天津市河东区2024-2025学年高三年级上册期末质量检测 数学试题（含解析）

河东区2024〜2025学年度第一学期期末质量检测

局二数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

第I卷（选择题共45分）

一、选择题：（本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合

题目要求）

1设集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},5={2,3,4},则A&止（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D,{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求Ac（科5）.

【详解】由题设可得a3={1,5,6},故Ac（包到={1,6},

故选：B.

2.若xeR,则“工〉1”是<i”成立的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】由4〉1,解得0<%<1,

由工2<1，解得一Ivxvl,

所以“工〉1”是“炉<1”成立的充分不必要条件.

X

故选：A.

3.函数〃％）=（2—*-2）8院的图象大致为（）

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再取一个特殊值即可得到正确选项即可.

【详解】由/(—x)=(2"—2-，)cos(—x)=—(2一'—2，cosx=—/(无)可得：/(%)是奇函数，

故A,B是错误的；

又由〃1)=QT—2)cosl=_*cosl<0,故D是错误的；

故选：C.

4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成

绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理

成绩大于等于60分的人数为()

A.270B.240C.180D.150

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率之和为1得到方程，求出机=0.005,进而求出物理成绩大于等于60分的人数.

【详解】10(m+2和+0.015+0.020x2+0.030)=1,解得根=0.005,

故物理成绩大于等于60分的人数为300x[l-10x(0.005+0.015)]=240.

故选：B.

5.己知a=log32,6=2",c=logQ,则这三个数的大小顺序是()

2

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

【分析】可以得出°</°g32<l,2">2,/ogQ<°,然后即可得出。，b,c的大小顺序.

2

【详解】解:0=log3l<log32<log33=l,吸5>2，磕3<%1=0,

22

:.c<a<b.

故选：C.

【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数单调性的定义，考查了计算和推理能力，属于基

础题.

6.如图，正三棱柱A5C-4及C的底面边长为1,高为3,己知产为棱A4的中点，分别在棱与民

上，3。=2,CE=1,记四棱锥4—BgED,三棱锥F-AQE与三棱锥A-DEF的体积分别为匕乂,匕,

A.K（匕B%<匕C.匕=匕+匕D,2匕=3%

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件分别计算出K，%,匕的值，即可求解.

【详解】由题意知：K=/一瓯及仓'停S四边形.「ED=；仓'停1

—磔=%*=；4%EF拿停弼1弋，

匕=匕-。跖=%-,=；仓乌5包=；仓乌；仓e1=^.

\匕=匕+匕，%>%=%，2K>3%.

故选：C.

7.已知函数/（x）=cos2x+sin2x,则下列说法中，正确的是（）

A.7（%）的最小值为—1

B.7（%）在区间-天7上单调递增

c.“X）的最小正周期为2兀

D.〃尤）的图象可由g（x）=J5cos2尤的图象向右平移9个单位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】根据选项的内容，我们可以利用辅助角公式把函数解析式化为余弦型函数形式，结合余弦型函数的

最值性质、单调性性质、最小正周期公式、图象平移的性质逐一判断即可.

【详解】/（%）=cos2x+sin2x=A/2COS^2X-^.

IT57r

A：当2元一^=2左兀+兀（左wZ）时，即当犬=左兀+-^-（左wZ）时，

函数/（%）的最小值为-0,所以本选项说法不正确；

,己不是［—兀,0］的子集,

4’4

所以本选项说法不正确；

2兀

C：/（九）的最小正周期为《-=兀，因此本选项说法不正确;

D：g（x）=0cos2x的图象向右平移J个单位得到

O

故选：D

22

8.抛物线c：2内的焦点产是双曲线——匚=1（0（根＜1）的右焦点，点尸是曲线G，G的

交点，点。在抛物线的准线上，ARPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率为

A.V2+1B.2亚+3C.2710-3D.2厢+3

【答案】A

【解析】

【分析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距C的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可

求得离心率.

【详解】由题意知，抛物线焦点b(1,0),准线与x轴交点厂(-1,0),双曲线半焦距c=l,设点。(-l,y)

AFPQ是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形，即|尸盟=归@,结合尸点在抛物线上，

所以尸。工抛物线的准线，从而轴，所以P(l,2),

:.2a=\PF'\-\PF\=242-2

即a=A/2—1.

故双曲线的离心率为e--j=一-=A/2+1.

故选A

【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关

键，属于中档题.

