天津市河东区2024-2025学年高三年级上册期末质量检测数学试卷+答案

河东区2024〜2025学年度第一学期期末质量检测

局二数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

第I卷（选择题共45分）

一、选择题：（本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合

题目要求）

1设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},则AD（七可=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D,{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求Ac（科5）.

【详解】由题设可得a3={1,5,6},故Ac（包到={1,6},

故选：B.

2.若xeR,则“工〉1”是<i”成立的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】由4〉1,解得0<%<1,

由工2<1，解得一Ivxvl,

所以“工〉1”是“炉<1”成立的充分不必要条件.

X

故选：A.

3.函数〃％）=（2—*-2）8院的图象大致为（）

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再取一个特殊值即可得到正确选项即可.

【详解】由/(—x)=(2"—2-，)cos(—x)=—(2一'—2，cosx=—/(无)可得：/(%)是奇函数，

故A,B是错误的；

又由〃1)=QT—2)cosl=_*cosl<0,故D是错误的；

故选：C.

4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成

绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理

成绩大于等于60分的人数为()

A.270B.240C.180D.150

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率之和为1得到方程，求出机=0.005,进而求出物理成绩大于等于60分的人数.

【详解】10(m+2和+0.015+0.020x2+0.030)=1,解得根=0.005,

故物理成绩大于等于60分的人数为300x[l-10x(0.005+0.015)]=240.

故选：B.

5.己知a=log32,6=2",c=logQ,则这三个数的大小顺序是()

2

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

【分析】可以得出°</°g32<l,2">2,/ogQ<°,然后即可得出。，b,c的大小顺序.

2

【详解】解：,•,0=1脸1<1幅2<1幅3=1,2">2，磕3<%1=0,

22

:.c<a<b.

故选：C.

【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数单调性的定义，考查了计算和推理能力，属于基

础题.

6.如图，正三棱柱A5C-4及C的底面边长为1,高为3,己知产为棱A4的中点，分别在棱与民

上，3。=2,CE=1,记四棱锥4—BgED,三棱锥F-AQE与三棱锥A-DEF的体积分别为匕乂,匕,

A.K（匕B%<匕C.匕=匕+匕D,2匕=3%

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件分别计算出K，%,匕的值，即可求解.

【详解】由题意知：K=/一瓯及=；仓'停S四边形.「ED=；仓'停1

—磔=%*=；4S"=；4弼1弋，

\匕=匕+匕，%>%=%，2K>3%.

故选：C.

7.已知函数/（x）=cos2x+sin2x,则下列说法中，正确的是（）

A.7（%）的最小值为—1

B.7（%）在区间-天7上单调递增

c.“X）的最小正周期为2兀

D.〃尤）的图象可由g（x）=J5cos2尤的图象向右平移9个单位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】根据选项的内容，我们可以利用辅助角公式把函数解析式化为余弦型函数形式，结合余弦型函数的

最值性质、单调性性质、最小正周期公式、图象平移的性质逐一判断即可.

【详解】/（%）=cos2x+sin2x=A/2COS^2X-^.

IT57r

A：当2元一^=2左兀+兀（左wZ）时，即当犬=左兀+-^-（左wZ）时，

函数/（%）的最小值为-0,所以本选项说法不正确；

,己不是［—兀,0］的子集,

4’4

所以本选项说法不正确；

2兀

C：/（九）的最小正周期为《-=兀，因此本选项说法不正确;

D：g（x）=0cos2x的图象向右平移J个单位得到

O

故选：D

22

8.抛物线c：2内的焦点产是双曲线——匚=1（0（根＜1）的右焦点，点尸是曲线G，G的

交点，点。在抛物线的准线上，ARPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率为

A.V2+1B.2亚+3C.2710-3D.2厢+3

【答案】A

【解析】

【分析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距C的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可

求得离心率.

【详解】由题意知，抛物线焦点b(1,0),准线与x轴交点厂(-1,0),双曲线半焦距c=l,设点。(-l,y)

AFPQ是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形，即|尸盟=归@,结合尸点在抛物线上，

所以尸。工抛物线的准线，从而轴，所以P(l,2),

:.2a=\PF'\-\PF\=242-2

即a=A/2—1.

故双曲线的离心率为e--j=一-=A/2+1.

故选A

【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关

键，属于中档题.

(49)

9.已知且a/?>0,则ab的最小值为()

+/?2(Q+6)2,

111

A.——B.——D.-

42cI4

【答案】B

【解析】

g(a+Z?)2-(a2+Z?2)j

【分析】将ab变形为二,借鉴“1”的妙用的处理方式，以及基本不等式求解即可.

