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文档简介
河东区2024〜2025学年度第一学期期末质量检测
局二数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.
第I卷(选择题共45分)
一、选择题:(本题共9个小题,每小题5分,共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合
题目要求)
1设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},则AD(七可=()
A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D,{1,3}
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求Ac(科5).
【详解】由题设可得a3={1,5,6},故Ac(包到={1,6},
故选:B.
2.若xeR,则“工〉1”是<i”成立的()
x
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法,结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由4〉1,解得0<%<1,
由工2<1,解得一Ivxvl,
所以“工〉1”是“炉<1”成立的充分不必要条件.
X
故选:A.
3.函数〃%)=(2—*-2)8院的图象大致为()
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项,再取一个特殊值即可得到正确选项即可.
【详解】由/(—x)=(2"—2-,)cos(—x)=—(2一'—2,cosx=—/(无)可得:/(%)是奇函数,
故A,B是错误的;
又由〃1)=QT—2)cosl=_*cosl<0,故D是错误的;
故选:C.
4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分,目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成
绩进行横向对比,经过对全校300名学生的成绩统计,可得到如图所示的频率分布直方图,则这些同学物理
成绩大于等于60分的人数为()
A.270B.240C.180D.150
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率之和为1得到方程,求出机=0.005,进而求出物理成绩大于等于60分的人数.
【详解】10(m+2和+0.015+0.020x2+0.030)=1,解得根=0.005,
故物理成绩大于等于60分的人数为300x[l-10x(0.005+0.015)]=240.
故选:B.
5.己知a=log32,6=2",c=logQ,则这三个数的大小顺序是()
2
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b
【答案】c
【解析】
【分析】可以得出°</°g32<l,2">2,/ogQ<°,然后即可得出。,b,c的大小顺序.
2
【详解】解:,•,0=1脸1<1幅2<1幅3=1,2">2,磕3<%1=0,
22
:.c<a<b.
故选:C.
【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性,函数单调性的定义,考查了计算和推理能力,属于基
础题.
6.如图,正三棱柱A5C-4及C的底面边长为1,高为3,己知产为棱A4的中点,分别在棱与民
上,3。=2,CE=1,记四棱锥4—BgED,三棱锥F-AQE与三棱锥A-DEF的体积分别为匕乂,匕,
A.K(匕B%<匕C.匕=匕+匕D,2匕=3%
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件分别计算出K,%,匕的值,即可求解.
【详解】由题意知:K=/一瓯及=;仓'停S四边形.「ED=;仓'停1
—磔=%*=;4S"=;4弼1弋,
\匕=匕+匕,%>%=%,2K>3%.
故选:C.
7.已知函数/(x)=cos2x+sin2x,则下列说法中,正确的是()
A.7(%)的最小值为—1
B.7(%)在区间-天7上单调递增
c.“X)的最小正周期为2兀
D.〃尤)的图象可由g(x)=J5cos2尤的图象向右平移9个单位得到
8
【答案】D
【解析】
【分析】根据选项的内容,我们可以利用辅助角公式把函数解析式化为余弦型函数形式,结合余弦型函数的
最值性质、单调性性质、最小正周期公式、图象平移的性质逐一判断即可.
【详解】/(%)=cos2x+sin2x=A/2COS^2X-^.
IT57r
A:当2元一^=2左兀+兀(左wZ)时,即当犬=左兀+-^-(左wZ)时,
函数/(%)的最小值为-0,所以本选项说法不正确;
,己不是[—兀,0]的子集,
4’4
所以本选项说法不正确;
2兀
C:/(九)的最小正周期为《-=兀,因此本选项说法不正确;
D:g(x)=0cos2x的图象向右平移J个单位得到
O
故选:D
22
8.抛物线c:2内的焦点产是双曲线——匚=1(0(根<1)的右焦点,点尸是曲线G,G的
交点,点。在抛物线的准线上,ARPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线C2的离心率为
A.V2+1B.2亚+3C.2710-3D.2厢+3
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距C的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可
求得离心率.
【详解】由题意知,抛物线焦点b(1,0),准线与x轴交点厂(-1,0),双曲线半焦距c=l,设点。(-l,y)
AFPQ是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形,即|尸盟=归@,结合尸点在抛物线上,
所以尸。工抛物线的准线,从而轴,所以P(l,2),
:.2a=\PF'\-\PF\=242-2
即a=A/2—1.
故双曲线的离心率为e--j=一-=A/2+1.
故选A
【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关
键,属于中档题.
