②③和④即可.

【详解】解::二次函数丁=加+次+。(。。0),当丁<加时,X的取值范围是2〈为<4—〃,

n—2+4—77

抛物线的开口向上,对称轴为直线X=----------------=1,

2

:.a>0,故①正确;

axf+bxx=ax;+bx2,且石Wx2时,贝!|:ax^+bxl+c=ax^+bx2+c,

:.X=X]和X=%的函数值相同,

/.Xj+x2=2;故②正确;

:抛物线的开口向上,对称轴为直线x=l,

,当尤=1时,函数有最小值为a+b+c,

•••当x=时,an2+bn+c>a+b+c>

an2+bn+c—a—b—c>0

a--1)>0,

A(zz-l)(arz+a+Z>)>0;故③正确;

:抛物线的开口向上,

...抛物线上的点距离对称轴越远,函数值越大;

•.•产+6—4+2,=r+2,+2=。+1)?+1>0,且二次函数的图象经过P(-l,4—2。,。[,/+6),

第8页共28页

...点p到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离,

b>|—1—1|,

.,.卜->2,

..•5>3或5<—1;故④正确;

故选D.

第n卷非选择题(共102分)

二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,满分24分)

13.一元二次方程:f=X的解为:.

【答案】占=0,%2=1

【解析】

【分析】本题主要考查解一元一次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键,用因式分解法解方

程即可解得答案.

【详解】解:x2-x=0,

即x(D=0,

解得玉=0,刀2=1-

故答案为:西=0,x2=1.

14.如图,。是VA3C的外接圆,已知ODLAB于点。,ZBOD=70°,则NC的度数为.

【答案】70。##70度

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理,三线合一,连接Q4,得到Q4=OB,三线合一结合圆周角定理,得到

ZC=ZDOB,即可.

【详解】解:连接。4,则:OA=OB,

第9页共28页

OD1AB,

:.ZAOB=2ZBOD,

;ZAOB=2NC,

:.NC=NDOB=70。;

故答案为:70。

15.若关于x的方程炉+如-2=0有一个根为1,则机的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解,把x=l代入方程,进行求解即可.

【详解】解:由题意,把x=l代入尤2+如—2=0,得:1+加一2=0,

解得:m=1;

故答案为:1.

16.如图,正六边形桌面A5CDEF上有一内切圆O,若向这个桌面上随意抛一粒豆子,则豆子的落点

在:.O内的概率是.

【解析】

【分析】本题考查正多边形和圆,几何概率,圆的面积与正六边形的面积之比,进行求解即可.

【详解】解:连接。AO3,设A3与。。相切于点",。的半径为广,连接

第10页共28页

360°

则:OA=OB,OM=rOM.LAB.ZAOB=——=60。,

f6

NAOB等边三角形,AM=-AB=-OA,

22

OM=6AM=r,

・・AM=---,

3

•••AB=OA=^-r,

3

Sl

•1-M^ABCDEF=6xgx与rxr=26r,

.p;S圆_H_岛.

S正六边形ABCDEF2A/3F6

故答案为:垦

6

17.如图,线段A3上的点G,C2,G…,分别满足关系式AC;=C]3-A3,AC^QQAQ,

2

AC3=C3C2-AC2-.若AB=2,则线段c2025G的长为.

LIII|

AqGGB

[答案]非i(二T)

7022024

【解析】

【分析】本题考查黄金分割,根据题意易得。1,。2,。3…均为黄金分割点,根据黄金分割点的定义进行求解

即可.

【详解】解:•••AG2=G3-A3,

第11页共28页

.AC,QB

...q是线段A3的黄金分割点,

.AC,V5-1

••----------,

AB2

,AC1

12

J5-12025

;•G。25a=AC「4。2。25=1AB—AB=45-1-

22024

故答案为:75-1-

22024

18.如图,在矩形ABC。中,AB=5,。与边对角线AC分别相切于点G,E,F,点P是

边AD上的一个动点,PH切。于点H.若PH的最小值为厉,则3C=

Q

【答案】-

3

【解析】

【分析】连接OG,OE,O",OP,延长EO交AD于点p,证明四边形OGBE为正方形,四边形ABEP

为矩形,设半径为厂,得到O尸'=5-r,根据垂线段最短,得到当P与P点重合时,OP最短,此时PH

最小,勾股定理求出厂,设CE=B=x,得到5C=x+l,AC=x+4,利用勾股定理求出x的值即可.