(491

【详解】ab

、/+/72+8)2,

f、4(a+b)2+9(/+/)

lr491

-13

a2+b2a+by2a2+b2a+b)2

因为4(a++b/)~9(4+片)

>0,

4(Q+/?)2+9(/+/)2

114(a+/?)9(/+/)-13=1(12-13)=-1

>—

故二2,2-132X2

2a+b-2/+/a+b)

7

4(a+bY9(a2+b2)

当且仅当二~~?=△----J,且ab>0,也即/+^=4ab，且。>>0时取得等号.

。(a+A)

(49\1

故"-―---------的最小值为-一.

{a~+b-?(a+b)-J2

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题处理的关键是能够观察到a。,/+〃,(。+人丫三者之间的关系，同时要熟练掌

握“1”的妙用的处理方式.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)

10.已知i为虚数单位，复数z=—则复数z的虚部为________

1+31

【答案】—##0.1

10

【解析】

【分析】根据复数四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解.

ii(l-3i)3+i31.

详解z-1+3i-(l+3i)(l—3i)一而一布+记i，

所以复数z的虚部为工.

10

故答案为：一.

10

11.在［2丁—的展开式中，/的系数是____.

Ixj

【答案】-160

【解析】

【分析】写出已知二项式展开式的通项，进而写出对应项，即可得系数.

【详解】已知二项式的展开式通项公式为&=&(2%3严(二厂=(_1),26-晨产-4,,r=0,l,--.,6,

令18—4r=6,可得厂=3,则北=(一L23(2)6=一160力

故答案为：-160

12.已知圆(x+l)2+y2=4与抛物线丁2=2内5>0)的准线交于A3两点，且|/回=26，则P的值

为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意得到|AD|=追，再利用勾股定理求出|CD|,由圆心到准线的距离可得答案.

【详解】设圆（尤+1）?+/=4的圆心坐标为C（-1,0）,连接AC3C,

抛物线准线与x轴交于点。，则|4必=出，

所以=

所以圆心到准线的距离为一彳一（一1）=1，

解得2=4,或。=0（舍去）.

故答案为：4.

13.某厂产品有70%的产品不需要调试就可以出厂上市，另30%的产品经过调试以后有80%能出厂，则

该厂产品能出厂的概率；任取一出厂产品，求未经调试的概率.

35

【答案】①.0.94②.—

47

【解析】

【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶

斯公式即可求解.

【详解】设事件A表示产品能出厂上市，事件用表示产品不需要调试，为表示产品需要调试,

则有尸（4）=70%=0.7,尸（与）=30%=0.3,尸（A|4）=l,P（A|B2）=0.8,

由全概率公式可得：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）=1X0.7+0.8X0.3=0.94；

由贝叶斯公式可得:

p（B）,尸（明）P>I4）P（4）1x0.7=35

I1'P（A）P（A）0.9447,

35

故答案为：0.94；—

47

14.在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,£是腰5C的中点，则题.而的值为

；若P是腰A。上的动点，则|2而一定|的最小值为.

【答案】①.-8②.373

【解析】

【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到求出通•磅=-8,设

AP=mAD>0<m<l,故。［”一1,百加），求出2而—定=（5-%,一6-点九），故

【详解】过点。作。OJ_A3于点。,

因为等腰梯形A5CD中，ABIIDC,AB=4,BC=CD=2,

4-2i_________

所以A。；一=1,由勾股定理得DO=NAEP-A0)2=6,

以0为坐标原点，03,0。所在直线分别为瑞丁轴，建立空间直角坐标系,

故4（—1,0）,0（0,6）,3（3,0）,。（2,6b

E是腰5C的中点，故E

所以AE•ED—

设1?=加而，0<m<l,P(s,t),

s+\-ms=m—l

则(s+1/)=加

t-y/3mt—y/3m

故尸（7〃-1,也小）,

2PB-PC=PB+[PB-PC^=PB+CB=^-m-

故答案为：-8,3A/3

fe'T+1%>0

15.已知函数〃"二{2'~，若g(%)=/(x)—依+Q—l有三个不等零点，则实数〃的取值范

围是.

【答案】(e,4)

【解析】

【分析】函数g(x)=/(%)-依+a-l有三个不等零点转化为方程”x)-G；+a-1=0有三个不等实根.