(49)
9.已知且a/?>0,则ab的最小值为()
+/?2(Q+6)2,
111
A.——B.——D.-
42cI4
【答案】B
【解析】
g(a+Z?)2-(a2+Z?2)j
【分析】将ab变形为二,借鉴“1”的妙用的处理方式,以及基本不等式求解即可.
(491
【详解】ab
、/+/72+8)2,
f、4(a+b)2+9(/+/)
lr491
-13
a2+b2a+by2a2+b2a+b)2
因为4(a++b/)~9(4+片)
>0,
4(Q+/?)2+9(/+/)2
114(a+/?)9(/+/)-13=1(12-13)=-1
>—
故二2,2-132X2
2a+b-2/+/a+b)
7
4(a+bY9(a2+b2)
当且仅当二~~?=△----J,且ab>0,也即/+^=4ab,且。>>0时取得等号.
。(a+A)
(49\1
故"-―---------的最小值为-一.
{a~+b-?(a+b)-J2
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题处理的关键是能够观察到a。,/+〃,(。+人丫三者之间的关系,同时要熟练掌
握“1”的妙用的处理方式.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
10.已知i为虚数单位,复数z=—则复数z的虚部为________
1+31
【答案】—##0.1
10
【解析】
【分析】根据复数四则运算直接化简,再根据复数的相关定义可得解.
ii(l-3i)3+i31.
详解z-1+3i-(l+3i)(l—3i)一而一布+记i,
所以复数z的虚部为工.
10
故答案为:一.
10
11.在[2丁—的展开式中,/的系数是____.
Ixj
【答案】-160
【解析】
【分析】写出已知二项式展开式的通项,进而写出对应项,即可得系数.
【详解】已知二项式的展开式通项公式为&=&(2%3严(二厂=(_1),26-晨产-4,,r=0,l,--.,6,
令18—4r=6,可得厂=3,则北=(一L23(2)6=一160力
故答案为:-160
12.已知圆(x+l)2+y2=4与抛物线丁2=2内5>0)的准线交于A3两点,且|/回=26,则P的值
为.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得到|AD|=追,再利用勾股定理求出|CD|,由圆心到准线的距离可得答案.
【详解】设圆(尤+1)?+/=4的圆心坐标为C(-1,0),连接AC3C,
抛物线准线与x轴交于点。,则|4必=出,
所以=
所以圆心到准线的距离为一彳一(一1)=1,
解得2=4,或。=0(舍去).
故答案为:4.
13.某厂产品有70%的产品不需要调试就可以出厂上市,另30%的产品经过调试以后有80%能出厂,则
该厂产品能出厂的概率;任取一出厂产品,求未经调试的概率.
35
【答案】①.0.94②.—
47
【解析】
【分析】答题空一:根据题意设出事件,利用全概率公式即可求解;答题空二:利用空一结果,根据贝叶
斯公式即可求解.
【详解】设事件A表示产品能出厂上市,事件用表示产品不需要调试,为表示产品需要调试,
则有尸(4)=70%=0.7,尸(与)=30%=0.3,尸(A|4)=l,P(A|B2)=0.8,
由全概率公式可得:
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=1X0.7+0.8X0.3=0.94;
由贝叶斯公式可得:
p(B),尸(明)P>I4)P(4)1x0.7=35
I1'P(A)P(A)0.9447,
35
故答案为:0.94;—
47
14.在等腰梯形ABC。中,AB//DC,AB=4,BC=CD=2,£是腰5C的中点,则题.而的值为
;若P是腰A。上的动点,则|2而一定|的最小值为.
【答案】①.-8②.373
【解析】
【分析】作出辅助线,求出各边长,建立平面直角坐标系,得到求出通•磅=-8,设
AP=mAD>0<m<l,故。[”一1,百加),求出2而—定=(5-%,一6-点九),故
【详解】过点。作。OJ_A3于点。,
因为等腰梯形A5CD中,ABIIDC,AB=4,BC=CD=2,
4-2i_________
所以A。;一=1,由勾股定理得DO=NAEP-A0)2=6,
以0为坐标原点,03,0。所在直线分别为瑞丁轴,建立空间直角坐标系,
故4(—1,0),0(0,6),3(3,0),。(2,6b
E是腰5C的中点,故E
所以AE•ED—
设1?=加而,0<m<l,P(s,t),
s+\-ms=m—l
则(s+1/)=加
t-y/3mt—y/3m
故尸(7〃-1,也小),
2PB-PC=PB+[PB-PC^=PB+CB=^-m-
故答案为:-8,3A/3
fe'T+1%>0
15.已知函数〃"二{2'~,若g(%)=/(x)—依+Q—l有三个不等零点,则实数〃的取值范
围是.