(49)

9.已知且a/?>0,则ab的最小值为()

+/?2(Q+6)2,

111

A.——B.——D.-

42cI4

【答案】B

【解析】

g(a+Z?)2-(a2+Z?2)j

【分析】将ab变形为二,借鉴“1”的妙用的处理方式，以及基本不等式求解即可.

(491

【详解】ab

、/+/72+8)2,

f、4(a+b)2+9(/+/)

lr491

-13

a2+b2a+by2a2+b2a+b)2

因为4(a++b/)~9(4+片)

>0,

4(Q+/?)2+9(/+/)2

114(a+/?)9(/+/)-13=1(12-13)=-1

>—

故二2,2-132X2

2a+b-2/+/a+b)

7

4(a+bY9(a2+b2)

当且仅当二~~?=△----J,且ab>0,也即/+^=4ab，且。>>0时取得等号.

。(a+A)

(49\1

故"-―---------的最小值为-一.

{a~+b-?(a+b)-J2

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题处理的关键是能够观察到a。,/+〃,(。+人丫三者之间的关系，同时要熟练掌

握“1”的妙用的处理方式.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)

10.已知i为虚数单位，复数z=—则复数z的虚部为________

1+31

【答案】—##0.1

10

【解析】

【分析】根据复数四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解.

ii(l-3i)3+i31.

详解z-1+3i-(l+3i)(l—3i)一而一布+记i，

所以复数z的虚部为工.

10

故答案为：一.

10

11.在［2丁—的展开式中，/的系数是____.

Ixj

【答案】-160

【解析】

【分析】写出已知二项式展开式的通项，进而写出对应项，即可得系数.

【详解】已知二项式的展开式通项公式为&1=&(2%3严(二厂=(-1)，26-晨产-4，,r=0,l,,,6,

令18—4r=6,可得厂=3,则北=(一L23(2)6=一160力

故答案为：-160

12.已知圆(x+l)2+y2=4与抛物线丁2=2内5>0)的准线交于A3两点，且|/回=26，则P的值

为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意得到|AD|=追，再利用勾股定理求出|CD|,由圆心到准线的距离可得答案.

【详解】设圆（尤+1）?+/=4的圆心坐标为C（-1,0）,连接AC3C,

抛物线准线与x轴交于点。，则|4必=出，

所以=

所以圆心到准线的距离为一彳一（一1）=1，

解得2=4,或。=0（舍去）.

故答案为：4.

13.某厂产品有70%的产品不需要调试就可以出厂上市，另30%的产品经过调试以后有80%能出厂，则

该厂产品能出厂的概率；任取一出厂产品，求未经调试的概率.

35

【答案】①.0.94②.—

47

【解析】

【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶

斯公式即可求解.

【详解】设事件A表示产品能出厂上市，事件用表示产品不需要调试，为表示产品需要调试,

则有尸（4）=70%=0.7,尸（与）=30%=0.3,尸（A|4）=l,P（A|B2）=0.8,

由全概率公式可得：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）=1X0.7+0.8X0.3=0.94；

由贝叶斯公式可得:

p（B）,尸（被）P（44）P（4）1义0.7=35

I1'P（A）P（A）0.9447,

35

故答案为：0.94；--

14.在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=4,BC=CD=2,E是腰5c的中点，则AE.ED的值为

；若P是腰A。上的动点，则|2P3-的最小值为.

【答案】①.-8②.373

【解析】

5

【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到E求出AE-ED=—8，设

AP=mAD>0<m<1,故P（机一1,百加），求出2PB—PC=（5-m,—也—出心,故

|2PB-PC|=^4^m--J+27，从而得到最小值.

【详解】过点。作。OJ_A3于点。，

因为等腰梯形A5CD中，ABIIDC,AB=4,BC=CD=2,

4-2,__________

所以AO=;一=1,由勾股定理得DO=[Ab2-AO?=6,

以0为坐标原点，03,0。所在直线分别为羽丁轴，建立空间直角坐标系,

故4（—1,0）,£＞（0,@,3（3,0），42,@,

E是腰6C的中点，故E季，

75

所以AE-ED=

设AP="2AD，0<m<l,p（sj）,

s+\-ms=m—l

则（s+1/）=加

t-y/3mt=y/3m

故尸（7〃-1,也小）,

2PB-PC=PB+（PB-PC）=PB+CB=（4-m,-gm）+g,-灼

故答案为：-8,3A/3

fe'T+1%>0

15.已知函数〃"二{2'~，若g(%)=/(x)—依+Q—l有三个不等零点，则实数〃的取值范

围是.