第12页共28页

【详解】解:连接OG,OE,O£O〃,OP,延长£0交AZ)于点p,

V0与边AB,BC,对角线AC分别相切于点G,E,F,叨切(。于点”,

OG±AB,OE±BC,OH±PH,AG=AF,BG^BE,CE^CF,OG=OE=OH,

•..矩形ABC。,

ZABC=NBAD=90°,

四边形ABEP,四边形BEOG均为矩形,

:.OP工AD,EP'=AB=5,

•1,0G=0E,

...四边形BEOG为正方形,

:.BG=BE=OE=OG,

设:。的半径为r,贝U:BG=BE=OE=OG=OH=r,OP'=5-r,

:点尸是边AD上的一个动点,

...当尸与尸'重合时,OP最小,此时最小,

由勾股定理,得:OP?=OH?+PH?,

:.(5—r区=/+15,

解得:r=1>

:.BG=BE=OE=OG=OH=1,

:.AG=AF=AB-BG=4,

设CE=CF=x,贝!1:BC=x+1,AC=x+4,

在RtZXABC中,由勾股定理,得:AC~=AB~+BC2>

22

.-.(%+4)=(X+1)+25,

解得:x=(,

3

BC=-+1=-

33

第13页共28页

Q

故答案为:—.

3

【点睛】本题考查三角形的内切圆,切线长定理,正方形的判定和性质,矩形的判定和性质,熟练掌握相

关知识点,确定点P的位置,是解题的关键.

三、解答题(本题有8个小题,满分78分)

19.解方程:x~+4x—5—0-

【答案】芯=一5,x2=1

【解析】

【分析】通过观察方程形式,利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.

【详解】解:原方程变形为(x—1)(%+5)=0

..&=-5,X,—1.

【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程,解题关键在于掌握运算法则.

20.从一副普通的扑克牌中取出三张牌,它们的花色分别是两张红桃,一张黑桃.

(1)将这三张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽到的概率更大;(填“红桃”或

“黑桃”);

(2)将这三张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取第二张.请用列表

或画树状图的方法,求抽取的这两张牌一张为红桃一张为黑桃的概率.

【答案】(1)红桃(2)-

3

【解析】

【分析】本题考查列表法求概率,熟练掌握概率的意义,列表法求概率,是解题的关键:

(1)根据概率的意义,进行判断即可;

(2)列出表格,利用概率公式进行计算即可.

【小问1详解】

解:♦..三张牌中,有两张红桃,一张黑桃,红桃的数量比黑桃多,

...抽到红桃的概率更大;

故答案为:红桃;

【小问2详解】

如图,列表如下:

红桃红桃黑桃

第14页共28页

红桃红桃,红桃红桃,黑桃

红桃红桃,红桃红桃,黑桃

黑桃黑桃,红桃黑桃,红桃

共6种等可能的结果,其中两张牌一张为红桃一张为黑桃的结果有4种,

21.某文具店购入一批进价为10元/盒的卡片进行销售,在某段时间内若以每盒X元出售,可卖出

(60-2力盒.

(1)若文具店在让利消费者的前提下获利150元,则每盒卡片的售价是多少元?

(2)文具店如何定价才能使利润最大?

【答案】(1)每盒卡片的售价是15元;

(2)每盒卡片的售价是每盒20元时,文具店利润最大.

【解析】

【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用.

(1)文具店在让利消费者的前提下获利150元,据此列方程,解方程后根据题意选取合适的答案即可;

(2)设利润为w元,列出w函数解析式,根据二次函数的性质进行解答即可.