【答案】(e,4)
【解析】
【分析】函数g(x)=/(%)-依+a-l有三个不等零点转化为方程”x)-G;+a-1=0有三个不等实根.
分两种情况讨论:当尤<0时,a=(x-l)———+4,令夕(x)=(x—1)———+4,结合以无)的单调性
x-1x-1
1Y—1
讨论根的情况;当无之0时,得ei=a(x—1),当。=0时,显然方程无实根;当awO时,一=一^,
ae
令/z(x)=t?,x20,利用导数研究函数的性质,作出函数图象,数形结合得答案.
e
【详解】由g(x)=/(x)—依+a—1有三个不等零点,等价于/(£)—ox+a—1=0有三个不等实根,
当x<0时,/(x)=f+2x-3,
由/(%)-依+。-1=。,得/+2x-4=a(x-l),
日nx2+2x—4(x—I)2+4(x—1)—11.
即”----------=-------------------=(x-1)--------+4,
x-1x-1x-1
令O(x)=(x-1)———+4,
x-1
由于9(%)在(-oo,0)上单调递增,故9(%)<°(0)=4,
故当〃之4时,方程。二(%—1)-------n4无实根;
X-1
当QV4时,方程Q=(X—1)--------^4在1G(—00,0)上有一实根.
X—1
当工20时,/(x)=ex-1+1,由/(£)一依+〃-1=0,得e"T=〃(x—l)
当。=0时,显然方程无实根;
1x—1x—12—x
当时,一二FP,令/1(%)二丁「%20,〃(%)=a,
aeee
当0<x<2时,〃(x)>0,所以/?(%)(0,2)上单调递增;
当x>2时,/z'(x)<0,所以丸。)在(2,+“)单调递减;
即当x=2时,函数/z(x)取得极大值五(2)='
e
〃(0)=—e;7z(l)=0;当0<%<1时,h{x)<0;当尤>1时,/?(%)>0,
作出函数力(龙)的图象如图,
要使/(可—3:+。—1=0有三个不等实根,需满足:在xe(-8,0)上有一实根,在xe[0,+s)上有两个
实根.
由图可知丫=,与〃(%)的图象有两个交点时,0<!<1,即a〉e,
aae
综上,e<a<4,即实数。的取值范围是(e,4).
故答案为:(e,4).
【点睛】关键点点睛:对于零点问题常转化成方程根的个数问题,分离常数后构造函数,讨论单调性,数
形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围.
三、解答题:(本大题5个题,共75分)
16.VABC的内角A&C的对边分别为“,仇。,已知5sinB=4sinA,5c=«2cosB+abcosA-
(1)求a,b;
(2)若c=6,——J.
【答案】(1)a=5;b=4
⑵3拒
-16-
【解析】
【分析】(1)根据正余弦定理角化边即可得出答案;
(2)先利用余弦定理求出cosB,再根据同角三角函数的关系求出sinB,以及二倍角公式求出sin2笈和
cos2B,最后再根据正弦的差角公式即可得出答案.
【小问1详解】
(〃2+。2_匕2b1+C1
因为5c=6i2cosB+abcosA,由余弦定理有:5c—aa-----------vb----------=,所以〃=5;
I2ac2bcJ
因为5sinB=4sinA,由正弦定理得:5b=4a,所以人=4,
所以Q=5,Z?=4.
【小问2详解】
因为。=6,所以cos3="+c2—.2=25+36—16=J]_cos2§=也,
lac2x5x644
3J7,,1
sin2B=2sinBcosB=---,cos2B=cos2B-sin2B=—,
88
.兀).。口兀.兀”3币一垂)
sin2B---|=sm26cossin—cos26=---------.
I3)3316
17.如图,在四棱锥P—A5CD中,平面ABC。,AD±CD,AD//BC,
PF1
PA^AD=CD=2,BC=3,E为中点,点产在线段PC上,且一=-.
PC3
(2)求直线与平面A即所成角的正弦值;
(3)求平面AE尸与平面AEP所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
⑵—
3
(3)1
3
【解析】
【分析】(1)以。为原点,建立空间直角坐标系,由已知写出。、A、C的坐标,由点坐标可得反,
DA,丽的坐标,即有加.方X=0,加•加=0,根据线面垂直的判定即可证CD_L平面PAD;
PF1
(2)由已知点坐标及花=§,可写出赤、衣的坐标,进而求面AE尸的一个法向量而,根据直线方
向向量与平面法向量夹角的坐标表示,求直线尸£>与平面AEF所成角的正弦值;
(3)由坐标系易知皮=(0,2,0)为平面R4E的法向量,结合(2)所得法向量而,根据两个平面法向量夹
角的坐标表示,即可求二面角的余弦值,进而求其正弦值.