分两种情况讨论：当尤<0时，a=(x-l)———+4,令夕(x)=(x—1)———+4,结合以无)的单调性

x-1x-1

1Y—1

讨论根的情况；当无之0时，得ei=a(x—1),当。=0时，显然方程无实根；当awO时，一=一^，

ae

令/z(x)=t?,x20,利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案.

e

【详解】由g(x)=/(x)—依+a—1有三个不等零点，等价于/(£)—ox+a—1=0有三个不等实根，

当x<0时，/(x)=f+2x-3,

由/(%)-依+。-1=。,得/+2x-4=a(x-l),

日nx2+2x—4(x—I)2+4(x—1)—11.

即”----------=-------------------=(x-1)--------+4,

x-1x-1x-1

令O(x)=(x-1)———+4,

x-1

由于9(%)在(-oo,0)上单调递增，故9(%)<°(0)=4,

故当〃之4时，方程。二(%—1)-------n4无实根；

X-1

当QV4时，方程Q=(X—1)--------^4在1G(—00,0)上有一实根.

X—1

当工20时，/(x)=ex-1+1,由/(£)一依+〃-1=0,得e"T=〃(x—l)

当。=0时，显然方程无实根；

1x—1x—12—x

当时，一二FP，令/1(%)二丁「%20，〃(%)=a，

aeee

当0<x<2时，〃(x)>0,所以/?(%)(0,2)上单调递增；

当x>2时，/z'(x)<0,所以丸。)在(2,+“)单调递减；

即当x=2时，函数/z(x)取得极大值五(2)='

e

〃(0)=—e；7z(l)=0；当0<%<1时，h{x)<0；当尤>1时,/?(%)>0,

作出函数力(龙)的图象如图,

要使/(可—3：+。—1=0有三个不等实根，需满足：在xe(-8,0)上有一实根，在xe[0,+s)上有两个

实根.

由图可知丫=,与〃(％)的图象有两个交点时，0<!<1，即a〉e,

aae

综上，e<a<4,即实数。的取值范围是(e,4).

故答案为：(e,4).

【点睛】关键点点睛：对于零点问题常转化成方程根的个数问题，分离常数后构造函数，讨论单调性，数

形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16.VABC的内角A&C的对边分别为“,仇。，已知5sinB=4sinA,5c=«2cosB+abcosA-

（1）求a,b；

（2）若c=6,——J.

【答案】（1）a=5;b=4

⑵3拒

-16-

【解析】

【分析】（1）根据正余弦定理角化边即可得出答案；

（2）先利用余弦定理求出cosB,再根据同角三角函数的关系求出sinB,以及二倍角公式求出sin2笈和

cos2B,最后再根据正弦的差角公式即可得出答案.

【小问1详解】

（〃2+。2_匕2b1+C1

因为5c=6i2cosB+abcosA，由余弦定理有：5c—aa-----------vb----------=,所以〃=5；

I2ac2bcJ

因为5sinB=4sinA,由正弦定理得：5b=4a,所以人=4,

所以Q=5,Z?=4.

【小问2详解】

因为。=6,所以cos3="+c2—.2=25+36—16=J]_cos2§=也,

lac2x5x644

3J7，,1

sin2B=2sinBcosB=---,cos2B=cos2B-sin2B=—,

88

.兀）.。口兀.兀”3币一垂）

sin2B---|=sm26cossin—cos26=---------.

I3）3316

17.如图，在四棱锥P—A5CD中，平面ABC。，AD±CD,AD//BC,

PF1

PA^AD=CD=2,BC=3,E为中点，点产在线段PC上，且一=-.

PC3

（2）求直线与平面A即所成角的正弦值；

（3）求平面AE尸与平面AEP所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

3

（3）1

3

【解析】

【分析】（1）以。为原点，建立空间直角坐标系，由已知写出。、A、C的坐标，由点坐标可得反，

DA，丽的坐标，即有加.方X=0，加•加=0，根据线面垂直的判定即可证CD_L平面PAD;

PF1

（2）由已知点坐标及花=§,可写出赤、衣的坐标，进而求面AE尸的一个法向量而，根据直线方

向向量与平面法向量夹角的坐标表示，求直线尸£＞与平面AEF所成角的正弦值；

（3）由坐标系易知皮=（0,2,0）为平面R4E的法向量，结合（2）所得法向量而，根据两个平面法向量夹

角的坐标表示，即可求二面角的余弦值，进而求其正弦值.