【小问1详解】

解:由题意可得,(60—2x)(x—10)=150,

解得%=25,%=15,

..•文具店在让利消费者的前提下获利150元,

%=15;

答:每盒卡片的售价是15元;

【小问2详解】

解:设利润为川元,

贝I」w=(60-2x)(x-10)=—2尤2+80%—600=—2(x—20)2+200,

V-2<0,

...当x=20时,w有最大值,最大值为200,

答:每盒卡片的售价是每盒20元时,文具店利润最大.

第15页共28页

22.如图,VA3C顶点坐标分别为A(—2,1),B(-4,4),C(-5,2).

(1)若△4片£与VA3C关于x轴对称,则4的坐标是;

(2)若△人与C?与VA3C关于坐标原点。中心对称,则外的坐标是;

(3)请在下图中画出将NABC绕点(-1,0)沿顺时针方向旋转90°得到的A&B3c3,并写出G的坐标.

【答案】(1)(-2,-1)

(2)(4,-4)

(3)C3(l,4)

【解析】

【分析】本题考查作图-旋转变换等知识,解题的关键是掌握旋转变换的性质,也考查了轴对称的性质.

(1)根据关于无轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数即可求解;

(2)根据关于原点。对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数即可求解;

(3)分别作出A,B,C的对应点人,53,。3,即可写出的坐标.

【小问1详解】

根据关于x轴对称的点的坐标特征可知:点4(—2,1)关于x轴对称的点A的坐标是(-2,-1)

故答案为:(―2,—1)

【小问2详解】

根据关于原点0对称的点的坐标特征可知:点8(-4,4)关于坐标原点。对称的点B2的坐标是(4,-4)

故答案为:(4T)

【小问3详解】

第16页共28页

如图所示,AAB3c3即为所求作的三角形,

由图可知:C3(l,4)

23.如图,A6是匚。的直径,VA3C内接于Q。,点E是VA3C的内心,CE的延长线与、。交于点

。,尸是BC上任意一点,连接ARBRBF,".

(1)若/F=no。,求/ABC的度数:

(2)若AC=CT,?BCFa,/尸=力,请直接写出e与夕数量关系;

(3)找出图中所有与DE相等的线段,并证明.

【答案】(1)20°

(2)a+2/3=210°

(3)AD=BD=DE,证明见解析

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理,圆内接四边形,三角形的内心,等角对等边等知识点,熟练掌握相关定理,

性质,是解题的关键.

(1)圆内接四边形的性质,得到NC43的度数,圆周角定理,得至】JNACB=90°,再利用三角形的内角和

定理,求出NA3C的度数即可;

(2)同法(1)求出NA5C的度数,等弧所对的圆周角相等,得到NC卯=/4BC,根据三角形的内角和

第17页共28页

定理,得到a与夕的数量关系;

(3)连接AE,根据三角形的内心是角平分线的交点,结合三角形的外角和圆周角定理,得到

ZDAE=ZAED,等角对等边,得到ZM=DE,圆周角定理得到NZMB=NDBA,进而得到40=5。,

得到*=

【小问1详解】

解:•••VA3C内接于。0,E是上任意一点,

四边形ABFC为圆内接四边形,

ZCAB=180°-ZF=70°,

,/AB是。,。的直径,

ZACB=9Q°,

:.ZABC=90°-ZCAB=20°;

【小问2详解】

同(1)法可得:ZABC=90。—NC4B=90。—(180。—力)=力—90°,

•••AC=CF,

ZCBF=ZABC=)3-90°,

在VBCT中,ZF+ZFCB+ZFBC=180°,

.•.分+a+分—90。=180。,

。+2/=270。;

【小问3详解】

AD=BD=DE,证明如下:

连接AE,

:点E是VA3C的内心,

•••AE平分/C4B,CE平分/ACB,

第18页共28页

ZEAC=ZEAB,ZACD=ZBCD,

ZDAE=ZBAD+NBAE,ZDEA=ZACD+ZEAC,ZDAB=ZDCB=ZACD,

:.ZDAE=ZDEA,

:.AD=DE,

•:ZABD=ZACD=ZDAB,

•••AD=BD,

AD=BD=DE.