【答案】(e,4)

【解析】

【分析】函数g(x)=/(%)-依+a-l有三个不等零点转化为方程”x)-G；+a-1=0有三个不等实根.

分两种情况讨论：当尤<0时，a=(x-l)———+4,令夕(x)=(x—1)———+4,结合以无)的单调性

x-1x-1

1Y—1

讨论根的情况；当无之0时，得ei=a(x—1),当。=0时，显然方程无实根；当awO时，一=一^，

ae

令/z(x)=t?,x20,利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案.

e

【详解】由g(x)=/(x)—依+a—1有三个不等零点，等价于/(£)—ox+a—1=0有三个不等实根，

当x<0时，/(x)=f+2x-3,

由/(%)-依+。-1=。,得/+2x-4=a(x-l),

日nx2+2x—4(x—I)2+4(x—1)—11.

即”----------=-------------------=(x-1)--------+4,

x-1x-1x-1

令O(x)=(x-1)———+4,

x-1

由于9(%)在(-oo,0)上单调递增，故9(%)<°(0)=4,

故当〃之4时，方程。二(%—1)-------n4无实根；

X-1

当QV4时，方程Q=(X—1)--------^4在1G(—00,0)上有一实根.

X—1

当工20时，/(x)=ex-1+1,由/(£)一依+〃-1=0,得e"T=〃(x—l)

当。=0时，显然方程无实根；

1x—1x—12—x

当时，一二FP，令/1(%)二丁「%20，〃(%)=a，

aeee

当0<x<2时，〃(x)>0,所以/?(%)(0,2)上单调递增；

当x>2时，/z'(x)<0,所以丸。)在(2,+“)单调递减；

即当x=2时，函数/z(x)取得极大值五(2)='

e

〃(0)=—e；7z(l)=0；当0<%<1时，h{x)<0；当尤>1时,/?(%)>0,

作出函数力(龙)的图象如图,

要使/(可—3：+。—1=0有三个不等实根，需满足：在xe(-8,0)上有一实根，在xe[0,+s)上有两个

实根.

由图可知丫=,与〃(％)的图象有两个交点时，0<!<1，即a〉e,

aae

综上，e<a<4,即实数。的取值范围是(e,4).

故答案为：(e,4).

【点睛】关键点点睛：对于零点问题常转化成方程根的个数问题，分离常数后构造函数，讨论单调性，数

形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16.VABC的内角A&C的对边分别为“,仇。，已知5sinB=4sinA,5c=«2cosB+abcosA-

（1）求a,b；

（2）若c=6,——J.

【答案】（1）a=5;b=4

⑵3拒

-16-

【解析】

【分析】（1）根据正余弦定理角化边即可得出答案；

（2）先利用余弦定理求出cosB,再根据同角三角函数的关系求出sinB,以及二倍角公式求出sin2笈和

cos2B,最后再根据正弦的差角公式即可得出答案.

【小问1详解】

（〃2+。2_匕2b1+C1

因为5c=6i2cosB+abcosA，由余弦定理有：5c—aa-----------vb----------=,所以〃=5；

I2ac2bcJ

因为5sinB=4sinA,由正弦定理得：5b=4a,所以人=4,

所以Q=5,Z?=4.

【小问2详解】

因为。=6,所以cos3="+c2—.2=25+36—16=J]_cos2§=也,

lac2x5x644

3J7，,1

sin2B=2sinBcosB=---,cos2B=cos2B-sin2B=—,

88

.兀）.。口兀.兀”3币一垂）

sin2B---|=sm26cossin—cos26=---------.

I3）3316

17.如图，在四棱锥P—A5CD中，平面ABC。，AD±CD,AD//BC,

PF1

PA^AD=CD=2,BC=3,E为中点，点产在线段PC上，且一=-.

PC3

(2)求直线与平面A即所成角的正弦值；

(3)求平面AE尸与平面AEP所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

3

(3)1

3

【解析】

【分析】(1)以。为原点，建立空间直角坐标系，由已知写出。、A、C的坐标，由点坐标可得DC，

DA-。尸的坐标，即有。D4=0，DC.DP=0，根据线面垂直的判定即可证CD_L平面PAD；

_PF1_.

(2)由已知点坐标及花=§,可写出AP、的坐标，进而求面A即的一个法向量加，根据直线方

向向量与平面法向量夹角的坐标表示，求直线尸£>与平面AEF所成角的正弦值；

(3)由坐标系易知DC=(O,2,O)为平面R4E的法向量，结合(2)所得法向量加，根据两个平面法向量夹

角的坐标表示，即可求二面角的余弦值，进而求其正弦值.