【小问1详解】

证明：如图，以。为原点，分别以ZM,。。为x轴，》轴，过。作A尸平行线为z轴，建立空间直角坐标

系，

则0（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（2,0,2）,得反=（0,2,0）,DA=（2,0,0）,丽=（2,0,2）,

所以加•力印=0，DCDP=0＞即反，方X，DCLDP＞又DAcDP=D，所以平面

PAD；

【小问2详解】

解：由矶1,0,1）可是荏=（一1,0,1），

由而△定=222，可得呜，■，所以市+224

，

3353-335353

设机=（无,y,z）为平面AE尸的法向量,

in•AE=—%+z=0

则一＞224不妨设x=l,则y=-1,2=1,故加=(1,一1,1),

in•AF=——九+—y+—z=0

333

4_V6

设直线尸。与平面AE户所成角为6,所以sin6=cos

A/3.2A/2-3'

则直线PD与平面AEF所成角的正弦值为显；

3

【小问3详解】

解：因为配=（0,2,0）为平面场的法向量，设二面角尸—AE—尸的大小为a,

|m.DC|——，所以sina=Y5.则二面角/一AE1—P的正弦值为V6

所以|cosa\=.j=

HIDCIV3-23-3・一3

18.已知椭圆E：T+1=l（a〉6〉0）一个顶点A（0,-2）,以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为

4忖

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点2,C,直线AB,AC分别与直线

,=一3交于点N,当|PM|+|PW（15时，求左的取值范围.

22

【答案】(1)工+匕=1；(2)[-3,-1)0(1,3].

54

【解析】

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a/,从而可求椭圆的标准方程.

(2)设求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得归闸+|尸M，

联立直线5c的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求人的范围，注意判别式的

要求.

【详解】⑴因为椭圆过4(0,—2),故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为46，故;x2ax2b=4逐，即。=石，

22

故椭圆的标准方程为：—+^=1.

54

(2)

设5a，K),C(%,%)，

因为直线5c的斜率存在，故七%/0,

4nX+2cXx9

故直线A5：y=」一X—2,令y=_3,则为=----同理工N=-------------

石%+2%+2

y-ALY-3

直线5C:y=Ax-3,由＜~,可得（4+5左2）尤2—30日+25=0,

4%2+5/=20'7

故A=900左2_IOO（4+5A：2）＞O,解得左＜—1或左＞1.

d30女25,,八八

又元］+尤2=------7，%1%2=---------7，故为%2＞°，所以%M%N＞°

4+544+5左

匹+九2

又1PMi+|叫=曷+4=IX+2%+2

50k304

+%）

西%2kxi%2~（x4+5左24+542

।=5可

k2xx-kix+%2）+125k230k2।

r2v-----T+1

4+5左24+5k-

故5卜归15即m43,

综上，一3〈左<一1或1<ZW3.

19.设｛4｝是等差数列，｛6｝是等比数列，公比大于0,已知4=L4=4+2,d=%+%，4=%+2a6.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)设数列｛(—1)“"｝的前〃项和7；.记4=3+：,1d一+2詈不,，求g；

6ai

(3)求

i=lCn+l-i

1

【答案】(1)an=n,bn=2"-；

(2)c„=4"；

【解析】

【分析】(1)根据已知及等差、等比数列的通项公式求基本量，进而写出｛4｝和｛%｝的通项公式；

(2)根据已知有7L=0,4i=—l,结合(1)即可得g；

(3)应用错位相减法、等比数列前〃项和公式求和.

【小问1详解】

设数列｛?｝是公差为d的等差数列，数列｛%｝是公比为q的等比数列，公比大于0,其前"项和为

S“(〃eN*).

已知乙=1您=4+2,所以/=4+2,解得q=2,则2=2'i,

由于仇=%+%/5=%+24,所以241+6d=8,3%+13d=16,解得q=4=l,则。“=”.

【小问2详解】

由(1)知：(一1)"”=(—1)",所以耳=0,&T=—1,

所以G=普旦处t+'手&=电-+/•=平・

【小问3详解】

%i八a；

由(2)得一^=E，设Q，，=z^，

Cn+\-iqi=lCn+l-i

ll-八12n—1n…A12n—1

所以2=---1---r+...H---5—I①，4。=----H---z~+...H---;②,

匕〃4〃4“T444"T4”-24

1111

①一②得:---1----+…H---H---TI

4n4“T424

整理得&=也匚+」.

99-4

20.已知函数/(x)=ax2+lux——((2eR)g(x)=xex-x2