24.如图,在RtAABC中,ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,点。由点A出发,沿AC方向向点C

匀速运动,速度为1cm/s,点P由点C出发,沿C-8fA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s.如

果动点Q,P同时从AC两点出发,一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为f(s).

(1)当0</W3时,CQ=cm,CP=cm(用含/的代数式表示);

(2)当0<3时,求四边形AQP3的面积S关于f的函数关系式;

(3)当△PCQ面积最大时,求才的值.

【答案】(1)(8—f),2t

(2)S=/—8/+24

(3)t=3

【解析】

【分析】本题考查二次函数的实际应用,解直角三角形,解题的关键是正确的求出函数解析式:

(1)根据路程等于速度乘以时间结合线段的和差关系,列出代数式即可;

(2)用VA3C的面积减去的面积即可;

(3)分别表示出点尸在5c上和点尸在上两种情况求出函数解析式,利用二次函数求最值即可.

【小问1详解】

解:*/Z.C=90°,BC=6cm,AC=8cm,

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'AB=76rz8r=10cm,

由题意,点。运动到点C时间为:8+l=8s,点P运动到点8的时间为:6+2=3s,从点8运动到点A的

时间为:10+2=5s;

.,.当0</W3时,AQ=Zcm,BP=Item,

:.C2=AC-A2=(8-r)cm;

故答案为:(8-Z),2t;

【小问2详解】

当0</<3时,

V-V-Q

°一0AABC0△PC。

=^ACBC-^PCCQ

=1x6x8-1-2r(8-Z)

=t~—St+24;

【小问3详解】

ii,

2

当0<Y3时,SPCQ=-PC-CQ=--2t\S-t)=-t+St=-(t-4y+16,

•••抛物线的开口向下,当/<4时,Spc。随/的增大而增大,

.•.当t=3时,Spco最大为:—(3—4y+16=15;

当3</<8时,如图,贝U:AP=6+10-2r=(16-2r)cm,过点p作PDJ.AC,

第20页共28页

oA

PD=—AP=j(8-^)cm,

l2

SpCQ=^PD-C2=^-1(8-r)-(8-z)=|(8-?),

...当/<8时,S,pc°随/的增大而减小,

3,

当f=3时,PCG=-(8-3)=15,

...当3<f<8时,StPCQ<15;

综上:Spco的最大值为15,止匕时f=3.

25.VABC中,AB=AC.

(1)如图①,Af是3C边上任意一点,以点A为旋转中心,将,ABM逆时针旋转到△ACN位置,连接

MN.若/BAC=100。,则NMQV的度数为;

(2)如图②,DE是BC边上两点,点D在点E左边,ZDAE=-ZBAC.

2

①若Z£L4C=90°,BC=6,EC=2BD,则3D=;

②若44c=120。,请写出线段5。,OE,EC之间的数量关系,并进行证明.

【答案】(1)80°

⑵①BD=9-3布;②DE?=CE°-CEBD+BD?,证明见解析

2

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,等腰三角形的性质和三角形内

角和定理:

(1)先由等边对等角和三角形内角和定理求出NBNAC3的度数,再由旋转的性质求出NACN的度数

即可得到答案;

(2)①以点A为旋转中心,将△A3。逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,仿照(1)可求出

/MCN=90°,再证明△ADE也八47芯,得到FE=DE,设BD=CF=x,则C£=2x,

DE=FE=6-3x,在Rt^C即中,由勾股定理得(6-3叶=V+(2x『,解方程即可得到答案;②以点

A为旋转中心,将逆时针旋转到△ACF位置,连接CE,EF,过点尸作直线3c的垂线,垂足

第21页共28页

为G,

同理可得NECb=60。,同理证明FE=QE;在Rt^CRG中,求出NCRG=30°,得到

1131

CG=-CF=-BD,再求出FG?=。/2—CG?EG=ICE-CG|=CE——BD在

224112

Rt_GEE中,由勾股定理得所2=GE2+G/2,据此可得结论.