【小问1详解】
证明:如图,以。为原点,分别以ZM,。。为x轴,》轴,过。作A尸平行线为z轴,建立空间直角坐标
系,
则0(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),尸(2,0,2),得反=(0,2,0),DA=(2,0,0),丽=(2,0,2),
所以加•力印=0,DCDP=0>即反,方X,DCLDP>又DAcDP=D,所以平面
PAD;
【小问2详解】
解:由矶1,0,1)可是荏=(一1,0,1),
由而△定=222,可得呜,■,所以市+224
,
3353-335353
设机=(无,y,z)为平面AE尸的法向量,
in•AE=—%+z=0
则一>224不妨设x=l,则y=-1,2=1,故加=(1,一1,1),
in•AF=——九+—y+—z=0
333
4_V6
设直线尸。与平面AE户所成角为6,所以sin6=cos
A/3.2A/2-3'
则直线PD与平面AEF所成角的正弦值为显;
3
【小问3详解】
解:因为配=(0,2,0)为平面场的法向量,设二面角尸—AE—尸的大小为a,
|m.DC|——,所以sina=Y5.则二面角/一AE1—P的正弦值为V6
所以|cosa\=.j=
HIDCIV3-23-3・一3
18.已知椭圆E:T+1=l(a〉6〉0)一个顶点A(0,-2),以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为
4忖
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点2,C,直线AB,AC分别与直线
,=一3交于点N,当|PM|+|PW(15时,求左的取值范围.
22
【答案】(1)工+匕=1;(2)[-3,-1)0(1,3].
54
【解析】
【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a/,从而可求椭圆的标准方程.
(2)设求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标,从而可得归闸+|尸M,
联立直线5c的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求人的范围,注意判别式的
要求.
【详解】⑴因为椭圆过4(0,—2),故6=2,
因为四个顶点围成的四边形的面积为46,故;x2ax2b=4逐,即。=石,
22
故椭圆的标准方程为:—+^=1.
54
(2)
设5a,K),C(%,%),
因为直线5c的斜率存在,故七%/0,
4nX+2cXx9
故直线A5:y=」一X—2,令y=_3,则为=----同理工N=-------------
石%+2%+2
y-ALY-3
直线5C:y=Ax-3,由<~,可得(4+5左2)尤2—30日+25=0,
4%2+5/=20'7
故A=900左2_IOO(4+5A:2)>O,解得左<—1或左>1.
d30女25,,八八
又元]+尤2=------7,%1%2=---------7,故为%2>°,所以%M%N>°
4+544+5左
匹+九2
又1PMi+|叫=曷+4=IX+2%+2
50k304
+%)
西%2kxi%2~(x4+5左24+542
।=5可
k2xx-kix+%2)+125k230k2।
r2v-----T+1
4+5左24+5k-
故5卜归15即m43,
综上,一3〈左<一1或1<ZW3.
19.设{4}是等差数列,{6}是等比数列,公比大于0,已知4=L4=4+2,d=%+%,4=%+2a6.
(1)求{4}和也}的通项公式;
(2)设数列{(—1)“"}的前〃项和7;.记4=3+:,1d一+2詈不,,求g;
6ai
(3)求
i=lCn+l-i
1
【答案】(1)an=n,bn=2"-;
(2)c„=4";
【解析】
【分析】(1)根据已知及等差、等比数列的通项公式求基本量,进而写出{4}和{%}的通项公式;
(2)根据已知有7L=0,4i=—l,结合(1)即可得g;
(3)应用错位相减法、等比数列前〃项和公式求和.
【小问1详解】
设数列{?}是公差为d的等差数列,数列{%}是公比为q的等比数列,公比大于0,其前"项和为
S“(〃eN*).
已知乙=1您=4+2,所以/=4+2,解得q=2,则2=2'i,
由于仇=%+%/5=%+24,所以241+6d=8,3%+13d=16,解得q=4=l,则。“=”.
【小问2详解】
由(1)知:(一1)"”=(—1)",所以耳=0,&T=—1,
所以G=普旦处t+'手&=电-+/•=平・
【小问3详解】
%i八a;
由(2)得一^=E,设Q,,=z^,
Cn+\-iqi=lCn+l-i
ll-八12n—1n…A12n—1
所以2=---1---r+...H---5—I①,4。=----H---z~+...H---;②,
匕〃4〃4“T444"T4”-24
1111
①一②得:---1----+…H---H---TI
4n4“T424
整理得&=也匚+」.
99-4
20.已知函数/(x)=ax2+lux——((2eR)g(x)=xex-x2
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