【小问1详解】

证明：如图，以。为原点，分别以ZM,。。为x轴，》轴，过。作A尸平行线为z轴，建立空间直角坐标

系，

则0(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),尸(2,0,2),得加=(0,2,0),山=(2,0,0),DP=(2,0,2),

所以。C3=0，DCDP=0>即。CLZM，DCLDP又DAcDP=D，所以平面

PAD；

【小问2详解】

解：由E(l,0,l)可是AE=(-1,0,1)，

由PF=Lp(j=222，可得呜，■，所以独=一224

，

3353-335353

设机=（无,y,z）为平面AE尸的法向量,

m-AE=—%+z=0

则224不妨设％=1,则丁=-1,2=1,故加=(1,一1,1),

m-AF=——九+—y+—z=0

333

4_V6

设直线尸。与平面AE户所成角为6,所以sin6=cos（m-DP

"2行—3'

则直线PD与平面AEF所成角的正弦值为显；

3

【小问3详解】

解：因为。C=（0,2,0）为平面场的法向量，设二面角尸—AE—尸的大小为a,

m-DC——，所以sina=Y5.则二面角/一AE1—P的正弦值为V6

所以|cosa|=

m||DCV3-23-3・一3

18.已知椭圆E：T+1=l（a〉6〉0）一个顶点A（0,-2）,以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为

4忖

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点2,C,直线AB,AC分别与直线

,=一3交于点N,当|PM|+|PW（15时，求左的取值范围.

22

【答案】(1)工+匕=1；(2)[-3,-1)0(1,3].

54

【解析】

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求从而可求椭圆的标准方程.

(2)设求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得归闸+|尸M，

联立直线5c的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求人的范围，注意判别式的

要求.

【详解】⑴因为椭圆过4(0,—2),故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为46，故;x2ax2b=4逐，即。=石，

22

故椭圆的标准方程为：—+^=1.

54

(2)

设5a，K),C(%,%)，

因为直线5c的斜率存在，故

4nX+2cXx

故直线A5：y=」一X—2,令y=_3,则为=----同理工N=--------9

石%+2%+2

y=kx~3

直线5C:y=Ax-3,可得(4+5公卜2+25=0,

田32+5/=20—3Qkx

故A=900左2_IOO（4+5左2）＞o,解得左＜—1或左＞1.

d30女25,,八八

又元］+尤2=----7，%1%2=-----7，故为%2>°，所以%M%N>°

4+544+5左

X1）X2

又1PMi+|叫=曷+4=Iy+2%+2

50k30k

4+5左2-4+5左2

西।%=5可

22

fcvj-1kx2-l25k30k।

4+5左24+5左2

故5卜归15即m43,

综上，一3〈左<一1或1<ZW3.

19.设｛4｝是等差数列，｛6｝是等比数列，公比大于0,已知4=L4=4+2,d=%+%，4=%+2a6.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)设数列｛(—1)“"｝的前〃项和7；.记4=3+：,1d一+2詈不,，求g；

6ai

(3)求

i=lCn+l-i

1

【答案】(1)an=n,bn=2"-；

(2)c„=4"；

【解析】

【分析】(1)根据已知及等差、等比数列的通项公式求基本量，进而写出｛4｝和｛%｝的通项公式；

(2)根据已知有7L=0,4i=—l,结合(1)即可得g；

(3)应用错位相减法、等比数列前〃项和公式求和.

【小问1详解】

设数列｛?｝是公差为d的等差数列，数列｛%｝是公比为q的等比数列，公比大于0,其前"项和为

S“(〃eN*).

已知乙=1您=4+2,所以/=4+2,解得q=2,则2=2'i,

由于仇=%+%/5=%+24,所以241+6d=8,3%+13d=16,解得q=4=l,则。“=”.

【小问2详解】

由(1)知：(一1)"”=(—1)",所以耳=0,&T=—1,

所以G=普旦处t+'手&=电-+/•=平・

【小问3详解】

%i八a；

由(2)得一^=E，设Q，，=z^，

Cn+\-iqi=lCn+l-i

ll-八12n—1n…A12n—1

所以2=---1---r+...H---5—I①，4。=----H---z~+...H---;②,

匕〃4〃4“T444"T4”-24

1111

①一②得:---1----+…H---H---TI

4n4“T424

整理得&=也匚+」.

99-4

20.已知函数/(x)=ax2+lux——((2eR)g