【小问1详解】

解:•.•在VABC中,AB=AC,ABAC=100°,

180°-ZBAC

NB=/ACB==40°;

2

由旋转的性质可得NAC/V=4,

ZMCN=NACB+ZACN=40°+40°=80°;

【小问2详解】

解:①如图所示,以点A为旋转中心,将△A3。逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,

:在VABC中,AB=AC,ZBAC=9Q°,

180°—N54C

NB=ZACB==45°;

2

由旋转的性质可得NACN=NB,AD=AF,BD=CF,ZDAF=9Q°,

ZMCN=ZACB+ZACN=450+45°=90°;

/DAE=-ABAC=45°,

2

AFAE=ZDAF-ZDAE=45°=ZDAE,

又:A£>=AF,AE=AE,

:.<ADE^AFE(SAS),

AFE=DE,

设BD=CF=x,则。£=2九,

BC=6,

:.DE=FE=BC—BD—CE=6—3x,

在RtACEF中,由勾股定理得EF2=CE2+CF2,

(6-3x)2=x2+(2x)~,

解得x=¥或x=¥,舍去);

第22页共28页

.s";

2

②DE?=CE?-CEBD+BD?,证明如下:

如图所示,以点A为旋转中心,将△ABD逆时针旋转到△ACF位置,连接CREF,过点尸作直线

5C的垂线,垂足为G,

同理可得NECR=60。,

由旋转的性质可得NZMF=120°,AD=AF,BD=CF,

/DAE=-ZBAC=60°,

2

NFAE=NDAF-ZDAE=60°=ZDAE,

又;AD=AF,AE=AE,

.ADE冬AFE(SAS),

•••FE=DE;

在RtACbG中,ZFGC=90°,NGCF=60。,

:.NCFG=30°,

:.CG=-CF=-BD,

22

FG2=CF2-CG2=^BD2,EG=\CE-CG|=CE--BD

2

在Rt_GEE中,由勾股定理得Ei”=GE2+G7/2,

,1-3,

DE2=CE——BD+-BD2,

24

i3

/.DE-=CE2-CEBD+-BD?+-BD2,

44

DE2=CE2-CEBD+BD2.

第23页共28页

26.如图①,经点4(4,0)的直线与经过点A的二次函数y=a%2+"的图像交于点与y轴交于

(1)求二次函数的解析式及点8的坐标;

(2)如图②,点尸是线段AC下方抛物线上的一个动点,过点尸作x轴的垂线,交线段AC于点再

过点尸作)轴的垂线交抛物线于点E.是否存在点尸使!际为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点

P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图③,点。为线段A3上的一个动点(不与重合),经过ARO三点的圆与经过点A且垂直

于A3的直线交点G,当AODG面积取最小值时,求直线A3上修点的坐标,使得.OGH周长最小.

【答案】(1)y=f—4x,(0,T)

(2)P(3,—3)或尸

(3)H(3,-l)

【解析】

【分析】⑴直接将点A(4,0),C。,—3)代入二次函数丁=办2+法中即可求得得解,同时设直线

AC的解析式为了=履+根,代入4(4,0),C。,—3)得到,"值,即可得点8的坐标;

(2)设-4m),则尸(〃?,加一4),E^4-m,nr-4m),进而得出

PE=|/n—(4—m)|=|2/n—4|,PF=m—4—^m2=—m2+5m—4,根据=P尸列出方程,解

方程,即可求解;

第24页共28页

(3)先求得直线AG的解析式y=—x+4,设G(s,—s+4),设。“J—4),0<r<4,OG的中点为

圆心,设为。,则。手,宁,根据圆的性质,可得。一定在AO的垂直平分线上,得出f+s=4,

进而得出G(4—t/),用f表示出S°»G,根据二次函数的性质得出,So/取得最小值时,G(2,2),进

而根据OGH周长最小,设G关于

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